Комплекслы һан битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{Ук}}

<div style="float:right; width: 250px; text-align: center; font-size: 300%; "><math>i^2=-1</math></div>
[[Файл:A plus bi.svg|мини|230px|Комплекслы һанды геометрик һүрәтләү <math>z=a+bi</math>]]
'''Ко́мпле́кслы<ref>Ике баҫым түбәндәге сығанаҡтарға ярашлы күрһәтелгән.
* [[Большая советская энциклопедия]], 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья '''Ко́мпле́ксные числа'''.
* Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья '''Ко́мпле́ксное число'''.
* Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».
* В [[Большая российская энциклопедия|Большой российской энциклопедии]] (том 14, 2010 год) приводятся варианты: '''Компле́ксное число''' (стр. 691), но '''Ко́мплексный анализ''' (стр. 695).
* Орфографический словарь русского языка (изд. 6-е, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь [[РАН|Российской академии наук]] под ред. В. В. Лопатина (изд. 4-е, 2013) и ряд других словарей указывают варианты: «'''ко́мплексный'''» и «'''компле́ксный''' (матем.)».</ref> һандар''' (от {{lang-la|complex}} — берҙәм, тығыҙ бәйләнгән{{sfn |Справочник по элементарной математике|2006|с=211, подстрочное примечание}}) — <math>a+bi</math> күренешендәге һандар, бында <math>a,b</math> — [[ысын һан]]дар, <math>i</math> — [[уйланма берәмек]]<ref name=MAT>{{книга |часть=Комплексное число |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=2 |год=1979 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |страницы=1007}}</ref>, йәғни, <math>i^2=-1</math> тигеҙлеге үтәлгән һан. «Комплекслы һан» терминын фәнгә [[Гаусс Карл Фридрих|Гаусс]] 1831 йылда индерә{{sfn |Справочник по элементарной математике|2006|с=211, подстрочное примечание}}. Комплекслы һандар күмәклеге ғәҙәттә {{nbsp}}<math>\mathbb{C},</math> символы менән тамғалана, ул <math>\mathbb{R}</math> ысын һандар күмәклеген үҙ эсенә ала һәм уның киңәйеүе тип ҡаралырға мөмкин. Комплекслы һандар системаһы ҡапма-ҡаршылыҡһыҙ{{переход|#Логические основания}} булыуы иҫбат ителгән.

Ысын һандар кеүек үк, комплекслы һандар өсөн дә ҡушыу{{переход|#Сложение и вычитание}}, алыу, ҡабатлау{{переход|#Умножение}} һәм бүлеү{{переход|#Деление}} ғәмәлдәре билдәләнгән. Ләкин комплекслы һандарҙың күп үҙсәнлектәре ысын һандар үҙсәнлектәренән айырыла; мәҫәлән, ике комплекслы һандың ҡайһыһы ҙурыраҡ йәки бәләкәйерәк икәнлеген әйтеп булмай{{переход|#Основные отличия комплексных чисел от вещественных}}. Алгебраик яҙылыштағы комплекслы һандарҙы [[Комплекслы яҫылыҡ|комплекслы яҫылыҡта]]{{переход|#Геометрическое представление}} нөктәләр рәүешендә күрһәтеү уңайлы; мәҫәлән, эйәртеүле һандарҙы һүрәтләү өсөн көҙгөләгесә сағылыу операцияһы ҡулланыла{{переход|#Сопряжённые числа}}. Альтернативалы комплекслы һандарҙың тригонометрик яҙылышы дәрәжәләрҙе һәм тамырҙарҙы{{переход|#Формула Муавра и извлечение корней}} иҫәпләү өсөн уңайлы булып сыға.

Иң тәүҙә комплекслы һандарҙы ҡулланыу кәрәклеге идеяһы [[кубик тигеҙләмә|кубик тигеҙләмәләрҙе]] формаль сығарыу һөҙөмтәһендә барлыҡҡа килә, был осраҡта [[Кардано формулаһы]]нда [[квадрат тамыр]] тамғаһы аҫтында [[тиҫкәре һан]] килеп сыға{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=227}}. Комплекслы һандарҙы тикшереүгә уйланма берәмек өсөн дөйөм танылған тамғалау <math>i</math> индергән [[Леонард Эйлер]], [[Рене Декарт]], Гаусс кеүек математиктар ҙур өлөш индерәләр{{переход|#История}}. Комплекслы аргумент функциялары [[Комплекслы анализ|комплекслы анализда]] өйрәнеләләр{{переход|#Комплексные функции}}.

Комплекслы һандарҙың һәм [[комплекслы үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы|функцияларҙың]] уникаль үҙсәнлектәре математиканың, физиканың һәм техниканың төрлө өлкәләрендә күп практик мәсьәләләрҙе хәл итеүҙә киң ҡулланыу таптылар — [[сигналдарҙы эшкәртеү]], [[идара итеү теорияһы]], [[электромагнетизм]], [[тирбәлеүҙәр теорияһы]], [[һығылмалылыҡ теорияһы]] һәм бик күп башҡа{{sfn |Справочник по элементарной математике|2006|с=222}}{{переход|#Некоторые практические применения}}. Комплекслы яҫылыҡты үҙгәртеү оказались полезны в [[Картография|картографияла]] һәм [[Гидродинамика|гидродинамикала]] файҙалы булып сыҡты. Хәҙерге физика нигеҙҙә донъяны [[Квант механикаһы|квант механикаһы]] ярҙамында һүрәтләүгә иҫәп тота, ул комплекслы анализға нигеҙләнә.

Шулай уҡ комплекслы һандарҙың, [[кватернион]]дар кеүек бер нисә дөйөмләштереүе билдәле{{переход|#Вариации и обобщения}}.

== Комплекслы арифметика ==

=== Бәйләнешле билдәләмәләре ===
Һәр <math>z=a+bi</math> комплекслы һаны ике ''компоненттан'' тора{{sfn |Алгебра и математический анализ|1998|с=180—181|name=AMA180}}:
* <math>a</math> дәүмәле <math>z</math> һанының '''ысын өлөшө''' тип атала һәм <math>\operatorname{Re}\,z</math> йәки <math>\operatorname{Re}(z).</math> тип тамғалана. Сит ил сығанаҡтарында [[Готик шрифт|готик]] символ осрай<ref>{{cite web|title=Real Part|url=http://mathworld.wolfram.com/RealPart.html |accessdate=2018-01-16}}</ref>: <math>\Re(z).</math>
** Әгәр <math>a=0</math> булһа, ул саҡта <math>z</math> '''уйланма''' йәки '''тик уйланма''' һан тип атала.
* <math>b</math> дәүмәле <math>z</math> һанының '''уйланма өлөшө''' тип атала һәм <math>\operatorname{Im}\,z</math> йәки <math>\operatorname{Im}(z).</math> тип тамғалана. Сит ил сығанаҡтарында<ref>{{cite web|title=Imaginary Part|url=http://mathworld.wolfram.com/ImaginaryPart.html |accessdate=2018-01-16}}</ref> <math>\Im(z).</math> готик символы осрай.
** Әгәр <math>b=0</math> булһа, ул саҡта <math>z</math> [[Ысын һан|ысын һан]] була. <math>a+0i</math> урынына ғәҙәттә тик <math>a.</math> тип яҙалар.

<math>z=a+bi</math> комплекслы һаны өсөн ''[[Ҡапма-ҡаршы һан|ҡапма-ҡаршы һан]]'' тип <math>-z=-a-bi.</math> һаны атала. Мәҫәлән <math>1-2i</math> һаны өсөн <math>-1+2i.</math> һаны ҡапма-ҡаршы һан була.

Комплекслы һандар өҫтөндә арифметик операциялар, уларға оҡшаш [[Ысын һандар аксиоматикаһы|ысын һандар менән ғәмәлдәр]] кеүек үк үҙсәнлектәргә эйә. [[Тәртип бәйләнеше]] (''ҙурыраҡ-бәләкәйерәк'') менән бәйле үҙсәнлектәр генә был ҡағиҙәнән ситләшә, сөнки ысын һандар өсөн бирелгән тәртипте комплекслы һандарға, арифметик ғәмәлдәр һәм тәртип ярашлы булырлыҡ итеп  киңәйтеп булмай (мәҫәлән, <math>a<b</math> тигеҙһеҙлегенән <math>a+c<b+c</math> тигеҙһеҙлеге килеп сығырлыҡ итеп). Комплекслы һандарҙы тик «тигеҙ йәки тигеҙ түгел» тип кенә сағыштырып була<ref name=AMA180/>:
* <math>a+bi=c+di</math> <math>a=c</math> һәм <math>b=d</math> булыуын аңлата (ике комплекслы һан үҙ-ара тигеҙ шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр уларҙың ысын һәм уйланма өлөштәре тигеҙ булһа).

=== Ҡушыу һәм алыу ===
Комплекслы һандарҙы [[Ҡушыу|ҡушыу]] һәм [[Алыу|алыу]] билдәләмәһе<ref name=AMA180/>:
: <math>\left(a+bi\right) + \left(c+di\right) = \left(a+c\right) + \left(b+d\right)i</math>.
: <math>\left(a+bi\right) - \left(c+di\right) = \left(a-c\right) + \left(b-d\right)i</math>.

Түбәндәге таблица<ref name=AMA180/> теләһә ниндәй <math>u,v,w</math> комплекслы һандары өсөн ҡушыуҙың төп үҙсәнлектәрен күрһәтә.

{| class="wikitable"
|-
! Үҙсәнлек !! Алгебраик яҙылышы
|-
| [[Коммутатив операция|Коммутативлыҡ]] (''урын алмаштырыу'') || <math>u+v = v+u</math>
|-
| [[Ассоциатив операция|Ассоциативлыҡ]] (''төркөмләү'') || <math>u+(v+w) = (u+v)+w</math>
|-
| Нуль үҙсәнлеге || <math>u+0 = u</math>
|-
| [[Ҡапма-ҡаршы элемент]] үҙсәнлеге || <math>u+(-u)=0</math>
|-
| Алыуҙы ҡушыу аша башҡарыу || <math>u-v=u+(-v)</math>
|}

=== Ҡабатлау ===
<math>a+bi</math> һәм <math>c+di</math> комплекслы һандарын ҡабатлауға билдәләмә бирәйек<ref name=AMA180/>:
: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac+bci+adi+bdi^2 = (ac-bd) +(bc+ad)i</math>.
Түбәндәге таблица<ref name=AMA180/> теләһә ниндәй <math>u,v,w</math> комплекслы һандары өсөн ҡабатлау ғәмәленең төп үҙсәнлектәрен күрһәтә.

{| class="wikitable"
|-
! Үҙсәнлек !! Алгебраик яҙылышы
|-
| [[Коммутатив операция|Коммутативлыҡ]] (''урын алмаштырыу'') || <math>u \cdot v = v \cdot u</math>
|-
| [[Ассоциатив операция|Ассоциативлыҡ]] (''төркөмләү'') || <math>u \cdot (v \cdot w) = (u \cdot v) \cdot w</math>
|-
| Берәмек үҙсәнлеге || <math>u \cdot 1 = u</math>
|-
| Нуль үҙсәнлеге || <math>u \cdot 0 = 0</math>
|-
| [[Дистрибутивлыҡ]] (ҡабатлауҙың ҡушыуға ҡарата таратыу үҙсәнлеге) || <math>u \cdot (v+w)=u \cdot v + u \cdot w</math>
|}

=== Бүлеү ===
Нүлдән башҡа һәр <math>a+bi</math> комплекслы һаны өсөн, ''уға кире булған'' шундай <math>c+di</math> комплекслы һаны бар, был ике һандың ҡабатландығы бергә тигеҙ{{sfn |Ahlfors Lars V.|1979|с=2|name=AH2}}:
: <math>c+di=\frac{1}{a+bi}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i</math>

<math>a+bi</math> комплекслы һанын нулдән айырмалы <math>c+di</math> һанына бүлеү һөҙөмтәһенә билдәләмә бирәйек<ref name=AMA180/>:
: <math>\frac{a+bi}{c+di}=\frac{\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\left(c-di\right)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i</math>
Ысын һандар осрағындағы кеүек, бүлеү ғәмәлен бүленеүсене [[Бүлеүсе|бүлеүсегә]] кире һанға ҡабатлау менән алмаштырырға була.

=== Комплекслы һандарҙың ысын һандарҙан төп айырмаһы ===
Әйтеп кителгәнсә, комплекслы һандарҙы ҙурыраҡ-бәләкәйерәк тип сағыштырып булмай. Икенсе айырмаһы: ысын йәки комплекслы коэффициентлы теләһә ниндәй [[күпбыуын]], уның дәрәжәһе ниндәй, [[Күпбыуын тамыры тапҡырлығы|тапҡырлыҡты]] иҫәпкә алып, шул һанда тамыры (дөйөм әйткәндә, комплекслы) бар ([[алгебраның төп теоремаһы]]){{sfn |История математики, том III|1972|с=72}}.

Ысын һандар системаһында тиҫкәре һандан йоп дәрәжә [[Тамыр (математика)|тамыр алырға]] мөмкин түгел ине. Комплекслы һандар өсөн теләһә ниндәй һандан теләһә ниндәй дәрәжә тамыр алырға мөмкин, ләкин һөҙөмтә бер төрлө түгел — нулдән айырмалы һандан <math>n</math>-сы дәрәжә комплекслы тамырҙың   <math>n</math> төрлө комплекслы ҡиммәте бар<ref name=EEM237/>. Мәҫәлән, [[берәмектән тамырҙар]]ҙы ҡара.

Комплекслы һандар өсөн шулай уҡ [[дәрәжәгә күтәреү]] һәм [[Комплекслы логарифм|логарифмлау]]ға билдәләмә бирелгән. Комплекслы үҙгәреүсәнле функцияларҙың өҫтәмә айырмалары бар{{переход|#Комплекслы функциялар}}..

=== Иҫкәрмәләр ===
<math>i</math> һаны, <math>x^2=-1</math> тигеҙләмәһен ҡәнәғәтләндереүсе берҙән бер һан булмауын билдәләп китәйек. <math>-i</math> һаны шулай уҡ был тигеҙләмәне ҡәнәғәтләндерә.

Шулай уҡ билдәләп китергә кәрәк, элегерәк йыш ҡына <math>i</math> урынына ҡулланылған <math>\sqrt{-1}</math> аңлатмаһы бик үк корректлы түгел, сөнки арифметик тамыр тиҫкәре булмаған һандар күмәклегендә билдәләнә. Хаталар булмаһын өсөн, хәҙерге ваҡытта тиҫкәре дәүмәлдәр тамыры булған аңлатмаларҙы ошолай яҙыу ҡабул ителгән <math>5+i\sqrt{3}</math>, ә <math>5+\sqrt{-3}</math> түгел, хатта XIX быуатта ла яҙыуҙың икенсе варианты ҡулланылырға мөмкин тип иҫәпләнеүгә ҡарамаҫтан{{sfn |История математики, том III|1972|с=61—66}}.

Иҫкергән яҙманы һаҡһыҙ ҡулланған осраҡта мөмкин булған хатаға миҫал:
: <math>\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-3} = \sqrt{ \left( -3 \right) \cdot \left( -3 \right)} = \sqrt{ \left( -3 \right)^2} = \sqrt{9}= 3</math>.
Хәҙерге яҙманы ҡулланған осраҡта ундай хата килеп сыҡмаҫ ине:
: <math>\left( i \sqrt{3} \right) \cdot \left( i \sqrt{3} \right) = \left( i \cdot \sqrt{3} \right)^2 = i^2 \cdot \left( \sqrt{3} \right)^2 = -3.</math>

== Геометрик һүрәтләү ==

=== Комплекслы яҫылыҡ ===
[[Файл:Simple illustration of a complex number.svg|thumb|Комплекслы һанды геометрик һүрәтләү]]
{{main|Комплекслы яҫылыҡ}}
[[Тура мөйөшлө координаталар системаһы]] менән яҫылыҡ ҡарайыҡ. Һәр <math>z=x+iy</math> комплекслы һанына яҫылыҡтың <math>\left\{ x, y \right\}</math> координаталы нөктәһен ярашлы ҡуяйыҡ (шулай уҡ координаталар башын был нөктә менән тоташтырыусы [[радиус-вектор]]ҙы). Бындай яҫылыҡ ''[[Комплекслы яҫылыҡ|комплекслы]]'' тип атала. Ысын һандар унда горизонталь күсәрҙе биләйҙәр, уйланма берәмек вертикаль күсәрҙәге берәмек менән һүрәтләнә; шул сәбәпле горизонталь һәм вертикаль күсәрҙәр ярашлы рәүештә ''ысын'' һәм ''уйланма'' күсәрҙәр тип атала{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=233—234}}.

Йыш ҡына комплекслы яҫылыҡта [[Поляр координаталар системаһы|поляр координаталар системаһын]] ҡарау уңайлы була, унда нөктәнең координаталары булып [[Координаталар башы|координаталар башына]] тиклемге алыҫлыҡ (''модуль'') һәм нөктәнең [[радиус-вектор]]ының горизонталь күсәр менән мөйөшө (һүрәттә күк уҡ менән күрһәтелгән) (''аргумент'') торалар. Ентекләберәк артабанғы бүлекте ҡара.

Был  күргәҙмәле һүрәтләүҙә комплекслы һандарҙың суммаһына ярашлы радиус-векторҙарҙың [[Вектор (геометрия)#векторҙарҙы ҡушыу|векторлы суммаһы]] ярашлы. Комплекслы һандарҙы ҡабатлағанда уларҙың модулдәре ҡабатлана, ә аргументтары ҡушыла. Әгәр икенсе ҡабатлашыусының модуле {{nbsp}}1-гә тигеҙ булһа, ул саҡта был һанҡа ҡабатлау геометрик беренсе һандың радиус-векторын икенсе һандың аргументына тигеҙ булған мөйөшкә бороуҙы аңлата<ref name=EEM234/>. Был факт [[Гармоник тирбәлеүҙәр|тирбәлеүҙәр теорияһында]] комплекслы һүрәтләүҙең киң ҡулланылыуын аңлата, унда «модуль» һәм «аргумент» терминдары урынына «[[амплитуда]]» һәм «[[Тирбәлеүҙәр фазаһы|фаза]]» терминдары ҡулланыла<ref>[http://docs.cntd.ru/document/1200031279 ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий]. Пункт 152. Комплексная амплитуда (синусоидального электрического) тока — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе данного синусоидального электрического тока.</ref>.

=== Модуль һәм аргумент ===
[[Файл:Complex vector.jpg|thumb|Комплекслы һандың <math>r</math> модуле һәм <math>\varphi</math> аргументы]]
Комплекслы һандың модуле (абсолют дәүмәле) тип [[Комплекслы яҫылыҡ|комплекслы яҫылыҡта]] ярашлы нөктәнең [[радиус-вектор]]ы оҙонлоғо атала (йәки, шуны уҡ аңлатыусы, комплекслы яҫылыҡтың был һанға ярашлы нөктәһенән координаталар башына тиклемге алыҫлыҡ). <math>z=x+iy</math> комплекслы һанының модуле <math>\left| z \right|</math> тип тамғалана (ҡайһы берҙә <math>r</math> йәки <math>\rho</math>) һәм<ref name=EEM234/>:
: <math>\left| z \right| = \sqrt{x^2+y^2}</math>  аңлатмаһы менән билдәләнә.

Әгәр <math>z</math> [[ысын һан]] булһа, ул саҡта <math>\left| z \right|</math> был ысын һандың [[Абсолют дәүмәле|абсолют дәүмәле]] менән тап килә.

Теләһә ниндәй <math>z, z_1, z_2 \in \mathbb{C}</math> һандары өсөн модулдең түбәндәге үҙсәнлектәре үтәлә{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=234—235, 239—240|name=EEM234}}{{sfn |Ahlfors Lars V.|1979|с=6—10|name=AH6}}:
: 1) <math>\left| z \right| \geqslant 0</math>, шуның менән бергә <math> \left| z \right| = 0</math> шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр <math>z = 0</math> булһа;
: 2) <math>\left| z_1 + z_2 \right| \leqslant \left| z_1 \right| + \left| z_2 \right|</math> ([[өсмөйөш тигеҙһеҙлеге]]);
: 3) <math>\left| z_1 \cdot z_2 \right| = \left| z_1 \right| \cdot \left| z_2 \right|</math>;
: 4) <math>\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math>.
: 5) <math>z_1</math> һәм <math>z_2</math> комплекслы һандар пары өсөн уларҙың айырмаһының модуле <math>\left| z_1-z_2 \right|</math> комплекслы яҫылыҡтың ярашлы нөктәләре араһындағы алыҫлыҡҡа тигеҙ.
: 6) <math>z</math> һанының модуле был һандың ысын һәм уйҙырма өлөштәре менән түбәндәге нисбәттәр менән бәйләнгән:
:: <math>-|z| \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant |z|; \quad -|z| \leqslant \operatorname{Im}(z) \leqslant |z|; \quad |z| \leqslant |\operatorname{Re}(z)| + |\operatorname{Im}(z)|</math>


<math>z</math> һанына ярашлы нөктәнең [[радиус-вектор]]ы мөйөшө <math>\varphi</math> (радиандарҙа) , <math>z</math> һанының '''аргументы''' тип атала һәм <math>\operatorname{Arg} \left(z\right)</math> тип тамғалана. Был билдәләмәнән<ref name=EEM234/>:
: <math>\operatorname {tg}\ \varphi = \frac {y} {x} </math>; <math>\cos \varphi = \frac {x} { \left| z \right|}</math>; <math>\sin \varphi = \frac {y} {\left| z \right|}</math> булыуы килеп сыға.

Комплекслы нуль өсөн аргументтың ҡиммәте билдәләнмәгән, нулдән айырмалы <math>z</math> һаны өсөн аргумент <math>2 k \pi</math> аныҡлығы менән билдәләнә, бында <math>k</math> — теләһә ниндәй бөтөн һан. Аргументтың төп ҡиммәте тип <math>\varphi</math>-дың  <math>-\pi<\varphi\leqslant\pi</math> булған ҡиммәте атала. Йыш ҡына төп ҡиммәте <math>\operatorname{arg} \left( z \right)</math> тип тамғалана<ref>{{книга |автор=Свешников&nbsp;А.&nbsp;Г., Тихонов&nbsp;А.&nbsp;Н. |заглавие=Теория функций комплексной переменной |место=М. |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |год=1967 |страницы=14—15}}</ref>.

Аргументтың ҡайһы бер үҙсәнлектәре<ref name=AH6/>:
: 1) Кире һандың аргументы бирелгән һандың аргументынан тик тамғаһы менән генә айырыла:
:: <math>\operatorname{Arg} \left(\frac {1}{z}\right) = -\operatorname{Arg} \left( z \right).</math>

: 2) Юғарыла әйтелгәнсә, ҡабатландыҡтың аргументы ҡабатлашыусыларҙың аргументтары суммаһына тигеҙ:
:: <math>\operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2).</math>

: 3) Бүлендектең аргументы бүленеүсе менән бүлеүсе аргументтары айырмаһына тигеҙ:
:: <math>\operatorname{Arg}\frac{z_1}{z_2} = \operatorname{Arg}(z_1) - \operatorname{Arg}(z_2).</math>

=== Эйәртеүле һандар ===
{{main|Сопряжённые числа}}
[[Файл:Complex conjugate picture.svg|thumb|Эйәртеүле һандарҙы геометрик һүрәтләү]]
Әгәр <math>z=x+iy</math> комплекслы һан булһа, ул саҡта <math>\bar z=x-iy</math> һаны <math>z</math>-ҡа '''эйәртеүле һан''' (йәки комплекслы эйәртеүле) тип атала (шулай уҡ йыш ҡына <math>z^*</math> тип тамғалана). Комплекслы яҫылыҡта эйәртеүле һандар бер береһенән ысын күсәргә ҡарата көҙгөләгесә сағылыу ярҙамында килеп сығалар. Эйәртеүле һандың модуле бирелгән һандыҡы кеүек, ә уларҙың аргументтары тамғаһы менән генә айырыла{{sfn |Алгебра и математический анализ|1998|с=183—1851|name=AMA183}}.

Эйәртеүле һанға күсеүҙе [[Унар операция|бер урынлы операция]] итеп ҡарарға мөмкин; уның үҙсәнлектәрен һанап китәйек<ref name=AMA183/>.
* <math>z = \bar{z}</math> шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр <math>z</math> — ысын һан булһа.
* <math>\bar{\bar{z}} = z</math> (Эйәртеүле һанға эйәртеүле һан бирелгән һанға тигеҙ).
Комплекслы-эйәртеүле һандарҙың ҡабатландығы һәм суммаһы ысын һан<ref name=AH6/>:
* <math>z \cdot \bar z = \left| z \right|^2 = x^2 + y^2</math>
* <math>z + \bar z = 2 \operatorname{Re} \left( z \right)</math>
Башҡа бәйләнештәр<ref name=AH6/>:
* <math>\overline{z_1\cdot z_2}=\bar z_1\cdot\bar z_2</math>
* <math>\overline{z_1/z_2}=\bar z_1/\bar z_2</math>
* <math>\left| \bar{z} \right| = \left| z \right|</math>
* <math>\operatorname{Re}\,z=\frac{z+\bar z}{2};\quad\operatorname{Im}\,z=\frac{z-\bar z}{2i}.</math>

Дөйөмләштереү: <math>\overline{p \left( z \right)} = p \left(\bar z \right)</math>, бында <math>p \left( z \right)</math> — ысын коэффициентлы ирекле күпбыуын. Ошонан сығып, әгәр ысын коэффициентлы күпбыуындың комплекслы тамырҙары булһа (нулдән айырмалы уйланма өлөшлө), ул саҡта улар бөтәһе лә комплекслы-эйәртеүле парҙарға бүләнәләр<ref name=AH6/>.

Комплекслы кәсерҙе каноник күренештә күрһәтеү өсөн, йәғни знаменателдә уйланма өлөшөнән ҡотолоу өсөн, числитель һәм знаменателде знаменателгә эйәртеүле һанға ҡабатларға кәрәк. Миҫал:
: <math>\frac{2+5i}{3-4i} = \frac{(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{-14+23i}{25} = -\frac{14}{25} + \frac{23}{25}i.</math>

== Тригонометрик һәм күрһәткесле форма ==
Юғарыла <math>z</math> комплекслы һанын <math>x+iy</math> күренешендә яҙыу ҡулланылды; бындай яҙыу комплекслы һандың ''алгебраик формаһы'' тип атала. Практик яҡтан комплекслы һанды яҙыуҙың [[Поляр координаталар системаһы|поляр координаталарҙа]] тағы ике төрө бик ныҡ файҙалы.
; Тригонометрик форма
Әгәр комплекслы һандың ысын <math>x</math> һәм уйланма <math>y</math> өлөштәре модуль <math>r = \left| z \right|</math> һәм аргумент <math>\varphi</math> аша күрһәтһәң(йәғни <math>x=r\cos\varphi</math>, <math>y=r\sin\varphi</math>), ул саҡта нулдән башҡа һәр <math>z</math> комплекслы һанын ''тригонометрик формала'' яҙырға була<ref name=EEM234/>:
: <math>z=r \left( \cos\varphi + i\sin\varphi \right)</math>

; Күрһәткесле форма
[[Комплекслы анализ]]да [[Эйлер формулаһы]] фундаменталь әһәмиәткә эйә:
: <math>e^{iz}=\cos z+i\sin z,</math>
бында <math>e</math> — [[E (математик константа)|Эйлер һаны]], <math>\cos,\sin</math> — аргумент комплекслы ҡиммәттәр ҡабул итерлек итеп  [[Аналитик дауамы|киңәйтелгән]] [[косинус]] һәм [[синус]] функциялары, ә <math>e^{iz}</math> — дәрәжә күрһәткесе комплекслы һан булған осраҡ өсөн киңәйтелгән [[экспонента]].

Был формуланы тригонометрик формаға ҡулланып, комплекслы һандың күрһәткесле формаһын табабыҙ:
: <math>z=re^{i\varphi}</math>

Бынан түбәндәге киң ҡулланылған тигеҙлектәр килеп сыға:
: <math>\cos\varphi=\frac{ e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2};\quad\sin\varphi=\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}.</math>

== Муавр формулаһы һәм тамыр алыу ==
{{main|Формула Муавра}}
Был формула тригонометрик формала яҙылған нулдән айырмалы комплекслы һанды бөтөн дәрәжәгә күтәрергә ярҙам итә. Муавр формулаһы түбәндәге күренештә{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=237—239|name=EEM237}}:
: <math>z^n = \left[ r \left( \cos\varphi + i\sin\varphi \right) \right]^n = r^n \left( \cos n\varphi + i\sin n\varphi \right)</math>,
бында <math>r</math> — модуль, ә <math>\varphi</math> — комплекслы һандың аргументы. Хәҙерге символикала ул [[Эйлер Леонард|Эйлер]] тарафынан 1722 йылда баҫтырып сығарылған. Килтерелгән формула <math>n</math>-дың ыңғай ғына түгел, теләһә ниндәй бөтөн ҡиммәтендә дөрөҫ. 

Шуға оҡшаш формула нулдән айырмалы комплекслы һандан <math>n</math>-сы дәрәжә тамыр иҫәпләгәндә лә ҡулланыла{{sfn |Ahlfors Lars V.|1979|с=15—16|name=AH15}}:
: <math>z^{1/n} = \left[ r \left( \cos \left( \varphi + 2\pi k \right) + i \sin \left( \varphi + 2\pi k \right) \right) \right]^{1/n}=</math>
:: <math>=\sqrt[n]{r} \left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right), \quad k = 0,\;1,\;\ldots,\;n-1.</math>

[[Файл:Kreis5Teilung.svg|thumb|[[Берҙең тамырҙары|берҙән бишенсе дәрәжә тамырҙар]] (бишмөйөш түбәләре)]]
Был шуны аңлата, нулдән айырмалы комплекслы һандан <math>n</math>-сы дәрәжә тамырҙар һәр ваҡытта ла бар, һәм уларҙың һаны <math>n</math>-ға тигеҙ. Комплекслы яҫылыҡта, формуланан күренеүенсә, бөтә был тамырҙар үҙәге координаталар башында һәм радиусы  <math>\sqrt[n]{r}</math> тигеҙ булған әйләнәгә ҡамалған төҙөк <math>n</math>-мөйөштөң түбәләре булып торалар (һүрәтте ҡара).

Стандарт форматта яҙылған <math>a+bi,</math> комплекслы һанынан [[квадрат тамыр]] алыу өсөн, был һанды тригонометрик формаға әйләндерергә кәрәк һәм <math>n=2.</math> осрағы өсөн юғарыла килтерелгән формуланы ҡулланырға кәрәк. Әммә тамырҙың ике ҡиммәте өсөн алгебраик күренеше лә бар: <math>\pm(c+di),</math> где{{sfn |Ahlfors Lars V.|1979|с=3—4}}:

: <math>c = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}</math>

: <math>d = \sgn (b) \sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}</math>

Бында sgn — [[Билдә (функция)|«билдә» функцияһы]], ә радикалдар тиҫкәре булмаған ысын һандан ғәҙәттәге [[арифметик тамыр]]ҙы аңлата. Формуланы <math>c+di</math>-ны квадратҡа күтәреп еңел тикшереп була.

Миҫал: <math>3+4i</math> һанынан квадрат тамыр өсөн формула ике ҡиммәтте бирә: <math>2+i;\; -2-i.</math>

== Тарих ==
Тәү башлап, күренеүенсә, уйланма дәүмәлдәр «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545) исемле [[Кардано Джероламо|Кардано]] хеҙмәттәрендә, суммаһы {{nbsp}}10-ға, ә ҡабатландығы —{{nbsp}}40 тигеҙ булған ике һанды табыу тураһындағы мәсьәләне формаль сығарыу сиктәрендә телгә алына. Ул был мәсьәләне сығарыу өсөн, тамырҙары: <math>5+\sqrt{-15}</math> һәм <math>5-\sqrt{-15}</math> булған квадрат тигеҙләмә таба. Сығарылышҡа аңлатмаһында ул былай тип яҙа: «был бик ҡатмарлы дәүмәлдәр, ғәйәт хикмәтле булһалар ҙа, файҙаһыҙҙар», һәм «Арифметик фекерҙәр, нескәлектең, шулай уҡ файҙаһыҙлыҡтың сигенә етеп, һаман нығыраҡ һиҙелер-һиҙелмәҫерәк була баралар»<ref name="kline" />.

[[Кубик тигеҙләмә]]ләрҙе сығарғанда уйланма һандарҙы ҡулланыу мөмкинлеген беренсе булып [[Бомбелли Рафаэль|Бомбелли]] (1572) яҙып сыға, шулай уҡ ул комплекслы һандарҙы ҡушыу, алыу, ҡабатлау һәм бүлеү ҡағиҙәләрен сығара. <math>x^3 = 15x + 4</math> тигеҙләмәһенең <math>x = 4</math> ысын тамыры бар, ләкин [[Кардано формулаһы]] буйынса табабыҙ: <math>x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i} </math>. Бомбелли, суммалары кәрәкле ысын тамырҙы биргән <math>\sqrt[3]{2 \pm 11i}=2 \pm i</math> һандарын асыҡлай. Ул, ошоға оҡшаш (''килтерелмәгән'') осраҡтарҙа, тигеҙләмәнең комплекслы тамырҙары һәр саҡ эйәртеүле булыуын билдәләй, шуға күрә суммала һәр саҡ ысын ҡиммәт килеп сыға. Бомбелли биргән аңлатмалар математикала комплекслы һандарҙы уңышлы ҡуллана башлауға сәбәпсе булалар<ref name=ST258>{{книга |автор=Стиллвелл Д. |заглавие=Математика и ее история |место=Москва-Ижевск |издательство=Институт компьютерных исследований |год=2004 |страниц=530 |страницы=258—266}}</ref><ref name="kline"/>.

Квадрат һәм кубик тигеҙләмәләрҙе сығарғанда килеп сыҡҡан <math>a+b\sqrt{-1}</math> күренешендә күрһәтелгән аңлатмаларҙы, XVI—XVII быуаттарҙа [[Декарт Рене|Декарт]] тәҡдиме менән «уйланма» тип атай башлайҙар, ул, был һандарҙың ысынбарлыҡта булыуын кире ҡағып, шулай атай. XVII быуаттың башҡа күп ҙур ғалимдары өсөн уйланма һандарҙың асылы һәм ысынбарлыҡҡа хоҡуғы бик шикле тойола. [[Лейбниц Готфрид Вильгельм|Лейбниц]], мәҫәлән, 1702 йылда былай тип яҙа: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Бындай шикләнеүҙәргә ҡарамаҫтан, математиктар ысын дәүмәлдәр алгебраһы ысулдарын ышаныслы рәүештә комплекслы дәүмәлдәргә ҡуллана башлайҙар һәм корректлы һөҙөмтәләргә киләләр<ref name="kline">{{книга |автор=Клайн&nbsp;Моррис |заглавие=Математика. Утрата определённости |место=М. |издательство=Мир |год=1984 |страницы=138—139}}</ref>.

Оҙаҡ ваҡыт комплекслы һандар өҫтәндә бөтә ғәмәлдәр ҙә комплекслы йәки ысын һөҙөмтәләргә килтерәме икәнлеге билдәһеҙ була, йәки, мәҫәлән, тамыр алыу тағы ла ниндәйҙер яңы типтағы һандар асыуға килтерергә мөмкин. Бирелгән һандан <math>n</math>-сы дәрәжә тамырҙы кәүҙәләндереү тураһында мәсьәлә [[Муавр Абрахам де|Муаврҙың]] (1707) һәм [[Котс Роджер|Котстың]] (1722) хеҙмәттәрендә хәл ителә{{sfn |История математики, том III|1972|с=57—61}}.

Уйланма берәмекте тамғалау өсөн <math>i</math> символын [[Эйлер Леонард|Эйлер]] (1777, 1794 йылда баҫыла) тәҡдим итә, бының өсөн ул латин телендәге {{lang-la2|imaginarius}} — «уйланма» һүҙенең беренсе хәрефен ала. Шулай уҡ ул, [[логарифм]]ды ла ҡушып, бөтә стандарт функцияларҙы комплекслы өлкәгә тарата. Шулай уҡ Эйлер ҙа 1751 йылда, комплекслы һандар системаһында теләһә ниндәй күпбыуындың тамыры бар, тигән фекер әйтә ([[алгебраның төп теоремаһы]], Эйлерға тиклем шундайыраҡ фекерҙәрҙе [[Альбер Жирар]] һәм [[Рене Декарт]] әйтәләр)<ref>{{книга|автор=[[Юшкевич А. П.]] |часть=Леонард Эйлер. Жизнь и творчество |заглавие=Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей |место=М. |издательство=Наука|год=1988|isbn=5-02-000002-7}} — С. 15—47.</ref>. Шундай уҡ фекергә [[Д’Аламбер Жан Лерон|д’Аламбер]] (1747) килә, ләкин [[Алгебраның төп теоремаһы|был фактты]] беренсе ҡәтғи иҫбатлаусы [[Гаусс Карл Фридрих|Гаусс]] (1799) була<ref name=ST258/>. Гаусс «комплекслы һан» терминын 1831 йылда киң ҡулланыуға индерә лә инде (алдараҡ терминды шул уҡ мәғәнәлә француз математигы [[Карно Лазар|Лазар Карно]] 1803 йылда ҡуллана, ләкин ул саҡта термин киң таралыу алмай)<ref>{{cite web|author=Острая О.|title=Теория функций комплексного переменного|url=https://books.google.ru/books?id=luA2DwAAQBAJ&pg=PA96&lpg=PA96&dq=%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B5+%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE+%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81+%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE&source=bl&ots=4MVgxra_cg&sig=LGNp5JYd7E8c9Xrtv3EYJ3_ocuY&hl=ru&sa=X&ved=0ahUKEwi8jvSH0ObXAhVCb5oKHeLeByoQ6AEIJzAA#v=onepage&q=%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%20%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE&f=false|accessdate=2017-11-30}}</ref>.

XVIII быуат аҙағында — XIX быуат башында тәүҙә [[Вессель Каспар|Вессель]] һәм [[Арган Жан Робер|Арган]] (уларҙың хеҙмәттәре иғтибарҙы йәлеп итмәй), ә аҙаҡ Гаусс тәҡдим иткән комплекслы һандарҙы геометрик һүрәтләү уларҙың легаль хәлгә күсеүен тәьмин итә<ref>{{книга |автор=Ренэ Декарт. |заглавие=Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта |место=М.—Л. |издательство=[[Гостехиздат]] |год=1938 |страниц=297 |серия=Классики естествознания |страницы=233 }}</ref>. Комплекслы һандарҙың ысын һандар пары кеүек арифметик (стандарт) моделе [[Гамильтон Уильям Роуан|Гамильтон]] тарафынан төҙөлә («Теория алгебраических пар», 1837); был уларҙың үҙсәнлектәренең ҡапма-ҡаршылыҡһыҙ булыуын иҫбатлай. «Модуль», «аргумент» һәм «эйәртеүле һандар» терминдарын XIX быуат башында [[комплекслы анализ]]ды һиҙелерлек алға ебәреүсе [[Коши Огюстен Луи|Коши]] индерә. XIX быуаттан башлап комплекслы үҙгәреүсән функцияһын тикшереү йылдам һәм үтә уңышлы үҫеш ала.<ref name=MAT/><ref>{{книга |автор=[[Глейзер, Герш Исаакович|Глейзер Г. И.]] |заглавие=История математики в школе. IX—X классы |издательство=Просвещение |место=М. |год=1983 |страниц=351 |страницы=193}}</ref>.

Был уңышлы ҡарашты иҫәпкә алып, комплекслы яҫылыҡҡа оҡшаш рәүештә, векторҙарҙы [[өс үлсәмле арауыҡ]]та һүрәтләү ысулдарын эҙләү башлана. Ун биш йыллыҡ эҙләнеүҙәр һөҙөмтәһендә [[Гамильтон Уильям Роуан|Гамильтон]] 1843 йылда комплекслы һандарҙы дөйөмләштереүҙе — [[кватерниондар]]ҙы тәҡдим итә, уларҙы өс үлсәмле итеп түгел, ә дүрт үлсәмле итеп эшләргә мәжбүр була (өс үлсәмле векторҙарҙы кватерниондарҙың уйланма өлөшө һүрәтләй); шулай уҡ Гамильтонға ҡабатлау ғәмәленең [[коммутатив операция|коммутативлығынан]] баш тартырға тура килә<ref name=MAT/>.

== Комплекслы функциялар ==

=== Аналитик функциялар ===
{{main|Комплексный анализ}}
Бер үҙгәреүсәнле комплекслы функция — [[Комплекслы яҫылыҡ|комплекслы яҫылыҡтың]] ниндәйҙер өлкәһендә билдәләнгән һәм был өлкәнең <math>z</math> нөктәһенә <math>w</math> комплекслы ҡиммәттәрен ярашлы ҡуйған <math>w=f(z)</math> [[Функция (математика)|функцияһы]] ул. Миҫалдар:
: <math> w = z^2+z+1;\quad w = z+\frac{1}{z}</math>
Һәр комплекслы функцияны <math>w = f(z) = f(x+iy)</math>, ярашлы рәүештә уның ысын һәм уйланма өлөштәрен билдәләүсе, ике үҙгәреүсәнле ысын функциялар пары итеп ҡарарға мөмкин: <math>f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)</math>. <math>u</math>, <math>v</math> Функциялары <math>f(z).</math> комплекслы функцияһының ''компоненттары'' тип аталалар. Бер нисә комплекслы үҙгәреүсәнле функция ошоға оҡшаш рәүештә билдәләнә.

Анализдың бөтә стандарт функциялары — [[күпбыуын]]дар, [[кәсерле-һыҙыҡлы функция]], [[дәрәжәле функция]], [[экспонента]], [[тригонометрик функция]]лар, [[кире тригонометрик функция]]лар, [[логарифм]] — комплекслы яҫылыҡҡа киңәйтелергә мөмкиндәр. Шуның менән бергә, улар өсөн, ысын оригинал өсөн хас булған бөтә алгебраик, [[Дифференциаль тигеҙләмәләр|дифференциаль]] һәм башҡа тождестволар урынлы, мәҫәлән:
: <math>\sin^2 z + \cos^2 z = 1; \qquad e^u \cdot e^v = e^{u+v}</math>

Комплекслы функциялар өсөн, ысын һандар анализындағы кеүек, абсолют дәүмәлде комплекслы модулгә алмаштырып [[Функцияның сикләнмәһе|сикләнмә]], [[Өҙлөкһөҙлөк (математик анализ)|өҙлөкһөҙлөк]] һәм [[Функцияның сығарылмаһы|сығарылма]] төшөнсәләре билдәләнә{{sfn |Смирнов В. И.|2010|с=7—15}}.

Дифференциалланыусы комплекслы функцияларҙың (йәғни сығарылмаһы булған функциялар) ысын функциялар менән сағыштырғанда бер нисә үҙенсәлеге бар{{sfn |Смирнов В. И.|2010|с=15—22}}.
* Дифференциалланыусы функцияның ысын һәм уйланма өлөштәре — [[Коши — Риман шарттары]] менән бәйләнгән [[гармоник функция]]лар.
* Һәр <math>z</math> нөктәһенең ниндәйҙер эргә-тирәһендә дифференциалланыусы  комплекслы функция был нөктәлә сикһеҙ күп тапҡыр дифференциалланыусы (йәғни ''[[Аналитик функция|аналитик]]'', йәки ''голоморфлы'').

Бер комплекслы үҙгәреүсәнле функциялар өсөн [[билдәле интеграл]], ғөмүмән алғанда,  интеграллау юлына бәйле (йәғни комплекслы яҫылыҡтың башланғыс нөктәһенән һуңғы нөктәһенә тиклемге кәкре һыҙыҡты һайлауға бәйле). Әммә әгәр  интегралланыусы функция [[бер бәйләнешле арауыҡ|бер бәйләнешле өлкәлә]] аналитик булһа, ул саҡта уның интегралы юлға бәйле түгел.

=== Комплекслы яҫылыҡты үҙгәртеүҙәр ===
Һәр комплекслы функцияны комплекслы яҫылыҡты үҙгәртеү итеп ҡарарға мөмкин (йәки бер комплекслы яҫылыҡты икенсеһенә үҙгәртеү кеүек итеп). Миҫалдар:
* <math>w=z+c</math> —  <math>c.</math> нөктәһенең радиус-векторы менән билдәләнеүсе [[параллель күсереү]]
* <math>w=uz</math>, бында <math>u</math> — берәмек модулле комплекслы һан — координаталар башы тирәләй аргумент <math>u.</math>-ға тигеҙ булған мөйөшкә [[боролош]] 
* <math>w=\bar z</math> — ысын күсәр тирәләй [[сағылыу (геометрия)|көҙгөләгесә сағылыу]].
Теләһә ниндәй [[Хәрәкәт (математика)|яҫылыҡта хәрәкәт]] һынап киткән өс үҙгәртеүҙең комбинацияһы булғанлыҡтан, <math>w=uz+c</math> һәм <math>w=u\bar z+c</math> функциялары комплекслы яҫылыҡта хәрәкәт өсөн дөйөм аңлатма бирәләр<ref name=GP>{{книга|автор=Заславский А. А. |заглавие=Геометрические преобразования |издание=2-е изд. |место=М. |издательство=МЦНМО |год=2004 |страниц=86 |страницы=58 |isbn=5-94057-094-1}}</ref>.

Башҡа һыҙыҡлы үҙгәртеүҙәр<ref name=GP/>:
* <math>w=rz</math>, бында <math>r</math> — ыңғай ысын һан, масштабы <math>r</math>-ға бәйле булған [[Һуҙылыу (математика)|һуҙылыуҙы]] бирә,([[ҡыҫыусы сағылдырыу|ҡыҫыу]], әгәр <math>r<1</math>) булһа.
* <math>w=az+b</math> һәм <math>w=a\bar z+b</math> үҙгәртеүҙәре, бында <math>a,b</math> — ирекле комплекслы һандар, [[Оҡшашлыҡ|оҡшашлыҡ үҙгәртеүен]] бирә.
* <math>w=az+b\bar z+c,</math> бында <math>|a|\ne |b|</math> үҙгәртеүе — комплекслы яҫылыҡта [[Аффиналы үҙгәртеү|аффиналы үҙгәртеүҙең]] дөйөм күренеше.

Комплекслы анализда [[кәсерле-һыҙыҡлы үҙгәртеү|кәсерле-һыҙыҡлы үҙгәртеүҙәр]] мөһим роль уйнайҙар{{sfn |Евграфов М. А.|1968|с=180—186|name=EVGR180}}:
: <math>w=\frac{az+b}{cz+d}</math>
Шуның менән бергә <math>ad \ne bc</math> (юҡһа <math>w(z)</math> функцияһы константаға әйләнә). Кәсерле-һыҙыҡлы үҙгәртеүҙең характерлы үҙсәнлеге: ул әйләнә һәм тура һыҙыҡтарҙы әйләнә һәм тура һыҙыҡтарға күсерә. Шуның менән бергә әйләнәнең образы тура һыҙыҡ булырға мөмкин, һәм киреһенсә<ref name=EVGR180/>.

Башҡа практик файҙалы үҙгәртеүҙәр функциялары араһында: [[Инверсия (геометрия)|инверсия]] <math>w=1/z,</math> [[Жуковский функцияһы]].

=== Комплекслы яҫылыҡта аналитик геометрия  ===
Яҫы фигураларҙы өйрәнеү, уларҙы комплекслы яҫылыҡҡа күсергәндә, йыш ҡына еңелләшә. [[Планиметрия]]ның күп теоремалары комплекслы һандар ярҙамында асыҡ һәм компактлы яҙылалар, мәҫәлән{{sfn |Привалов И. И.|1984|с=43}}:
* Өс (төрлө) <math>z_1,z_2,z_3</math> нөктәләре бер тура һыҙыҡта яталар шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр:
:: <math>\frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math> ысын һан булһа.
* Дүрт (төрлө) <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> нөктәләре бер әйләнәлә (йәки бер тура һыҙыҡта) яталар шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр:
:: <math>\frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} : \frac{z_1 - z_4}{z_2 - z_4}</math> бүлендеге ысын һан булһа.

Комплекслы яҫылыҡта тура һыҙыҡтың [[параметрлы тигеҙләмә]]һе түбәндәге күренештә{{sfn |Ahlfors Lars V.|1979|с=17—18|name=AH17}}:
: <math>z = ut + v,</math> бында <math>u,v</math> — комплекслы һандар, <math>u \ne 0, t</math> — ирекле ысын параметр.
Ике <math>z = ut + v</math> һәм <math>z = u't + v'</math> тура һыҙыҡтары араһындағы мөйөш <math>\operatorname{arg}(u'/u).</math>-ға тигеҙ. Айырып әйткәндә, тура һыҙыҡтар [[Перпендикулярлыҡ|перпендикуляр]], әгәр <math>u'/u</math> — саф уйланма һандар булһа. Ике тура һыҙыҡ параллель шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр <math>u' / u</math> ысын һан булһа; әгәр шуның менән бергә <math>(v'-v)/u</math> һаны ла ысын һан булһа, ике тура һыҙыҡ тап килә. Һәр <math>z = ut + v</math> тура һыҙығы комплекслы яҫылыҡты ике ярымяҫылыҡҡа бүлә: уларҙың береһендә <math>t=\operatorname{Im}(z-v)/u</math> аңлатмаһы ыңғай, икенсеһендә — тиҫкәре<ref name=AH17/>.

Үҙәге <math>c</math> һәм [[радиус]]ы <math>r</math>  булған [[Әйләнә|әйләнәнең]] тигеҙләмәһе үтә ябай күренештә: <math>|z-c| = r.</math> <math>|z-c| < r</math> [[Тигеҙһеҙлек|тигеҙһеҙлеге]] әйләнәнең эске өлкәһен билдәләй<ref name=AH17/>.

== Дөйөм алгебрала, топологияла һәм күмәклектәр теорияһында урыны ==
<math>\mathbb{C}</math> комплекслы һандар күмәклеге [[Ялан (алгебра)|ялан]] төҙөй, ул <math>\mathbb{R}</math> ысын һандар яланының 2 дәрәжә [[Сикле киңәйеү|сикле киңәйеүе]] булып тора. Комплекслы яландың [[Характеристика (алгебра)|характеристикаһы]] нулгә тигеҙ, <math>\mathbb{C}</math> яланының күмәклек булараҡ [[Күмәклек ҡеүәте|ҡеүәте]], ысын һандар яланыныҡы кеүек, йәғни [[Континуум (күмәклек теорияһы)|континуум]]. [[Фробениус теоремаһы]] асыҡлауынса, <math>\mathbb{R}</math>-ҙың сикле киңәйеүе булған ике генә [[Есем (алгебра)|есем]] бар — поле комплекслы һандар яланы һәм [[кватернион]]дар есеме{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=249—251}}.

Комплекслы һандар яланын [[тәртипкә килтерелгән ялан]]ға әйләндереү мөмкин түгел, сөнки тәртипкә килтерелгән яланда теләһә ниндәй элементтың квадраты тиҫкәре түгел, уйланма берәмек тә унда була алмай.

<math>\mathbb{C}</math> төп алгебрак үҙсәнлеге — ул [[Алгебраик  йомоҡ ялан|алгебраик йомоҡ]], йәғни унда теләһә ниндәй күпбыуындың тамырҙары (комплекслы)бар, шунлыҡтан, һыҙыҡлы ҡабатлашыусыларға тарҡала{{sfn|Числовые системы|1975|с=165}}.

Модулдең үҙсәнлегенән, комплекслы һандар <math>\mathbb{R}</math> яланында ике үлсәмле [[Нормалаштырылған векторлы арауыҡ|нормалаштырылған арауыҡ]] структураһын төҙөүе килеп сыға.

<math>\mathbb{C}</math> яланы сикһеҙ күп [[автоморфизм]]дарҙы рөхсәт итә, тик уларҙың береһе генә (тождестволыны иҫәпкә алмайынса) ысын һандарҙы урынында ҡалдыра{{sfn|Числовые системы|1975|с=167}}.

<math>\mathbb{R}</math> һәм <math>\mathbb{C}</math> яландары — берҙән-бер [[Бәйләнгән арауыҡ|бәйләнгән]] [[Локаль компактлы арауыҡ|локаль компактлы]] [[Топологик ҡулса|топологик яландар]]<ref>{{книга |часть=Топологическое поле |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=5 |год=1985 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |страницы=386}}</ref>.

== Ҡайһы бер практик ҡулланылышы ==
Комплекслы һандарҙың һәм функцияларҙың ысын һандарҙан айырмалы үҙенсәлектәре математикала, тәбиғәт фәндәрендә һәм техникала файҙалы, йыш ҡына алмаштырғыһыҙ булып торалар.

=== Математика ===
Комплекслы һандарҙың ҡушымтаһы математикала күренекле урын биләй — айырып әйткәндә, [[Алгебраик һан|алгебраик һандар]] төшөнсәһе, [[Күпбыуын тамыры|күпбыуын тамырҙарын]] табыу, [[Галуа теорияһы]], [[комплекслы анализ]] һ. б.шундайҙар.

Геометрик мәсьәләне ябай яҫылыҡтан комплекслыға күсереп, беҙ йыш ҡына уның сығарылышын һиҙелерлек ябайлаштырыуға өлгәшәбеҙ{{sfn |Комплексные числа. 9—11 классы|2012|loc=Глава 5}}{{sfn |Реальные применения мнимых чисел|1988|с=78}}.

[[Һандар теорияһы]]ның һәм (ысын) [[Математик анализ|математик анализдың]] күп ҡатмарлы мәсьәләләрен (мәҫәлән, ҡатмарлы йәки [[үҙ булмаған интеграл]]дарҙы иҫәпләү) [[Комплекслы анализ|комплекслы анализ]] саралары менән генә сығарырға мөмкинлек булды. Һандар теорияһында <math>a+bi,</math> күренешендәге [[Гаусс һандары]], бында  <math>a,b</math> — бөтөн һандар, асыштар өсөн ҡеүәтле инструмент булып сыға{{sfn |Реальные применения мнимых чисел|1988|с=114—124}}. Для исследования [[Функция распределения простых чисел|распределения простых чисел]] понадобилась комплексная [[дзета-функция Римана]]<ref>{{книга |автор=Дербишир, Джон. |заглавие=Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике |издательство=Астрель |год=2010 |страниц=464 |isbn=978-5-271-25422-2 |страницы= }}</ref>.

Йыш ҡына ысын анализ проблемалары, уларҙы комплекслы дөйөмләштергәндә асыҡланалар. Классик миҫал — рәткә тарҡатыу
: <math>\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots</math>
Был рәт, <math>\pm 1</math> нөктәләре килтерелгән функция өсөн ниндәйҙер үҙенсәлекле нөктәләр булмаһалар ҙа, <math>(-1;\;1)</math> интервалында ғына  йыйылыусан. Хәл <math>f(z)=\frac{1}{1+z^2}</math> комплекслы үҙгәреүсәнле функцияһына күскәс асыҡлана, уның ике үҙенсәлекле нөктәһе булыуы асыҡлана: <math>\pm i</math>. Шуға ярашлы, был функцияны тик берәмек радиуслы [[Йыйылыусанлыҡ түңәрәге|түңәрәктә]] [[Тейлор рәтенә]] тарҡатып була{{sfn |Привалов И. И.|1984|с=14}}.

[[Ябай дифференциаль тигеҙләмә|Һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмәләрҙе]] сығарғанда тәүҙә характерлы күпбыуындың бөтә комплекслы тамырҙарын табыу мөһим, ә аҙаҡ база [[Экспонента|экспоненталар]] терминдарында системаны сығарып ҡарарға кәрәк. [[Айырмалы тигеҙләмә]]ләрҙә ошондай маҡсатта айырмалы тигеҙләмәләр системаһы характеристик тигеҙләмәһенең комплекслы тамырҙары ҡулланыла. Комплекслы анализдың бер өлөшө булып торған [[Ҡалдыҡ (комплекслы анализ)|ҡалдыҡтар]] теорияһы ярҙамында, йомоҡ контурҙар буйынса күп ҡатмарлы интегралдарҙы иҫәпләп була.

Функцияларҙы тикшереү йыш ҡына комплекслы [[Фурье үҙгәртеүе]] йәки [[Лаплас үҙгәртеүе]] ярҙамында уның йышлыҡ спектрын анализлау менән бәйле.

=== Конформ сағылыш ===
[[Файл:Conformal map.svg|мини|[[Конформ сағылыш]]ҡа миҫал]]
{{main|Конформное отображение}}
Юғарыла билдәләп кителгәнсә, һәр [[комплекслы функция]]ны бер комплекслы яҫылыҡты икенсеһенә үҙгәртеү тип ҡарарға була. Тигеҙ ([[Аналитик функция|аналитик]]) функция ике үҙенсәлеккә эйә: әгәр бирелгән нөктәлә сығарылмаһы нулгә тигеҙ булмаһа, ул саҡта был үҙгәртеүҙә һуҙыу/ҡыҫыу коэффициенты бөтә йүнәлештә лә бер тигеҙ, боролоу мөйөшө шулай уҡ даими ([[конформ сағылыш]]){{sfn |Смирнов В. И.|2010|с=22—25}}. Комплекслы функцияларҙың [[картография|картографияла]]<ref>{{книга|автор=[[Маркушевич, Алексей Иванович|Маркушевич А. И.]] |заглавие=Комплексные числа и конформные отображения |ссылка=http://math.ru/lib/plm/13 |место=М. |издательство=Гостехиздат |год=1954|серия=Популярные лекции по математике, выпуск 13|страниц=52}}</ref><ref>{{cite web|author=Shao-Feng Bian, Hou-Pu Li|title=Mathematical Analysis in Cartography by Means of Computer Algebra System|url=http://cdn.intechopen.com/pdfs/38312/InTech-Mathematical_analysis_in_cartography_by_means_of_computer_algebra_system.pdf|accessdate=2018-01-28}}</ref> һәм [[гидродинамика|гидродинамикала]]<ref>{{книга |автор=Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.|заглавие=Проблемы гидродинамики и их математические модели |место=М. |издательство=Наука |год=1973}}</ref> киң ҡулланылыуы ошо факт менән бәйле.

=== Квант механикаһы ===
{{main|Квантовая механика}}
Комплекслы [[Тулҡынлы функция|тулҡынлы функция]] төшөнсәһе квант механикаһының нигеҙе булып тора. Квант системаһының динамикаһын тасуирлау өсөн [[Шрёдингер тигеҙләмәһе]] тибындағы комплекслы коэффициентлы дифференциаль тигеҙләмәләр ҡулланыла. Был тигеҙләмәләрҙең сығарылыштары комплекслы [[Гильберт арауығы]]нда бирелгән. [[Квант өйрәнелеүсе]] дәүмәлдәргә ярашлы операторҙар [[Эрмитов оператор]]ҙар. Координата һәм импульс операторҙары коммутаторы уйланма һан булып тора: <math> \left [ \hat{ x }, \hat{ p }_x \right ] = \hat{x} \hat{p}_x - \hat{p}_x \hat{x} = i \hbar  </math>. Квант механикаһында [[Паули матрицалары]] һәм [[Дирак матрицалары]] мөһим роль уйнайҙар, уларҙың ҡайһы берҙәрендә комплекслы ҡиммәттәр бар<ref>''Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М.'' Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.</ref>.

=== Электротехника ===
{{main|Теория электрических цепей}}
[[Алмаш ток]] тирбәлеү процессы булғанлыҡтан, уны комплекслы һандар ҡулланып һүрәтләү һәм өйрәнеү уңайлы. Шулай уҡ электр сынйырының һыйҙырышлыҡ һәм индуктивлыҡ кеүек [[Реактив элемент|реактив элементтары]] өсөн импеданс йәки [[Электрик импеданс|комплекслы ҡаршылыҡ]] төшөнсәләре индерелә — был сынйырҙа токты иҫәпләүгә ярҙам итә{{sfn |Реальные применения мнимых чисел|1988|с=132—144}}. Электротехникала традиция буйынса <math>i</math> символы менән ток көсө тамғаланылғанлыҡтан, уйланма берәмекте унда <math>j</math> хәрефе менән тамғалайҙар<ref>{{книга|автор=Молчанов А. П., Занадворов П. Н. |заглавие=Курс электротехники и радиотехники, глава «Линейные цепи» |издательство=BH V|страниц=608 |isbn=978-5-9775-0544-4}}</ref>. Электротехниканың күп өлкәләрендә (нигеҙҙә радиойышлыҡ һәм оптика) сынйыр өсөн ток көсө һәм көсөргәнеш тигеҙләмәһе түгел, ә туранан-тура спектраль күренештәге [[Максвелл тигеҙләмәләре]] ҡулланыла, унда физик дәүмәлдәр комплекслы яҫылыҡта бирелә һәм [[Фурье үҙгәртеүе]] ярҙамында (t, x)-тан - (ω, k)-арауыҡҡа күскәндә, сығарылмаһыҙ ябайыраҡ тигеҙләмәләр килеп сыға<ref>{{книга
|автор = Афонский А. А., Дьяконов В. П.
|заглавие = Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики
|ответственный = Под ред. проф. В. П. Дьяконова
|место = М.
|издательство = СОЛОН-Пресс
|год = 2009
|страницы = 248
|isbn = 978-5-913-59049-7
}}</ref>.

== Логик нигеҙ ==
[[Ысын һандар]] [[Ялан (алгебра)|яланын]] комплекслы яланға тиклем киңәйтеү, алгебраик структураны теләһә ниндәй башҡа киңәйтеү кеүек, бик күп һорауҙар ҡуя, уларҙың мөһимерәктәре — яңы типтағы һандар өҫтөндә ғәмәлдәрҙе нисек билдәләргә, яңы ғәмәлдәр ниндәй үҙсәнлектәргә эйә булыр һәм (иң мөһим һорау) бындай киңәйтеү мөмкинме, ул төҙәтеп булмаҫлыҡ ҡапма-ҡаршылыҡтарға алып килмәҫме. Бындай һорауҙарҙы анализлау өсөн комплекслы һандар өсөн аксиомалар йыйылмаһы булдырырға кәрәк.

=== Комплекслы һандар аксиоматикаһы ===
Иң ябайы, <math>\mathbb{C}</math> комплекслы һандар күмәклеге аксиоматикаһын, төҙөлгән <math>\mathbb{R}</math> ысын һандар күмәклегенә таянып эшләү (ул ҡапма-ҡаршылыҡһыҙ, ә үҙсәнлектәре билдәле тип фараз ителә). Тап шулай, <math>\mathbb{C}</math> күмәклегенә ысын һандар күмәклеген һәм (унан тыш) [[Уйланма берәмек|уйланма берәмекте]] индергән минималь [[Ялан (алгебра)|ялан]] булараҡ билдәләмә бирәбеҙ. Ҡәтғи әйткәндә, комплекслы һандар аксиомалары түбәндәгеләр{{sfn|Числовые системы|1975|с=164—165}}{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=227—233}}.

: '''С1''': Теләһә ниндәй <math>u,v</math> комплекслы һандары өсөн уларҙың <math>u+v</math> суммаһы бар.
: '''С2''': Ҡушыу ғәмәле [[Коммутатив операция|коммутатив]]: <math>u+v = v+u</math>. Ҡыҫҡартыу өсөн «теләһә ниндәй <math>u,v,w</math> һандары өсөн»  өҫтәмәһен артабан, ҡағиҙә булараҡ, төшөрөп ҡалдырабыҙ.
: '''С3''': Ҡушыу ғәмәле [[Ассоциатив операция|ассоциатив]]: <math>(u+v)+w = u+(v+w).</math>
: '''С4''': Шундай 0 (ноль) элементы бар, бында <math>u+0 = u</math>.
: '''С5''': Теләһә ниндәй <math>u</math> комплекслы һаны өсөн «''уға ҡапма-ҡаршы''» элемент <math>-u</math> бар, бында <math>u+(-u) = 0.</math>
: '''С6''': Теләһә ниндәй <math>u,v</math> комплекслы һандары өсөн уларҙың ҡабатландығы <math>uv</math> бар.
: '''С7''': Ҡабатлау ғәмәле [[Коммутатив операция|коммутатив]]: <math>uv = vu.</math>
: '''С8''': Ҡабатлау ғәмәле [[Ассоциатив операция|ассоциатив]]: <math>(uv)w = u(vw).</math>
: '''С9''': Ҡабатлау ғәмәле ҡушыу менән [[Дистрибутивлыҡ|таратыу]] (дистрибутивлыҡ) законы менән бәйләнгән: <math>(u+v)w = uw+vw.</math>
: '''С10''': Нулдән айырмалы шундай 1 (берәмек) элементы бар, бында <math>u \cdot 1 = u</math>.
: '''С11''': Нулдән айырмалы теләһә ниндәй <math>u</math> һаны өсөн «''уға кире''» шундай <math>u'</math> һаны бар, бында <math>u \cdot u' = 1.</math>
: '''С12''': <math>\mathbb{C}</math> комплекслы һандар күмәклегенең, <math>\mathbb{R}</math> ысын һандар күмәклегенә [[Изоморфизм|изоморфлы]] аҫяланы бар. Ябайлыҡ өсөн был аҫялан шул уҡ <math>\mathbb{R}</math> хәрефе менән тамғалана.
: '''С13''': Шундай <math>i</math> ([[уйланма берәмек]])  элемент бар, бында <math>i^2 + 1 = 0.</math>
: '''С14''' (''минималлек аксиомаһы''): <math>M</math> — <math>\mathbb{C}</math> күмәклегенең түбәндәге үҙсәнлектәргә эйә булған аҫкүмәклеге булһын, ти: ул <math>\mathbb{R}</math> күмәклеген һәм уйланма берәмекте үҙ эсенә ала һәм ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәренә ҡарата йомоҡ. Ул саҡта <math>M</math> бөтә <math>\mathbb{C}</math> менән тап килә.

Был аксиомаларҙан эҙемтә булараҡ бөтә башҡа үҙсәнлектәре килеп сыға. Килтерелгән аксиоматика ''ҡәтғи'', йәғни уның теләһә ниндәй моделдәре ялан булараҡ изоморфлы{{sfn|Числовые системы|1975|с=166}}. Был төрлө моделдәренең бөтә үҙсәнлектәре  берҙәй булыуын аңлатмай; мәҫәлән, [[P-алыҡай һандар|p-алыҡ]] һандар яланының [[алгебраик йомолоу]]ы <math>\mathbb{Q}_p</math> килтерелгән аксиоматиканы ҡәнәғәтләндерә һәм шуға күрә ялан булараҡ  <math>\mathbb{C}</math>-ға изоморфлы, ләкин [[топологик арауыҡ]] булараҡ изоморфлы түгел<ref>{{cite web |author=David Marker |url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.lnl/1235423155 |title=Introduction to model theory of algebraically closed fields |accessdate=2 декабря 2017 |lang=en |description=Lecture notes in logic, 5: 1–37  (1996)}}</ref>.

=== Ҡапма-ҡаршылыҡһыҙлыҡ һәм моделдәр ===
Яңы структураның ҡапма-ҡаршылыҡһыҙлығын иҫбатлауҙың стандарт ысулы —  ҡапма-ҡаршылыҡһыҙлығы икеләнеү тыуҙырмаған икенсе структура объекттары ярҙамында уның аксиомаларын [[Фекер логикаһы|моделләштереү]] (''интерпретациялау''). Беҙҙең осраҡта беҙ был аксиомаларҙы [[Ысын һан|ысын һандар]] базаһында тормошҡа ашырырға тейешбеҙ{{sfn |Числовые системы|1975|с=167—168|name=NECH167}}.

==== Стандарт модель ====
Ысын һандарҙың бөтә мөмкин булған [[Пар (математика)|тәртипкә килтерелгән парҙарын]] ҡарайыҡ <math>(a,b)</math>. Артабанғы билдәләмәләрҙең мәғәнәһе аңлашылһын өсөн, артабан шундай һәр парҙы <math>a+bi.</math> комплекслы һаны итеп ҡараясаҡбыҙ икәнде асыҡлап китергә кәрәк{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=230—233}}.

Артабан билдәләмә бирәбеҙ<ref name=NECH167/>:
# <math>(a,b)</math> һәм <math>(c,d)</math> парҙары тигеҙ тип атала, әгәр <math>a=c</math> һәм <math>b=d</math> булһа.
# '''Ҡушыу''': <math>(a,b)</math> һәм <math>(c,d)</math> парҙары суммаһы <math>(a+c,b+d)</math> пары булараҡ билдәләнә.
# '''Ҡабатлау''': <math>(a,b)</math> һәм <math>(c,d)</math> парҙары ҡабатландығы <math>(ac-bd, ad+bc)</math> пары булараҡ билдәләнә.
Аңлатма: тәү ҡарауға ҡатмарлы күренгән ҡабатлау билдәләмәһе <math>i^2=-1</math> бәйләнешенән еңел сығарыла:
: <math>(a+bi)(c+di) = (a+bi)c+(a+bi)di = ac + bci + adi + bdi^2 = (ac-bd) + i (ad+bc)</math>

Был тасуирланған парҙар структураһы [[Ялан (алгебра)|ялан]] төҙөүенә һәм комплекслы һандарҙың килтерелгән аксиомалар теҙмәһен ҡәнәғәтләндереүенә ышаныу ауыр түгел. Ысын һандар <math>\mathbb{R}</math> аҫяланын барлыҡҡа килтергән <math>(a,0)</math> парҙары менән бирелә,шуның менән бергә бындай парҙар менән ғәмәлдәр ысын һандарҙы ғәҙәттәге ҡушыу һәм ҡабатлау менән тап килә. <math>(0,0)</math> һәм <math>(1,0)</math> парҙары яландың нуленә һәм берәмегенә тап килә. Бындай ысул [[Кэли — Диксон процедураһы]]ның айырым осрағы булып тора.

[[Уйланма берәмек]] — ул <math>(0,1)</math> пары. Уның квадраты <math>\left( -1,\;0 \right)</math>-гә тигеҙ, йәғни{{nbsp}}<math>-1.</math> Теләһә ниндәй комплекслы һанды <math>(a, b) = (a,0)(1,0) + (b,0) (0,1) = a (1,0) + b (0,1) = a + b i.</math> күренешендә яҙырға мөмкин.

Тасуирланған модель килтерелгән комплекслы һандар аксиоматикаһы ҡапма-ҡаршылыҡһыҙ булыуын иҫбатлай. Сөнки, әгәр унда ҡапма-ҡаршылыҡ булһа, был бирелгән модель өсөн база булып торған, беҙ баштан уҡ ҡапма-ҡаршылыҡһыҙ тип уйлаған ысын һандар арифметикаһында ҡапма-ҡаршылыҡ булыуын аңлатыр ине<ref name=NECH167/>.

==== Матрицалы модель ====
Комплекслы һандарға, ғәҙәттәге матрицаларҙы ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәре менән<ref name=MAT/>, {{nbsp}}2×2 күренешендәге  ысын [[Матрица (математика)|матрицалар]] ҡулсаһының [[аҫҡулса]]һы булараҡ билдәләмә бирергә лә мөмкин
: <math>\begin{pmatrix}x & -y \\ y & x\end{pmatrix}</math>
Ысын берәмеккә 
: <math>\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math> ярашлы,
уйланма берәмеккә —
: <math>\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}</math>.

Бындай матрицалар күмәклеге ике үлсәмле [[Векторлы арауыҡ|векторлы арауыҡ]].  <math>x+iy</math> комплекслы һанына ҡабатлау [[Һыҙыҡлы оператор|һыҙыҡлы оператор]] була.  <math>e_1=1, e_2=i</math> базисында <math>x+iy</math> һанына ҡабатлау һыҙыҡлы операторы A юғарыла күрһәтелгән матрица менән күрһәтелә, сөнки<ref name=MAT/>:
: <math>(x+iy)\cdot 1 = x\cdot 1 + y\cdot i</math>
: <math>(x+iy)\cdot i = (-y)\cdot 1 + x\cdot i </math>

==== Күпбыуындарҙың фактор-ҡулса моделы ====
Ысын коэффициентлы [[күпбыуындар ҡулсаһы]] <math>\mathbb{R}[x]</math> ҡарайбыҙ һәм <math>x^2+1</math> күпбыуыны модуле буйынса (йәки, шул уҡ булған, күрһәтелгән күпбыуын менән булдырылған [[идеал]] буйынса) уның [[фактор-ҡулса]]һын төҙөйбөҙ. Был шуны аңлата, <math>\mathbb{R}[x]</math>-тан ике күпбыуынды, әгәр <math>x^2+1</math> күпбыуынына бүлгәндә улар бер үк ҡалдыҡ бирһәләр, беҙ [[Отношение эквивалентлыҡ бәйләнеше|эквивалентлы]] тип иҫәпләйбеҙ. Мәҫәлән, <math>x^2</math> күпбыуыны <math>-1</math> константаһына эквивалентлы, <math>x^3</math> күпбыуыны <math>-x</math>-ҡа эквивалентлы {{итд}}<ref name=FAD/>

Эквивалентлыҡ кластары күмәклеге берәмек менән [[Ҡулса (математика)|ҡулса]] төҙөй.  <math>x^2+1</math> күпбыуыны [[Килтерелмәгән күпбыуын|килтерелмәгән]] булғанлыҡтан, был фактор-ҡулса ялан була. Уйланма берәмек ролен <math>i(x)=x</math> күпбыуыны уйнай, сөнки уның квадраты (юғарыла ҡара) <math>-1.</math>-гә эквивалентлы.  Һәр эквивалентлыҡ класында <math>a+bx</math> күренешендәге ҡалдыҡ бар (<math>x^2+1</math> күпбыуынына бүлеүҙән ҡалдыҡ), уны, әйтелгәндәрҙән сығып, <math>a+bi.</math> күренешендә яҙырға мөмкин. Ошонан сығып, был ялан комплекслы һандар яланына [[Ҡулсаларҙың изоморфизмы|изоморфлы]]<ref name=FAD>{{книга|автор=Фаддеев Д. К.|заглавие=Лекции по алгебре |место=М. |издательство=Наука |год=1984|страницы=200—201|страниц=416}}</ref>.

== Вариациялар һәм дөйөмләштереү ==
Комплекслы һандарҙың яҡындағы һөҙөмтәһе 1843 йылда билдәле була. Был кватерниондар есеме була, уның, комплекслы һандар яланынан айырмалы рәүештә, өс уйланма берәмеге бар, традицион рәүештә i , j , k тип тамғаланалар . {\displaystyle i,j,k.} {\displaystyle i,j,k.}
Комплекслы һандар, [[Фробениус теоремаһы]]на ярашлы, ысын һандар яланында сикле үлсәмле алгебраның өс мөмкин булған осрағының береһе булып тора. 1919 йылда асыҡланыуынса, комплекслы һандар ысын һандарҙан, һәм [[кватернион]]дар комплекслы һандарҙан. бер үк «[[Кэли — Диксон процедураһы]]» кеүек ''үлсәмде икеләтеү процедураһы'' ярҙамында килеп сығырға мөмкин. Был процедураны артабан ҡулланып, процедура ярҙамында билдәле булғанға тиклем үк [[Кэли Артур|Артур Кэли]] 1845 йылда тасуирлаған һандар килеп сыға, улар «[[Кэли һандары]]» (октониондар, октавалар) тип аталалар. Процедураны артабан ҡулланып табылған һандар [[Седениондар|седениондар]] тип аталалар. Был процедураны ҡулланыуҙы  артабан да ҡулланырға мөмкин булыуға ҡарамаҫтан, артабанғы һандарҙың әлегә атамалары юҡ<ref>{{Citation | last1=Dickson | first1=L. E. | author1-link=:en:Leonard Dickson | title=On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem | jstor=1967865 | publisher=Annals of Mathematics | series=Second Series | year=1919 | journal=[[Annals of Mathematics]] | issn=0003-486X | volume=20 | issue=3 | pages=155–171 | doi=10.2307/1967865}}</ref>.

== Иҫкәрмәләр ==
{{Иҫкәрмәләр|2}}

== Әҙәбиәт ==
{{Навигация
  |Тема=Комплексные числа |Викиучебник=Комплексные числа |Викитека= |Викисклад=Category:Complex_numbers}}
* {{книга|автор=[[Балк, Марк Беневич|Балк М. Б.]], Балк Г. Д., Полухин А. А.
  |заглавие=Реальные применения мнимых чисел |ref=Реальные применения мнимых чисел
  |место=Киев |издательство=Радянська школа |год=1988 |страниц=255 |isbn=5-330-00379-2}}
* {{книга |автор=[[Виленкин, Наум Яковлевич|Виленкин Н. Я.]], [[Ивашёв-Мусатов, Олег Сергеевич|Ивашов-Мусатов О. С.]], [[Шварцбурд, Семён Исаакович|Шварцбурд С. И.]] |издание=Изд. 6-е |ref=Алгебра и математический анализ
  |заглавие=Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учебное пособие
  |место=М. |издательство=Просвещение |год=1998 |страниц=288 |isbn=5-09-008036-4}}
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |место=М. |издательство=АСТ |год=2006
  |заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике
  |страниц=509 |isbn=5-17-009554-6}}
* {{книга|автор=Глазков Ю. А., Варшавский И. К., Гаиашвили М. Я.|заглавие=Комплексные числа. 9—11 классы
  |место=М.|издательство=Экзамен|год=2012|страниц=157|isbn=978-5-377-03467-4
  |ref=Комплексные числа. 9—11 классы }}
* {{книга |автор=[[Евграфов, Марат Андреевич|Евграфов М. А.]] |заглавие=Аналитические функции
  |издание=2-е изд., перераб. и дополн |место=М. |издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
  |год=1968 |страниц=472 |ref=Евграфов М. А. }}
* {{книга |автор=Кириллов А. А. |заглавие=Что такое число? |место=М. |год=1993 |страниц=80 |isbn=5-02-014942-3}}
* {{книга |автор=[[Лаврентьев, Михаил Алексеевич|Лаврентьев М. А.]], Шабат Б. В.
  |заглавие=Методы теории функций комплексного переменного
  |место=М. |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |год=[[1972]] |издание=4-е изд }}
* {{книга |часть=Математика XVIII столетия
  |заглавие=История математики |ссылка часть=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm
  |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах
  |место=М. |издательство=Наука |год=1972 |том=III |ref=История математики, том III }}
* {{книга |автор=[[Нечаев, Василий Ильич|Нечаев В. И.]] |заглавие=Числовые системы |место=М.
   |издательство=Просвещение |год=1975 |страниц=199 |ref=Числовые системы }}
* {{книга |автор=[[Привалов, Иван Иванович|Привалов И. И.]] |ref=Привалов И. И.
  |заглавие=Введение в теорию функций комплексного переменного
  |издание=13-е изд. |место=М. |издательство = Физматлит |год=1984 |страниц=432 }}
* {{книга |автор=Свешников А. Г., Тихонов А. Н. |заглавие=Теория функций комплексной переменной
  |место=М. |издательство=Наука |год=1967 |страниц=304 }}
* {{книга |автор=Смирнов В. И. |заглавие=Курс высшей математики в трёх томах |том=3, часть 2-я|ref=Смирнов В. И.
  |издание=Изд. 10-е |место=СПб. |издательство=БХВ-Петербург |год=2010 |страниц=816 |isbn=978-5-9775-0087-6 }}
* {{книга |заглавие=Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах) |страницы=160—168 |том=1 |год=1951
  |страниц=448 |место=М. |издательство=Физматгиз |ref=Энциклопедия элементарной математики }}
* {{книга |автор=Ahlfors Lars V. |ref=Ahlfors Lars V. |isbn=0-07-000657-1
  |заглавие=Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable
  |издание=Third edition |год=1979 |страниц=317 |место=Harvard University |издательство=McGraw-Hill Book Company}}

== Һылтанмалар ==
* {{cite web |author=[[Глейзер, Герш Исаакович|Глейзер Г.]] |url=http://mat.1september.ru/view_article.php?ID=200101001
  |title=Комплексные числа (часть 1 из 2) |accessdate=18 апреля 2017 |publisher=Журнал «Математика»
  |description=№ 10 (2001)}}
** [http://mat.1september.ru/view_article.php?ID=200101102  (часть 2 из 2)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180210064535/http://mat.1september.ru/view_article.php?ID=200101102 |date=2018-02-10 }}, «Математика» № 11 (2001).
* {{статья |автор=Понтрягин Л. |заглавие=Комплексные числа |год=1982 |номер=3 |страницы=
  |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1982/03/kompleksnye_chisla.htm |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] }}
* {{cite web |author= |url=http://www.siarion.net/rus/free/carevoljet/
  |title=Формульный калькулятор комплексных чисел под [[Microsoft Windows|Windows]] |accessdate=17 января 2018 }}

{{Числа}}
{{Алгебра над кольцом}}

{{рецензия}}

[[Категория:Һандар]]
[[Категория:Комплекслы һандар]]
[[Категория:Комплекслы анализ]]