Векторлы ҡабатландыҡ битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

[[Файл:Cross product vector.svg|thumb|right|250px|Өс үлсәмле Евклид арауығында векторлы ҡабатландыҡ]]
[[Өс үлсәмле арауыҡ|Өс үлсәмле]] [[Евклид арауығы]]нда ике [[Вектор (геометрия)|векторҙың]] '''векторлы ҡабатландығы''' ({{lang-ru|Векторное произведение}}) — бирелгән ике векторға [[Ортогоналлек|перпендикуляр]] вектор, [[Векторҙың модуле|оҙонлоғо]] һан ҡиммәте буйынса бирелгән векторҙар төҙөгән [[Параллелограмм|параллелограмдың]] [[майҙан]]ына тигеҙ, ә ике йүнәлештең береһен һайлау ошолай башҡарыла, векторҙарҙың ҡабатландығында торған һәм килеп сыҡҡан векторҙарҙан тәртип буйынса төҙөлгән тройка уң булырға тейеш{{переход|#Правые и левые тройки векторов в трёхмерном евклидовом пространстве}}. [[Коллинеарлыҡ|Коллинеар]] векторҙарҙың (айырым алғанда, әгәр ҡабатлашыусыларҙың береһе булһа ла — [[нуль вектор]] булһа) векторлы ҡабатландығы нуль векторға тигеҙ тип иҫәпләнә.

Шулай итеп, ике векторҙың векторлы ҡабатландығын билдәләү өсөн арауыҡта [[ориентация]] бирергә, йәғни ниндәй өс вектор — уң, ә ниндәйе һул булып тороуын әйтергә кәрәк. Шул уҡ мәлдә ҡаралған арауыҡта ниндәй ҙә булһа [[координаталар системаһы]] биреү мотлаҡ түгел. Атап әйткәндә, бирелгән арауыҡ ориентацияһында векторлы ҡабатландыҡтың һөҙөмтәһе ҡаралған координаталар системаның уң йәки һул булыу-булмауына бәйле түгел. Шул уҡ мәлдә векторлы ҡабатландыҡтың координаталарын бирелгән векторҙар координаталары аша сағылдырыусы формулалар уң һәм һул ортонормалашҡан [[тура мөйөшлө координаталар системаһы]]нда тамғалары менән айырыла.

Векторлы ҡабатландыҡ [[коммутативлыҡ]] һәм [[Ассоциативлыҡ (математика)|ассоциативлыҡ]] үҙсәнлектәренә эйә түгел. Ул [[Антикоммутативлыҡ|антикоммутатив]] һәм, [[векторҙарҙың скаляр ҡабатландығы]]нан айырмалы рәүештә, һөҙөмтә тағы ла вектор була.

Векторҙарҙың перпендикулярлығын «үлсәү» өсөн файҙалы — ике векторҙың векторлы ҡабатландығының [[Векторҙың модуле|модуле]], әгәр улар перпендикуляр булһа, уларҙың модулдәренең ҡабатландығына тигеҙ, һәм әгәр векторҙар [[Коллинеарлыҡ|коллинеар]] булһа, нулгә тиклем кәмей.

Күп кенә техник һәм физик ҡушымталарҙа киң ҡулланыла. Мәҫәлән, [[импульс моменты]] һәм [[Лоренц көсө]] математик векторлы ҡабатландыҡ күренешендә яҙылалар.

== Тарихы ==
Векторлы ҡабатландыҡ У. Гамильтон тарафынан [[1846 йыл]]да<ref>{{книга|автор=Crowe M. J.|заглавие=A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System|год=1994|издательство=Courier Dover Publications|страниц=270|страницы=32|isbn=0486679101|ссылка=https://books.google.lt/books?id=y5-S5dmVqGIC&pg=PA32}}</ref> кватерниондар менән бәйле, [[скаляр ҡабатландыҡ]] менән бер үк ваҡытта, скаляр өлөшө нулгә тигеҙ булған ике кватерниондың ҡабатландығының ярашлы рәүештә векторлы һәм скаляр өлөшө булараҡ индерелә<ref>{{статья|автор=Hamilton W. R.|заглавие=On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra|издание=Philosophical Magazine. 3rd Series|год=1846|место=London|том=29|страницы=30|ссылка=https://archive.org/details/londonedinburghp29lond}}</ref>.

== Билдәләмә ==
[[Өс үлсәмле арауыҡ|Өс үлсәмле]] [[Евклид арауығы]]нда <math>\vec{a}</math> векторының <math>\vec{b}</math> векторына '''векторлы ҡабатландығы''' тип түбәндәге шарттарҙы ҡәнәғәтләндергән <math>\vec{c}</math> векторы атала:
* <math>\vec{c}</math> векторының оҙонлоғо <math>\vec{a}</math> һәм <math>\vec{b}</math> векторҙарының оҙонлоҡтарының улар араһындағы [[мөйөш]] [[Тригонометрик функциялар|синусына]] ҡабатландығына (йәғни <math>\vec{a}</math> һәм <math>\vec{b}</math> векторҙары төҙөгән параллелограмм майҙанына) тигеҙ;
* <math>\vec{c}</math> векторы <math>\vec{a}</math> һәм <math>\vec{b}</math> векторҙарының һәр береһенә [[ортогоналлек|ортогональ]];
* <math>\vec{c}</math> векторы, <math>\vec{a},\vec{b},\vec{c}</math> өс векторы уң{{переход|#Правые и левые тройки векторов в трёхмерном евклидовом пространстве}} булырлыҡ итеп йүнәлгән.
Тамғалауҙар:
: <math> \vec{c} 
= 
[ \vec{a} \vec{b} ] 
= 
[ \vec{a},\; \vec{b} ] 
= 
\vec{a} \times \vec{b}
=
\vec{a}\wedge\vec{b}.</math>

== Өс үлсәмле Евклид арауығында векторҙарҙың уң һәм һул өслөһө ==
[[Файл:Right hand rule cross product.svg|right|thumb|250px|[[Уң ҡул ҡағиҙәһе]] ярҙамында векторлы ҡабатландыҡтың йүнәлешен табыу]]
[[Өс үлсәмле арауыҡ|Өс үлсәмле]] [[Евклид арауығы]]нда [[Компланарлыҡ|компланар булмаған]] ([[Һыҙыҡлы бәйһеҙлек|һыҙыҡлы бәйле булмаған]]) өс тәртипкә һалынған <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> векторҙарын ҡарайыҡ. [[Ориентация|ориентирланған]] арауыҡта ошондай өс вектор йә «уң», йә иһә «һул» буласаҡ.


=== Геометрик билдәләмә ===
Векторҙарҙың башын бер нөктәгә туплайбыҙ. Өс үлсәмле арауыҡта тәртипкә һалынған өс [[компланарлыҡ|компланар булмаған]] <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> векторҙары, әгәр <math>\vec{c}</math> векторының осонан <math>\vec{a}</math> векторынан <math>\vec{b}</math> векторына иң ҡыҫҡа боролош күҙәтеүсегә [[сәғәт уғына ҡаршы]] күренһә, '''уң''' тип атала. Һәм киреһенсә, әгәр иң ҡыҫҡа боролош күҙәтеүсегә [[сәғәт уғы йүнәлешендә]] күренһә, тройка '''һул''' тип атала.

=== Ҡул ярҙамында билдәләмә ===
Икенсе билдәләмә кешенең уң ҡулы менән бәйле, исеме шунан килеп сыҡҡан да инде. Һүрәттә өс <math>\vec{a}</math>, <math>\vec{b}</math>, <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> векторҙары '''уң'''.

== Үҙсәнлектәре ==

=== Векторлы ҡабатландыҡтың геометрик үҙсәнлектәре ===
[[Файл:Cross product parallelogram.svg|right|thumb|250px|{{nbsp}}1 һүрәт: Параллелограмдың майҙаны векторлы ҡабатландыҡтың модуленә тигеҙ]]
[[Файл:Parallelepiped volume - dot and cross products.svg|thumb|250px|{{nbsp}}2 һүрәт: Векторҙарҙың векторлы һәм скаляр ҡабатландыҡтарын ҡулланғанда параллелепипед күләме; пунктир һыҙыҡтар {{math|'''c'''}} векторының {{math|'''a''' × '''b'''}} векторына һәм {{math|'''b''' × '''c'''}} векторының {{math|'''a'''}} векторына проекцияларын күрһәтәләр, Беренсе аҙым булып векторлы ҡабатландыҡты табыу тора (уның модуле ҡырҙарҙың береһенең майҙанына тигеҙ), икенсе аҙым булып скаляр ҡабатландыҡты табыу тора (ул параллепипед күләменә тигеҙ).]]
* Ике нулдән айырмалы векторҙың [[коллинеарлыҡ|коллинеарлығының]] кәрәкле һәм етерлек шарттары булып уларҙың векторлы ҡабатландығының нулгә тигеҙ булыуы тора.
* <math>[\vec{a},\;\vec{b}]</math> векторлы ҡабатландығының модуле уртаҡ башланғыс нөктәгә килтерелгән <math>\vec{a}</math> һәм <math>\vec{b}</math> векторҙарында төҙөлгән [[параллелограмм]]дың майҙаны <math>S</math>-ҡа тигеҙ (һүрәтте ҡарағыҙ {{nbsp}}1).
* Әгәр <math>\vec{e}</math> — <math>\vec{a}</math> һәм <math>\vec{b}</math> векторҙарына ортогональ [[берәмек вектор]] һәм өс <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{e}</math> векторы — уң булырлыҡ итеп һайлап алынған булһа, ә <math>S</math> — уларҙа (уртаҡ башланғыс нөктәгә килтерелгән) төҙөлгән [[параллелограмм]]дың майҙаны булһа, ул саҡта векторлы ҡабатландыҡ өсөн түбәндәге формула дөрөҫ:
: <math>
  [ \vec{a},\; \vec{b}] = S\cdot \vec{e}. </math>
* Әгәр <math>\vec{c}</math> — ниндәйҙерь вектор, <math>\pi</math> — был вектор ингән теләһә ниндәй яҫылыҡ, <math>\vec{e}</math> — <math>\pi</math> яҫылығында ятҡан һәм <math>\vec{c}</math>-ға ортогональ берәмек вектор, <math>\vec{g}</math> — <math>\pi</math> яҫылығына ортогональ һәм өс <math>\vec{e},\vec{c},\vec{g}</math> векторҙары уң булырлыҡ итеп йүнәлгән берәмек вектор булһа, ул саҡта <math>\pi</math> яҫылығында ятҡан теләһә ниндәй <math>\vec{a}</math> векторы өсөн түбәндәге формула дөрөҫ:
: <math>
  [\vec{a},\; \vec{c}] = \mathrm{Pr}_{\vec{e}}\vec{a}\cdot |\vec{c}|\cdot \vec{g}.
  </math>
* Векторлы һәм скаляр ҡабатландыҡты ҡулланғанда, уртаҡ башланғыс нөктәгә килтерелгән '''a''', '''b''' һәм '''c''' векторҙарында төҙөлгән параллелепипедты күләмен иҫәпләргә мөмкин ({{nbsp}}2 һүрәтен ҡарағыҙ). Бындай өс векторҙың ҡабатландығы [[ҡатнаш ҡабатландыҡ|ҡатнаш]] тип атала.
: <math>V = |\langle \vec{a},\; [\vec{b},\; \vec{c}]\rangle|.</math>
Һүрәттә был күләмде ике ысул менән табырға мөмкин булыуы күрһәтелгән: геометрик һөҙөмтә хатта «скаляр» һәм «векторлы» ҡабатландыҡтарҙы урындары менән алмаштырғанда ла һаҡлана:
: <math>V =\langle[\vec{a},\; \vec{b}],\; \vec{c}\rangle = \langle\vec{a},\; [\vec{b},\; \vec{c}]\rangle.</math>

Векторлы ҡабатландыҡтың дәүмәле башланғыс векторҙар араһындағы мөйөш [[синус (функция)|синусына]] бәйле, шуға күрә векторлы ҡабатландыҡ, [[скаляр ҡабатландыҡ]] «параллеллек» дәрәжәһе итеп ҡарала алған кеүек, векторҙарҙың «перпендикулярлыҡ» дәрәжәһе итеп ҡабул ителергә мөмкин. Ике [[Берәмек вектор|берәмек векторҙың]] векторлы ҡабатландығы, әгәр башланғыс векторҙар перпендикуляр булһа 1-гә (берәмек векторға) тигеҙ, һәм әгәр векторҙар параллель йәки кире параллель (коллинеар) булһа, 0-гә (нуль векторға) тигеҙ.

=== Векторлы ҡабатландыҡтың алгебраик үҙсәнлектәре ===
Артабан <math>\vec{a}</math> һәм <math>\vec{b}</math> векторҙарының  векторлы һәм [[скаляр ҡабатландыҡ]]тарын  ярашлы рәүештә  <math> [\vec{a},\;\vec{b}] </math> һәм <math> \langle\vec{a},\;\vec{b}\rangle </math> тип тамғалана.
{| class="wikitable" style="text-align: left; text-valign: top; margin:2px 2px 2px 2px;"
! style="text-align: left; background-color: #eef; line-height:18px;" | '''Яҙылышы'''
| style="text-align: left; background-color: #eef; line-height:18px;" | '''Тасуирлама'''
|-
|<math> [\vec{a},\;\vec{b}] =-[\vec{b},\vec{a}] </math>
|[[Антикоммутативлыҡ]].
|-
|<math> [\alpha\cdot \vec{a},\;\vec{b}] 
= 
[\vec{a},\; \alpha\cdot \vec {b} ] 
= 
\alpha\cdot [ \vec{a},\; \vec{b}] </math>
|Скалярға ҡабатлауҙың [[Ассоциативлыҡ (математика)|Ассоциативлығы]].
|-
|<math> [  \vec{a} + \vec{b} ,\; \vec c] = [ \vec a,\; \vec c ]+[ \vec b,\; \vec c] </math>
|Ҡушыу буйынса [[дистрибутивлыҡ]].
|-
|<math> [ [ \vec a,\; \vec b ],\; \vec c ] + [ [ \vec b,\; \vec c ],\; \vec a ] + [[\vec c, \vec a ],\; \vec b ]= \vec 0 </math>
|[[Якоби тождествоһы]].
|-
|<math> [ \vec a,\; \vec a ] =\vec 0 </math>
|
|-
|<math> [ \vec a,\; [\vec b,\; \vec c ] ]
=
\vec b \cdot\langle\vec a,\; \vec c\rangle 
- 
\vec c \cdot\langle\vec a,\; \vec b\rangle</math>
|«БАЦ минус ЦАБ» формулаһы, [[Икеле векторлы ҡабатландыҡ|Лагранж тождествоһы]].
|-
|<math> |[\vec a, \, \vec b]|^2 + \langle\vec a, \, \vec b\rangle^2 = |\vec a|^2 \cdot|\vec b|^2</math>
|[[Кватернион]]дар нормаһының мультипликативлығының айырым осрағы.
|-
|<math>\langle[\vec a, \, \vec b], \, \vec c\rangle = \langle\vec a, \, [\vec b, \, \vec c]\rangle</math>
|Был аңлатманың ҡиммәтен <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> [[Векторҙарҙың ҡатнаш ҡабатландығы|векторҙарының ҡатнаш ҡабатландығы]] тип атайҙар.
|}

== Аңлатма координаталарҙа ==

=== Уң ортонормалаштырылған базиста ===
Әгәр ике <math>\vec a</math> һәм <math>\vec b</math> векторҙары уң [[ортонормалаштырылған базис|ортонормалаштырылған базиста]]

: <math> \vec a = (a_x,\; a_y,\; a_z), </math>
: <math>\vec b = (b_x,\; b_y,\; b_z), </math>

координаталары менән күрһәтелһәләр, ул саҡта уларҙың векторлы ҡабатландығының координаталары түбәндәгесә:

: <math>
[ \vec a,\; \vec b ] = (a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x).
</math>

Был формуланы иҫтә ҡалдырыу өсөн мнемоник [[билдәләүсе]]не ҡулланыу уңайлы:

: <math>
[ \vec a,\; \vec b ] = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix},
</math>

бында <math>
\mathbf i = (1, 0, 0)
</math>, <math>
\mathbf j = (0, 1, 0)
</math>, <math>
\mathbf k = (0, 0, 1)
</math>, йәки
: <math>
[ \vec a,\; \vec b ]_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{i j k} a_j b_k,
</math>
бында <math>\varepsilon_{i j k}</math> — [[Леви-Чивита символы]].

=== Һул ортонормалаштырылған базиста ===
Әгәр базис һул ортонормалаштырылған булһа, ул саҡта уларҙың векторлы ҡабатландығының координаталары түбәндәгесә:

: <math>
[ \vec a,\; \vec b ] = (a_z b_y - a_y b_z,\; a_x b_z - a_z b_x,\; a_y b_x - a_x b_y).
</math>

Иҫтә ҡалдырыу өсөн, оҡшаш рәүештә:

: <math>
[ \vec a,\; \vec b ] = - \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix},
</math>

йәки
: <math>
[ \vec a,\; \vec b ]_i = - \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{i j k}\cdot  a_j\cdot  b_k.
</math>

Һул координаталар системаһы өсөн формулаларҙы уң  координаталар системаһы өсөн формулаларҙан, шул уҡ <math>\vec a</math> һәм <math>\vec b</math> векторҙарын ярҙамсы уң  координаталар системаһында яҙып табырға була (<math>\mathbf i' = \mathbf i, \mathbf j' = \mathbf j, \mathbf k' = - \mathbf k</math>):

: <math>
[ \vec a,\; \vec b ] = \begin{vmatrix} \mathbf i' & \mathbf j' & \mathbf k' \\ a'_x & a'_y & a'_z \\ b'_x & b'_y & b'_z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & -\mathbf k \\ a_x & a_y & -a_z \\ b_x & b_y & -b_z \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}.
</math>

=== Ирекле аффинлы (ҡыя мөйөшлө) координаталар системаһында ===
Векторное Ирекле <math>O\vec e_1 \vec e_2 \vec e_3</math> [[Аффинлы координаталар системаһы|аффинлы координаталар системаһында]] вкторлы ҡабатландыҡтың координаталары

<math>[ \vec a,\; \vec b ] = \begin{vmatrix} [ \vec e_2,\; \vec e_3 ] &  [ \vec e_3,\; \vec e_1 ] & [ \vec e_1,\; \vec e_2 ] \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}.</math>


== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
'''Произведения векторов'''
* [[Псевдоскалярное произведение]] (только на плоскости!)
* [[Скалярное произведение векторов]]
* [[Смешанное произведение|Смешанное (скалярно-векторное) произведение векторов]] (только в <math>\mathbb{R}^{3}</math>)
* [[Двойное векторное произведение|Двойное (векторно-векторное) произведение векторов]] (только в <math>\mathbb{R}^{3}</math>)
* [[Векторное произведение в семимерном пространстве]]
'''Другое'''
* [[Ротор (математика)|Ротор]]
* [[Дивергенция]]

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==
*# ''Кочин Н. Е.'' Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. АН СССР: Изд-во «НАУКА», М. 1965.

== Һылтанмалар ==
{{Навигация}}
* [http://uk.arxiv.org/abs/math.la/0204357 Многомерное векторное произведение]{{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150905192839/http://uk.arxiv.org/abs/math.la/0204357 |date=2015-09-05 }}
* [http://mathhelpplanet.com/static.php?p=vektornoe-proizvedenie-vektorov-i-yego-svoistva Векторное произведение и его свойства. Примеры решения задач]{{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110223084521/http://mathhelpplanet.com/static.php?p=vektornoe-proizvedenie-vektorov-i-yego-svoistva |date=2011-02-23 }}
* {{cite web|lang=|url=https://www.youtube.com/watch?v=37bZluYOgY8|title=Правое и левое вращение|website=|description=Физические демонстрации|author=В. И. Гервидс|date=10.03.2011|publisher=[[НИЯУ МИФИ]]|accessdate=2011-05-03|archive-date=2015-12-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20151223081331/https://www.youtube.com/watch?v=37bZluYOgY8|deadlink=no}}

{{Вектора и матрицы}}

[[Категория:Аналитик геометрия]]
[[Категория:Векторлы анализ]]
[[Категория:Биһыҙыҡлы операторҙар]]