Күмәклектәр теорияһы битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

[[Рәсем:Venn_A_intersect_B.svg|right|thumb|200px|Ике күмәклектең киҫешеүен сағылдырған [[Венн диаграммаһы]]]]
'''Күмәклектәр теорияһы''' – [[математика]]ның [[күмәклек]]тәрҙең дөйөм үҙсәнлектәрен — йәғни ниндәйҙер уртаҡ үҙсәнлектәргә эйә булған объекттар йыйылмаһын өйрәнеүсе тармағы.

Хәҙерге күмәклектәр теорияһы [[1870]] йылда [[Георг Кантор]] һәм [[Рихард Дедекинд]] хеҙмәттәренән башланғыс ала. Бөгөнгө көндә был теория математиканың күп бүлектәренең — [[Дөйөм топология|дөйөм топологияның]], [[Дөйөм алгебра|дөйөм алгебраның]], [[Функциональ анализ|функциональ анализдың]] нигеҙендә ята<ref>{{БСЭ3|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров]]|Множеств теория}} «<cite><…>явилась фундаментом ряда новых математических дисциплин (теории функций действительного переменного, общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и др.) <…> оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики</cite>»</ref>. XX быуаттың беренсе яртыһында күмәклектәр теорияһы күҙлегенәнән ҡараш математиканың күп традицион бүлектәренә индерелә, шуның менән бәйле математиканы уҡытыуҙа, шул иҫәптән мәктәптәрҙә, киң ҡулланыла башланы. Әммә математик  теорияларҙы логик яҡтан яҡшы итеп төҙөү өсөн күмәклектәр теорияһын ҡулланыу ҡатмарлаша, сөнки ул үҙенең фекерләү ысулдарын нигеҙләүгә мохтаж.<ref>{{книга
|часть =
|заглавие = Математический энциклопедический словарь
|оригинал =|автор =|ссылка =|isbn = 
|страницы = 382
|год = 1988
|место =  М.
|издательство = [[Большая Российская энциклопедия (издательство)|«Сов. энциклопедия »]]
}}</ref>.

XX быуаттың икенсе яртыһынан башлап күмәклектәр теорияһының әһәмиәтенә ҡараш һәм уның математиканың үҫешенә йоғонтоһо,   математиканың күп өлкәләрендә уның аппаратын асыҡтан-асыҡ ҡулланмайынса етерлек дәрәжәлә дөйөм һөҙөмтәләргә өлгәшеп була икәнен аңлау иҫәбенә, һиҙелерлек кәмей. Шулай булыуға ҡарамаҫтан, математиканың бөтә бүлектәрендә лә күмәклектәр теорияһы нотацияһы, уның ысулдарын ҡулланыуға бәйһеҙ рәүештә, дөйөм ҡабул ителгән булып ҡала.

Теорияның төп төшөнсәләре: [[күмәклек]] (ирекле тәбиғәтле объекттар йыйылмаһы), элементтарҙың күмәклеккә инеү мөнәсәбәте, [[аҫкүмәклек]], [[күмәклектәр өҫтөндә ғәмәлдәр]], [[Сағылыш (математика)|күмәклектәрҙең сағылышы]], [[үҙ-ара-бер мәғәнәле ярашлылыҡ]], [[Күмәклек ҡеүәте|ҡеүәт]] ([[Сикле күмәклек|сикле]], [[Иҫәпле күмәклек|иҫәпле]], [[Иҫәпһеҙ күмәклек|иҫәпһеҙ]]), [[трансфинит индукция]].
[[Файл:3D Cantor set.jpg|thumb|[[Кантор күмәклеге]]нең өс үлсәмле вариантын күҙаллау]]

== Тарихы ==

=== Тәүшарттар ===
Күмәклектәр, шул иҫәптән сикһеҙ күмәклектәр, математикала [[Боронғо Грецияла математика|Боронғо Греция]] замандарында уҡ асыҡтан-асыҡ булмаған формала телгә алына: мәҫәлән, бөтә рациональ, бөтөн, натураль, таҡ, ябай һандар күмәклектәренең береһе икенсеһенә инеү бәйләнештәре ҡаралған. Күмәклектәрҙең тигеҙ ҡеүәтле булыу идеяһы башланғыстары [[Галилей, Галилео|Галилейҙа]] осрай: һандар һәм уларҙың [[Квадрат (һан)|квадраттары]] араһында ярашлылыҡ тураһында фекер йөрөтөп, ул «бөтөн өлөштән ҙурыраҡ» аксиомаһын сикһеҙ объекттарға ҡулланып булмауына иғтибар итә ([[Галилей парадоксы]]){{Sfn|Бурбаки|1963|с=39}}.

Актуаль сикһеҙ күмәклек тураһында беренсе төшөнсә 1800-се йылдар башында, «[[Арифметик тикшеренеүҙәр (Гаусс)|Арифметик тикшеренеүҙәрендә]]» баҫылып сыҡҡан [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] хеҙмәттәрендә яҙылған тип һанала<ref>{{книга
 |автор         = [[Гаусс, Карл Фридрих|C. F. Gauss]]
 |заглавие      = Disquititiones arithmeticae
 |место         = [[Лейпциг|Lipsiae]]
 |издательство  = 
 |год           = 1801
 |страниц       = 
}}</ref>. Әммә Гаусс сикһеҙ күмәклектәрҙе йәки кластарҙы үҙаллы тикшеренеү объекты итеп ҡарамай, улай ғына түгел, ул актуаль сикһеҙлекте математик иҫбатлауҙарҙа ҡулланыу мөмкинлегенә ҡаршы фекер әйтә {{Sfn|Медведев|1965|с=24}}.

Сикһеҙ күмәклектәр тураһында асығыраҡ күҙаллау [[Дирихле, Петер Густав Лежён|Дирихле]] хеҙмәттәрендә, 1856—1857 йылдарҙағы лекциялар курсында күренә<ref>{{книга
 |автор         = [[Дирихле, Петер Густав Лежён|P. G. Lejuen Dirichlet]]
 |заглавие      = Vorlesungen über Zahlentheorie
 |место         = Braunschweig
 |издательство  = 
 |год           = 1863
 |страниц       = 
}}, курсты баҫмаға Дирихле вафат булғандан һуң [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинд]] әҙерләй</ref>. Функциональ сағыштырыуҙар теорияһы буйынса 1820—1850-се йылдарҙағы [[Галуа, Эварист|Галуа]], [[Шёман, Вильгот|Шёман]] һәм [[Серре, Жозеф Альфред|Серре]] хеҙмәттәрендә шулай уҡ күмәклектәр теорияһынан сығып ҡарау элементтары беленә. Уларҙы 1857 йылда [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинд]] дөйөмләштерә{{Sfn|Медведев|1965|с=24—27}}. Күмәклектәр теорияһының айырым төшөнсәләрен [[Штейнер, Якоб|Штейнер]] һәм [[Штаудт, Карл Георг Христиан|Штаудт]]тың 1830—1860-сы йылдарҙағы [[Проект геометрияһы|проект геометрияһы]] буйынса хеҙмәттәрендә осратырға мөмкин: бөтә предмет һиҙелерлек дәрәжәлә күмәклектәр теорияһы өсөн төп төшөнсә булған [[Үҙ-ара-бер мәғәнәле сағылдырыу|үҙ-ара-бер мәғәнәле сағылдырыу]] тураһында күҙаллауға бәйле, әммә проект геометрияһында ундай ярашлыҡтарға өҫтәлмә сикләүҙәр ҡуйыла (ҡайһы бер геометрик [[Бәйләнеш|бәйләнештәрҙең]] һаҡланыуы). Атап әйткәндә, Штейнер тура һыҙыҡтағы нөктәләр күмәклеге һәм шәлкемдәге нурҙар күмәклеге өсөн иҫәпһеҙ күмәклек төшөнсәһе индерә һәм уларҙың иҫәпһеҙ аҫкүмәклектәре менән эш итә, ә 1867 йылдағы хеҙмәтендә күмәклектең характеристикаһы итеп ҡеүәт төшөнсәһе индерә {{Sfn|Медведев|1965|с=28—32}}.

Канторҙың хәйләһеҙ күмәклектәр теорияһына яҡын торған күҙаллауҙар [[Больцано, Бернард|Больцано]] хеҙмәттәрендә бар{{Sfn|Медведев|1965|с=74—77}}, иң башта, авторы [[1851 йыл]]да вафат булғандан һуң баҫылып сыҡҡан {{нп5|Парадоксы бесконечного|«Парадоксы бесконечного»|en|The Paradoxes of the Infinite}} хеҙмәтендә, унда ирекле һанлы күмәклектәр ҡарала, ә уларҙы сағыштырыу өсөн [[Үҙ-ара-бер мәғәнәле сағылдырыу|үҙ-ара-бер мәғәнәле сағылдырыу]] төшөнсәһе бирелә, «күмәклек» ({{lang-de|menge}}) термины үҙе шулай уҡ тәү тапҡыр был хеҙмәттә систематик рәүештә ҡулланыла. Ләкин, Больцано хеҙмәте математик булыуға  ҡарағанда башлыса фәлсәфәүи  характерҙа, атап әйткәндә, унда күмәклектең ҡеүәте һәм сикһеҙлек дәүмәле йәки тәртибе төшөнсәләре араһында аныҡ сикләү юҡ, һәм был күҙаллауҙарҙа әҙме-күпме формаль һәм  тулы математик теория юҡ{{Sfn|Бурбаки|1963|с=39—40}}. [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрастың]], [[Мерэ, Шарль|Мерэ]] һәм Дедекиндтың 1850-се йылдар аҙағында  барлыҡҡа килгән һәм 1860-сы йылдар башында баҫылып сыҡҡан ысын һандар теорияһы хәйләһеҙ күмәклектәр теорияһы идеялары менән күп яҡтан ауаздаш, улар [[Континуум (теория множеств)|континуум]]ды [[Рациональ һан|рациональ]] һәм [[Иррациональ һан|иррациональ]] нөктәләрҙән төҙөлгән күмәклек итеп ҡарайҙар{{Sfn|Медведев|1965|с=61—67}}.

=== Хәйләһеҙ күмәклектәр теорияһы ===
[[Файл:Georg Cantor3.jpg|thumb|Георг Кантор 1870 йылда]]
[[Файл:Diagonal argument.svg|thumb|Рациональ һандар күмәклегенең иҫәпле булыуын иҫбатлау схемаһы]]
[[Файл:Cantor-bernstein.svg|thumb|Кантор — Бернштейн теоремаһын иҫбатлауҙың схематик идеяһы]]
{{main|Наивная теория множеств}}
Күмәклектәр теорияһын ''хәйләһеҙ'' вариантта төп төҙөүсе булып немец математигы [[Кантор, Георг|Георг Кантор]] тора, нөктәләр күмәклеген абстракциялауға уны 1870—1872 йылдарҙағы [[Тригонометрик рәт|тригонометрик рәттәр]] теорияһын үҫтереү буйынса ([[Риман, Георг Фридрих Бернхард|Римандың]] хеҙмәттәрен дауам итеүсе) хеҙмәттәр этәрә{{Sfn|Медведев|1965|с=86—87}}. Күмәклектәрҙең тиң ҡеүәтлелеге мәсьәләләре менән ҡыҙыҡһынып, [[1873 йыл]]да Кантор [[Рациональ һан|рациональ һандар]] күмәклегенең [[Иҫәпле күмәклек|иҫәпле]] булыуын асыҡлай һәм [[Бөтөн һан|бөтөн]] һәм [[Ысын һан|ысын һандар]] күмәклектәренең тиң ҡеүәтле булыу мәсьәләһен {{нп5|Ысын һандар күмәклегенең иҫәпһеҙ булыуын беренсе иҫбатлау|тиҫкәре хәл итә|en|Cantor's first uncountability proof}} (һуңғә һөҙөмтәне 1874 йылда [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрасстың]] талабы буйынса баҫтыра){{Sfn|Медведев|1965|с=94—95}}{{Sfn|Кантор|1985|с=18—21|loc=2. Об одном свойстве совокупности всех алгебраических чисел. Оригинал: [http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583 Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen.] — Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 77 (1874), p. 258—262}}. [[1877 йыл]]да Кантор [[Ысын һан|<math>\mathbb R</math>]] һәм <math>\mathbb R^n</math> араһында үҙ-ара бер мәғәнәле ярашлыҡты иҫбат итә(теләһә ниндәй <math>n>0</math> өсөн). Беренсе һөҙөмтәләре менән Кантор Дедекинд һәм Вейерштрасс менән үҙ-ара яҙышҡан хаттарҙа бүлешә, улар илтифатлы критика һәм иҫбатлауға иҫкәрмәләр менән яуап бирәләр. [[1879 йыл]]дан башлап 1884 йылға тиклем сикһеҙ нөктәле күмәклектәрҙе тикшереү һөҙөмтәләре менән [[Mathematische Annalen]]да алты мәҡәлә баҫтыра {{Sfn|Кантор|1985|с=40—141|loc=5. О бесконечных линейных точечных многообразиях. Оригинал: Über unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. — Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884)}}{{sfn|Бурбаки|1963|c=40—41}}.

[[1877 йыл]]да Дедекинд «О числе классов идеалов конечного поля» мәҡәләһен баҫтыра, унда [[Ялан (алгебра)|ялан]], [[Ҡулса өҫтөндә модуль|модулдәр]], [[Идеал (алгебра)|идеалдар]], [[Ҡулса (алгебра)|ҡулсалар]] кеүек күмәклектәр менән асыҡтан-асыҡ эш итә, һәм улар өсөн инеү бәйләнештәрен («<» һәм «>» тамғаларын ҡулланып), берләштереү («+» тамғаһы менән) һәм киҫешеү («−» инфиксы менән) операцияларын ҡуллана, һәм бынан тыш, берекмә һәм киҫелеш операцияларының ике төрлө булыуын күрһәтеп, ысынында күмәклектәр алгебраһына килә, Дедекинд тамғалауында:
: <math>(A+B)-(A+C) = A + (B - (A+C))</math>,
: <math>(A-B)+(A-C) = A - (B + (A-C))</math>,
Артабан үҙенең хеҙмәттәрендә күп тапҡыр был һөҙөмтәне ҡуллана{{Sfn|Медведев|1965|с=103—105}}. [[1878 йыл]]да баҫылып сыҡҡан төрлө һандағы үлсәмле континуумдарҙың тиң ҡеүәтлелеге тураһында хеҙмәттәрҙә Кантор, Дедекинд хеҙмәтенә таянып, күмәклектәр теорияһы операцияларын ҡуллана. Бынан тыш, был хеҙмәттә беренсе тапҡыр асыҡтан-асыҡ [[Күмәклек ҡеүәте|күмәклек ҡеүәте]] төшөнсәһе индерелә, иҫәпле күмәклектең теләһә ниндәй сикһеҙ аҫкүмәклегенең иҫәпле булыуы иҫбатлана, ә [[Алгебраик һан|алгебраик һандарҙың]] сикле яландары иҫәпле күмәклек миҫалы итеп килтерелә. Канторҙың төрлө һандағы үлсәмле континуумдарҙың тиң ҡеүәтлелеге тураһында хеҙмәте математиктарҙың иғтибарын киң йәлеп итә.

[[1880 йыл]]да Кантор күмәклектәр теорияһының ике төп идеяһын әйтә — [[Буш күмәклек|буш күмәклек]] тураһында төшөнсә һәм [[Трансфинит индукция|трансфинит индукцияһы]] методы. 1881 йылдан башлап Кантор методтары менән башҡа математиктар ҡуллана башлайҙар: [[Вольтерра, Вито|Вольтерра]], [[Дюбуа-Реймон, Эмиль Генрих|Дюбуа-Реймон]], {{нп5|Бендиксон, Ивар|Бендиксон|se|Ivar Bendixson}}, [[Гарнак, Аксель|Гарнак]], башлыса функцияларҙың [[интеграл|интегралланыусанлығы]] мәсьәләләре менән бәйле {{Sfn|Медведев|1965|с=113—117}}. [[1883 йыл]]дағы хеҙмәтендә Кантор, үҙе индергән [[Камил күмәклек|камил күмәклек]] һәм [[Күмәклек тығыҙлығы|күмәклек тығыҙлығы]] төшөнсәләрен файҙаланып, континуумдың тарихи беренсе формаль билдәләмәһен бирә ([[Дөйөм топология|дөйөм топологияла]] ҡулланылған хәҙерге замандыҡынан айырмалы, ләкин улар менән принципиаль оҡшаш булған), шулай уҡ [[Бер ҡайҙа ла тығыҙ булмаған күмәклек|бер ҡайҙа ла тығыҙ булмаған]] камил күмәклектең ([[Кантор күмәклеге]] булараҡ билдәле булған) классик миҫалын төҙөй{{Sfn|Медведев|1965|с=126—131}}, шулай уҡ [[Континуум-гипотеза|континуум-гипотезаны]] асыҡтан-асыҡ әйтеп бирә.

1885—1895 йылдарҙа хәйләһеҙ күмәклектәр теорияһын төҙөү буйынса эштәр Дедекиндтың хеҙмәттәрендә үҫеш ала (Кантор был 10 йыл дауамында ауырыу сәбәпле бары тик бер ҙур булмаған хеҙмәтен баҫтыра). Шулай, «Что такое числа и для чего они служат?» китабында<ref>{{книга
 |автор         = Dedekind, R.
 |заглавие      = Was sind und was sollen die Zahlen? 
 |оригинал      = 
 |ссылка        = http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?pn=1&url=%2Fmpiwg%2Fonline%2Fpermanent%2Feinstein_exhibition%2Fsources%2F8GPV80UY%2Fpageimg&viewMode=images&tocMode=thumbs&tocPN=1&searchPN=1&mode=imagepath&characterNormalization=reg&queryPageSize=10
 |викитека      = 
 |место         = Braunschweig
 |издательство  = Drud und Berlag von Friedrich Bieweg
 |год           = 1893
 |allpages      = 60
 |тираж         = 
}}</ref> (унда шулай уҡ беренсе тапҡыр [[Пеано арифметикаһы]] булараҡ билдәле булған арифметиканы аксиомалаштырыу төҙөлә), ул осорға тиклем билдәле булған күмәклектәр теорияһы һөҙөмтәләре иң ҙур дөйөмлөктә систематик яҙып бирелгән — теләһә ниндәй күмәклек өсөн (мотлаҡ һанлы түгел), беренсе тапҡыр [[Кантор — Бернштейн теоремаһы]] әйтеп бирелгән<ref>Доказана независимо [[Шрёдер, Эрнст|Эрнстом Шрёдером]] и [[Бернштейн, Феликс|Феликсом Бернштейном]] в 1897 году</ref>, күмәклектәр алгебраһы аңлатып бирелгән һәм күмәклектәр теорияһы ғәмәлдәренең үҙсәнлектәре асыҡланған{{Sfn|Медведев|1965|с=144—157|loc=14. «Что такое числа и для чего они служат?» Р. Дедекинда}}.

1895—1897 йылдарҙа Кантор хәйләһеҙ күмәклектәр теорияһын нигеҙҙә тамамлаусы ике хеҙмәттән торған цикл баҫтыра{{Sfn|Кантор|1985|с=173—245|loc=10. К обоснованию учения о трансфинитных множествах. Оригинал: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. — Mathematische Annalen, Bd. 46 (1895) p. 481—512; Bd. 49 (1897), p. 207—246}}{{Sfn|Медведев|1965|с=171—178|loc=17. Новый взлёт Кантора}}.

1880-се йылдар башынан, башлыса трансфинит индукцияһы идеялары баҫылып сыҡҡандан һуң, күмәклектәр теорияһы ҡарашы шул осорҙоң күп билдәле математиктары тарафынан киҫкен ҡабул итмәүгә осрай, ул ваҡытта төп оппоненттар [[Герман Шварц]] һәм, беренсе сиратта, математик объекттар булып тик натураль һандар һәм нимә уларға туранан-тура ҡайтып ҡала, шулар ғына иҫәпләнә ала тип иҫәпләүсе [[Кронекер, Леопольд|Леопольд Кронекер]] була (уның <cite>«бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»</cite> тигән фразаһы билдәле). Шулай булыуға ҡарамаҫтан, 1890-сы йылдар аҙағына күмәклектәр теорияһы дөйөм танылыу яулай, быға бигерәк тә Цюрихта [[Математиктарҙың халыҡ-ара конгресы#Беренсе конгресс|Математиктарҙың беренсе халыҡ-ара конгресында]] ([[1897 йыл]]) [[Адамар, Жак|Адамарҙың]] һәм [[Гурвиц, Адольф|Гурвицтың]] докладтары, унда күмәклектәр теорияһының [[Математик анализ|анализда]] уңышлы ҡулланылыуына миҫалдар килтерелә, шулай уҡ математик берләшмәлә һиҙелерлек йоғонтоһо булған [[Гильберт, Давид|Гильберт]] тарафынан күмәклектәр теорияһы инструментарийын киң ҡулланыуы булышлыҡ итә {{Sfn|Бурбаки|1963|с=44,49|loc=''«Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором»'' — говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», изданных в 1899 году}}.

=== Парадокстар ===
{{Main|Парадоксы теории множеств}}
Хәйләһеҙ теорияла, күмәклектәрҙе ниндәйҙер үҙсәнлеккә эйә булған бөтә  объекттарҙы йыйыу билдәһе буйынса ғына төҙөргә мөмкинлек биргән күмәклек төшөнсәһенең аныҡ булмауы, 1895—1925 йылдар араһында байтаҡ ҡапма-ҡаршылыҡтар килеп сығыуына килтерә, был күмәклектәр теорияһын фундаменталь инструмент булараҡ файҙаланып булыуға шикләнеү тыуҙыра, был хәл «[[кризис оснований математики]]» тигән билдәлелек ала{{Sfn|Бурбаки|1963|с=44—53|loc=Парадоксы теории множеств и кризис оснований}}.

Бөтә [[Рәт һаны|рәт һандары]] күмәклеген ҡарау килтергән ҡапма-ҡаршылыҡты беренсе булып Кантор [[1895 йыл]]да асыҡлай<ref>Не опубликовано, сообщено в письме Гильберту</ref>, {{не переведено 2|Бурали-Форти, Чезаре|Бурали-Форти|it|Cesare Burali-Forti}} тарафынан [[1897 йыл]]да яңынан асыла һәм беренсе тапҡыр баҫтырып сығарыла, һәм [[Бурали-Форти парадоксы]] исеме ала{{Sfn|Медведев|1965|177—179}}. 1899 йылда Дедекиндҡа хатында Кантор беренсе тапҡыр [[Универсум (математика)|универсумдың]] бөтә күмәклектәр күмәклеге булараҡ ҡапма-ҡаршылығы тураһында әйтә, сөнки уның бөтә аҫкүмәклектәре күмәклеге, <math>\mathfrak m < 2^{\mathfrak m}</math>{{Sfn|Бурбаки|1963|с=44}} принцибын ҡәнәғәтләндермәйенсә, үҙ-үҙенә тиң ҡеүәтле булырға тейеш була, аҙаҡ был антиномия [[Кантор парадоксы]] тигән исем ала.

[[1901 йыл]]дар тирәһендә [[Рассел, Бертран|Бертран Рассел]] тарафынан асыҡланған һәм [[1903 йыл]]да «[[Principia Mathematica|Основания математики]]» монографияһында баҫылып сыҡҡан [[Рассел парадоксы]] күмәклектәр теорияһының һәм дөйөм алғанда математика нигеҙҙәренең артабанғы үҫешенә тәьҫир иткән мөһим ҡапма-ҡаршылыҡ булып тора. Парадокстың айышы, бөтә күмәклектәр күмәклегенең үҙ-үҙенә ҡарағанлығы мәсьәләһен ҡарағанда, үҙен индермәү ҡапма-ҡаршылығы. Бынан тыш, [[Ришар парадоксы]], [[Берри парадоксы]] һәм [[Греллинг — Нельсон парадоксы]] кеүек антиномияларҙың асыҡланыуы сама менән шул осорға тап килә.

Килеп тыуған парадокстарҙы математиктар берләшмәһендә тикшереү һөҙөмтәһендә, килеп тыуған проблемаларҙы хәл итеү буйынса ике йүнәлеш барлыҡҡа килә: теорияның инструменталь ҡеүәтен һаҡлағанда, [[ҡапма-ҡаршылыҡһыҙлыҡ]]ты тәьмин иткән [[Формаль система|аксиомалар системаһын]] һайлау ярҙамында күмәклектәр теорияһын рәсмиләштереү, икенсеһе — интуитив аңлауға бирелмәгән конструкцияларҙы һәм ысулдарҙы ҡарауҙан баш тартыу. [[Цермело, Эрнст|Цермело]], [[Гильберт, Давид|Гильберт]], [[Бернайс, Пауль|Бернайс]], [[Хаусдорф, Феликс|Хаусдорф]]тар тарафынан башланған беренсе йүнәлеш сиктәрендә, ''күмәклектәрҙең аксиоматик теорияһы''ның бер-нисә варианты төҙөлә {{Переход|#Аксиоматическая теория множеств}} һәм яһалма сикләүҙәр иҫәбенә төп ҡапма-ҡаршылыҡтар еңеп сығыла. Төп сағылдырыусыһы [[Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян|Брауэр]] булған икенсе йүнәлеш, математикала яңы йүнәлеш — [[интуиционизм]] тыуҙыра, һәм бер ни тиклем ул [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]], [[Лебег, Анри Леон|Лебег]], [[Борель, Эмиль|Борель]], [[Вейль, Герман|Вейль]]дәр тарафынан яҡлау таба.

=== Күмәклектәрҙең аксиоматик теорияһы ===
{{Main|Аксиоматика теории множеств}}
Күмәклектәр теорияһын беренсе аксиомалаштырыуҙы [[Цермело, Эрнст|Цермело]] [[1908 йыл]]да баҫтырып сығара, был системала парадокстарҙы бөтөрөүҙә төп ролде «селекция аксиомаһы» уйнарға тейеш була({{lang-de|aussonderung}}), уға ярашлы, <math>P(x)</math>-тан <math>x \in A</math> күренешендәге бәйләнеш килеп сыҡҡанда ғына <math>P(x)</math> үҙсәнлегенән <math>\{ x \mid P(x) \}</math> күмәклеген төҙөп була {{Sfn|Бурбаки|1963|c=46}}. [[1922 йыл]]да [[Скулем, Туральф|Скулем]] һәм [[Френкель, Адольф|Френкель]] хеҙмәттәре арҡаһында ғына Цермело аксиомалары базаһында, [[күләмлек аксиомаһы|күләмлек]], [[буш күмәклек аксиомаһы|буш күмәклектең булыуы]], парҙар, [[сумма аксиомаһы|сумма]], [[дәрәжә аксиомаһы|дәрәжә]], [[сикһеҙлек аксиомаһы|сикһеҙлек]] аксиомаларын ҡушып, система тамам формалашып бөтә. Был аксиоматикалар [[Цермело — Френкель теорияһы]] булараҡ киң таралыу ала, система һайлау аксиомаһы менән ZFC тип тамғалана, һайлау аксиомаһынан тыш — ZF.

Һайлау аксиомаһының үҙенсәлекле роле уның интуитив аңлайышлы булмауында һәм күмәклеккә билдәләмә биреүҙең эффектив ысулы булмауҙа. Атап әйткәндә [[Борель, Эмиль|Борель]] һәм [[Лебег, Анри Леон|Лебег]], уны ҡулланып алынған иҫбатлауҙар, уға бәйле булмаған иҫбатлауҙарға ҡарағанда башҡа танып белеү әһәмиәтенә эйә тип иҫәпләгәндәр, Гильберт һәм [[Хаусдорф, Феликс|Хаусдорф]] уны, башҡа аксиомалар кеүек үк һис шикһеҙ (бәхәсһеҙ) тип танып, бер һүҙһеҙ ҡабул итәләр{{Sfn|Куратовский, Мостовский|1970|c=61}}.

Күмәклектәр теорияһын аксиомалаштырыуҙың таралыу алған икенсе вариантын [[Нейман, Джон фон|фон Нейман]] [[1925 йыл]]да эшләй, [[Бернайс, Пауль|Бернайс]] тарафынан 1930-сы йылдарҙа рәсмиләштерелә, һәм [[Гёдель, Курт|Гёдель]] тарафынан [[1940 йыл]]да ябайлаштырыла (континуум-гипотезаның һайлау аксиомаһына бәйле булмауын иҫбатлау буйынса эшендә), һуңғы варианты [[фон Нейман — Бернайс — Гёдель аксиомалар системаһы]] исеме аҫтында билдәлелек ала һәм NGB тип тамғалана{{Sfn|Бурбаки|1963|c=46—47}}.

=== Күмәклектәрҙең дескриптив теорияһы ===

XX быуат башында [[Лебег, Анри Леон|Лебег]], [[Бэр, Рене-Луи|Бэр]], [[Борель, Эмиль|Борель]] хеҙмәттәрендә [[Үлсәнмәле күмәклек|күмәклектәрҙең үлсәнмәле булыу]] мәсьәләһе тикшерелә. 1910—1930 йылдарҙа был хеҙмәттәр нигеҙендә '''дескриптив күмәклектәр теорияһы''' эшләнә, ул систематик рәүештә күмәклектәрҙең эске үҙсәнлектәрен өйрәнә. [[Лузин, Николай Николаевич|Лузин]], [[Александров, Павел Сергеевич|Александров]], [[Суслин, Михаил Яковлевич|Суслин]], [[Хаусдорф, Феликс|Хаусдорф]] теорияны эшләүгә төп өлөш индерәләр. 1970-се йыдарҙа күмәклектәрҙең  дескриптив теорияһы дөйөм [[Топологик арауыҡ|топологик аруыҡтар]] осрағына дөйөмләштерелә.

== Төп төшөнсәләр ==
[[Файл:Venn diagram showing Greek, Latin and Cyrillic letters.svg|thumb|[[Грек алфавиты|Грек]], [[Урыҫ алфавиты|урыҫ]] һәм [[Латин алфавиты|латин]] алфавиттарының баш хәрефтәре [[Графема|графемаларының]] бөтә киҫелештәрен күрһәтеүсе [[Венн диаграммаһы]]]]
[[Файл:Cartesian Product qtl1.svg|thumb|<math>\{x,y,z\} \times \{1,2,3\}</math> Декарт ҡабатландығы]]
Күмәклектәр теорияһының нигеҙендә ошондай төп төшөнсәләр ята: [[күмәклек]] һәм күмәклектең ингәнлек бәйләнеше (<math>x \in A</math> тип тамғалана<ref>Символ <math>\in</math> (от {{lang-el|εστι}} — «быть») введён [[Пеано, Джузеппе|Пеано]].</ref> — «<math>x</math> <math>A</math> күмәклегенең элементы», «<math>x</math> <math>A</math> күмәклегенә инә»). [[Буш күмәклек]], ғәҙәттә <math>\varnothing</math> символы менән тамғалана — бер элементы ла булмаған күмәклек. [[Аҫкүмәклек]] һәм [[өҫкүмәклек]] — бер күмәклектең икенсеһенә инеү мөнәсәбәте (ярашлы рәүештә ҡәтғи булмаған инеү осрағында <math>A \subseteq B</math> һәм <math>A \supseteq B</math>, һәм ҡәтғи инеү осрағында <math>A \subset B</math> һәм <math>A \supset B</math> тип тамғалана).

Күмәклектәр өҫтөндә түбәндәге ғәмәлдәр башҡарыла:
* [[Күмәклектәрҙең берекмәһе|берекмә]], <math>A \cup B</math> тип тамғалана — <math>A</math> һәм <math>B</math> күмәклектәренең бөтә элементтарын үҙ эсенә алған күмәклек,
* [[Күмәклектәрҙең айырмаһы|айырма]], <math>A \setminus B</math>, һирәгерәк <math>A - B</math> тип тамғалана — <math>A</math>-ның <math>B</math>-ға инмәгән элементтары күмәклеге,
* [[Күмәклектең өҫтәмәһе|өҫтәмә]], <math>\setminus A</math> йәки <math>-A</math> тип тамғалана — множество всехов, не входящих в <math>A</math>-ға инмәгән бөтә элементтар күмәклеге ([[универсаль күмәклек]]те ҡулланыусы системаларҙа),
* [[Күмәклектәрҙең киҫелеше|киҫелеш]], <math>A \cap B</math> тип тамғалана — <math>A</math>-ға ла, <math>B</math>-ға ла ингән элементтар күмәклеге,
* [[симметрик айырма]], <math>A \triangle B</math>, һирәгерәк <math>A \dot{-} B</math> тип тамғалана — күмәклектәрҙең береһенә генә — <math>A</math>-ға йәки <math>B</math>-ға ғына ингән элементтар күмәклеге.

Берекмә һәм киҫелеште йыш ҡына күмәклектәр ғаиләһенә лә ҡулланалар, <math>\bigcup \mathfrak A</math> һәм <math>\bigcap \mathfrak A</math> тип тамғалана һәм, ярашлы рәүештә, <math>\mathfrak A</math> ғаиләһенә ингән бөтә күмәклектәрҙең берекмәһен һәм ғаиләгә ингән бөтә күмәклектәрҙең киҫелешен төҙөйҙәр.

Берекмә һәм киҫелеш [[Коммутативлыҡ|коммутатив]], [[Ассоциативлыҡ (математика)|ассоциатив]] һәм [[Идемпотентлыҡ|идемпотентлы]]. Аксиомалар системаһын һайлауға һәм өҫтәмәләр булыуға бәйле рәүештә күмәклектәр алгебраһы (берекмә һәм киҫелешкә ҡарата) [[Дистрибутив рәшәткә|дистрибутив рәшәткәне]], [[Тулы рәшәткә|тулы]] дистрибутив рәшәткәне, [[Булев алгебраһы]]н төҙөргә мөмкин. Күмәклектәр өҫтәндә ғәмәлдәрҙе күҙаллау өсөн [[Венн диаграммаһы]] ҡулланыла.

<math>A</math> һәм <math>B</math> күмәклектәренең [[Декарт ҡабатландығы]] — <math>A</math> һәм <math>B</math>-ның элементтарының бөтә тәртипкә килтерелгән элементтары парҙары күмәклеге: <math>A \times B = \{(x, y) \mid x \in A \land y \in B \}</math>. Күмәклектәр теорияһында <math>A</math> күмәклеген <math>B</math> күмәклегенә [[сағылдырыу]] <math>f</math> [[бинар мөнәсәбәт]] булараҡ ҡарала — <math>A \times B</math> аҫкүмәклеге — беренсе элементтың икенсеһенә ярашлылығының берҙән бер булыу шарты менән: <math>(x, y) \in f \Rightarrow \forall z \neq y ((x,z) \notin f)</math>.

[[Булеан]] — бирелгән күмәклектең бөтә аҫкүмәклектәре күмәклеге, <math>\mathcal P (A)</math> йәки <math>2^A</math> тип тамғалана (сөнки <math>A</math>-ны <math>\mathbf{2} = \{ 0,1\}</math>-гә сағылдырыуҙар күмәклеге менән тап килә).

[[Күмәклек ҡеүәте]] (кардиналь һан) — күмәклек элементтары һаны характеристикаһы, формаль рәүештә араһында үҙ-ара бер мәғәнәле ярашлылыҡ урынлаштырырға мөмкин булған күмәклектәр өҫтөндә эквивалентнлыҡ класы итеп билдәләнә, <math>|A|</math> йәки <math>\sharp A</math> тип тамғалана. Буш күмәклектең ҡеүәте нулгә тигеҙ, сикле күмәклектәрҙең ҡеүәте — элементтар һанына тигеҙ булған бөтөн һан. Кардиналь һандар өҫтөндә, шул иҫәптән сикһеҙ күмәклектәрҙе характерлаусы, [[тәртип мөнәсәбәте]] урынлаштырырға мөмкин, [[Иҫәпле күмәклек|иҫәпле күмәклек]] ҡеүәте <math>\aleph_0</math> тип тамғалана ([[Алеф (йәһүд алфавиты хәрефе)|алеф]] — йәһүд алфавитының беренсе хәрефе), сикһеҙ күмәклектәр ҡеүәттәренең иң бәләкәйе булып тора, [[Континуум (күмәклектәр теорияһы)|континуумдың]] ҡеүәте <math>\mathfrak c</math> йәки <math>2^{\aleph_0}</math> тип тамғалана, [[континуум-гипотеза]] — иҫәпле ҡеүәт һәм континуум ҡеүәте араһында ике аралағы ҡеүәттәр юҡ тигән фараз.{{Sfn|Куратовский, Мостовский|1970|с=176—211, 305—327}}
[[Файл:Omega-exp-omega-labeled.svg|thumb|Тәртип һандарын <math>\omega^\omega</math>-ға тиклем күрһәтеү]]
Әгәр кардиналь һан күмәклектәрҙең үҙ-ара бер мәғәнәле ярашлыҡ урынлаштырыу мөмкинлегенә ҡарата эквивалентнлыҡ класын  характерлаһа, ул саҡта [[тәртип һаны]] (ординал) —  [[Тулыһынса тәртипкә килтерелгән күмәклек|тулыһынса тәртипкә килтерелгән күмәклектәрҙең]] биектив ярашлылыҡҡа ҡарата тулы тәртип мөнәсәбәтен һаҡлаусы эквивалентнлыҡ класы характеристикаһы. Ординалдар {{нп5|Тәртип һандары арифметикаһы|тәртип һандары арифметикаһы|en|Ordinal arithmetic}} индереү ярҙамында (ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәре менән) төҙөлә, сикле күмәклектәрҙең тәртип һаны кардинал менән тап килә (ярашлы натураль һан менән тамғалана), тәбиғи тәртиптәге бөтә натураль һандар күмәклегенең тәртип һаны <math>\omega</math> тип тамғалана, артабан:
: <math> \omega + 1, \omega + 2, \dots, \omega \cdot 2, \omega \cdot 2 + 1, \dots, \omega ^2, \dots \omega ^\omega, \dots, \omega^{\omega^\omega}, \dots, </math> һандары төҙөлә,
унан һуң {{нп5|Эпсилон-нуль|<math>\varepsilon_0</math>-|en|ε₀ һандар индерелә}}:
: <math>\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}} = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \dots \}</math>.
Бөтә <math>\omega</math>- һәм <math>\varepsilon</math>-һандар — иҫәпле ординалдар күмәклеге ҡеүәте <math>\aleph_1</math> ҡеүәтенә эйә.{{Sfn|Куратовский, Мостовский|1970|с=273—303}}

== Дөйөмләштереү ==
Йыш ҡына күмәклектәр теорияһына ҡаршы ҡуйылған [[Категориялар теорияһы|категориялар теорияһы]] саралары менән, инструменталь һәм дидактик ҡараштан сығып, [[Лоувер, Уильям|Ловер]] һәм [[Тирни, Майлс|Тирни]] ({{lang-en|Miles Tierney}}) [[1970 йыл]]да [[топостар теорияһы]]н төҙөй, уның өйрәнеү объекты — [[элементар топос]] — күмәклектәр теорияһы аңлауында күмәклектәрҙең тәртибе менән оҡшашлыҡ принцибы буйынса төҙөлгән, ысынында күмәклектәр теорияһының бөтә варианттарын элементар топостар менән күрһәтеп булды.

[[Аныҡ булмаған күмәклектәр теорияһы]] — 1960-сы йылдарҙа [[Лотфи Заде]] тарафынан тәҡдим ителгән киңәйтелгән күмәклектәр теорияһы<ref>{{статья
 |автор       = [[Лотфи Заде|L. Zadeh]]
 |заглавие = Fuzzy Sets
 |ссылка     = http://www-bisc.cs.berkeley.edu/Zadeh-1965.pdf
 |язык         = en
 |издание   = Information and Control
 |год           = 1965
 |выпуск     = 
 |том           = 5
 |номер       = 
 |страницы = 338—353
 |issn             = 0019-9958
 |doi              = 10.1016/S0019-9958(65)90241-X
 |archiveurl       = https://web.archive.org/web/20071127005930/http://www-bisc.cs.berkeley.edu/Zadeh-1965.pdf
 |archivedate      = 2007-11-27
}}</ref> [[Аныҡ булмаған логика|аныҡ булмаған логика]] концепцияһы сиктәрендә, аныҡ булмаған теорияла элементтарҙың күмәклеккә инеү мөнәсәбәте урынына <math>[0, 1]</math> интервалындағы ҡиммәттәр менән ингәнлек функцияһы ҡарала: әгәр элементтың ингәнлек функцияһы нулгә тигеҙ булһа, ул күмәклеккә аныҡ инмәй, әгәр бергә тигеҙ булһа, аныҡ инә, ҡалған осраҡтарҙа инеү мөнәсәбәте аныҡ түгел тип иҫәпләнә. [[Мәғлүмәт теорияһы]]нда, [[Кибернетика|кибернетикала]], [[Информатика|информатикала]] ҡулланыла.

[[Мультикүмәклек]]тәр теорияһы<ref>{{книга
 | автор         = А. Б. Петровский
 | заглавие      = Пространства множеств и мультимножеств
 | ссылка        = http://www.raai.org/about/persons/petrovsky/pages/Petrovsky_2003.pdf
 | место         = М.
 | издательство  = Едиториал УРСС
 | год           = 2003
 | страницы      = 248
 | isbn          = 5-7262-0633-9
}}</ref>, комплекттар теорияһы тип аталған [[Петри селтәре]] теорияһын ҡулланғанда, бер үк элементтың бер нисә экземпляры булыуын рөхсәт иткән күмәклектән айырмалы рәүештә, төп төшөнсә сифатында ирекле тәбиғәтле элементтар йыйылмаһы ҡарала, инеү мөнәсәбәте был теорияла экземплярҙар һаны функцияһы менән алмаштырыла: <math>\sharp (a,A)</math> — <math>a</math> элементының <math>A</math> мультикүмәклеккә инеү һаны, комплекттарҙы берләштергәндә элементтарҙың экземпляр һаны инеү максимумы буйынса алына (<math>\sharp (a, A_1 \cup A_2) = \max (\sharp (a, A_1), \sharp (a, A_2)</math>), киҫелештә — минимум буйынса (<math>\sharp (a, A_1 \cap A_2) = \min (\sharp (a, A_1), \sharp (a, A_2)</math>)<ref>{{книга
 |автор         = Джеймс Питерсон 
 |часть         = Обзор теории комплектов
 |заглавие      = Теория сетей Петри и моделирование систем
 |оригинал      = Petri Net Theory and The Modelling of Systems
 |ссылка        = 
 |место         = М.
 |издательство  = [[Мир (издательство)|Мир]]
 |год           = 1984
 |страницы      = 231—235
 |страниц       = 264
 |isbn          = 
 |тираж         = 8400
}}</ref>. [[Теоретик информатика]]ла, [[яһалма интеллект]]та, [[Ҡарарҙар ҡабул итеү теорияһы]]нда ҡулланыла.

{{Нп5|Күмәклектәрҙең альтернатив теорияһы||en|Alternative set theory}} — чехословак математиктары 1970-сы йылдарҙан алып, башлыса {{нп2|Вопенка, Петр|Петр Вопенки|cs|Petr Vopěnka}} хеҙмәттәрендә үҫтергән теория<ref>{{книга
 |автор         = П. Вопенка
 |заглавие      = Математика в альтернативной теории множеств
 |оригинал      = Mathematics in The Alternative Set Theory
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = перевод А. Драгалина
 |издание       = 
 |место         = М.
 |издательство  = Мир
 |год           = 1983
 |страниц       = 152
 |серия         = Новое в зарубежной математике
 |isbn          = 
 |тираж         = 6000
}}</ref>, күмәклекте объект һымаҡ аныҡ рәсмиләштереүгә нигеҙләнгән, буш күмәклектән һәм күрәләтә булған элементтарҙан [[Математик индукция|индуктив]] төҙөлгән, объекттың барыһын бергә ҡарауҙы рөхсәт иткән үҙсәнлектәре өсөн кластар төшөнсәһе индерелә, ә күмәклектәрҙең аҫкластарын өйрәнеү өсөн {{нп5|Ярымкүмәклек|ярымкүмәклектәр|en|Semiset}} концепцияһы ҡулланыла.

== Мәҙәниәттә ==
[[Файл:Berlin-Uhr Budapester Str 45 (Charl) Berlin-Uhr.jpg|thumb|Берлинда «Теоретико-множественные часы» 9:32 ваҡытын күрһәтә]]
1960—1970-се йылдарҙа [[Музыка теорияһы|музыка теорияһы]] сиктәрендә үҙенең {{нп5|Күмәклектәр теорияһы (музыка)|күмәклектәр теорияһы|en|Set theory (music)}} төҙөлә, ул музыкаль объекттарҙы ([[Музыкаль тауыш|тауыштарҙы]] уларҙың [[Тауыш бейеклеге|бейеклектәре]], [[Динамика (музыка)|динамикаһы]], [[Ноталар оҙайлылығы|оҙайлылығы]] менән), улар араһында үҙ-ара мөнәсәбәтте һәм уларҙың төркөмдәре өҫтөндә ғәмәлдәрҙе дөйөм һүрәтләү сараларын бирә. Әммә математик күмәклектәр теорияһы менән бәйләнеш туранан-тура түгел, ә терминологик һәм мәҙәни: күмәклектәрҙең музыкаль теорияһында тик сикле  объекттар ҡарала һәм ниндәйҙер мөһим теоретик һөҙөмтәләр йәки әһәмиәтле ҙур конструкциялар ҡулланылмай; был теорияла күберәк [[Төркөм теорияһы|төркөм теорияһы]] һәм [[Комбинаторика|комбинаторика]] аппараттары эшкә ҡушылған<ref>{{книга
 |автор         = M. Schuijer
 |заглавие      = Analyzing Atonal Music: Pitch-Class Set Theory and Its Contexts
 |место         = [[Рочестер (Нью-Йорк)|Rochester]]
 |издательство  = University Rochester Press
 |год           = 2008
 |allpages      = 306
 |isbn          = 978-1-58046-270-9
 |тираж         = 
}}</ref>.

Шулай уҡ күмәклектәр теорияһының йөкмәткеһенән бигерәк мәҙәни йоғонтоһо аҫтында немец дизайнеры {{не переведено 2|Биннингер, Дитер|Биннингер|de|Dieter Binninger}} 1975 йылда, төҫлө яҡтырып торған индикаторҙар ярҙамында ваҡытты күрһәтеү өсөн бишле принцип ҡулланған беренсе ҡоролма булараҡ [[Гиннесстың рекордтар китабы]]на ингән (өҫтән индикаторҙарҙың беренсе һәм икенсе рәте сәғәтте күрһәтә, өсөнсө һәм дүртенсе рәттәр — минуттарҙы), {{не переведено 2|Теоретико-множественные часы|«теоретико-множественные» часы|de|Mengenlehreuhr}} (шулай уҡ Берлин сәғәте исеме аҫтында билдәле, {{lang-de|Berlin-Uhr}}) ижад итә. Сәғәт Берлиндың [[Europa-Center]] сауҙа-офис комплексында ҡуйылған.

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==
* {{книга
 |автор         = [[Николя Бурбаки|Н. Бурбаки]]
 |часть         = Основания математики. Логика. Теория множеств
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Очерки по истории математики
 |оригинал      = 
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = [[Башмакова, Изабелла Григорьевна|И. Г. Башмакова]] (перевод с французского) 
 |издание       = 
 |место         = М
 |издательство  = Издательство иностранной литературы
 |год           = 1963
 |страницы      = 37—53
 |страниц       = 292
 |серия         = Элементы математики
 |тираж         = 
 |ref           = Бурбаки
}}
* {{книга
 |автор         = Г. Кантор 
 |заглавие      = Труды по теории множеств
 |оригинал      = 
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |место         = М.
 |издательство  = Наука
 |год           = 1985
 |страниц       = 430
 |серия         = Классики науки
 |isbn          = 
 |тираж         = 3450
 |ref           = Кантор
}}.
* {{статья
 |автор         = [[Коэн, Пол Джозеф|П. Дж. Коэн]]
 |заглавие      = Об основаниях теории множеств
 |ссылка        = http://www.mathnet.ru/links/1ade91ff5fb820b9ec5be2544b38e762/rm4418.pdf
 |оригинал      = P. J. Cohen, Comments on the foundations of set theory, Proc. Sym. Pure Math. '''13''':1 (1971), 9–15.
 |язык          = ru
 |ответственный = [[Манин, Юрий Иванович|Ю. И. Манин]] (перевод)
 |издание       = [[Успехи математических наук]]
 |тип           = 
 |место         = М.
 |издательство  = 
 |год           = 1974
 |выпуск        = 5 (179)
 |том           = XXIX
 |номер         = 
 |страницы      = 169—176
 |issn          = 0042-1316
 |ref           = Коэн
 |archiveurl    =
 |archivedate   =
}}
* {{книга|автор=[[Куратовский, Казимир|К. Куратовский]], [[Мостовский, Анджей|А. Мостовский]]|заглавие=Теория множеств|ответственный=Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова|место=М.|издательство=Мир|год=1970|страниц=416|ref=Куратовский, Мостовский}}
* {{книга|автор= [[Медведев, Фёдор Андреевич|Ф. А. Медведев]] |заглавие= Развитие теории множеств в XIX веке |ссылка= |викитека= |издание= |место= М. |издательство= Наука |год= 1965 |страниц=232 |тираж=2500|ref=Медведев}}
* {{книга|автор=[[Френкель, Адольф|А. Френкель]], И. Бар-Хиллел|заглавие=Основания теории множеств|ответственный=Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией [[Есенин-Вольпин, Александр Сергеевич|А. С. Есенина-Вольпина]]|место=М.|издательство=Мир|год=1966|страниц=556|ref=Френкель}}

{{Разделы математики}}

[[Категория:Логика]]
[[Категория:Формаль ысулдар]]
[[Категория:Күмәклектәр теорияһы]]

[[Категория:Математика]]