Анализ (математика бүлеге) битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{О|математическом анализе в широком понимании, как обширном направлении в математике и современном её разделе|классическом математическом анализе и соответствующей учебной дисциплине|Математик анализ}}
'''Анализ''' математиканың хәҙерге заман бүлеге булараҡ — тарихи классик [[Математик анализ|математик анализдан]] үҫеп сыҡҡан {{переход|#Классик математик анализ}}, һәм, классик өлөшкә ингән [[Дифференциаль иҫәпләмә|дифференциаль]] һәм [[Интеграль иҫәпләмә|интеграль]] иҫәпләмәләрҙән тыш, ысын{{Переход|#Ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы}} һәм комплекслы{{Переход|#Комплекслы үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы}} үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы, дифференциаль һәм интеграль тигеҙләмәләр{{Переход|#Дифференциаль һәм интеграль тигеҙләмәләр}}, [[вариацион иҫәпләмә]]{{Переход|#Вариацион иҫәпләмә}}, [[гармоник анализ]]{{Переход|#Гармоник анализ}}, [[функциональ анализ]]{{Переход|#Функциональ анализ}}, динамик системалар теорияһы һәм эргодическая теория{{Переход|#Динамик системалар теорияһы һәм эргодическая теория}}, глобаль анализ{{Переход|#Глобаль анализ}}, [[стандарт булмаған анализ]]{{Переход|#Стандарт булмаған анализ}} кеүек бүлектәрҙе солғап алған [[Математика|математиканың]] мөһим өлөшө — иң тәүҙә классик бүлектәрҙең альтернатив формализацияһы өсөн [[Моделдәр теорияһы]]н ҡулланыусы, [[Математик логика|математик логика]] һәм анализ тоташҡан урындағы бүлек.

[[Алгебра]] һәм [[Геометрия|геометрия]] менән бер рәттән, математиканың өс төп йүнәлештәренең береһе тип иҫәпләнә. Анализдың башҡа йүнәлештәр менән сағыштырғанда  айырып торған төп билдәһе — өйрәнеү предметы булып билдәһеҙ дәүмәлдәрҙең функцияһы тороуы. Шуның менән бергә, әгәр анализдың [[Элементар математика|элементар]] бүлектәрен уҡыу программаларында һәм материалдарҙа йыш ҡына [[Элементар алгебра|элементар алгебра]] менән берләштерһәләр (мәҫәлән, «Алгебра һәм анализ башланғыстары» тип аталған күп һандағы дәреслектәр һәм курстар бар), хәҙерге анализ һиҙелерлек дәрәжәлә хәҙерге геометрик бүлектәрҙең, иң беренсе, [[дифференциаль геометрия һәм топология|дифференциаль геометрия һәм топологияның]] ысулдарын ҡуллана.

== Тарихы ==
{{См. также|Анализ бесконечно малых}}
"Сикһеҙ бәләкәйҙәр анализы"ның [[Ябай дифференциаль тигеҙләмә|ябай дифференциаль тигеҙләмәләр]] теорияһы ([[Эйлер, Леонард|Эйлер]], [[Иоганн Бернулли]], [[Д’Аламбер, Жан Лерон|Д’Аламбер]]), [[вариацион иҫәпләмә]] (Эйлер, [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранж]]), [[аналитик функция]]лар теорияһы (Лагранж, [[Коши, Огюстен Луи|Коши]], аҙағыраҡ — [[Риман, Бернхард|Риман]]) кеүек айырым тармаҡтары, XVIII—XIX быуаттың беренсе яртыһында уҡ айырымлана башлайҙар. Әммә анализдың хәҙерге заманса үҙ аллы бүлек булараҡ төҙөлөүенең башы булып, XIX быуат урталарындағы анализдың төп төшөнсәләрен — [[ысын һан]], [[Функция (математика)|функция]], [[Сикләнмә (математика)|сикләнмә]], [[интеграл]] — рәсмиләштереү буйынса, иң беренсе, Коши һәм [[Больцано, Бернард|Больцано]] хеҙмәттәре һанала, һәм 1870-се — 1880-се йылдарҙа [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрасс]], [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинд]] һәм [[Кантор, Георг|Кантор]] хеҙмәттәрендә тамамланған форма ала{{Sfn|Математика|1956|с=55|loc=§7. Современная математика // А. Д. Александров}}. Бының менән бәйле [[ысын үҙгәреүсәнле  функциялар теорияһы]], һәм аналитик функциялар менән эшләү ысулдары үҫешендә, — [[комплекслы үҙгәреүсәнле  функциялар теорияһы]] барлыҡҡа килә. Кантор XIX быуат аҙағында төҙөгән [[күмәклектәрҙең хәйләһеҙ теорияһы]] [[Метрик арауыҡ|метрик]] һәм [[Топологик арауыҡ|топологик]] арауыҡ төшөнсәләренең барлыҡҡа килеүенә этәргес була, был, өйрәнелеүсе объекттарҙың абстракцияһын арттырып һәм иғтибарҙы ысын һандарҙан һанлы булмаған төшөнсәләргә күсереп, анализ инструментарийын һиҙелерлек дәрәжәлә үҙгәртә.

XX быуат башында башлыса француз математика мәктәбенең көсө менән ([[Жордан, Мари Энмон Камиль|Жордан]], [[Борель, Эмиль|Борель]], [[Лебег, Николя|Лебег]], [[Бэр, Рене-Луи|Бэр]]) [[Күмәклек үлсәме|үлсәм теорияһы]] барлыҡҡа килә, шуның арҡаһында интеграл төшөнсәһе дөйөмләштерелә, шулай уҡ ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы{{Переход|#Теория функций действительной переменной}} төҙөлә. Шулай уҡ XX быуат башында, [[Топологик векторлы арауыҡ|топологик векторлы арауыҡтарҙы]] һәм уларҙың сағылыштарын өйрәнеүсе [[функциональ анализ]] хәҙерге анализдың үҙаллы аҫбүлеге булараҡ төҙөлә башлай{{Переход|#Функциональ анализ}}. XIX XX быуаттар сигендә итальян һәм француз математиктары төркөмө тарафынан (улар араһында — [[Вольтерра, Вито|Вольтерра]], [[Арцела, Чезаре|Арцела]]) төҙөлгән вариацион иҫәпләмәнең тармағын билдәләп, [[Адамар, Жак|Адамар]] «функциональ анализ» терминын индерә. [[1900 йыл]]да [[Фредгольм, Эрик Ивар|Фредгольм]], интеграль тигеҙләмәләр{{Переход|#Интеграль тигеҙләмәләр теорияһы}} теорияһы һәм интеграллауҙың дөйөм теорияһы үҫешенә ([[Лебег, Николя|Лебег]]), шулай уҡ функциональ анализ формалашыуына этәргес биреүсе интеграль тигеҙләмәләр тураһында мәҡәлә баҫтырып сығара{{Sfn|Дьёдонне|1981|p=97|loc=§1. Fredholm's discovery}}. [[1906 йыл]]да Гильберттың хеҙмәтендә [[спектраль теория]] тасуирлана, шул уҡ йылда [[Фреше, Морис Рене|Фрешеның]] хеҙмәте баҫылып сыға, унда беренсе тапҡыр анализға абстрактлы [[метрик арауыҡ]] индерелә{{Sfn|Дьёдонне|1981|p=97|loc=Chapter V. Crucial years and definition of Hilbert space}}. 1910-сы — 1920-се йылдарҙа айырылыусанлыҡ төшөнсәһе аныҡлана һәм анализға беренсе тапҡыр [[Дөйөм топология|дөйөм топологик]] ысулдар ҡулланыла ([[Хаусдорф, Феликс|Хаусдорф]]), функциональ арауыҡтар үҙләштерелә һәм дөйөм [[нормалаштырылған арауыҡ]]тар теорияһын төҙөү башлана (Гильберт, [[Рис, Фридьеш|Рис]], [[Банах, Стефан|Банах]], [[Хан, Ханс|Хан]]). 1929—1932 йылдар араһында Гильберт арауыҡтарының аксиоматик теорияһы төҙөлә ([[Нейман, Джон фон|Джон фон Нейман]], [[Маршалл Стоун]], Рис). 1936 йылда [[Соболев, Сергей Львович|Соболев]], анализдың күп бүлектәрендә киң таралыу алған һәм ҡушымталарҙа киң ҡулланыу тапҡан [[дөйөмләштерелгән функция]] төшөнсәһен әйтеп бирә (һуңғараҡ 1940-сы йылдарҙа уға бәйһеҙ рәүештә шундай уҡ төшөнсәгә [[Шварц, Лоран|Лоран Шварц]] килә) (мәҫәлән, [[Дельта-функция|Дирактың <math>\delta</math>-функцияһы]] дөйөмләштерелгән функция була). 1930-сы — 1950-се йылдарҙа функциональ анализда [[дөйөм алгебра]]ик инструменттар ҡулланыу иҫәбенә ҙур нәтижәләргә өлгәшелә ([[векторлы рәшәткә|векторлы рәшәткәләр]], [[операторлы алгебра]]лар, [[Банах алгебраһы|Банах алгебралары]]).
 
XX быуат уртаһында [[динамик системалар теорияһы]] һәм [[эргодическая теория]] ([[Биркгоф, Джордж Дэвид|Джордж Биркгоф]], [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров]], фон Нейман) кеүек йүнәлештәр үҙаллы үҫеш алалар, дөйөм алгебраик саралар — [[Топологик төркөм|топологик төркөмдәр]] һәм [[Төркөм күрһәтмәһе|күрһәтмәләр]] ([[Вейль, Герман|Вейль]], {{iw|Петер, Фриц (математик)|Петер|en|Fritz Peter}}, [[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягин]]) ҡулланыу иҫәбенә гармоник анализ һөҙөмтәләре дөйөмләштерелә. 1940-сы — 1950-се йылдарҙан башлап функциональ анализ ысулдары ҡулланма өлкәлә ҡулланыу табалар, айырып әйткәндә, [[Канторович, Леонид Витальевич|Канторовичтың]] 1930-сы — 1940-сы йылдарҙағы хеҙмәттәрендә [[иҫәпләү математикаһы]]нда һәм [[иҡтисад]]та ([[һыҙыҡлы программалау]]) функциональ анализ инструменттары ҡулланыла. 1950-се йылдарҙа [[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягиндың]] һәм уның уҡыусыларының хеҙмәттәрендә вариацион иҫәпләмә ысулдары үҫешенә [[оптималь идара итеү теорияһы]] төҙөлә.

XX быуаттың икенсе яртыһынан башлап [[дифференциаль топология]] үҫешеү менән анализға яңы йүнәлеш — «глобаль анализ»{{Переход|#Глобаль анализ}} исеме алған [[Төрлөлөк|төрлөлөктәрҙә]] анализ ҡушыла, ул ысынында алдараҡ, 1920-се йылдарҙа [[Морс теорияһы]] сиктәрендә вариацион иҫәпләмәнең дөйөмләштерелеүе кеүек ([[Морс, Марстон|Морс]] тарафынан «бөтөндә вариацион иҫәпләмә» тип аталған, {{lang-en|variation calculus in large}}) барлыҡҡа килә. Был йүнәлешкә динамик системаларҙың [[бифуркациялар теорияһы]] үҫешенә ([[Андронов, Александр Александрович (старший)|Андронов]]) төҙөлгән, 1970-се йылдарҙа [[Зиман, Кристофер|Зиман]] һәм [[Арнольд, Владимир Игоревич|Арнольдтың]] хеҙмәттәрендә үҫеш алған [[үҙенсәлеклектәр теорияһы]] ([[Уитни, Хасслер|Уитни]], [[1955 йыл]]) һәм [[катастрофалар теорияһы]] ([[Том, Рене|Том]], [[1959 йыл]] һәм {{iw|Мазер, Джон|Мазер|en|John Mather (mathematician)}}, [[1965 йыл]]) кеүек йүнәлештәрҙе индерәләр.

1960-сы йылдар башында [[Робинсон, Абрахам|Робинсон]] [[стандарт булмаған анализ]]{{Переход|#Стандарт булмаған анализ}} — анализдың классик, шулай уҡ оҡшаш өлкәләренең [[моделдәр теорияһы]] инструментарийын ҡулланып альтернатив формализацияһын төҙөй. Әгәр башта стандарт булмаған анализ классик бүлектәрҙә насар формализацияланған төшөнсәләрҙе (иң беренсе, [[сикһеҙ бәләкәй һәм сикһеҙ ҙул дәүмәлдәр]]) нигеҙләүҙең логик техникаһы итеп кенә ҡаралһа, 1970-се йылдар аҙағында {{нп2|Нельсон, Эдвард|Нельсон|en|Edward Nelson}} тарафынан {{iw|Эске күмәклектәр теорияһы|эске күмәклектәр теорияһы|en|Internal set theory}} төҙөлөү һәм артабанғы дөйөмләштереүҙәрҙән һуң, стандарт булмаған анализдың конструкциялары, бөтә математик объекттарға тәбиғи хас булғанса, математиканың бөтә өлкәләрендә лә ҡулланыла ала икәне асыҡлана{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|с=viii|loc=…нестандартный анализ рассматривали как довольно тонкую и даже экзотическую логическую технику, предназначенную для обоснования метода актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел <…> 70-се йылдар аҙағында, Э. Нельсондың эске күмәклектәр теорияһы баҫылып сыҡҡандан һуң (һәм саҡ ҡына һуңғараҡ К. Хрбачек һәм Т. Каваиның тышҡы күмәклектәр теорияһы), стандарт булмаған анализдың урынына һәм роленә ҡараш тамырынан үҙгәрә һәм байый. Яңы асыштар  күҙлегенән сығып стандарт булмаған элементтарҙы <…> теләһә ниндәй ғәҙәти математик объекттарҙың айырылмаҫ өлөшө итеп ҡарау мөмкин була башлай. Һәр күмәклек образовано стандарт һәм стандарт булмаған элементтарҙан төҙөлгән тигән күрһәтмә барлыҡҡа килә}}. Бынан тыш, стандарт булмаған анализ теленең аңлайышлығы арҡаһында, уның ысулдары ярҙамында классик анализда беленмәгән, ләкин шул уҡ ваҡытта стандарт, классик ысулдар менән дә асыҡланырға мөмкин булған, нәтижәләр асыҡлана<ref name="dragalin">{{Из|МЭ|статья=Нестандартный анализ|ссылка=http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3463/|автор=[[Драгалин, Альберт Григорьевич|Драгалин А. Г.]]}} <cite>С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа</cite></ref>. Шулай уҡ 1970-се — 1980-се йылдарҙа [[форсинг ысулы]] үҫешендә ([[Коэн, Пол Джозеф|Коэн]] тарафынан [[ZFC]]-та [[Континуум-гипотеза|континуум-гипотезаның]] хәл иткеһеҙ булыуын иҫбатлау өсөн булдырылған) [[Соловей, Роберт|Соловейҙың]], [[Скотт, Дана|Скотт]] һәм {{нп2|Вопенка, Петр|Вопенканың|cs|Petr Vopěnka}} хеҙмәттәрендә {{iw|Буль ҡиммәтле модель|Буль ҡиммәтле моделдәр|en|Boolean-valued model}} теорияһы эшләнә, уның нигеҙендә стандарт булмаған анализдың үҙаллы тармағы — Буль ҡиммәтле анализ барлыҡҡа килә<ref>{{книга
 | автор         = А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе
 | заглавие      = Введение в булевозначный анализ
 | место         = М.
 | издательство  = Наука
 | год           = 2005
 | страниц       = 526
 | isbn          = 5-02-033710-2
 | тираж         = 
 | ref           = 
}}</ref>.

== Классик математик анализ ==
{{Main|Математик анализ}}
Классик математик анализ — тулыһынса тарихи «[[сикһеҙ бәләкәйҙәр анализы]]на» тап килгән бүлек, ике төп компоненттан тора: [[Дифференциаль иҫәпләмә|дифференциаль]] һәм [[Интеграль иҫәпләмә|интеграль]] иҫәпләмәнән. Төп төшөнсәләре — [[функцияның сикләнмәһе]], [[Дифференциал (математика)|дифференциал]], [[Сығарылма (математика)|сығарылма]], [[интеграл]], төп нәтижәһе — [[аныҡ интеграл]]ды, [[алынма]]ны, һәм [[Тейлор рәте]]н — нөктәнең эргә-яғында сикһеҙ дифференциалланыусы функцияларҙы [[Рәт (математика)|рәткә]] тарҡатыуҙы бәйләүсе [[Ньютон — Лейбниц формулаһы]].

«Математик анализ» термины аҫтында ғәҙәттә тап ошо классик бүлекте аңлайҙар, шуның менән бергә ул башлыса уҡыу программаларында һәм материалдарында ҡулланыла. Шул уҡ ваҡытта анализ нигеҙҙәрен өйрәнеү күпселек [[Урта белем|урта белем биреү]] программаларына инә, ә фәнде әҙме-күпме тулы өйрәнеү күп, шул иҫәптән гуманитар һөнәрҙәр өсөн [[Юғары белем|юғары белем биреү]] программаһының тәүге йылына индерелгән. Инглиз-америка белем биреү традицияһында классик математик анализды билдәләү өсөн «иҫәпләмә» термины ҡулланыла ({{lang-en|calculus}}).

== Ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы ==
{{Falseredirect|Ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы}}
'''Ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы''' (ҡайһы берҙә ҡыҫҡаса — ''функциялар теорияһы'' тип атала) ысын һандарҙы һәм функцияларҙы формализациялау һөҙөмтәһендә барлыҡҡа килә{{Sfn|БСЭ, Математика|1978|loc=В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль М. — теория функций действительного переменного}}: әгәр анализдың классик бүлектәрендә конкрет мәсьәләләрҙә, тәбиғи рәүештә барлыҡҡа килгән функциялар ғына ҡаралһа, функциялар теорияһында функциялар үҙҙәре өйрәнеү предметы булып китәләр, уларҙың үҙ-үҙен тотошо, үҙсәнлектәре нисбәте өйрәнелә. Ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы үҙенсәлеген иллюстрациялаусы нәтижәләрҙең береһе {{Sfn|БСЭ, Математика|1978|loc=для теории функций действительного переменного типичен интерес к полному выяснению действительного объёма общих понятий анализа (в самом начале её развития Б. Больцано и позднее К. Вейерштрассом было, например, обнаружено, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке)}} — [[өҙлөкһөҙ функция]]ның бер нөктәлә лә [[Сығарылма (математика)|сығарылмаһы]] була алмауы факты (шуның менән бергә классик математик анализдың алдағы күҙаллауҙары буйынса бөтә өҙлөкһөҙ функцияларҙың [[Дифференциалланыусы функция|дифференциалланыусанлығы]] шик аҫтына алынмай).

Ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһының төп йүнәлештәре<ref>{{БСЭ3
 | статья   = Теория функций
 | автор    = 
 | ref      = БСЭ, Математика
}}</ref>:
* [[үлсәм теорияһы]], төп инструмент сифатында [[Күмәклек үлсәме|күмәклек үлсәме]] һәм [[Үлсәнмәле функция| үлсәнмәле функция]] төшөнсәләре ҡулланыла, уларҙың нигеҙендә, классик анализдағынан дөйөмөрәк ысулдар менән, интеграллау һәм дифференциаллау индерелә һәм өйрәнелә, үҙенсәлекле рәүештә йыйылыусанлыҡ төшөнсәһе индерелә,  өҙөклө функцияларҙың киң класы өйрәнелә;
* ысын үҙгәреүсәнле функцияларҙың дескриптив теорияһы, функцияларҙы [[Күмәклектәрҙең дескриптив теорияһы|күмәклектәрҙең дескриптив теорияһы]] саралары менән классификациялауҙы өйрәнә (төп нәтижәһе — [[Бэр кластары]]);
* функцияларҙың конструктив теорияһы, ысын үҙгәреүсәнле функцияларҙың [[Яҡынлауҙар теорияһы|яҡынлашыу]] һәм [[Интерполяция|интерполяция]] мәсьәләләрен тикшерә ([[Чебышёв, Пафнутий Львович|Чебышёвтың]] һәм [[Бернштейн, Сергей Натанович|Бернштейндың]] хеҙмәттәрендә үҫеш алған{{Sfn|Математика|1956|c=56|loc=§7. Современная математика // А. Д. Александров)}}).

== Комплекслы үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы ==
{{main|Комплекслы анализ}}
Комплекслы үҙгәреүсәнле функциялар теорияһының өйрәнеү предметы — [[Комплекслы яҫылыҡ|комплекслы яҫылыҡта]] <math>\Complex^1</math> йәки комплекслы <math>\Complex^n</math> Евклид арауығында бирелгән һанлы функциялар, шуның менән бергә математик анализдың ысынбарлыҡта бөтә тармаҡтары өсөн мөһим бәйләүсе роль уйнаған [[Аналитик функция|аналитик функциялар]] ентекләп өйрәнелә. Атап әйткәндә, аналитик функция төшөнсәһе ирекле [[Банах арауығы|Банах арауыҡтары]] өсөн дөйөмләштерелә, шуның менән комплекслы үҙгәреүсәнле функциялар теорияһының күп нәтижәләре функциональ анализда дөйөмләштереү таба.

== Функциональ анализ ==
{{main|Функциональный анализ}}
Функциональ анализ бүлек булараҡ, уларҙың өйрәнеү предметы булып [[топологик векторлы арауыҡ]]тар һәм уларға һалынған төрлө алгебраик һәм топологик шарттар менән уларҙың сағылышы тороуы менән характерлана. {{Sfn|Дьёдонне|1981|p=1|loc=One may give many definitions of «Functional Analysis». Its name might suggest that it contains all parts of mathematics which deal with functions, but that would practically mean all mathematical Analysis. We shall adopt a narrower definition: for us, it will be the study of topological vector spaces and of mappings <math>u: \Omega \to F</math> from a part <math>\Omega</math> of a topological vector space <math>E</math> into a topological vector space <math>F</math>, these mappings being assumed to satisfy various algebraic and topological conditions}}. Функциональ анализда функциональ арауыҡтар үҙәк роль уйнайҙар, классик миҫал — <math>p</math>-сы дәрәжәһе интегралланыусы бөтә [[Үлсәнмәле функция|үлсәнмәле функцияларҙың]] [[Lp (арауыҡ)|<math>L^p</math> арауыҡтары]]; был ваҡытта <math>L^2</math> — сикһеҙ үлсәмле арауыҡ ([[Гильберт арауығы]]), һәм сикһеҙ үлсәнешле арауыҡтар функциональ анализға шул тиклем хас, хатта ҡайһы берҙә бөтә бүлек математиканың сикһеҙ үлсәмле арауыҡтарҙы һәм уларҙың сағылыштарын өйрәнеүсе өлөшө һымаҡ билдәләнә<ref>{{БСЭ3|Функциональный анализ}}</ref>. Функциональ анализдың классик бүлектәрендә арауыҡтарҙың мөһим формаһы булып [[Банах арауығы|Банах арауыҡтары]] — метрика буйынса тулы, норма менән барлыҡҡа килтерелгән, нормалаштырылған векторлы арауыҡтар торалар: практикала әһәмиәтле арауыҡтарҙың күпселек өлөшө шундай, улар араһында — бөтә Гильберт арауыҡтары, <math>L^p</math> арауыҡтар, [[Харди арауыҡтары]], [[Соболев арауыҡтары]]. Функциональ анализда Банах арауыҡтары булған алгебраик структуралар мөһим роль уйнайҙар — [[Банах рәшәткәһе|Банах рәшәткәләре]] һәм [[Банах алгебраһы|Банах алгебралары]] (шул иҫәптән — {{iw|C*-алгебра|<math>C^*</math>-алгебралар|en|C*-algebra}}, [[фон Нейман алгебраһы|фон Нейман алгебралары]]).

[[Сикләнгән һыҙыҡлы оператор|Сикләнгән һыҙыҡлы операторҙарҙы]] өйрәнеүсе [[операторҙар теорияһы]] — функциональ анализдың эре аҫбүлеге, ул [[спектраль теория]]ны, төрлө операторҙар кластары теорияһын (айырып әйткәндә, [[компактлы оператор|компактлы]], [[Фредгольм операторы|Фредгольм]], [[йомоҡ оператор]]ҙар), махсус нормалаштырылған арауыҡтарҙа операторҙар теорияларын (Гильберт арауыҡтарында — [[үҙ эйәртеүле оператор|үҙ эйәртеүле]], [[нормаль оператор|нормаль]], [[унитар оператор|унитар]], [[ыңғайй оператор (Гильберт арауығы)|ыңғай]] операторҙар, функциональ арауыҡтарҙа — [[дифференциаль оператор|дифференциаль]], [[псевдодифференциаль оператор|псевдодифференциаль]], [[интеграль оператор|интеграль]] һәм [[псевдоинтеграль оператор|псевдоинтеграль]] операторҙар һәм башҡалар), [[инвариантлы аҫарауыҡ|инвариантлы аҫарауыҡтар]] теорияһын , операторҙар кластары теорияһын — [[операторлы алгебра|операторлы алгебралар]], [[операторлы ярым төркөм|операторлы ярым төркөмдәр]] һәм башҡаларҙы үҙ эсенә ала.

== Вариацион иҫәпләмә ==
{{main|Вариацион иҫәпләмә}}
Вариацион иҫәпләмәнең төп өйрәнең объекты — [[функционал вариацияһы|функционалдар вариациялары]], улар ярҙамында бер йәки бер нисә үҙгәреүсән функцияларҙы һайлауға бәйле экстремаль мәсьәләләр сығарыла. Типик вариацион мәсьәлә — ниндәйҙер бирелгән функционалдың стационарлыҡ шартын ҡәнәғәтләндереүсе функцияны эҙләп табыу, йәғни шундай функцияны, уның сикһеҙ бәләкәй ҡуҙғыуы функционалдың һис юғы бәләкәйлектең беренсе тәртибендә үҙгәрешен тыуҙырмай. Классик вариацион иҫәпләмә физиканың күп бүлектәренә ҙур инструменталь йоғонто яһай ([[механиканың вариацион принциптарында]], шулай уҡ [[Электродинамика|электродинамикала]], [[Квант механикаһы|квант механикаһында]] киң ҡулланыу таба). [[Оптималь идара итеү теорияһы]] — вариацион иҫәпләмә ысулдарын мәсьәләләрҙең әһәмиәтле киң класына ҡулланыу: идара итеүсе параметрҙар сикке ҡиммәттәрҙе лә ҡабул итә алған шарттарҙа, системаларҙың иң яҡшы параметрҙарын билдәләү.

== Гармоник анализ ==
{{main|Гармоник анализ}}
Гармоник анализдың төп  принцибы — анализ мәсьәләләрен [[Гармоник функция|гармоник функциялар]] һәм уларҙың дөйөмләштереүҙәре өсөн инструменттар менән тикшереүгә ҡайтарып ҡалдырыу. Классик гармоник анализ төп саралары сифатында [[Тригонометрик рәт|тригонометрик рәттәр]], [[Фурье үҙгәртеүе|Фурье үҙгәртеүҙәре]], {{iw|Периодик тиерлек функция|периодик тиерлек функциялар|en|Almost periodic function}}, [[Дирихле рәте|Дирихле рәттәре]] теорияларын үҙ эсенә ала<ref>{{Из|МЭ|http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/993/|заглавие=Гармонический анализ|автор=Е. М. Никитин}}</ref>.

Абстрактлы гармоник анализда абстрактлы структуралар өсөн классик ысулдар [[Хаар үлсәме]] һәм [[Төркөм күрһәтмәһе|төркөм күрһәтмәләре]] кеүек төшөнсәләр ҡулланып дөйөмләштерелгән<ref>{{Из|МЭ|http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/994/|заглавие=Гармонический анализ абстрактный|автор=Е. А. Горин, А. И. Штерн}}</ref>. Коммутатив гармоник анализдың иң мөһим нәтижәһе — [[Понтрягин ҡаршылыҡлығы|Понтрягиндың ҡапма-ҡаршылыҡлығы тураһында теорема]], уның арҡаһында гармоник анализдың бөтә классик һөҙөмтәләре сағыштырмаса ябай дөйөм алгебраик ысулдар менән тасуирланалар. Теорияның артабанғы үҫеше — [[Квант механикаһы|квант механикаһына]] мөһим ҡушымталары булған коммутатив булмаған гармоник анализ.

== Дифференциаль һәм интеграль тигеҙләмәләр ==
[[Дифференциаль тигеҙләмә|Дифференциаль тигеҙләмәләр]] менән бәйле анализда ике төп йүнәлеш айырылып сыға — [[Ябай дифференциаль тигеҙләмә|ябай дифференциаль тигеҙләмәләр]] теорияһы һәм [[Айырым сығарылмаларҙа дифференциаль тигеҙләмә|айырым сығарылмаларҙа дифференциаль тигеҙләмәләр]] теорияһы (уҡыу материалдарында һәм ҡайһы бер классификацияларҙа «математик физика тигеҙләмәләре» тип йөрөтөлә, сөнки бындай класс тигеҙләмәләрен тикшереү  [[Математик физика|математик физиканың]] төп  тултырыуын тәшкил итә).

{{Якорь|Интеграль тигеҙләмәләр теорияһы}} [[Интеграль тигеҙләмәләр]] теорияһында, сығарыуҙың классик ысулдарынан тыш, [[Фредгольм теорияһы]] кеүек, функциональ анализдың үҙ аллы бүлек булараҡ формалашыуына һиҙелерлек йоғонто яһаусы, айырып әйткәндә, [[Гильберт арауығы]] төшөнсәһе барлыҡҡа килеүгә булышлыҡ итеүсе йүнәлештәр айырылып тора.

== Динамик системалар теорияһы һәм эргодическая теория ==
Дифференциаль тигеҙләмәләрҙе өйрәнеүҙең төп йүнәлештәренән үҙ аллы бүлектәр сифатында, механик системаларҙың ваҡыт эсендә үҙгәрешен өйрәнеүсе [[динамик системалар теорияһы]], һәм, [[Статистик физика|статистик физиканы]] нигеҙләүгә йүнәлтелгән [[эргодическая теория]] айырыла. Мәсьәләләрҙең ҡулланма характерҙа булыуына ҡарамаҫтан, был бүлектәргә дөйөм матемик әһәмиәтле төшөнсәләрҙең һәм ысулдарҙың киң ҡатламы ҡарай, атап әйткәндә, [[Тотороҡлолоҡ (динамик системаның)|тотороҡлолоҡ]] һәм [[Эргодичность|эргодичность]] төшөнсәләре шундайҙар.

== Глобаль анализ ==
{{Falseredirect|Глобаль анализ}}
'''Глобаль анализ''' — анализдың, функцияларҙы һәм дифференциаль тигеҙләмәләрҙе [[Төрлөлөк|төрлөлөктәрҙә]] һәм [[Векторлы ҡатламланыу|векторлы ҡатламланыуҙарҙа]] өйрәнеүсе бүлеге<ref>{{статья
 |автор         = [[Смейл, Стивен|Smale S.]]
 |заглавие      = What is Global Anaysis?
 |ссылка        = 
 |язык          = en
 |издание       = American Mathematical Monthly
 |тип           = 
 |год           = 1969
 |том           = 76
 |номер         = 1
 |страницы      = 4—9
 |doi           = 10.2307/2316777
 |issn          = 0002-9890
}}</ref>; ҡайһы берҙә был йүнәлеш «төрлөлөктәрҙә анализ» тип билдәләнә.

Глобаль анализдың тәүге йүнәлештәренең береһе — [[Морс теорияһы]] һәм уның [[Риман төрлөлөгө|Риман төрлөлөктәрендә]] [[Геодезик|геодезик]] тураһында мәсьәләләргә ҡулланылыуы; йүнәлеш «дөйөм вариацион иҫәпләмә» исеме ала. Төп һөҙөмтәләре — шыма функцияларҙың шыма төрлөлөктәрҙә үҙгәрмәгән үҙенсәлекле нөктәләрҙә үҙен тотошон тасуирлаусы [[Морс леммаһы]], һәм [[Люстерник — Шнирельман категорияһы]] кеүек шундай гомотопик инвариант. Конструкцияларҙың һәм раҫлауҙарҙың күбеһе сикһеҙ үлсәүле төрлөлөктәр осрағына дөйөмләштерелгән ({{iw|Гильберт төрлөлөгө|Гильберт төрлөлөктәре|en|Hilbert manifold}}, {{iw|Банах төрлөлөгө|Банах төрлөлөлөктәре|en|Banach manifold}}). Айырым нөктәләрҙе глобаль анализлау сиктәрендә алынған нәтижәләр саф топологик мәсьәләләрҙе сисеү өсөн киң ҡулланыу таптылар, шулай, мәҫәлән, математиканың үҙ аллы бүлеге — [[K-теория|<math>K</math>-теория]] өсөн нигеҙ булып хеҙмәт итеүсе {{iw|Боттың периодлылыҡ теоремаһы||en|Bott periodicity theorem}}, шулай уҡ [[h-кобордизм тураһында теорема|<math>h</math>-кобордизм тураһында теорема]], уның эҙемтәһе булып [[Пуанкаре гипотезаһы|Пуанкаре гипотезаһының]] 4-тән ҙурыраҡ үлсәнеш өсөн үтәлеүе тора.

Глобаль анализ йүнәлештәренең, физикала һәм иҡтисадта киң ҡулланыу алған тағын бер эре блогы — [[үҙенсәлектәр теорияһы]], [[бифуркациялар теорияһы]] һәм [[катастрофалар теорияһы]]; был блок тикшеренеүҙәренең төп йүнәлеше — [[Һынылыш нөктәһе (математика)|һынылыш нөктәләре]] эргә-яғында дифференциаль тигеҙләмәләрҙең йәки функцияларҙың үҙ-үҙен тотошон классификациялау һәм ярашлы кластарҙың характерлы үҙенсәлектәрен асыҡлау.

== Стандарт булмаған анализ ==
{{Main|Стандарт булмаған анализ}}
Стандарт булмаған анализ — анализдың төп төшөнсәләрен [[математик логика]] саралары менән формализациялау, төп идея — сикһеҙ ҙур һәм сикһеҙ бәләкәй дәүмәлдәрҙе формаль [[Актуаль сикһеҙлекте абстракциялау|актуалләштереү]],һәм улар менән манипуляцияларҙы логик формалләштереү. Был ваҡыттаа стандарт булмаған анализдың саралары бик уңайлы булып сыға: улар ярҙамында, элек күрһәтмәлелектең етешмәүе арҡаһында классик саралар менән табылмаған һөҙөмтәләр алынған<ref name="dragalin"/>.

Стандарт булмаған анализ ике йүнәлешкә бүленә: [[Моделдәр теорияһы|теоретик-моделле]] инструменттар ҡулланыусы семантик һәм  [[Күмәклектәр теорияһы|күмәклектәр теорияһының]] төрлө төрҙәге киңәйтеүҙәрен ҡулланыусы синтаксик йүнәлештәр. Семантик  йүнәлеш үҙсәнлектәрҙе моделдәрҙең урындағы өлөштәренән бөтә моделгә күсерергә мөмкинлек биреүсе [[Мальцевтың локаль теоремаһы]]на нигеҙләнә{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|с=11|loc=А. Робинсон опирался на локальную теорему А. И. Мальцева, выделяя её как результат «основополагающего значения для нашей теории»}}. Стандарт булмаған анализдың семантик йүнәлешенең эре үҙ аллы тармағы бар — {{iw|Буль ҡиммәтле модель|en|Boolean-valued model}}{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|c=xii}} төшөнсәһе тирәләй барлыҡҡа килтерелгән Буль ҡиммәтле анализ. Синтаксик йүнәлеш {{iw|Эске күмәклектәр теорияһы|эске күмәклектәр теорияһына|en|Internal set theory}} нигеҙләнә, уның төп идеяһы стандарт булмаған элементтарҙы һәм стандартлылыҡ  предикатын индереү, һәм уларға  хас сифаттарҙы аксиомалаштырыу. Синтаксик формализацияның икенсе варианты — {{Нп5|Күмәклектәрҙең альтернатив теорияһы||en|Alternative set theory}}<ref>{{книга
 |автор         = П. Вопенка
 |заглавие      = Математика в альтернативной теории множеств
 |оригинал      = Mathematics in The Alternative Set Theory
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = перевод А. Драгалина
 |издание       = 
 |место         = М.
 |издательство  = Мир
 |год           = 1983
 |страниц       = 152
 |серия         = Новое в зарубежной математике
 |isbn          = 
 |тираж         = 6000
}}</ref>.

== Ҡушымталар ==
{{В планах|дата=31 октября 2016}}

== Иҫкәрмәләр ==
{{Иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==
* {{книга
 | автор         = 
 | заглавие      = Математика, её содержание, методы и значение
 | ответственный = [[Александров, Александр Данилович|А. Д. Александров]], [[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогоров]], [[Лаврентьев, Михаил Алексеевич|М. А. Лавреньтев]]
 | место         = М.
 | издательство  = Издательство Академии наук СССР
 | год           = 1956
 | том           = 1
 | страниц       = 296
 | тираж         = 7000
 | ref           = Математика
}}
* {{БСЭ3
 | статья   = Математика
 | автор    = [[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогоров]]
 | ref      = БСЭ, Математика1978
}}
* {{книга
 |автор         = Гордон Е. И., Кусраев А. Г., [[Кутателадзе, Самсон Семёнович|Кутателадзе С. С.]]
 |заглавие      = Инфинитезимальный анализ: избранные темы
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = М. 
 |издательство  = Наука
 |год           = 2011
 |страниц       = 398
 |серия         = 
 |isbn          = 978-5-02-036137-9
 |тираж         = 
 |ref           = Гордон, Кусраев, Кутателадзе
}}
* {{книга
 | автор         = [[Дьёдонне, Жан|Dieudonné, J.]]
 | заглавие      = History of Functional Analysis
 | место         = Amsterdam
 | издательство  = North Holland
 | год           = 1981
 | allpages      = 314
 | серия         = Notas de Matematica, vol. 77
 | isbn          = 0-444-84148-3
 | тираж         = 
 | ref           = Дьёдонне
}}

{{Математиканың бүлектәре}}

[[Категория:Математик анализ|*]]