Күмәклек битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

'''Күмәклек''' — [[Математика]]ның мөһим төшөнсәләренең береһе; ул, үҙе был күмәклектең '''элементтары''' тип аталған һәм уларҙың һәр береһе өсөн дөйөм характерлы үҙсәнлектәргә эйә булған ниндәйҙер объекттарҙың йыйылмаһы, тупланмаһы булған математик объект<ref>{{книга |часть=Множество |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=3 |год=1982 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |страницы=762}}</ref>. Күмәклектең дөйөм үҙсәнлектәрен өйрәнеү менән [[күмәклектәр теорияһы]], шулай уҡ математиканың һәм [[Математик логика|математик логиканың]] оҡшаш бүлектәре шөғөлләнә.

Миҫалдар: бирелгән ҡалала йәшәүселәр күмәклеге, [[Өҙлөкһөҙ функция|өҙлөкһөҙ функциялар]] күмәклеге, бирелгән тигеҙләмәнең сығарылыштары күмәклеге.

Күмәклек [[Буш күмәклек|буш]] һәм [[Буш булмаған күмәклек|буш булмаған]], [[өлөшләтә тәртипкә килтерелгән күмәклек|тәртипкә килтерелгән]] һәм тәртипкә килтерелмәгән, [[Сикле күмәклек|сикле]] һәм [[Сикһеҙ күмәклек|сикһеҙ]] булырға мөмкин, сикһеҙ күмәклек [[Иҫәпле күмәклек|иҫәпле]] йәки [[Иҫәпһеҙ күмәклек|иҫәпһеҙ]] булырға мөмкин. Улай ғына түгел, [[Хәйләһеҙ күмәклектәр теорияһы|хәйләһеҙ]], шулай уҡ [[Аксиоматик күмәклектәр теорияһы|аксиоматик]] күмәклектәр теорияларында теләһә ниндәй объект ғәҙәттә күмәклек тип һанала. Күмәклек төшөнсәһе математиканың бөтә бүлектәренә лә дөйөм идеологияны һәм терминологияны ҡулланырға мөмкинлек бирә.

== Төшөнсәнең тарихы ==
{{main|Күмәклектәр теорияһы тарихы}}
Сикле һәм сикһеҙ күмәклектәр теорияһына нигеҙ [[Больцано, Бернард|Бернард Больцано]] тарафынан һалына, ул күмәклектәр теорияһы принциптарының ҡайһы берҙәрен әйтеп бирә.

1872 йылдан алып 1897 йылдарға тиклем (башлыса 1872—1884 йылдарҙа) [[Кантор, Георг Фердинанд Людвиг Филипп|Георг Кантор]] байтаҡ хеҙмәттәрен баҫтырып сығара, уларҙа күмәклектәр теорияһының төп бүлектәре, нөктәле күмәклектәр теоряһын һәм [[Рәт һаны|трансфинитлы һандар]] (кардиналь һәм рәт) күмәклектәре теоряһын да индереп,  системалы рәүештә яҙып бирелә. Был хеҙмәттәрендә ул күмәклектәр теорияһының төп төшөнсәләрен индереп кенә ҡалмай, математиканы күмәклектәр теорияһы теоремаларын иҫбатлау өсөн ҡулланған яңы типтағы фекерҙәре менән байыта, уларҙы, атап әйткәндә, беренсе тапҡыр сикһеҙ күмәклектәргә ҡуллана. Шуға күрә күмәклектәр теорияһын Георг Кантор төҙөгән тип дөйөм иҫәпләнә. Күмәклекте «бирелгән үҙсәнлеккә эйә булған  бөтә объекттар йыйылмаһы өсөн берҙәй исем» тип билдәләй.
Был объекттарҙы [[күмәклек элементы|күмәклек элементтары]] тип атай.
<math>A(x)</math> үҙсәнлегенә эйә булған объекттар күмәклеген <math>\{x\mid A(x)\}</math> тип тамғалай.
Әгәр ниндәйҙер күмәклек <math>Y=\{x\mid A(x)\}</math> булһа, ул саҡта <math>A(x)</math>-ты <math>Y</math> күмәклегенең характерлы үҙсәнлеге тип атай.

Был концепция [[күмәклектәр теорияһы парадокстары|парадокстарға]], атап әйткәндә, [[Рассел парадоксы|Рассел парадоксына]] килтерә.

Күмәклектәр теорияһы ысынбарлыҡта бөтә хәҙерге математик теорияларҙың нигеҙе булараҡ файҙаланылғанлыҡтан, бер береһенә бәйһеҙ рәүештә [[Рассел, Бертран|Бертран Рассел]] һәм [[Цермело, Эрнст|Эрнст Цермело]] тарафынан 1908 йылда [[күмәклектәр теорияһы]] [[Күмәклектәр теорияһы аксиоматикаһы|аксиомалаштырыла]]. Артабан күп тикшеренеүселәр ике системаны ла, нигеҙҙә уларҙың характерын һаҡлап, киренән ҡарап сығалар һәм үҙгәртәләр. Әлегә тиклем улар һаман Рассел тибындағы теория һәм Цермело күмәклектәр теорияһы булараҡ билдәлеләр. Аҙағыраҡ Канторҙың күмәклектәр теорияһын [[Хәйләһеҙ күмәклектәр теорияһы|хәйләһеҙ күмәклектәр теорияһы]] тип атау ҡабул ителгән, ә яңы төҙөлгәнен — [[аксиоматик күмәклектәр теорияһы]] тип атайҙар.

XX быуат урталарында нығынған практика буйынса күмәклек ZFC аксиомаларын ([[Һайлау аксиомаһы|һайлау аксиомаһы]] менән [[Күмәклектәр теорияһы аксиоматикаһы|Цермело — Френкель аксиомалары]]) ҡәнәғәтләндереүсе модель һымаҡ билдәләнә.
Бындай ҡараш ваҡытында ҡайһы бер математик теорияларҙа күмәклек булмаған объекттар йыйылмаһы барлыҡҡа килә.
Бындай йыйылмалар [[Класс (күмәклектәр теорияһы)|кластар]] (төрлө тәртиптәге) тип аталалар.

== Күмәклек элементы ==
Күмәклекте төҙөүсе объекттарҙы '''күмәклек элементтары''' йәки күмәклек нөктәләре тип атайҙар.
Күмәклектәрҙе йышыраҡ [[Латин алфавиты|латин алфавитының]] баш хәрефтәре менән тамғалайҙар, уның элементтарын — бәләкәй хәрефтәр менән. Әгәр <math>a</math> — <math>A</math> күмәклегенең элементы булһа, ул саҡта <math>a \in A</math> («<math>a</math> <math>A</math>-ға инә») тип яҙалар. Әгәр <math>a</math> <math>A</math> күмәклегенең элементы булмаһа, ул саҡта <math>a \notin A</math> («<math>a</math> <math>A</math>-ға инмәй») тип яҙалар. [[Мультикүмәклек]]тән айырмалы рәүештә күмәклектең һәр элементы [[Уникаллыҡ|уникаль]], һәм күмәклектә ике берҙәй элемент була алмай. Икенсе төрлө әйткәндә, күмәклеккә унда булған элементҡа оҡшаш элементты өҫтәү, уны үҙгәртмәй:
: <math>\{6, 11\} = \{11, 6\} = \{11, 11, 6, 11, 6\}</math>.

Ике күмәклектең тигеҙлеге <math>A=B</math> 
: <math>x\in A\iff x\in B</math> булыуын аңлата.

== Күмәклекте биреү ==
Күмәклекте биреүҙең ике төп ысулы бар: һанап биреү һәм һүрәтләү.

Беренсе ысул шунан ғибәрәт, күмәклеккә ингән элементтарҙың тулы исемлеге бирелә һәм  һанап сығыла. Мәҫәлән, <math>Y</math> 10-дан бәләкәйерәк тиҫкәре булмаған йоп һандар күмәклеген теҙем рәүешендә бирергә мөмкин: <math>Y = \left \{ 0, 2, 4, 6, 8 \right \}</math>. Был ысулды сикле күмәклектәрҙең сикләнгән һаны өсөн генә ҡулланып була.

Икенсе ысулды күмәклекте теҙмә ярҙамында биреү ҡыйын йәки мөмкин булмағанда ҡулланалар. Был осраҡта күмәклектәр үҙҙәренең элементтарының үҙсәнлектәре менән биреләләр. Әгәр <math>Y</math> күмәклегенә ингән бөтә элементтар ҡәнәғәтләндергән һәм <math>Y</math> күмәклегенә инмәгән элементтар ҡәнәғәтләндермәгән <math>A(x)</math> үҙсәнлеге бирелһә, <math>Y</math> күмәклеге бирелгән була.

Тамғалау
: <math>Y=\{\,x\in X\mid A(x)\,\},</math>
<math>Y</math> күмәклеген биреү өсөн ҡулланыла; ул <math>Y</math> күмәклеге <math>X</math> күмәклегенең <math>A(x)</math> үҙсәнлеге үтәлгән <math>x</math> элементтарынан һәм тик шул элементтарынан ғына тора тигәнде аңлата.

Мәҫәлән, <math>f\colon X\to Y</math> [[функцияһы графигы]]н түбәндәгесә бирергә мөмкин:
: <math>\Gamma=\{\,(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=y\,\},</math>

== Күмәклектәрҙең һәм оҡшаш объекттарҙың ҡайһы бер төрҙәре ==

=== Махсус күмәклектәр ===
* [[Буш күмәклек]] — бер элементы ла булмаған күмәклек.
* '''Бер элементлы күмәклек''' — бер элементтан торған күмәклек.
* [[Универсаль күмәклек]] (универсум) — бөтә булыуы мөмкин булған объекттар ингән күмәклек. [[Рассел парадоксы]] менән бәйле был төшөнсә хәҙерге ваҡытта «ҡаралған мәсьәләлә ҡатнашыусы бөтә күмәклектәрҙе лә индергән күмәклек» һымаҡ аңлатыла.

=== Оҡшаш объекттар ===
* [[Кортеж (математика)|Кортеж]] (атап әйткәндә, [[Пар (математика)|тәртипкә килтерелгән пар]]) — сикле һандағы исемләнгән объекттарҙың тәртипкә килтерелгән йыйылмаһы. Түңәрәк йәки мөйөшлө йәйәләр эсендә яҙыла, ә элементтары ҡабатланырға мөмкиндәр.
* [[Мультикүмәклек]] ([[Петри селтәре|Петри  селтәрҙәре]] теорияһында «комплект» тип атала) — тапҡырлы элементтарлы күмәклек.
* Арауыҡ — ниндәйҙер өҫтәлмә структураһы булған күмәклек.
* [[Вектор (алгебра)|Вектор]] — ниндәйҙер [[Ялан (алгебра)|яландың]] сикле һандағы элементтары координаталар сифатында ингән [[Һыҙыҡлы арауыҡ|һыҙыҡлы арауыҡ]] элементы. Тәртип булыуы мөһим, элементтар ҡабатланырға мөмкин.
* [[Эҙмә-эҙлелек]] — бер [[Натураль һан|натураль]] үҙгәреүсәнле [[Функция (математика)|функция]]. Элементтарҙың тәртибе мөһим булған сикһеҙ йыйылмаһы (төрлө булыуы мотлаҡ түгел) кеүек күрһәтелә.
* [[Аныҡ булмаған күмәклек]] — күмәклеккә оҡшаш математик объект, уғи ингәнлек [[Бәйләнеш (күмәклектәр теорияһы)|бәйләнеш]] менән түгел, ә [[Функция (математика)|функция]] менән бирелә. Икенсе төрлө әйткәндә, аныҡ булмаған күмәклек элементтарына ҡарата «ҡайһы тиклем» улар күмәклеккә инәләр икәнен әйтеп була, ә ябай ғына улар күмәклеккә инәләр йәки инмәйҙәр тип кенә әйтеп булмай.

=== Иерархия буйынса ===
* Күмәклектәр күмәклеге (атап әйткәндә, [[булеан]] — бирелгән күмәклектең бөтә аҫкүмәклектәре күмәклеге).
* [[Аҫкүмәклек]]
* Өҫкүмәклек

== Күмәклектәр араһында бәйләнештәр ==
[[Файл:Venn A subset B.svg|thumb|<math>A \subset B</math> өсөн [[Эйлер диаграммаһы]]]]
{{main|Подмножество}}
Ике <math>A</math> һәм <math>B</math> күмәклектәре бер-береһе менән төрлө бәйләнештәргә инергә мөмкиндәр.
* <math>A</math> <math>B</math>-ға инә, әгәр <math>A</math> күмәклегенең һәр элементы <math>B</math> күмәклегенә лә инһә:
*: <math>A \subseteq B \Leftrightarrow \forall a \in A\colon a \in B</math>
* <math>A</math> <math>B</math>-ны үҙ эсенә ала, әгәр <math>B</math> <math>A</math>-ға инһә:
*: <math>A \supseteq B \Leftrightarrow B \subseteq A</math>
* <math>A</math> тигеҙ <math>B</math>-ға, әгәр <math>A</math> һәм <math>B</math> бер-береһенә инһә:
*: <math>A = B \Leftrightarrow (A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>
** Теләһә ниндәй күмәклек өсөн <math>A = A</math>
** Әгәр <math>A = B</math> булһа, ул саҡта <math>B = A</math>
** Әгәр <math>A = B</math>, <math>B = C</math> булһа, ул саҡта <math>A = C</math>.
* <math>A</math> <math>B</math>-ға ҡәтғи инә, әгәр <math>A</math> <math>B</math>-ға инһә, ләкин уға тигеҙ булмаһа:
*: <math>A \subset B \Leftrightarrow (A \subseteq B) \land (A \neq B)</math>
* <math>A</math> <math>B</math>-ны ҡәтғи үҙ эсенә ала, әгәр <math>B</math> <math>A</math>-ға ҡәтғи инһә:
*: <math>A \supset B \Leftrightarrow B \subset A</math>
* <math>A</math> һәм <math>B</math> киҫешмәйҙәр, әгәр уларҙың уртаҡ элементтары булмаһа:
*: <math>A</math> һәм <math>B</math> киҫешмәйҙәр <math>\Leftrightarrow \forall a \in A\colon a \notin B</math>
* <math>A</math> һәм <math>B</math> дөйөм торошта торалар, әгәр фәҡәт <math>A</math> күмәклегенә генә ингән  элемент булһа, фәҡәт <math>B</math> күмәклегенә генә ингән  элемент булһа, шулай уҡ ике күмәклеккә лә ингән элемент булһа:
*: <math>A</math> һәм <math>B</math>  дөйөм торошта торалар <math>\Leftrightarrow</math> <math> \exists a,b,c\colon (a \in A) \land (a \notin B) \land (b \in B) \land (b \notin A) \land (c \in A) \land (c \in B)</math>

== Күмәклектәр өҫтөндә ғәмәлдәр ==<!-- используется для перенаправления [[Операции над множествами]] -->
[[Файл:Venn0001.svg|thumb|<math>A \cap B</math> өсөн [[Венн диаграммаһы]]]]
[[Файл:Venn0111.svg|thumb|<math>A \cup B</math> өсөн [[Венн диаграммаһы]]]]
[[Файл:Venn0100.svg|thumb|<math>A \setminus B</math> өсөн [[Венн диаграммаһы]]]]
[[Файл:Venn0110.svg|thumb|<math>A \triangle B</math> өсөн [[Венн диаграммаһы]]]]

=== Бинар операциялар ===
Күмәклектәр өҫтөндә бирелгән төп [[Бинар операция|бинар операциялар]]:
* [[Күмәклектәрҙең киҫелеше|киҫелеш]]:
*: <math>A\cap B:=\{x\mid x\in A\land x\in B\}</math>.
* [[Күмәклектәрҙең берекмәһе|берекмә]]:
*: <math>A\cup B:=\{x\mid x\in A\lor x\in B\}</math>.
: Әгәр <math>A</math> һәм <math>B</math> күмәклектәре киҫешмәһә, ул саҡта <math>A\cap B=\varnothing</math>. Уларҙың берекмәһен шулай уҡ ошолай тамғалайҙар: <math>A+B=A\cup B</math>.
* [[Күмәклектәрҙең айырмаһы|айырма]]:
*: <math>A\setminus B:=A\cap\overline B=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}</math>.
* [[симметрик айырма]]:
*: <math>A\triangle B\equiv A\dot-B:=</math>
*:: <math>(A\cup B)\setminus(A\cap B)=A\cap\overline B+\overline A\cap B = </math>
*::: <math> = \{x\mid(x\in A\land x\notin B)\lor(x\notin A\land x\in B)\}</math>.
* [[Күмәклектәрҙе тура ҡабатлау|Декарт йәки тура ҡабатлау]]:
*: <math>A\times B=\{(a,\;b)\mid a\in A,\;b\in B\}</math>.
Ғәмәлдәрҙең мәғәнәһен аңлатыу өсөн йыш ҡына [[Венн диаграммалары]] ҡулланыла, уларҙа геометрик фигуралар өҫтөндә, нөктәләр күмәклеге кеүек, ғәмәлдәрҙең һөҙөмтәләре күрһәтелгән.

Киҫелеш һәм берекмә ғәмәлдәренә ҡарата йомоҡ теләһә ниндәй күмәклектәр системаһы, киҫелеш һәм берекмәгә ҡарата [[Дистрибутив рәшәткә|дистрибутив рәшәткә]] төҙөй.

=== Унар ғәмәлдәр ===
[[Файл:Venn1110.svg|thumb|<math>(A \cap B)^\complement</math> өсөн [[Венн диаграммаһы]]]]
[[Күмәклекте тултырыу|Тултырыу]] түбәндәгесә билдәләнә:
: <math>\overline A \equiv A^\complement :=\{x\mid x\notin A\}</math>.
Тултырыу ғәмәле ниндәйҙер билдәләнгән универсум (<math>A</math> ингән универсаль күмәклек <math>U</math>) булыуын күҙ уңында тота, һәм күмәклектәрҙең был универсум менән айырмаһына ҡайтып ҡала:
: <math>\overline A=U\setminus A</math>.
Киҫелеш һәм берекмә ғәмәлдәренә ҡарата йомоҡ, билдәләнгән универсумы булған күмәклектәр системаһы, шул рәүешле индерелгән тултырыу менән [[Буль алгебраһы]]н төҙөй.

[[Булеан]] — бөтә аҫкүмәклектәр күмәклеге:
: <math>2^X \equiv \mathcal PX := \{A\mid A\subset X\}</math>.

<math>2^X</math> тамғаланышы сикле күмәклектең бөтә аҫкүмәклектәре күмәклеге [[Күмәклектең ҡеүәте|ҡеүәте]] үҙсәнлегенән килеп сыға:
: <math>\left|2^X\right|=2^{|X|}</math>.
Булеан <math>2^X</math> билдәләнгән универсумы булған, киҫелеш һәм берекмә ғәмәлдәренә ҡарата йомоҡ <math>X</math> күмәклектәр системаһын барлыҡҡа килтерә, йәғни, Буль алгебраһын барлыҡҡа килтерә.

=== Ғәмәлдәр өҫтөнлөгө ===
Күмәклектәр өҫтөндә ғәмәлдәр башҡарыу эҙмә-эҙлелеге, ғәҙәттәгесә, йәйәләр ярҙамында бирелергә мөмкин. Йәйәләр булмаған осраҡта тәүҙә  унар ғәмәлдәр (тултырыу), аҙаҡ — [[Күмәклектәрҙең киҫелеше|киҫелеш]], унан һуң —  бер үк өҫтөнлөклө булған [[Күмәклектәрҙең берекмәһе|берекмә]] һәм [[Күмәклектәрҙең айырмаһы|айырма]] башҡарыла.  Бер үк өҫтөнлөклө булған ғәмәлдәр һулдан уңға ҡарай башҡарыла. Был осраҡта шуны күҙ уңында тоторға кәрәк, <math>(a+b)-c = a + (b-c)</math> үҙсәнлеге үтәлгән арифметик ҡушыу һәм алыуҙан айырмалы рәүештә, күмәклектәр өҫтөндә оҡшаш ғәмәлдәр өсөн был дөрөҫ түгел. Мәҫәлән, әгәр <math>A=\{1,3\}, B=\{1,2\}, C=\{2,3\}</math> булһа, ул саҡта <math>(A\cup B)\setminus C=\{1\},</math> ләкин, шул уҡ ваҡытта, <math>A\cup (B\setminus C)=\{1, 3\}</math>.

== Ҡеүәт ==
{{main|Күмәклек ҡеүәте}}
[[Күмәклек ҡеүәте]] — сикле күмәклек өсөн элементтар һаны төшөнсәһен, араһында биекция урынлаштырырға мөмкин булған күмәклектәр тигеҙ ҡеүәтле булырлыҡ итеп дөйөмләштереүсе, күмәклектең характеристикаһы. <math>|A|</math> йәки <math>\sharp A</math> тип тамғалана. Буш күмәклектең ҡеүәте нулгә тигеҙ, сикле күмәклектәр өсөн ҡеүәт элементтар һаны менән тап килә, бер-береһе менән эсенә алыу принцибы буйынса бәйләнгән (әгәр <math>A \subseteq B</math> булһа, ул саҡта <math>|A| \leqslant |B|</math>) һәм сикле күмәклек  булеаны ҡеүәте үҙсәнлеге таралған сикһеҙ күмәклектәр өсөн, махсус [[Кардиналь һан|кардиналь һандар]] индерелә: сикһеҙ күмәклектәр осрағында <math>|2^A| = 2^{|A|}</math> (<math>2^A</math> тамғаланышы үҙе был үҙсәнлек менән нигеҙләнә).

Иң бәләкәй сикһеҙ ҡеүәт <math>\aleph_0</math> тип тамғалана, был [[Иҫәпле күмәклек|иҫәпле күмәклек]] ҡеүәте. Иҫәпле күмәклек булеанына биектив [[Континуум (Күмәклектәр теорияһы)|континуум]] ҡеүәте <math>\mathfrak c</math> йәки <math>2^{\aleph_0}</math> тип тамғалана. [[Континуум-гипотеза]] — иҫәпле ҡеүәт һәм континуум ҡеүәте араһында аралаш ҡеүәт юҡ тигән фараз.

== Иҫкәрмәләр ==
{{Иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==
* {{книга|автор=[[Куратовский, Казимир|К. Куратовский]], [[Мостовский, Анджей|А. Мостовский]]|заглавие=Теория множеств|ответственный=Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова|место=М.|издательство=Мир|год=1970|страниц=416|ref=Куратовский, Мостовский}}
* {{книга|автор=Столл Р. Р.|заглавие=Множества. Логика. Аксиоматические теории.|место=М.|издательство=Просвещение|год=1968|страниц=232|ответственный = Перевод с английского [[Гастев, Юрий Алексеевич|Ю. А. Гастева]] и И. Х. Шмаина под редакцией [[Шиханович, Юрий Александрович|Ю. А. Шихановича]]}}

{{Логика}}

[[Категория:Күплек теорияһы]]