Күп үҙгәреүсәнле функция анализы битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{Ук}}
'''Күп үлсәмле анализ''' (күп үлсәмле йәки күп вариациялы иҫәпләмә булараҡ та билдәле) — күп [[Үҙгәреүсән дәүмәл|үҙгәреүсәндәр]] осрағы өсөн [[Дифференциаль иҫәпләмә|дифференциаль]] һәм [[Интеграль иҫәпләмә|интеграль]] иҫәпләмәләрҙе дөйөмләштереү булып тора.

== Типик операциялар ==

=== Сикләнмәләр һәм өҙлөкһөҙлөк ===
Күп үлсәмле арауыҡтарҙа сикләнмәләрҙе һәм өҙлөкһөҙлөктәрҙе өйрәнеү бер үҙгәреүсәнле функцияларға хас булмаған бик күп логик булмаған һәм патологик һөҙөмтәләргә килтерә. Мәҫәлән, ике үҙгәреүсәнле скаляр функциялар бар, уларҙың [[Функцияның билдәләнеү өлкәһе|билдәләнеү өлкәһендә]] шундай нөктәләр бар, улар ирекле тура һыҙыҡ буйлап яҡынлашҡанда үҙенсәлекле сикләнмә бирәләр, һәм [[Парабола|парабола]] буйлап яҡынлашҡанда икенсе сикләнмә бирәләр. 
: <math>f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}</math> функцияһы координаталар башы аша үткән теләһә ниндәй тура һыҙыҡ буйлап нулгә ынтыла. Әммә  координаталар башына <math>y = x ^ 2</math> параболаһы буйынса яҡынлашҡанда, сикләнмә = 0.5. 
Төрлө траекториялар буйынса сикләнмәләр тап килмәгәнлектән, сикләнмәһе булмай.

<math>f(x_1,\ldots,x_n)</math> функцияһыһының <math>x_1,\ldots,x_n</math> үҙгәреүсәндәре ярашлы рәүештә <math>a_1,\ldots,a_n</math> һандарына яҡынайғанда, әгәр һәр <math>\varepsilon > 0</math> һаны өсөн  <math>|f(x_1,\ldots,x_n)-A)|<\varepsilon</math>, йәғни <math>|x_1-a_1|<\delta,\ldots,|x_n-a_n|<\delta</math> үтәлерлек шундай <math>\delta > 0</math> һаны табылһа, <math>f(x_1,\ldots,x_n)</math> функцияһыһының сикләнмәһе A була.

<math>u=f(M)</math> функцияһы, әгәр был функцияның <math>A</math> нөктәһендә сикләнмәһе булһа һәм ул функцияның <math>f(A)</math> ҡиммәтенә тигеҙ булһа, <math>A</math> нөктәһендә өҙлөкһөҙ тип атала.

<math>u=f(M)</math> функцияһы <math>{M}</math> күмәклегенең һәр нөктәһендә өҙлөкһөҙ булһа, ул <math>{M}</math> күмәклегендә өҙлөкһөҙ тип атала.

=== [[Айырым сығарылма|Айырым сығарылманы]] табыу ===
{{main|Айырым сығарылма}}

Айырым сығарылма төшөнсәһе күп үлсәмле функцияны  дифференциаллағанда һис шикһеҙ барлыҡҡа килә һәм геометрик мәғәнәлә уның ,  [[Тура мөйөшлө координаталар системаһы|тура мөйөшлө координаталар системаһын]] ҡараған осраҡта (O,<math>x_k</math>,f) яҫылығына параллель яҫылыҡты билдәләнеү өлкәһендә киҫмәгән өлөшөнөң сығарылмаһы булып тора, бында О — координаталар күсәрҙәре киҫешкән нөктә; <math>x_k</math> дифференциаллау нөктәһенең айырым аргументы булып тора; f — нөктәнең [[ордината]]һы.

n-үлсәмле функцияның ҡаралған сығарылмаһы <math>\frac{\partial f(x_1 ~...~ x_k~ ... ~x_n)}{\partial x_k}</math> тип тамғалана, был уны аргументтарҙың береһе буйынса дифференциаллау:

<math>\frac{\partial f(x_1 ~...~ x_k ~... ~x_n)}{\partial x_k}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_1 ~...~x_k +\Delta x_k~... ~x_n)-f(x_1 ~... ~x_k ~... ~x_n)}{\Delta x_k},</math>

бында <math>x_k</math> — билдәләнгән аргумент; ә <math>\partial</math> символы <math>d_x</math> -тың үҙгәртелгән яҙыуы һәм айырым ҡулланылмай.

Айырым сығарылмалар сығарылмаларҙың ҡатмарлыраҡ сағылышын булдырыу өсөн ҡыҙыҡлы ысулдар менән берләштерелә ала. [[Векторлы анализ|Векторлы иҫәпләмәлә]] (<math>nabla</math>) [[набла операторы]]  айырым сығарылма күҙлегенән сығып [[градиент]], [[дивергенция]], һәм [[ротор (математика)|ротор]]   терминдарын билдәләү өсөн ҡулланыла. 

Айырым сығарылмалар матрицаһы — [[Якоби матрицаһы]] — ике ирекле үлсәмле арауыҡтар араһында [[Функцияның  сығарылмаһы|функцияның  сығарылмаһын]]  (сағылышы) күҙаллау өсөн ҡулланылырға мөмкин . Шулай итеп, сығарылма функцияның билдәләнеү өлкәһенән алынған нөктәгә бәйле үҙгәреп торған һыҙыҡлы үҙгәртеү булараҡ күрһәтелеүе мөмкин.

Айырым сығарылмалар ингән [[Дифференциаль тигеҙләмә|дифференциаль тигеҙләмәләр]]   [[Айырым сығарылмалы дифференциаль тигеҙләмә| айырым сығарылмалы дифференциаль тигеҙләмәләр]] йәки (Д)АСТ тип атала. Был тигеҙләмәләрҙе сығарыу, ҡағиҙә булараҡ, ғәҙәттәге  бер генә үҙгәреүсәнгә ҡарата сығарылмалар ингән дифференциаль тигеҙләмәләрҙе сығарыуға ҡарағанда ҡатмарлыраҡ.

=== Тапҡырлы интеграллау ===
{{main|Тапҡырлы интеграл}}

<math>\underbrace{\int{\cdots}\int}_{X}f(x_1,\ldots,x_n)dx_1 \ldots dx_n</math> интегралы, <math>n>1</math> булғанда ''тапҡырлы интеграл'' тип атала. <math>n=2</math> осрағында ул икеләтә, <math>n=3</math> осрағында — өсләтә интеграл тип, ә ирекле <math>n\in N</math> осрағында — n-тапҡырлы интеграл тип атала. Уны шулай уҡ <math>\int\limits_{X}f(x)dx</math> тип тамғалайҙар. Бындай яҙылышта <math>x</math> символы аҫтында <math>E^n</math> арауығының <math>x = (x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> нөктәһен, <math>dx</math> символы аҫтында — <math>dx=dx_1 dx_2 \ldots dx_n</math> ҡабатландығын, ә <math>\int\limits_{D}</math> тамғаһы аҫтында — <math>D</math> n-үлсәмле өлкә буйынса n-тапҡырлы интегралды аңларға кәрәк.

Тапҡырлы интеграл интеграл төшөнсәһен күп үҙгәреүсәнле функцияларға тарата. Икеләтә интегралдар арауыҡта өлкәләрҙең күләмен иҫәпләү өсөн ҡулланыла ала. [[Тонелли—Фубини теоремаһы]] тапҡырлы интеграл ҡабатлы интеграл кеүек иҫәпләнә алыуын тәьмин итә.

[[Өҫкө йөҙлө интеграл|Өҫкө йөҙлө интегралдар]] һәм [[кәкре һыҙыҡлы интеграл]]дар [[өҫкө йөҙ]] һәм [[кәкре]] кеүек [[Күп төрлөлөктәр|күп төрлөлөктәр]] өҫтөнән интеграллау өсөн ҡулланылалар.

=== Күп үҙгәреүсәнле функция анализының фундаменталь теоремаһы ===
Бер үҙгәреүсәнле функцияларҙың [[Математик анализ|математик анализында]] фундаменталь теорема сығарылма һәм интеграл араһында бәйләнеш булдыра. Күп үҙгәреүсәнле функциялар анализында сығарылма һәм интеграл араһында бәйләнеш [[векторлы анализ|векторлы анализдың]] билдәле интеграллау теоремаларында булдырыла:
* [[Ньютон — Лейбниц теоремаһы]]
* [[Стокс теоремаһы]]
* [[Остроградский формулаһы|Остроградский — Гаусс теоремаһы]]
* [[Грин теоремаһы]]
Күп үлсәмле математик анализды тәрәнерәк өйрәнеү күрһәтеүенсә, был дүрт теорема [[дифференциаль форма|дифференциаль формаларҙы]] интеграллау тураһында дөйөм теореманың, Стокс теоремаһының айырым осраҡтары булып торалар.

== Ҡулланыу ==
Күп үлсәмле математик анализ ысулдары физик донъяның күп объекттарын өйрәнеү өсөн ҡулланылалар.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! !! !! Өлкә !! Ҡулланылған ысулдар
|-
! [[Кәкре|Кәкреләр]]
| [[Файл:Osculating circle.svg|120px]] || <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n</math> || Кәкреләрҙең оҙонлоғо, [[Кәкре һыҙыҡлы интеграл]]дар, һәм [[кәкрелек]].
|-
! [[Өҫкө йөҙ|Өҫкө йөҙҙәр]]
| [[Файл:Helicoid.PNG|120px]] || <math>f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^n</math> || Йөҙҙәрҙең [[майҙан]]дары, [[Өҫкө йөҙлө интегралдары]], йөҙ аша ағым, һәм кәкрелек.
|-
! [[Скаляр ялан]]дар
| [[Файл:Surface-plot.png|120px]] || <math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> || Максимумдар һәм минимумдар, [[Лагранж ҡабатлашыусылары ысулы|Лагранж ҡабатлашыусылары]], [[йүнәлеш буйынса сығарылма]]лар.
|-
! [[Векторлы ялан]]дар
| [[Файл:Vector field.svg|120px]] || <math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> || [[Векторлы анализ|Векторлы анализдың]] теләһә ниндәй операцияһы, [[градиент]], [[дивергенция]], һәм [[Ротор (математика)|роторҙы]] ла индереп.
|}

Күп үлсәмле математик анализ күп һанлы [[азатлыҡ дәрәжәһе]]нә эйә булған [[Детерминизм|детерминирланған]] системаларҙы анализлау өсөн ҡулланылырға мөмкин. Был системаларҙы моделләштереү өсөн йыш ҡына һәр азатлыҡ дәрәжәһенә ярашлы [[Бәйле булмаған һәм бәйле үҙгәреүсәндәр|бәйле булмаған һәм бәйле үҙгәреүсәнле]] функциялар ҡулланыла. Ә күп үлсәмле математик анализ [[системалы динамика]]ны ҡылыҡһырлау өсөн ысулдар менән тәьмин итә.

Күп үлсәмле математик анализ тәбиғәт фәненең, социологияның, инженерияның күп өлкәләрендә, детерминирланған тәртипте күрһәткән юғары үлсәмле системаларҙы моделләштереү һәм өйрәнеү өсөн ҡулланыла. Детерминирланмаған, йәки [[Осраҡлы процесс|стохастик (осраҡлы)]] системаларҙы стохастик иҫәпләмә кеүек математиканың башҡа төрөн ҡулланып өйрәнергә мөмкин.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Векторлы анализ]]
* [[Интеграл]]
* [[Сығарылма (дөйөмләштереүҙәр)]]

== Әҙәбиәт ==
* {{книга
|автор          = Фихтенгольц, Г. М.
|часть          = Глава пятая. Функции нескольких переменных
|заглавие       = Курс дифференциального и интегрального исчисления
|том            = 1
}}
* {{книга
|автор          = Ильин, В. А., Позняк, Э. Г.
|часть          = Глава 14. Функции нескольких переменных
|заглавие       = Основы математического анализа
|том            = 1
|серия          = Курс высшей математики и математической физики
}}
* {{книга
|автор          = Ильин, В. А., Позняк, Э. Г.
|часть          = Глава 2. Двойные и n-кратные интегралы
|заглавие       = Основы математического анализа
|том            = 2
|серия          = Курс высшей математики и математической физики
}}
* {{книга
|автор          = Кудрявцев, Л. Д.
|часть          = Главы 4, 5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление функций многих переменных
|заглавие       = Краткий курс математического анализа
|том            = 2
}}
* {{книга
|автор          = Выгодский М.Я.
|часть          = Дифференциирование и интегрирований функций нескольких аргументов
|заглавие       = Справочник по высшей математике
}}

== Һылтанмалар ==
* [http://ru.numberempire.com/limitcalculator.php Онлайн Калькулятор Пределов] {{ref-ru}}
* [http://ru.numberempire.com/derivatives.php Онлайн Калькулятор Производных] {{ref-ru}}
* [http://ru.numberempire.com/integralcalculator.php Онлайн Калькулятор Интегралов] {{ref-ru}}

[[Категория:Математик анализ]]