Векторлы анализ битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{Ук}}
'''Ве́кторлы ана́лиз''' — математиканың, ҡағиҙә булараҡ ике- йәки өс үлсәмле арауыҡта [[математик анализ]] ысулдарын [[Вектор (математика)|векторҙарға]] таратыусы бүлеге.

== Ҡулланыу өлкәһе ==
Векторлы анализды ҡулланыу объекттары булып торалар:
* [[Векторлы ялан]]дар — бер [[векторлы арауыҡ]]тың башҡаларына [[сағылыш]]тары.
* [[Скаляр ялан]]дар — [[векторлы арауыҡ|векторлы арауыҡтарҙа]] функциялар.

Векторлы анализ күберәк [[физика]]ла һәм [[инженерия]]ла ҡулланыла. Векторлы ысулдарҙың традицион координаталар ысулынан төп өҫтөнлөгө булып тора:
# компактлыҡ. Бер векторлы тигеҙләмә бер нисә координаталы тигеҙләмәне берләштерә, һәм уны өйрәнеү йышыраҡ, векторҙарҙы координаталы яҙыуға алмаштырмайынса, туранан-тура алып барылырға мөмкин.
# Инвариантлыҡ. Векторлы тигеҙләмә [[координаталар системаһы]]на бәйле түгел һәм теләһә ниндәй уңайлы координаталар системаһында еңел генә координаталы яҙыуға үҙгәртелә.
# Асыҡлыҡ. Векторлы анализдың [[Дифференциаль оператор|дифференциаль операторҙары]] һәм уларҙы бәйләгән нисбәттәр, ҡағиҙә булараҡ, ябай һәм аныҡ физик интерпретацияға эйә.

== Векторлы операторҙар ==
Иң йыш ҡулланылған векторлы операторҙар:
* [[Ротор (математика)|Ротор]] һәм [[дивергенция]] — векторлы яландар өсөн.
* [[Градиент]] — скаляр яландар өсөн.
* [[Лапласиан]] — скаляр һәм векторлы яландар өсөн.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!Оператор !! Тамғаланышы !! Тасуирлама !! Тип
|-
![[Градиент]]
| <math> \operatorname{grad}(f) = \nabla f </math> ||Скаляр яландың иң тиҙ үҫеү тиҙлеген һәм йүнәлешен билдәләй.|| Скаляр <math>\Rightarrow </math> вектор
|-
! [[Дивергенция]]
| <math> \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} </math> ||Векторлы яландың таралыусанлығын, сығанаҡтарын һәм ағымдарын ҡылыҡһырлай. || Вектор <math>\Rightarrow </math> скаляр
|-
! [[Ротор (математика)|Ротор]]
| <math> \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} </math> ||Векторлы яландың өйөрмәле компонентын ҡылыҡһырлай. || Вектор <math>\Rightarrow </math> вектор
|-
! [[Лапласиан]]
| <math> \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f </math> ||Дивергенцияның градиент менән берләштерелеүе. || Скаляр <math>\Rightarrow </math> скаляр
|-
![[Лапластың векторлы операторы|Векторлы Лапласиан]]
|<math>{\displaystyle \Delta \mathbf {A} =
{\Delta }A_{x}\mathbf {i} +
{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +
{\Delta }A_{z}\mathbf {k} }
</math><ref>В. Г. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович «Математический словарь высшей школы». Издательство МПИ 1984. Статья «Оператор Лапласа» и «Ротор векторного поля».</ref>
|
|Вектор <math>\Rightarrow </math> вектор
|}
<math> \operatorname{grad}(f)= \nabla f = 
\frac{\partial f }{\partial x}\mathbf i+
\frac{\partial f }{\partial y}\mathbf j+
\frac{\partial f }{\partial z}\mathbf k </math>

<math> \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} =
\frac{\partial F_x}{\partial x}
+\frac{\partial F_y}{\partial y}
+\frac{\partial F_z}{\partial z} </math>

<math> \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}=
\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}=
\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf i+
\left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf j+
\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf k </math>

<math> \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f = 
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}
+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} </math>

<math>\Delta \mathbf{A}  = 
{\Delta }A_{x}\mathbf {i} +
{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +
{\Delta }A_{z}\mathbf {k} =

\biggl(\frac{\partial^2 A_x}{\partial x^2}
+\frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2}
+\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf i+
\biggl(\frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2}
+\frac{\partial^2 A_y}{\partial y^2}
+\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf j+
\biggl(\frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2}
+\frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2}
+\frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf k
</math>

== Икенсе тәртиптәге дифференциаль операциялар ==
{| class="wikitable"
|+
!
!Скаляр ялан <math>f=f(x,y,z)</math>
! colspan="2" |Векторлы ялан <math>\mathbf{A}    = 
A_{x}\mathbf {i} +
A_{y}\mathbf {j} +
A_{z}\mathbf {k}
</math>
|-
|
|<math> \operatorname{grad} </math>
|<math> \operatorname{div} </math>
|<math> \operatorname{rot} </math>
|-
|<math> \operatorname{grad} </math>
|
|<math> \operatorname{grad} \operatorname{div} (\mathbf{A})=\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf{A}) </math>
|
|-
|<math> \operatorname{div} </math>
|<math> \operatorname{div}\operatorname{grad}(f)=\nabla \cdot \nabla f=\nabla^2 f=\Delta f </math>
|
|<math> \operatorname{div}\operatorname{rot}(\mathbf{A})=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})=0 </math>
|-
|<math> \operatorname{rot} </math>
|<math> \operatorname{rot}\operatorname{grad}(f)=\nabla \times (\nabla f)=0 </math>
|
|<math> \operatorname{rot}\operatorname{rot}(\mathbf{A})=\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=
\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf{A}) - (\nabla \cdot \nabla) \cdot \mathbf{A}=
\operatorname{grad} \operatorname{div} \mathbf{A} - \Delta \mathbf{A} </math>
|}
Был операциялар икенсе тәртиптәге дифференциаль операциялар тип аталалар, сөнки улар скаляр йәки вектор функцияларҙы икеләтә дифференциаллауға ҡайтып ҡалалар (формаль рәүештә: уларҙың символик яҙылышында Гамильтон операторы {displaystyle Delta} {displaystyle Delta} ике тапҡыр була)<ref>В. Г. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович «Математический словарь высшей школы». Издательство МПИ 1984. Статья «Дифференциальные операции второго порядка».</ref>

== Төп бәйләнештәр ==
Бында векторлы яҙылышта күп үлсәмле анализдың мөһим теоремаларының ҡыҫҡаса мәғлүмәте килтерелә.
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Теорема !! Яҙылышы !! Аңлатма
|-
! Градиент тураһында теорема
| <math> \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}. </math> || Скаляр яландың градиентынан кәкре һыҙыҡлы интеграл кәкре һыҙыҡтың сик нөктәләрендәге ялан ҡиммәттәре айырмаһына тиң.
|-
! [[Грин теоремаһы]]
| <math>\oint\limits_{C} L\, dx + M\, dy = \iint\limits_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA</math> || Йомоҡ яҫы контур буйынса кәкре һыҙыҡлы интеграл контур менән сикләнгән өлкә буйынса икеләтә интегралға үҙгәртелергә мөмкин.
|-
! [[Стокс теоремаһы]]
| <math> \int\limits_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint\limits_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, </math> || Векторлы яландың роторынан йөҙ интегралы был өҫкө йөҙ сиге буйынса әйләнешкә тиң.
|-
! [[Остроградский — Гаусс теоремаһы]]
| <math>\iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S},</math> || Вектор яланының дивергенцияһынан күләм интегралы сик йөҙө аша шул яландың [[Вектор яланы ағымы|ағымына]] тигеҙ.
|}

== Тарихи очерк ==
Векторҙарҙы тәүге тапҡыр У. Гамильтон 1843 йылда кватерниондарҙы (уларҙың өс үлсәмле уйҙырма өлөшө булараҡ) асыу менән бәйле индерә. Ике монографияла (1853, 1866 йылдарҙа, үлгәндән һуң) Гамильтон вектор һәм вектор функция төшөнсәһен индерә, <math>\nabla</math> {displaystyle nabla} {displaystyle nabla} («набла», 1846) дифференциаль операторын һәм векторлы анализдың башҡа бик күп төшөнсәләрен тасуирлай. 

Яңы объекттар өҫтөнән операциялар сифатында [[скаляр ҡабатлау|скаляр]] һәм [[векторлы ҡабатлау]]ҙы билдәләй, улар кватерниондар өсөн тик алгебраик (уларҙы ғәҙәти ҡабатлағандағы) килеп сығалар.

Шулай уҡ Гамильтон векторҙарҙың [[Коллинеарлыҡ|коллинеарлығы]] һәм [[Компланарлыҡь|компланарлығы]], векторлы тройканың йүнәлеше һ. б. төшөнсәләрҙе индерә.

Максвеллдың беренсе хеҙмәттәрендә ҡулланылған (1873) векторлы символиканың компактлылығы һәм инвариантлығы физиктарҙы ҡыҙыҡһындыра; оҙаҡламай Гиббстың «Элементы векторного анализа» (1880-се йылдар) хеҙмәте донъя күрә, ә һуңынан Хевисайд ([[1903]]) векторлы иҫәпләүгә заманса ҡиәфәт бирә. 

Шуныһы иғтибарға лайыҡ: Максвеллдың хеҙмәттәрендә үк кватернион терминологияһы юҡ тиерлек, ғәмәлдә уны тик векторлы терминология алмаштыра. «Векторлы анализ» терминын Гиббс (1879) үҙенең лекциялар курсында тәҡдим итә.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
{{colbegin|3}}
* [[Вектор-функция]]
* [[Векторлы иҫәпләмә]]
* [[Градиент]]
* [[Дивергенция]]
* [[Дифференциаль геометрия]]
* [[Набло операторы]]
* [[Поверхность]]
* [[Ротор (математика)|Ротор]]
* [[Векторлы анализ формулалары]]
* [[Гельмгольциан]]
* [[Даламбер операторы]]
{{colend}}

== Әҙәбиәт ==
* {{статья |автор=Александрова Н. В. |заглавие=Формирование основных понятий векторного исчисления.
|издание=[[Историко-математические исследования]] |номер=26 |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]
|место=М. |год=1982 |страницы=205—234 }}
* ''Борисенко А. И., Тарапов И. Е.'' Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
* ''Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И.'' Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
* ''Кумпяк Д. Е.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kumpyak2007ru.djvu Векторный и тензорный анализ.]{{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140227152843/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kumpyak2007ru.djvu |date=2014-02-27 }} Учебное пособие. Тверь: [[Тверской государственный университет|Тверской гос. университет]], 2007, 158 с.
* ''Мак-Коннел А. Дж.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Mak-Konnel1963ru.djvu Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике.]{{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140227152944/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Mak-Konnel1963ru.djvu |date=2014-02-27 }} М.: [[Физматлит]], 1963, 411 с.
* ''[[Фихтенгольц Г. М.]]'' Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — {{М}}: [[Наука (издательство)|Наука]], 1966.
* В. Г. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович «Математический словарь высшей школы». Издательство МПИ 1984.

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр}}

== Һылтанмалар ==
* [http://www.math.mipt.ru/study/literature/kovalenk.pdf Л. И. Коваленко, ''Элементы векторного анализа'' — МФТИ 2001 (pdf)]{{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060523010515/http://www.math.mipt.ru/study/literature/kovalenk.pdf |date=2006-05-23 }}
* [http://www.astronet.ru:8104/db/msg/1174842 Статья по векторному анализу на ''Astronet'']{{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20050516171530/http://www.astronet.ru:8104/db/msg/1174842 |date=2005-05-16 }}

{{вс}}
{{Разделы математики}}

[[Категория:Векторлы анализ|*]]