Гаусс ысулы битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{другие значения|Метод Гаусса (оптимизация)}}
'''Гаусс ысулы''' — [[Һыҙыҡлы алгебраик тигеҙләмәләр системаһы|һыҙыҡлы алгебраик тигеҙләмәләр системаһын]] (ҺАТС) сығарыуҙың классик ысулы. Немец математигы [[Гаусс Карл Фридрих|Карл Фридрих Гаусс]] хөрмәтенә аталған. Был [[Үҙгәреүсән дәүмәл|үҙгәреүсәндәрҙе]] эҙмә-эҙ бөтөрөү ысулы, элементар үҙгәртеүҙәр ярҙамында тигеҙләмәләр системаһы өсмөйөшлө күренештәге тиң көслө системаға килтерелә, унан эҙмә-эҙ, һуңғыһынан башлап (номеры буйынса), системаның бөтә үҙгәреүсәндәре табыла<ref>''Н. Ш. Кремер'', 2.3. «Метод Гаусса», стр. 44</ref>.

== Тарихы ==
Хәҙерге ваҡытта был ысул бөтә ерҙә лә Гаусс ысулы тип аталһа ла, ул [[Гаусс, Карл Фридрих|К. Ф. Гауссҡа]] тиклем билдәле була. Был ысулдың беренсе билдәле булған тасуирланышы — «[[Математика в девяти книгах]]» исемле ҡытай трактатында.<ref>{{статья
 |автор         = Grcar Joseph F.
 |заглавие      = How ordinary elimination became Gaussian elimination
 |издание       = Historia Mathematica
 |выпуск        = 2
 |том           = 38
 |страницы      = 163–218
 |doi           = 10.1016/j.hm.2010.06.003
 |arxiv         = 0907.2397
 |pmid          = 
 |ref           =
}}</ref>

== Ысулдың тасуирламаһы ==
Башта бирелгән система ошондай күренештә булһын, ти:

: <math>\left\{\begin{array}{lcr}
a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n &=& b_1 \\
\ldots & & \\
a_{m1}x_1+\ldots+a_{mn}x_n &=& b_m \\
\end{array}\right.
</math>
Уны [[Матрица (математика)|матрицалы]] күренештә яҙырға мөмкин:
: <math>Ax = b,</math>
бында
: <math>A=\left( \begin{array}{ccc}
a_{11} & \ldots & a_{1n}\\
\ldots &  &  \\
a_{m1} & \ldots & a_{mn}
\end{array}\right),\quad x = \left( \begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right), \quad b = \left( \begin{array}{c}b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right).\quad (1)</math>

<math>A</math> матрицаһы системаның төп матрицаһы тип атала, <math>b</math> — ирекле быуындар бағанаһы.

Ул саҡта, юлдар өҫтөндә [[матрицаны элементар үҙгәртеүҙәр|элементар үҙгәртеүҙәр]] үҙсәнлегенә ярашлы, был системаның төп матрицаһын баҫҡыслы күренешкә килтерергә мөмкин (шул уҡ үҙгәртеүҙәрҙе ирекле быуындар бағанаһына ҡулланырға кәрәк):

: <math>\left\{\begin{array}{rcl}
\alpha_{1j_1}x_{j_1}+\alpha_{1j_2}x_{j_2}+\ldots+\alpha_{1j_r}x_{j_r}+\ldots+\alpha_{1j_n}x_{j_n} &=& \beta_1 \\
                     \alpha_{2j_2}x_{j_2}+\ldots+\alpha_{2j_r}x_{j_r}+\ldots+\alpha_{2j_n}x_{j_n} &=& \beta_2 \\
                                                                                               &\ldots& \\
                                                 \alpha_{rj_r}x_{j_r}+\ldots+\alpha_{rj_n}x_{j_n} &=& \beta_r \\
                                                                                                0 &=& \beta_{r+1} \\
                                                                                               &\ldots& \\
                                                                                                0 &=& \beta_m
\end{array}\right.,</math>
бында <math>\alpha_{1j_1},\ldots,\alpha_{rj_r}\neq 0.</math>

Был ваҡытта, төп матрицаның [[Минор (һыҙыҡлы алгебра)|базислы миноры]] (нуль булмаған иң ҙур тәртиптәге [[Минор (һыҙыҡлы алгебра)|минор]]) өҫкө һул мөйөштә урынлашҡан тип иҫәпләйбеҙ, йәғни уға <math>x_{j_1},\ldots,x_{j_r}</math> үҙгәреүсәндәренең коэффициенттары ғына инә<ref>Такого расположения минора можно добиться перестановкой столбцов основной матрицы и соответствующей перенумерацией переменных.</ref>.

Ул саҡта <math>x_{j_1},\ldots,x_{j_r}</math> үҙгәреүсәндәре ''төп үҙгәреүсәндәр'' тип аталалар. Бөтә ҡалғандары ''ирекле'' тип аталалар.

Әгәр бер генә һан булһа ла <math>\beta_i\neq 0</math> булһа, бында <math>i > r</math>, ул саҡта бирелгән система [[Һыҙыҡлы алгебраик тигеҙләмәләр системаһы|уртаҡ түгел]], йәғни уның бер генә лә сығарылышы юҡ.
Теләһә ниндәй <math>i > r</math> өсөн <math>\beta_i = 0</math> булһын.

Ирекле үҙгәреүсәндәрҙе тигеҙлек тамғаһының икенсе яғына сығарабыҙ һәм системаның һәр тигеҙләмәһен иң һулдағы <math>x</math> (<math>\alpha_{ij_i},\, i=1,\ldots,r</math>, бында <math>i</math> — юл номеры) алдындағы үҙенең коэффициентына бүләбеҙ:

: <math>\left\{\begin{array}{rcc}
x_{j_1}+\widehat{\alpha}_{1j_2}x_{j_2}+\ldots+\widehat{\alpha}_{1j_r}x_{j_r}&=& \widehat{\beta}_1-\widehat{\alpha}_{1j_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots- \widehat{\alpha}_{1j_n}x_{j_n} \\
                     x_{j_2}+\ldots+\widehat{\alpha}_{2j_r}x_{j_r}&=& \widehat{\beta}_2-\widehat{\alpha}_{2j_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots- \widehat{\alpha}_{2j_n}x_{j_n} \\
                                                           &\ldots& \\
                                                       x_{j_r}&=& \widehat{\beta}_r-\widehat{\alpha}_{rj_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots- \widehat{\alpha}_{rj_n}x_{j_n} \\
\end{array}\right., \qquad \widehat{\beta}_i=\frac{\beta_i}{\alpha_{ij_i}},\quad \widehat{\alpha}_{ij_k}=\frac{\alpha_{ij_k}}{\alpha_{ij_i}}\quad (2)</math>, <br>
бында <math>i=1,\ldots,r,\quad k=i+1,\ldots,n.</math>

Әгәр (2) системаның ирекле үҙгәреүсәндәренә бөтә мөмкин булған ҡиммәттәрҙе биреп һәм яңы системаны аҫтан өҫкә төп үҙгәреүсәндәргә ҡарата сығарһаҡ (йәғни аҫтағы тигеҙләмәнән өҫкөһөнә), ул саҡта беҙ был [[ҺАТС]]-тың бөтә сығарылыштарын табырбыҙ. Был система баштағы система (1) өҫтөндә [[Матрицаны элементар үҙгәртеүҙәр|элементар үҙгәртеүҙәр]] ярҙамында алынғанлыҡтан, элементар үҙгәртеүҙәрҙә эквивалентлыҡ тураһында теорема буйынса (1) һәм (2) системалар эквивалентлы, йәғни уларҙың сығарылыштары күмәклектәре тап киләләр.

{{message box |backgroundcolor = white |image =Logo_arte.jpg |size = 50px| heading=Эҙемтәләр:|message=
1: Әгәр уртаҡ системала бөтә үҙгәреүсәндәр ҙә төп үҙгәреүсән булһа, бындай система  аныҡ тип атала. <br>
2: Әгәр системала үҙгәреүсәндәр һаны тигеҙләмәләр һанынан артып китһә, ул саҡта бындай система йә аныҡ булмаған була, йә  уртаҡ түгел.}}

=== Уртаҡлыҡ критерийы ===
Бөтә <math>i > r</math> өсөн юғарыла телгә алынған <math>\beta_i= 0</math> шарты уртаҡлыҡтың кәрәкле һәм етерлек шарты сифатында әйтеп бирелергә мөмкин:

Иҫкә төшөрәбеҙ, уртаҡ системаның рангы тип уның төп матрицаһының рангы атала (йәки киңәйтелгән матрицаһының, сөнки улар тигеҙ).

{{message box |backgroundcolor = white |image =Logo_arte.jpg |size = 50px| heading=[[Кронекер — Капелли теоремаһы]].|message=
[[ҺАТС|Система]] уртаҡ шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр уның төп матрицаһының [[матрица рангы|рангы]] уның киңәйтелгән  матрицаһының  рангына тигеҙ булһа. <br>
'''Эҙемтә:''' <br>
* Төп үҙгәреүсәндәр һаны системаның  рангына тигеҙ һәм уның сығарылышына бәйле түгел.
* Әгәр уртаҡ системаның рангы был системаның үҙгәреүсәндәр һанына тигеҙ булһа, шул саҡта ул аныҡ була.}}

=== Алгоритм ===
Блок схема һүрәттә бирелгән. Был һүрәт программаны С/С++ телендә, бында a — киңәйтелгән матрица, яҙыуға яраҡлаштырылған, уның һуңғы бағанаһы — ирекле быуындар бағанаһы. Юлдар һаны — n. [[Файл:Gauss structogram.png|thumb|ҺАТС сығарыу өсөн Гаусс алгоритмы]]

==== Тасуирлау ====
[[ҺАТС]] сығарыу өсөн Гаусс алгоритмы ике этапҡа бүленә.
* Беренсе этапта тура йөрөш тормошҡа ашырыла, юлдар өҫтөндә [[матрицаны элементар үҙгәртеүҙәр|элементар үҙгәртеүҙәр]] юлы менән системаны һикәлтәле йәки [[Өсмөйөшлө матрица|өсмөйөшлө формаға]] килтерәләр, йәки система уртаҡ түгел икәнен асыҡлайҙар. Атап әйткәндә, матрицаның беренсе бағанаһының элементтары араһында нулдән айырмалыһын һайлап алалар, уны юлдарҙы алмаштырып ҡуйып өҫтәге иң ситтәге урынға күсерәләр һәм алмаштырып ҡуйғандан һуң килеп сыҡҡан беренсе юлды, һәр юлдың беренсе элементының беренсе юлдың беренсе элементына сағыштырмаһына тигеҙ булған дәүмәлгә ҡабатлап, ҡалған юлдарҙан алалар, шуның менән уның аҫтындағы бағананы нулгә әйләндерәләр. Был үҙгәртеү башҡарылғандан һуң, беренсе юлды һәм беренсе бағананы күңелдән генә сыйып ташлайҙар һәм шундай үҙгәртеүҙәрҙе нуль үлсәмле матрица ҡалғанға тиклем дауам итәләр. Әгәр итерацияларҙың ҡайһыһындалыр беренсе бағананың элементтары араһында нулдән айырмалы элемент булмаһа, артабанғы бағанаға күсәләр һәм шундай уҡ операцияны башҡаралар.
* Икенсе этапта кире йөрөш тормошҡа ашырыла, уның асылы, бөтә килеп сыҡҡан базислы үҙгәреүсәндәрҙе базислы булмағандар аша күрһәтеүҙән һәм [[сығарылыштарҙың фундаменталь системаһы]]н төҙөүҙән, йәки, әгәр бөтә үҙгәреүсәндәр ҙә базислы булһалар, һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһының берҙән бер сығарылышын һанлы күренештә күрһәтеүҙән ғибәрәт. Был процедура һуңғы тигеҙләмәнән башлана, унан ярашлы базислы үҙгәреүсәнде (ә ул унда берәү генә) табалар һәм алдағы тигеҙләмәгә ҡуялар, һәм шулай артабан, «һикәлтәләр» буйлап өҫкә күтәрелеп дауам итәләр. Һәр юлға теүәл бер базислы үҙгәреүсән ярашлы, шуға күрә һәр аҙымда, һуңғыһынан башҡа (иң өҫтәге), хәл һуңғы юл осрағын теүәл ҡабатлай.
Гаусс ысулы арифметик операцияларҙың <math>O(n^{3})</math> булыуын талап итә.

Был ысул таяна:
{{message box |backgroundcolor = white |image =Logo_arte.jpg |size = 50px| heading=Теоремаға (матрицаларҙы һикәлтәле күренешкә килтереү тураһында).|message= Теләһә ниндәй матрицаны тик юлдар өҫтөндә элементар үҙгәртеүҙәр ярҙамында һикәлтәле күренешкә килтерергә мөмкин.}}

==== Иң ябай осраҡ ====
Иң ябай осраҡта алгоритм ошолай күренә: <br>
: <math>
\left\{\begin{array}{lcc} 
a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots + a_{1n} \cdot x_n & = b_1 & (1) \\ 
a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots + a_{2n} \cdot x_n & = b_2 & (2) \\ 
\ldots  & & \\
a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots + a_{mn} \cdot x_n & = b_m & (m) 
\end{array}\right.
</math>

* Тура йөрөш:
: <math>\begin{array}{ccc}
(2)\to (2)-(1) \cdot ( \frac {a_{21}}{a_{11}}) &:& a_{22}^{\prime} \cdot x_2 + a_{23}^{\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{2n}^{\prime} \cdot x_n = b_2^{\prime} \\
(3)\to (3)-(1) \cdot ( \frac {a_{31}}{a_{11}}) &:& a_{32}^{\prime} \cdot x_2 + a_{33}^{\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{3n}^{\prime} \cdot x_n = b_3^{\prime} \\
\ldots & & \\
(m)\to (m)-(1) \cdot ( \frac {a_{m1}}{a_{11}}) &:& a_{m2}^{\prime} \cdot x_2 + a_{m3}^{\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{mn}^{\prime} \cdot x_n = b_n^{\prime} \\
(3)\to (3)-(2) \cdot ( \frac {a_{32}^{\prime}}{a_{22}^{\prime}}) &:& a_{33}^{\prime\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{3n}^{\prime\prime} \cdot x_n = b_3^{\prime\prime} \\
\ldots & & \\
(m)\to (m)-(m-1) \cdot ( \frac {a_{m,n-1}^{(m-2)}}{a_{m-1,n-1}^{(m-2)}}) &:& a_{mm}^{(m-1)} \cdot x_m + \ldots + a_{mn}^{(m-1)} \cdot x_n = b_m^{(m-1)}
\end{array}</math>

* Кире йөрөш. Һуңғы нулдән айырмалы тигеҙләмәнән базислы үҙгәреүсәнде базислы булмағандар аша күрһәтәбеҙ һәм алдағы тигеҙләмәгә ҡуябыҙ. Был процедураны бөтә базислы үҙгәреүсәндәр өсөн ҡабатлап, фундаменталь сығарылышты табабыҙ.

=== МИҫал ===
<!-- Әгәр һеҙҙең был миҫал буйынса шикләнеүҙәрегеҙ булһа, фекерләшеү битендә яҙығыҙ. Правки цифер без пояснения будут откачены не глядя. — X7q -->
Нисек Гаусс ысулы менән системаны сығарырға мөмкин икәнен күрһәтәбеҙ:
: <math>\left\{\begin{array}{ccc}2x + y - z &=& 8 \\
-3x - y + 2z &=& -11 \\
-2x + y + 2z &=& -3 \end{array}\right.</math>

Икенсе һәм өсөнсө юлдарҙа <math>x</math>-тың коэффициенттарын нулгә әйләндерәбеҙ. Бының өсөн уларға, ярашлы рәүештә <math>\textstyle\frac{3}{2}</math> һәм <math>1</math>-гә ҡабатланған беренсе юлды ҡушабыҙ:
: <math>\left\{\begin{array}{rcc}
2x + y - z &=& 8 \\
\frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z &=& 1 \\
2y + z &=& 5 \end{array}\right.</math>

Хәҙер өсөнсө юлда, унан <math>4</math>-кә ҡабатланған икенсе юлды алып, <math>y</math>-тең коэффициентын нулгә әйләндерәбеҙ:
: <math>\left\{\begin{array}{rcc}
2x + y - z &=& 8 \\
\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} z &=& 1 \\
-z &=& 1 \\ \end{array}\right.</math>

Һөҙөмтәлә беҙ бирелгән системаны [[өсмөйөшлө матрица|өсмөйөшлө күренешкә]] килтерҙек, шуның менән алгоритмдың беренсе этабын тамамланыҡ.

Икенсе этапта килеп сыҡҡан тигеҙләмәләрҙе кире тәртиптә сығарабыҙ. Табабыҙ: <br>
: <math>z = -1</math> өсөнсөнән;
: <math>y = 3</math> табылған <math>z</math>-те ҡуйып, икенсе тигеҙләмәнән
: <math>x = 2</math> табылған <math>z</math> һәм <math>y</math>-те ҡуйып, беренсе тигеҙләмәнән.

Шулай итеп баштағы система сығарылды.

Уртаҡ системала тигеҙләмәр һаны билдәһеҙҙәр һанынан кәм булған осраҡта, яуап [[сығарылыштарҙың фундаменталь системаһы]] күренешендә яҙыла.

== Ҡулланылышы һәм модификациялары ==
[[ҺАТС]] аналитик юл менән сығарыуҙан башҡа, Гаусс ысулы ҡулланыла:
* бирелгән матрицаға кире матрицаны табыу өсөн (матрицаға уңдан бирелгән матрица кеүек үк үлсәмдәге [[берәмек матрица]] өҫтәп яҙыла: <math>[A|E]</math>, унан һуң <math>A</math> [[Гаусс — Жордан ысулы|Гаусс—Жордан ысулы менән]] берәмек матрица күренешенә килтерелә; һөҙөмтәлә тәүҙәге берәмек матрица урынына уңда бирелгән матрицаға [[кире матрица]]: <math>[E|A^{-1}]</math> хасил була);
* [[матрица рангы]]н асыҡлау өсөн ([[Кронекер-Капелли теоремаһы]]нан эҙемтәгә ярашлы [[матрица рангы]] уның төп үҙгәреүсәндәре һанына тигеҙ);
* техник ҡушымталарҙа ҺАТС һанлы сығарыу өсөн (иҫәпләүҙәрҙең хатаһын кәметеү өсөн, төп элементты айырып алып, Гаусс ысулы ҡулланыла, уның асылы шунан ғибәрәт, һәр аҙымда төп үҙгәреүсән сифатында, сираттағы юлдарҙы һәм бағаналарҙы һыҙып ташлағандан һуң, тороп ҡалғандар араһында ҡайһыһының алдында модуле буйынса максималь булған коэффициент тора, шул үҙгәреүсән һайлана).

== Ысулдың яҡшы яҡтары ==
* Сикле үлсәмле матрицалар өсөн, башҡа ысулдар менән сағыштырғанда, әҙерәк хеҙмәт талап итә.
* Система уртаҡмы әллә юҡмы икәнен асыҡларға, һәм әгәр уртаҡ булһа, уның сығарылышын табырға мөмкинлек бирә.
* Максималь һандағы һыҙыҡлы бәйһеҙ тигеҙләмәләр — системаның [[матрица рангы]]н табырға мөмкинлек бирә <ref>''Н. Ш. Кремер'', 2.4. «Система ''m'' линейных уравнений с ''n'' переменными», стр. 49</ref>.

== Гаусс ысулының тотороҡлолоғо ==
[[Бәйләнгәнлек һаны|Насар бәйләнгән]] коэффициенттар матрицалары өсөн Гаусс ысулы [[Иҫәпләү тотороҡлолоғо|иҫәпләүгә тотороҡһоҙ]]. Мәҫәлән, [[Гильберт матрицаһы]] өсөн ысул был матрицаларҙың ҙур булмаған үлсәмдәре өсөн дә ҙур хаталарға килтерә. Иҫәпләү хатаһын тик шартлы тотороҡло булған, төп элементты айырып алып Гаусс ысулын ҡулланыу ярҙамында ғына кәметергә мөмкин <ref>[http://hghltd.yandex.net/yandbtm?fmode=envelope&url=http%3A%2F%2Fwww.rfe.bsu.by%2Fmedia%2Fkafedry%2Fkaf4%2Fpublication%2Fchis-met%2Flekcija03.pdf&lr=213&tld=ru&lang=ru&text=устойчив%20ли%20метод%20Гаусса&l10n=ru&mime=pdf&sign=7c21439bc3dee522d702a1400a92485c&keyno=0 УСТОЙЧИВОСТЬ И ТОЧНОСТЬ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ]{{Недоступная ссылка|date=Октябрь 2018 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>. Гаусс ысулын киң ҡулланыу практикала насар бәйләнгән матрицаларҙың һирәк осрауы менән бәйле.

== Гаусс ысулының ҡулай булмауы ==
[[1969 йыл]]да [[Штрассен, Фолькер|Штрассен]], ҙур матрицаларҙы <math>O(n^{\log_2{7}}) = O(n^{2{,}81})</math> тиклем ваҡытта ҡабатлап була икәнен иҫбат иткән.{{source-ref|Q21694537}} Ошонан, матрицаларҙы әйләндереүҙе һәм ҺАТС сығарыуҙы Гаусс ысулына ҡарағанда тәртип буйынса асимптотик шәберәк алгоритмдар менән тормошҡа ашырырға мөмкин булыуы килеп сыға. Шулай итеп, ҙур ҺАТС өсөн Гаусс ысулы тиҙлек буйынса оптималь түгел.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
[[Һыҙыҡлы алгебра]]
* [[Гаусс-Жордан ысулы]]
* [[Крамер ысулы]]
* [[Һыҙыҡлы алгебраик тигеҙләмәләр системаһы]]
* [[Кронекер-Капелли теоремаһы]]
* [[Сығарыуҙарҙың фундаменталь системаһы]]
* [[Матрицаны элементар үҙгәртеүҙәр]]
[[Оптимизация ысулдары]]
* [[Гаусс ысулы (оптимизация)]]
* [[Координаталар иҫәбенсә төшөү ысулы (Гаусс—Зейдель)]]
[[Һанлы ысулдар]]
* [[Һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһын сығарыуҙың Гаусс - Зейдель ысулы]]
* [[Якоби ысулы]]

== Иҫкәрмәләр ==
<references/>

== Әҙәбиәт ==
<!-- Литература из Математической энциклопедии:
Gauss С. P., Beitrage zur Theorie der algebraischen Gleictumgen, Gott., 1849; 
Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971; 
Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд , М.-Л., 1963; 
Черников С. Н., Линейные неравенства, М., 1968. . С. Н. Черников.
-->
* {{Из|МЭ|http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/1017 }}
* {{книга|автор = Ильин В. А., Позняк Э. Г.| название= ''Линейная алгебра: Учебник для вузов'' | издание=6-е изд., стер|место= М.|издательство =ФИЗМАТЛИТ|год= 2004|страниц= 280}}
* {{книга|автор = Амосов А. А.,  Дубинский Ю. А., Копченова Н. П.|заглавие = Вычислительные методы для инженеров|оригинал = |ссылка  
|издание = |место =  М.|издательство = Мир|год = 1998|страницы =|isbn = }}
* {{книга|автор = Бахвалов Н. С., [[Жидков, Николай Петрович|Жидков Н. П.]], Кобельков Г. Г.|заглавие = Численные методы|оригинал = |ссылка = |издание = 8-е изд|место =  М.|издательство = Лаборатория Базовых Знаний|год = 2000|страницы =|isbn = }}
* {{книга|автор = Волков Е. А.|заглавие = Численные методы|оригинал = |ссылка = |издание =|место =  М.|издательство = Физматлит|год = 2003|страницы =|isbn = }}
* {{книга|автор = Корн Г., Корн Т.|заглавие = Справочник по математике для научных работников и инженеров|оригинал = |ссылка = |издание = |место =  М.|издательство = Наука|год = 1970|страницы = 575-576|isbn = }}
* {{книга
 |автор         = Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н.
 |часть         = 
 |заглавие      = Высшая математика для экономистов
 |оригинал      = 
 |ссылка        = 
 |издание       = 3-е изд
 |ответственный = Под ред. Н. Ш. Кремера
 |место         = М.
 |издательство  = ЮНИТИ-ДАНА
 |год           = 2007
 |том           = 
 |страницы      = 
 |страниц       = 479
 |isbn          = 5-238-00991-7
}}


{{Методы решения СЛАУ}}

[[Категория:ҺАТС сығарыу ысулдары]]
[[Категория:Карл Фридрих Гаусс]]