Логарифм битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

[[Файл:Binary logarithm plot with ticks.svg|thumb|250px|<center>[[Икеле логарифм|Икеле логарифмдың]] графигы</center>]]

'''<math>b</math> һанының <math>a</math> нигеҙе буйынса логарифмы''' ({{lang-grc|[[wikt:λόγος#Древнегреческий|λόγος]]}} «һүҙенән; сағыштырма» + {{lang-grc2|[[wikt:ἀριθμός#Древнегреческий|ἀριθμός]]}} «һан»<ref>''Краткий словарь иностранных слов.'' М.: Русский язык, 1984.</ref>) <math>b</math> һанын табыу өсөн <math>a</math> [[дәрәжәнең нигеҙе|нигеҙен]] күтәрергә кәрәк булған [[дәрәжәгә күтәреү|дәрәжә күрһәткесе]] булараҡ билдәләнә{{sfn |Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике|1978|с=186}}. Тамғалау: <math>\log_a b</math>, «''<math>a</math> нигеҙе буйынса <math>b</math> һанының логарифмы''» тип уҡыла.

Билдәләмәнән күренеүенсә, <math>x=\log_a b</math>-ты табыу <math>a^x=b</math> тигеҙләмәһен сығарыуға тиң көслө. Мәҫәлән, <math>\log_2 8 = 3</math>, сөнки <math>2^3 = 8</math>.

Логарифмды иҫәпләү '''логарифмлау''' тип атала. <math>a, b</math> һандары йышыраҡ [[ысын һан]]дар, ләкин шулай уҡ комплекслы логарифмдар теорияһы ла бар {{переход|#Комплексный логарифм|1}}.

Логарифмдар, күп хеҙмәт талап иткән иҫәпләүҙәрҙе һиҙелерлек ябайлаштырыу өсөн киң ҡулланылышын тәьмин иткән, уникаль үҙсәнлектәргә эйә{{sfn |Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике|1978|с=184—186}}. «Логарифмдар донъяһына» күскәндә, ҡабатлау күпкә ябайыраҡ булған ҡушыу менән алмаштырыла, бүлеү — алыуға, ә [[дәрәжәгә күтәреү]] һәм [[тамыр алыу]] ярашлы рәүештә дәрәжә күрһәткесенә ҡабатлау һәм бүлеүгә әйләнә. [[Лаплас, Пьер-Симон|Лаплас]], логарифмдарҙы уйлап табыу, «астрономдың хеҙмәтен ҡыҫҡартып, уның ғүмерен ике тапҡыр оҙайтты» тип әйткән<ref>Швецов К. И., Бевз Г. П. Справочник по элементарной математике. Арифметика, алгебра. Киев: Наукова Думка, 1966. § 40. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке.</ref>.

Логарифмдың билдәләмәһен һәм уларҙың ҡиммәттәре таблицаһын ([[тригонометрик функциялар]] өсөн) беренсе тапҡыр [[1614 йыл]]да шотланд математигы [[Непер, Джон|Джон Непер]] баҫтырып сығара. Башҡа математиктар тарафынан киңәйтелгән һәм аныҡлыҡ индерелгән логарифмик таблицалар, электрон калькуляторҙар һәм компьютерҙар барлыҡҡа килгәнгә тиклем, өс быуаттан артыҡ ваҡыт бөтә урында фәнни һәм инженер иҫәпләүҙәрендә ҡулланылалар.

Ваҡыт үтеү менән, <math>y=\log_a x</math> логарифмлы функцияһы кеше эшмәкәрлегенең башҡа күп өлкәләрендә лә алмаштырғыһыҙ икәне асыҡлана: [[Дифференциаль тигеҙләмә|дифференциаль тигеҙләмәләрҙе]] сығарыу, дәүмәлдәрҙең ҡиммәттәрен классификациялау (мәҫәлән, [[тауыш интенсивлығы]] һәм [[йышлыҡ|йышлығы]]), төрлө бәйләнештәрҙең [[аппроксимация]]һы, [[мәғлүмәт теорияһы]], [[ихтималлыҡ теорияһы]] һәм башҡалар. Был функция [[Элементар функциялар|элементар]] функциялар иҫәбенә инә, ул [[Күрһәткесле функция|күрһәткесле функцияға]] ҡарата [[Кире функция|кире]] функция булып тора. Йышыраҡ түбәндәге ысын логарифмдар ҡулланыла: 

* <math>2</math> нигеҙе буйынса ([[Икеле логарифм|икеле]] логарифм),
* ''[[Эйлер һаны|<math>e</math>]]'' нигеҙе буйынса ([[натураль логарифм]]) һәм
* <math>10</math>) нигеҙе буйынса ([[Унарлы логарифм|унарлы]] логарифм).

== Ысын логарифм ==
[[Ысын һан|Ысын һандың]] логарифмы <math>x=\log_a b</math>, билдәләмә буйынса, <math>a^x=b</math> тигеҙләмәһенең сығарылышы булып тора. <math>a=1</math> булған осраҡ әһәмиәтле түгел, сөнки ул саҡта <math>b \ne 1</math> булғанда был тигеҙләмәнең сығарылышы юҡ, ә <math>b=1</math> булғанда теләһә ниндәй һан тигеҙләмәнең сығарылышы була; ике осраҡта ла логарифм билдәһеҙ. Оҡшаш рәүештә <math>a</math> нуль йәки тиҫкәре булғанда ла логарифм юҡ икәнен асыҡлайбыҙ; бынан тыш, <math>a^x</math> [[Күрһәткесле функция|күрһәткесле функцияһының]] ҡиммәте һәр саҡ ыңғай, шуға күрә <math>b</math> тиҫкәре булған осраҡты төшөрөп ҡалдырырға кәрәк. Ахыр килеп табабыҙ<ref name=KORN34/>:
{{рамка}}
<math>a>0, a \ne 1, b>0</math> булғанда ғына <math>\log_a b</math> ысын логарифмдың мәғәнәһе бар

{{конец рамки}}

Билдәле булыуынса, <math>y=a^x</math> күрһәткесле функцияһы (<math>a</math> өсөн күрһәтелгән шарттар үтәлгәндә) бар, [[Монотон функция|монотон]] һәм үҙенең һәр ҡиммәтен бер генә тапҡыр ҡабул итә, шуның менән бергә ҡиммәттәре өлкәһе бөтә ысын ыңғай һандар күмәклеге<ref>Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 229.</ref>. Бынан ыңғай һандың ысын логарифмы ҡиммәте һәр саҡ бар һәм берҙән-бер булыуы килеп сыға.

Логарифмдарҙың түбәндәге төрҙәре киң ҡулланыла:
* [[Натураль логарифм]]дар: <math>\log_{e}\,b</math> йәки <math>\ln\,b</math>, нигеҙе: [[e (һан)|Эйлер һаны]] (''<math>e</math>'');
* [[Унарлы логарифм]]дар: <math>\log_{10}\,b</math> йәки <math>\lg\,b</math>, нигеҙе: <math>10</math> һаны;
* [[Икеле логарифм]]дар: <math>\log_2\,b</math> йәки <math>\operatorname{lb}\,b</math>, нигеҙе: <math>2</math>.
Улар, мәҫәлән, [[мәғлүмәт теорияһы]]нда, [[информатика]]ла, [[Дискретлы математика|дискретлы математиканың]] күп бүлектәрендә ҡулланылалар.

=== Үҙсәнлектәре ===

==== Төп логарифмлы тождество ====
Логарифмдың билдәләмәһенән төп логарифмик тождество килеп сыға<ref>Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.</ref>:
: <math>a^{\log_a b} = b</math>

Эҙемтә: ике ысын логарифмдың тигеҙлегенән логарифмланыусы аңлатмаларҙың тигеҙлеге килеп сыға. Ысынлап та, әгәр <math>\log_a b=\log_a c</math> булһа, ул саҡта <math>a^{\log_a b} = a^{\log_a c}</math>, бынан, төп тождествоға ярашлы: <math>b=c</math>.

==== Берҙең һәм нигеҙенә тигеҙ булған һандың логарифмдары ====
Логарифмдың билдәләмәһенән асыҡ күренгән ике тигеҙлек:
: <math>\log_a 1 = 0;\; \log_a a = 1.</math>

==== Ҡабатландыҡтың, бүлендектең, дәрәжәнең һәм тамырҙың логарифмы ====
Бөтә ҡиммәттәр ҙә ыңғай тип уйлап, формулалар йыйылмаһы килтерәбеҙ{{sfn |Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике|1978|с=187}}:
<center>
{| class="wikitable"
|-
! !! Формула !! Миҫал
|-
| Ҡабатландыҡ || <cite id=labelLogarithmProducts><math> \log_a(x y) = \log_a (x) + \log_a (y)</math></cite>|| <math> \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) =  2 + 3 = 5</math>
|-
| Бүлендек || <math>\log_a \!\left(\frac x y \right) = \log_a (x) - \log_a (y)</math>|| <math> \lg \left(\frac{1}{1000}\right) = \lg (1) - \lg (1000) = 0 - 3 = -3</math>
|-
| Дәрәжә || <cite id=labelLogarithmPowers><math>\log_a(x^p) = p \log_a (x)</math></cite>|| <math> \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6</math>
|-
| Тамыр || <math>\log_a \sqrt[p]{x} = \frac {\log_a (x)} p</math>|| <math> \lg \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\lg 1000 = \frac{3}{2} = 1.5 </math>
|-
|}
</center>
Килтерелгән формулаларҙың, үҙгәреүсәндәрҙең тиҫкәре ҡиммәттәре рөхсәт ителгән осраҡҡа, асыҡ күренеп торған дөйөмләштереүе бар, мәҫәлән:
: <math>\log_a |x y| = \log_a |x| + \log_a |y|</math>
: <math>\log_a \!\left|\frac x y \right| = \log_a |x| - \log_a |y|</math>
Ҡабатландыҡтың логарифмы өсөн формулалар ирекле һандағы ҡабатлашыусылар өсөн дөйөмләштерелә:
: <math> \log_a(x_1 x_2 \dots x_n) = \log_a (x_1) + \log_a (x_2) + \dots + \log_a (x_n)</math>
: <math> \log_a |x_1 x_2 \dots x_n| = \log_a |x_1| + \log_a |x_2| + \dots + \log_a |x_n|</math>

Юғарыла килтерелгән үҙсәнлектәр, ни өсөн логарифмдарҙы ҡулланыу (калькуляторҙар уйлап табылғанға тиклем) иҫәпләүҙәрҙе ныҡ еңеләйткәнде аңлаталар. Мәҫәлән, логарифмик таблицалар ярҙамында <math>x, y</math> күп урынлы һандарын ҡабатлау {{переход|#Логарифмические таблицы}} ошондай алгоритм буйынса башҡарыла:
# таблицаларҙа <math>x, y</math> һандарының логарифмдарын табырға;
# был логарифмдарҙы ҡушырға, (беренсе үҙсәнлеккә ярашлы) <math>x \cdot y</math> ҡабатландығының логарифмы табыла;
# ҡабатландыҡтың логарифмы буйынса таблицаларҙа ҡабатландыҡтың үҙен табырға.
Логарифмдар ярҙамынан башҡа, ҡабатлауға ҡарағанда байтаҡҡа күп хеҙмәт талап иткән бүлеү, шул уҡ алгоритм буйынса башҡарыла, тик логарифмдарҙы ҡушыу алыуға алмаштырыла. Ошоға оҡшаш рәүештә [[дәрәжәгә күтәреү]] һәм [[тамыр алыу]] ябайлаштырыла.

==== Логарифмдың нигеҙен алмаштырыу ====
<math>a</math> нигеҙе буйынса <math>\log_a b</math> логарифмын{{sfn |Корн Г., Корн Т. Справочник по математике|1973|с=34|name=KORN34 }} икенсе <math>c</math> нигеҙе буйынса логарифмға үҙгәртергә мөмкин:
: <math>\log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}</math>
Эҙемтә (<math>b=c</math> булғанда) — нигеҙен һәм логарифмланыусы аңлатманы алмаштырып ҡуйыу:
: <math>\log_a b = \frac {1}{\log_b a}</math>

Шундай уҡ алмаштырып ҡуйыу миҫалын [[#Унарлы логарифм|унарлы логарифм]] бүлегендә ҡарағыҙ.

Нигеҙен алмаштырыу формулаһында <math>\frac{1}{\log_c a} = \log_a c</math> коэффициенты бер нигеҙҙән икенсе нигеҙгә '''күсеү модуле''' тип атала{{sfn |Элементарная математика|1976|с=93f}}.

==== Тигеҙһеҙлектәр ====
<math>\log_a{b}</math> логарифмының ҡиммәте ыңғай шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр <math>a, b</math> һандары берәмектән бер яҡта ятһалар (йәғни икеһе лә берҙән ҙур, йәки икеһе лә бәләкәй). Әгәр <math>a, b</math> берәмектән төрлө яҡтарҙа ятһалар, ул саҡта логарифм тиҫкәре{{sfn |Элементарная математика|1976|с=89|name=ZAY89}}.

Ыңғай һандар өсөн теләһә ниндәй тигеҙһеҙлекте логарифмларға мөмкин. Шуның менән бергә, әгәр логарифмдың нигеҙе берҙән ҙур булһа, тигеҙһеҙлек тамғаһы һаҡлана, ә әгәр логарифмдың нигеҙе берҙән бәләкәй булһа, тигеҙһеҙлек тамғаһы ҡапма-ҡаршыға үҙгәрә<ref name=ZAY89/>.

==== Башҡа тождестволар һәм үҙсәнлектәр ====
Әгәр логарифмдың нигеҙе өсөн аңлатмаға һәм логарифмланыусы аңлатмаға дәрәжәгә күтәреү инһә, ябайлаштырыу өсөн түбәндәге тождествоны ҡулланырға була:
: <math>{\log_{a^q}{b}}^p = \frac{p}{q}\log_a{b}</math>
Әгәр һул яҡта логарифмда, юғарыла килтерелгән нигеҙҙе алмаштырыу формулаһы буйынса <math>a^q</math> нигеҙен <math>a</math> нигеҙенә алмаштырһаң, был тождество килеп сыға. Эҙемтә:
: <math>\log_{a^k} b = \frac {1} {k} \log_a b; \quad  \log_{\sqrt[n]{a}} b = n \log_a b; \quad \log_{a^k} b^k = \log_a b</math>
Тағын бер файҙалы тождество:
: <math>c^{\log_a b}=b^{\log_a c}</math>
Уны иҫбатлау өсөн, уң һәм һул яҡтағы <math>a</math> нигеҙе буйынса логарифмдар тап киләләр икәнен иҫкә алабыҙ (<math>\log_a b \cdot \log_a c</math> тигеҙҙәр), ә ул саҡта, төп логарифмик тождествонан эҙемтә буйынса, уң һәм һул яҡтары тождестволы тигеҙҙәр. Бынан алдағы тождествоны ирекле <math>d</math> нигеҙе буйынса логарифмлап, тағын бер «нигеҙҙәр менән алмашыныу» тождествоһы табабыҙ
: <math> \log_a b \cdot \log_d c = \log_d b \cdot \log_a c </math>

=== Логарифмлы функция ===
[[Файл:Log.png|thumb|250px|<center>Логарифмлы функциялар графиктары</center>]]
[[Файл:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|thumb|250px|<center>Логарифмлы функция күрһәткесле функцияға кире</center>]]

==== Төп характеристикалары ====
Әгәр логарифмланыусы һанды үҙгәреүсән итеп ҡараһаҡ, беҙ <math>y=\log_a x</math> ''логарифмлы функцияһын'' алырбыҙ. Уның <math>a>0;\ a \ne 1; x>0</math> булғанда мәғәнәһе бар. Ҡиммәттәре өлкәһе: <math>E(y)=(-\infty; + \infty )</math>. Был кәкере һыҙыҡ йыш ҡына ''логарифмика'' тип атала<ref name=MATENC>{{книга |часть=Логарифмическая функция.|заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=3 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>. [[#Логарифмдың нигеҙен алмаштырыу]] формулаһынан күренеүенсә, берҙән ҙурыраҡ төрлө нигеҙле логарифмлы функцияларҙың графиктары, бер-береһенән тик <math>y</math> күсәре буйынса масштабтары менән генә айырылалар; берҙән бәләкәйерәк нигеҙҙәр өсөн графиктар уларҙың горизонталь күсәргә ҡарата көҙгөләгесә сағылышы булып торалар.

Билдәләмәнән күренеүенсә, логарифмлы бәйләнеш <math>y=a^x</math> [[Күрһәткесле функция|күрһәткесле функцияһы]] өсөн [[кире функция]] була, шуға күрә уларҙың графиктары беренсе һәм өсөнсө квадранттарҙың [[Биссектриса|биссектрисаһына]] ҡарата симметрик булалар (һүрәтте ҡарағыҙ). Күрһәткесле функция кеүек үк, логарифмлы функция [[трансцендентлы функция]]лар категорияһына ҡарай.

Функция <math>a > 1</math> булғанда ҡәтғи үҫә барыусы (артабан графиктарҙы ҡарағыҙ) һәм <math>0 < a < 1</math> булғанда ҡәтғи кәмей барыусы була. Теләһә ниндәй логарифмлы функцияның графигы <math>(1;0)</math> нөктәһе аша үтә. Функция бөтә билдәләнеү өлкәһендә [[Өҙлөкһөҙ сағылыш|өҙлөкһөҙ]] һәм сикһеҙ [[Дифференциалланыусы функция|дифференциалланыусы]] функция.

Ординаталар күсәре (<math>x=0</math>) [[Асимптота|вертикаль асимптотаһы]] була, сөнки:
: <math>a > 1</math> булғанда <math>\lim_{x \to 0+0} \log_a x = - \infty</math>;
: <math>0 < a < 1</math> булғанда <math>\lim_{x \to 0+0} \log_a x = + \infty</math>.

Логарифмлы функцияның сығарылмаһы:
: <math>\frac {d} {dx} \log_a x = \frac {1} {x \cdot \ln a}</math> тигеҙ.

Алгебра күҙлегенән ҡарағанда, логарифмлы функция (берҙән бер мөмкин булған) ыңғай ысын һандарҙың [[Төркөм (математика)|мультипликативлы төркөмөнөң]] һәм бөтә ысын һандарҙың [[Төркөм (математика)|аддитивлы төркөмөнөң]] [[Төркөмдәрҙең изоморфизмы|изоморфизмын]] тормошҡа ашыра. Икенсе төрлө әйткәндә, логарифмлы функция [[Функциональ тигеҙләмә|функциональ тигеҙләмәнең]] берҙән-бер (аргументтың бөтә ыңғай ҡиммәттәре өсөн билдәләнгән) өҙлөкһөҙ сығарылышы{{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Том I, стр. 159-160}}:
: <math>f(xy)=f(x)+f(y)</math>

==== Натураль логарифм ====
{{Main|Натураль логарифм}}
Юғарыла килтерелгән [[Сығарылма функции|сығарылманың]] дөйөм формулаһынан натураль логарифм өсөн бигерәк тә ябай һөҙөмтә алабыҙ:
: <math>\frac {d} {dx} \ln x = \frac {1} {x}</math>
Ошо сәбәп менән математик тикшеренеүҙәрҙә башлыса тап натураль логарифмдар ҡулланыла. Улар йыш ҡына [[дифференциаль тигеҙләмә]]ләрҙе сығарғанда, статистик бәйлелектәрҙе (мәҫәлән, [[Ябай һандарҙың таралыуы тураһында теорема|ябай һандарҙың таралыуын]]) һәм башҡаларҙы тикшергәндә осрай.

[[Файл:Log-pole-x.svg|thumb|<center>Натураль логарифм [[Гипербола (математика)|гипербола]] аҫтындағы майҙанға тигеҙ</center>]]
<math>x=1</math>-ҙән <math>x=b</math>-ға тиклем интервалда сығарылма өсөн формуланы интеграллап, беҙ табабыҙ:
: <math>\ln b = \int\limits_1^b {\frac {dx}{x}}</math>
Икенсе төрлө әйткәндә, натураль логарифм ''x''-тың бирелгән интервалы өсөн [[Гипербола (математика)|гипербола]] аҫтындағы майҙанға тигеҙ<math>y=\frac {1}{x}</math>.

Натураль логарифмдан [[аныҡ булмаған интеграл]]ды [[Өлөштәре буйынса интеграллау|өлөштәре буйынса интеграллап]] еңел табырға була:
: <math>\int{\ln x\,\mathrm dx} = x\ln x-x+C </math>

[[Математик анализ]]да һәм [[Дифференциаль тигеҙләмә|дифференциаль тигеҙләмәләр]] теорияһында функцияның [[Логарифмлы сығарылма|логарифмлы сығарылмаһы]] төшөнсәһе ҙур роль уйнай <math>f(x)</math>:
: <math>\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}</math>

===== Натураль логарифмды иҫәпләү һәм рәткә тарҡатыу =====
Натураль логарифмды бер эргәһендә [[Тейлор рәте]]нә тарҡатайыҡ:

{{EF|:|<math>\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots</math>|ref=Ряд 1}}

Был рәт <math>-1 < x \leqslant 1</math> булғанда [[Рәттең йыйылыусанлығы|йыйылыусан]]. Атап әйткәндә:
{{EF|:|<math>\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots</math>}}
{{Eqref |1-се рәт}} формулаһы, рәт бик яй һәм тик бик тар интервалда йыйылғанлыҡтан, практикала логарифмдарҙы иҫәпләүгә яраҡһыҙ. Әммә унан уңайлыраҡ формуланы сығарыу ҡыйын түгел:
{{EF|:|<math>\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots\right)</math>|ref=Ряд 2}}
Был рәт тиҙерәк йыйыла, бынан тыш, формуланың һул яғы хәҙер теләһә ниндәй ыңғай һандың логарифмын күрһәтә ала. Был алгоритм логарифмдарҙың ҡиммәттәрен реаль һанлы иҫәпләүҙәр өсөн яраҡлы, әммә күп хеҙмәт талап итеү яғынан бик үк яҡшы түгел. Файҙалыраҡ алгоритмдар бар<ref>{{статья|автор=Sasaki T., Kanada Y.|заглавие=Practically fast multiple-precision evaluation of log(x) |ссылка=http://ci.nii.ac.jp/naid/110002673332|язык=en|издание=Journal of Information Processing |год=1982 |том=5|выпуск=4|страницы=247–250}}</ref>.

==== Унарлы логарифм ====
{{main|Унарлы логарифм}}
10 нигеҙе буйынса логарифмдар (тамғаланышы: <math>\lg x</math>) [[калькулятор]]ҙарҙы уйлап тапҡанға тиклем иҫәпләүҙәр өсөн киң ҡулланылалар. Уларҙың башҡа нигеҙле логарифмдар алдында өҫтөнлөктәре бар: <math>x</math> һанының логарифмы <math>[\lg x]</math>-тың бөтөн өлөшөн табыуы еңел{{sfn |Элементарная математика|1976|с=94—100|name=ZAY94}}:
* Әгәр <math>x \geqslant 1</math> булһа, ул саҡта <math>[\lg x]</math> <math>x</math> һанының бөтөн өлөшөндәге цифрҙар һанынан 1-гә әҙ. Мәҫәлән, <math>\lg 345</math> <math>(2,3)</math> аралығында ятыуы аңлашылып тора.
* Әгәр <math>0<x<1</math> булһа, минус тамғаһы менән алынған, <math>\lg x</math>-ҡа бәләкәй яҡтан иң яҡын бөтөн һан, <math>x</math> һанының беренсе нуль булмаған цифр алдындағы дөйөм нулдәр һанына тигеҙ (өтөр алдындағы нулде лә индереп). Мәҫәлән, <math>\lg 0{,}0014</math> <math>(-3,-2)</math> интервалына инә.
Бынан тыш, һанда унарлы өтөрҙө <math>n</math> разрядҡа күсергәндә, был һандың унарлы логарифмы ҡиммәте <math>n</math>-гә үҙгәрә. Мәҫәлән, <math>\lg 8314{,}63 = \lg 8{,}31463 + 3</math>. Бынан, унарлы логарифмдарҙы иҫәпләү өсөн <math>1</math>-ҙән <math>10</math>-ға тиклем диапазондағы һандарҙың логарифмдары таблицаһын төҙөү етә икәне килеп сыға<ref name=ZAY94/>.

Натураль логарифм менән бәйләнеш{{sfn |Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике|1978|с=189}}:
: <math>\ln x \approx 2{,}30259\ \lg x, \quad \ln x = \frac {\lg x} {\lg e} = \ln 10 \cdot \lg x = (2{,}30259\dots) \lg x</math>

: <math>\lg x \approx 0{,}43429\ \ln x, \quad \lg x = \frac {\ln x} {\ln 10} = \lg e \cdot \ln x = (0{,}43429\dots) \ln x</math>

Логарифмдарҙы ҡулланыу иҫәпләү техникаһы барлыҡҡа килгәндән һуң бөтөнләй тиерлек туҡтағанлыҡтан, беҙҙең көндәрҙә унарлы логарифм һиҙелерлек дәрәжәлә натураль логарифм тарафынан ҡыҫырыҡлап сығарылды{{sfn |Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=406}}. Ул башлыса тарихи ныҡлы урын алған математик моделдәрҙә һаҡлана — мәҫәлән, [[#Логарифмлы шкала|логарифмлы шкалалар]] төҙөгәндә.

==== Сикке нисбәттәр ====
Логарифмдар менән бәйле бер нисә файҙалы [[Функцияның сикләмәһе|сикләмә]] килтерәйек {{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Том I, стр. 164}}:
: <math>\lim_{x \to 0} \frac{\log_a (1+x)} {x} = \log_a e = \frac{1}{\ln a}</math>
: <math>\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0 \quad (b > 0) </math>
: <math>\lim_{x \to \infty} \frac{\log_a x}{x^b} = 0 \quad (b > 0) </math>
: <math>\ln x = \lim_{n \to \infty} n \left(\sqrt[n]x -1 \right) 
              = \lim_{n \to \infty} n \left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}}\right)</math>
: <math>\ln x = \lim_{h \to 0} \frac{x^h-1}h</math>

==== Башҡа үҙсәнлектәре ====
* [[Гельфонд теоремаһы]]нан, әгәр <math>a, b</math> — алгебраик һандар (<math>a \ne 1</math>) булһа, ул саҡта <math>\log_a b</math> йә [[Рациональ һан|рациональ]], йәки [[Трансцендент һан|трансцендент]] була икәне килеп сыға. Шуның менән бергә, әгәр <math>a, b</math> һандары <math>a^p=b^q</math> нисбәте менән бәйле булһалар, шул саҡта ғына логарифм рациональ һәм <math>p \over q</math>-ға тигеҙ<ref>{{Citation |last1=Baker |first1=Alan |title=Transcendental number theory|publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-20461-3 |year=1975}}, p. 10.</ref>.
* <math>\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}</math> суммаһы ([[Гармоник рәт|гармоник рәттең]] өлөшләтә суммаһы) <math>n</math> ҙур булғанда үҙен <math>\ln n + \gamma + O(n^{-1})</math> һымаҡ тота, бында <math>\gamma \approx 0{,}5772156649\dots </math> — [[Эйлер — Маскерони даимиһы]].

== Комплекслы логарифм ==

=== Билдәләмә һәм үҙсәнлектәре ===
[[Комплекслы һан]]дар өсөн логарифм, ысын һандар кеүек билдәләнә. Практикала фәҡәт натураль комплекслы логарифм ғына ҡулланыла тиерлек, ул <math>\mathrm{Ln}\, z</math> тип тамғалана һәм <math>e^w=z</math> тигеҙләмәһенең <math>w</math> сығарылышы һымаҡ билдәләнә (быныһына эквивалентлы башҡа варианттар түбәндә килтерелә).

Комплекслы һандар яланында был тигеҙләмәнең сығарылышы, ысын һандар осрағынан айырмалы рәүештә, бер ҡиммәтле генә билдәләнмәй. Мәҫәлән, [[Эйлер тождествоһы]]на ярашлы рәүештә, <math>e^{\pi i}=-1</math>; ләкин шулай уҡ <math>e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i} \dots =-1</math>. Был шуның менән бәйле, [[күрһәткесле функция]] уйҙырма күсәр буйлап (<math>2 \pi i</math> периоды менән) периодлы функция {{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Том II, стр. 520-522|name=FICHT2-520 }}, һәм функция бер үк ҡиммәтте сикһеҙ күп тапҡыр ҡабул итә. Шулай итеп, комплекслы логарифлы функция <math>w=\mathrm{Ln}\,z</math> [[Күп ҡиммәтле функция|күп ҡиммәтле]] була.

Комплекслы нулдең логарифмы юҡ, сөнки комплекслы [[экспонента]] нуль ҡиммәтен ҡабул итмәй. Нулдән айырмалы <math>z</math>-те күрһәткесле формала күрһәтергә мөмкин:
: <math>z=r \cdot e^{i \varphi}</math>
Ул саҡта <math>\mathrm{Ln}\,z</math><ref name=KORN623/>:
: <math>\mathrm{Ln}\,z = \ln r + i \left( \varphi + 2 \pi k \right)</math> формулаһы буйынса табыла.
Бында <math>\ln\,r= \ln\,|z|</math> — ысын логарифм, <math>k</math> — ирекле [[бөтөн һан]]. Бынан килеп сыға:
{{рамка}}
Комплекслы логарифм <math>\mathrm{Ln}\, z</math> теләһә ниндәй <math>z \ne 0</math> өсөн бар, һәм уның ысын өлөшө бер ҡиммәтле билдәләнә, шул уҡ ваҡытта уйланма өлөшөнөң, <math>2\pi</math> бөтөн тапҡырға айырылған ҡиммәттәре сикһеҙ күп.
{{конец рамки}}
[[Файл:NaturalLogarithmRe.svg|thumb|280px|<center>Комплекслы логарифмдың ысын өлөшө</center>]]
Формуланан күренеүенсә, уйҙырма ҡиммәттәрҙең береһе һәм тик береһе генә <math>(-\pi, \pi]</math> интервалына инә. Был ҡиммәт комплекслы натураль логарифмдың '''төп ҡиммәте''' тип атала<ref name=MATENC/>. Уға ярашлы (хәҙер инде бер ҡиммәтле) функция логарифмдың ''төп тармағы'' тип атала һәм <math>\ln\,z</math> тип тамғалана. Ҡайһы берҙә <math>\ln\, z</math> аша логарифмдың төп тармаҡта ятмаған ҡиммәтен дә атайҙар. Әгәр <math>z</math> — ысын һан булһа, ул саҡта уның логарифмының төп ҡиммәте ғәҙәттәге ысын логарифм менән тап килә.

Килтерелгән формуланан шулай уҡ, логарифмдың ысын өлөшө аргументтың компоненттары аша түбәндәгесә билдәләнә икәне килеп сыға:
: <math>\operatorname{Re}(\ln(x+iy)) = \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2)</math>
Һүрәттә, компоненттар функцияһы булараҡ ысын өлөшө үҙәк-симметрик һәм координаталар башына тиклемге алыҫлыҡҡа ғына бәйле икәне күрһәтелгән. Ул ысын логарифм графигын вертикаль күсәр тирәләй өйрөлткәндә килеп сыға. Нулгә яҡынайыу менән функция <math>-\infty</math>-ҡа ынтыла.

Тиҫкәре һандың логарифмы түбәндәге формула буйынса билдәләнә{{sfn |Корн Г., Корн Т. Справочник по математике|1973|с=623|name=KORN623 }}:
: <math>\mathrm{Ln} (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots) </math>

=== Комплекслы логарифм ҡиммәттәренә миҫалдар ===
Логарифмдың (<math>\ln</math>) төп ҡиммәтен һәм (<math>\mathrm{Ln}</math>) ҡайһы бер аргументтар өсөн уның дөйөм аңлатмаһын килтерәйек:
: <math>\ln (1) = 0;\; \mathrm{Ln} (1) = 2k\pi i</math>
: <math>\ln (-1) = i \pi;\; \mathrm{Ln} (-1) = (2k+1)i \pi</math>
: <math>\ln (i) = i \frac{\pi} {2};\; \mathrm{Ln} (i) = i \frac{4k+1}{2} \pi</math>
Комплекслы логарифмдарҙы үҙгәрткәндә, уларҙың күп ҡиммәтле икәнен иҫтә тотоп, һаҡ булырға кәрәк, шуға күрә ниндәй ҙә булһа аңлатмаларҙың логарифмдарының тигеҙлегенән был аңлатмаларҙың тигеҙлеге килеп сыҡмай. Хаталы фекерләүгә миҫал:
: <math> i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi</math> — күренеп торған хата.
Һул яҡта логарифмдың төп ҡиммәте тора, ә уңда — аҫта ятҡан тармаҡтағы ҡиммәт (<math>k=-1</math>) икәнен билдәләп китәйек. Хатаның сәбәбе — <math>\log_a{(b^p)} = p~\log_a b</math> үҙсәнлеген һаҡһыҙ ҡулланыу, ул, ғөмүмән алғанда, комплекслы осраҡта логарифм ҡиммәттәренең бөтә сикһеҙ йыйылмаһын күҙ уңында тота, ә төп ҡиммәтен генә түгел.

=== Комплекслы логарифмлы функция һәм Риман йөҙө ===
[[Файл:Riemann surface log.svg|thumb|<center>Комплекслы логарифм (уйҙырма өлөшө)</center>]]
[[Комплекслы анализ]]да [[комплекслы яҫылыҡ]]тағы [[Күп ҡиммәтле функция|күп ҡиммәтле функцияларҙы]] ҡарау урынына икенсе ҡарар ҡабул ителгән: функцияны бер ҡиммәтле итеп, әммә яҫылыҡта түгел, ә ҡатмарлыраҡ, [[Риман йөҙө]] тип аталған [[Төрлөлөк|төрлөлөктә]] билдәләнгән тип ҡарарға{{sfn |Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной|1967|с=92—94}}. Комплекслы логарифмлы функция шулай уҡ ошондай категорияға ҡарай: уның образы (һүрәтте ҡарағыҙ), спираль рәүешендә уралған сикһеҙ һандағы тармаҡтарҙан тора. Был йөҙ өҙлөкһөҙ һәм [[бер бәйләнешлелек|бер бәйләнешле]]. Функцияның берҙән-бер нуле (беренсе тәртиптәге) <math>z=1</math> булғанда килеп сыға. Үҙенсәлекле нөктәләре: <math>z=0</math> һәм <math>z=\infty</math> (сикһеҙ тәртиптәге тармаҡланыу нөктәләре)<ref name=ST/>.

Логарифмдың Риман йөҙө, бер бәйләнешле булғанлыҡтан, <math>0</math> нөктәһе инмәгән комплекслы яҫылыҡ өсөн [[универсаль ҡаплаусы]] булып тора<ref>{{книга|автор=[[Болтянский, Владимир Григорьевич|Болтянский В. Г.]], Ефремович В. А.|заглавие=Наглядная топология|ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/djvu/geometry/boltiansky-nagl-topo.htm|место=М.|издательство=Наука|год=1982|серия=Библиотечка Квант, выпуск 21|страницы=112}}</ref>.

=== Аналитик дауамы ===
Комплекслы һандың логарифмы шулай уҡ ысын логарифмдың бөтә [[Комплекслы яҫылыҡ|комплекслы яҫылыҡҡа]] [[аналитик дауамы]] булараҡ билдәләнергә мөмкин. <math>\Gamma</math> кәкере һыҙығы берәмектә башлана, нуль аша үтмәй һәм ысын күсәрҙең тиҫкәре өлөшөн киҫмәй икән, ти. Ул саҡта логарифмдың <math>\Gamma</math> кәкере һыҙығының һуңғы <math>w</math> нөктәһендәге төп ҡиммәтен түбәндәге формула буйынса иҫәпләргә мөмкин{{sfn |Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной|1967|с=45—46, 99-100|name=ST }}:
: <math>\ln w = \int\limits_\Gamma {du \over u}</math>

Әгәр <math>\Gamma</math> — ябай кәкере һыҙыҡ булһа (үҙ-үҙен киҫмәй), ул саҡта унда ятҡан һандар өсөн логарифмлы тождестволарҙы ҡурҡмай ҡулланырға мөмкин, мәҫәлән:
: <math>\ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma</math>

Логарифмлы функцияның төп тармағы [[Өҙлөкһөҙ функция|өҙлөкһөҙ]] һәм бөтә [[комплекслы яҫылыҡ]]та, ысын күсәрҙең тиҫкәре өлөшөнән башҡа, [[Комплекслы анализ|дифференциалланыусы]], ысын күсәрҙең тиҫкәре өлөшөндә уйҙырма өлөшө <math>2\pi</math> берәмеккә һикереп үҙгәрә. Ләкин был факт төп ҡиммәтенең уйҙырма өлөшөн <math>(-\pi, \pi]</math> интервалы менән яһалма сикләү эҙемтәһе булып тора. Функцияның бөтә тармаҡтарын да ҡарағанда, функция бирелмәгән нулдән башҡа бөтә нөктәләҙә лә өҙлөкһөҙлөк үҙсәнлеге үтәлә. Әгәр <math>\Gamma</math> кәкере һыҙығына ысын күсәрҙең тиҫкәре өлөшөн киҫеп үтергә рөхсәт иткәндә, ул саҡта бындай беренсе киҫелеш һөҙөмтәне төп ҡиммәтенең тармағынан күрше тармаҡҡа күсерә, ә һәр артабанғы киҫелеш логарифмлы функцияның тармаҡтары буйлап оҡшаш шылдырыу тыуҙыра<ref name=ST/> (см. рисунок).

Аналитик дауам формулаларынан, логарифмдың теләһә ниндәй тармағында<ref name=FICHT2-520/>:
: <math>\frac{d}{dz} \ln z = {1\over z}</math> булыуы килеп сыға.

<math>0</math> нөктәһен үҙ эсенә алған теләһә ниндәй <math>S</math> әйләнәһе өсөн:
: <math>\oint\limits_S {dz \over z} = 2\pi i</math>
Интеграл ыңғай йүнәлештә алына ([[сәғәт уғына ҡаршы]]). Был тождество [[Вычет (комплекслы анализ)|вычеттар]] теорияһының нигеҙендә ята.

Комплекслы логарифмдың аналитик дауамын шулай уҡ юғарыла килтерелгән рәттәр ярҙамында билдәләргә мөмкин: комплекслы аргумент осрағына дөйөмләштерелгән {{Eqref|Ряд 1|ряда 1}} йәки {{Eqref|Ряд 2|ряда 2}}. Әммә был рәттәрҙең күренешенән, берәмектә рәттең суммаһы нулгә тигеҙ булыуы килеп сыға, йәғни рәт комплекслы логарифмдың күп ҡиммәтле функцияһының төп тармағына ғына ҡарай. Ике рәттең дә [[йыйылыусанлыҡ радиусы]] 1-гә тигеҙ.

=== Кире тригонометрик һәм гиперболик функциялар менән бәйләнеш ===
Комплекслы [[тригонометрик функциялар]] [[экспонента]] менән ([[Эйлер формулаһы]]) бәйләнгән булғанлыҡтан, комплекслы логарифм, экспонентаға кире функция булараҡ, [[кире тригонометрик функциялар]] менән бәйле{{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Том II, стр. 522-526|name=FICHT2-522 }}<ref name=KK624/>:
: <math>\operatorname{Arcsin} z = -i \operatorname{Ln} (i z + \sqrt{1-z^2})</math>
: <math>\operatorname{Arccos} z = -i \operatorname{Ln} (z + i\sqrt{1-z^2})</math>
: <math>\operatorname{Arctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{1+z i}{1-z i} + k \pi \; (z \ne \pm i)</math>
: <math>\operatorname{Arcctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{z i-1}{z i+1} + k \pi \; (z \ne \pm i)</math>
[[Гиперболик функциялар]]ҙы комплекслы яҫылыҡта уйланма аргументтың тригонометрик функциялары итеп ҡарарға мөмкин, шуға күрә бында ла логарифм менән бәйләнеш бар{{sfn |Корн Г., Корн Т. Справочник по математике|1973|с=624|name=KK624 }}:
: <math>\operatorname{Arsh}z = \operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2+1})</math> — кире гиперболик синус
: <math>\operatorname{Arch}z=\operatorname{Ln} \left( z+\sqrt{z^{2}-1} \right)</math> — кире гиперболик косинус
: <math>\operatorname{Arth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)</math> — кире гиперболик тангенс
: <math>\operatorname{Arcth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{z+1}{z-1}\right)</math> — кире гиперболик котангенс

== Тарихи очерк ==
: {{main|Логарифмдар тарихы}}

=== Башлап ебәреүселәр ===
Логарифмдарҙы ҡулланыуға ([[Архимед]]ҡа ла билдәле булған<ref name=USP9/>), дәрәжәләрҙе ҡабатлағанда уларҙың дәрәжә күрһәткестәре ҡушылыу факты стимул булып тора{{sfn |Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=206}}: <math>a^b \cdot a^c = a^{b+c}</math>. Һиндостандың VIII быуат математигы Вирасена, дәрәжәле бәйләнештәрҙе өйрәнеп, 2, 3, 4 нигеҙҙәре өсөн бөтөн һанлы күрһәткестәр таблицаһын баҫтырып сығара (йәғни, ысынбарлыҡта, логарифмдар таблицаһы)<ref>{{citation| contribution=History of Mathematics in India |title=Students' Britannica India: Select essays|editor-first=Dale|editor1-last=Hoiberg|editor3-first=Indu|editor2-last=Ramchandani|first=R. C.|last=Gupta|page=329|location=New Delhi |publisher=Popular Prakashan|year=2000| contribution-url=https://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=en&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false}}</ref>.

[[Файл:Stifel log.jpg|мини|340px|слева|М. Штифелдең логарифмик таблицаһы, «''Arithmetica integra''», 1544]]
Урта быуаттар Европаһында хәл иткес аҙым яһала. [[XVI быуат]]та ҡатмарлы иҫәпләүҙәргә ихтыяж тиҙ үҫә, һәм ҡыйынлыҡтарҙың һиҙелерлек өлөшө күп урынлы һандарҙы ҡабатлау һәм бүлеү, шулай уҡ [[Тамыр (математика)|тамыр]] алыу менән бәйле була. Быуат аҙағында бер нисә математиктың бер үк ваҡытта тиерлек башына идея килә: күп хеҙмәт талап иткән ҡабатлауҙы, [[Геометрик прогрессия|геометрик]] һәм [[Арифметик прогрессия|арифметик]] прогрессияларҙы махсус таблицалар ярҙамында сағыштырып, ябай ҡушыу ғәмәле менән алмаштырыу, шуның менән бергә геометрик прогрессия баштағы була{{sfn |Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|с=9|name=USP9 }}. Ул саҡта бүлеү ҙә сағыштырғыһыҙ ябай алыу менән автоматик рәүештә алмаштырыла, шулай уҡ [[дәрәжәгә күтәреү]] һәм [[тамыр алыу]] ябайлаша.

Беренсе булып был идеяны үҙенең «''Arithmetica integra''» (1544) китабында [[Штифель, Михаэль|Михаэль Штифель]] баҫтырып сығара, ул, хәйер, үҙенең идеяһын тормошҡа ашырыу өсөн әллә ни көс һалмай{{sfn |История математики, том II|1970|с=54—55}}<ref>{{Citation|title = Precalculus mathematics |author=Vivian Shaw Groza, Susanne M. Shelley |publisher=Holt, Rinehart, Winston |location=New York |year=1972|isbn=978-0-03-077670-0 |page=182| url=https://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel}}</ref>. Штифелдың төп баһалы хеҙмәте булып дәрәжәнең бөтөн күрһәткестәренән ирекле [[Рациональ һан|рациональ]] күрһәткестәргә күсеү тора{{sfn |Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=210}} (был йүнәлештә беренсе аҙымды XIV быуатта [[Орем, Николай|Николай Орем]] һәм XV быуатта [[Никола Шюке]] эшләй).

=== Джон Непер һәм уның «ғәжәйеп логарифмдар таблицаһы» ===
[[Файл:John Napier.jpg|thumb|220px|<center>[[Джон Непер]]</center>]]
[[1614 йыл]]да шотланд математик-һәүәҫкәре [[Непер, Джон|Джон Непер]] латин телендә «''Ғәжәйеп логарифмдар таблицаһы һүрәтләмәһе''» исемле әҫәрен баҫтырып сығара ({{lang-lat|Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio}}). Унда ҡыҫҡаса логарифмдарҙың һәм уларҙың үҙсәнлектәренең тасуирламаһы, шулай уҡ, 1' аҙымы менән, [[синус (функция)|синустарҙың]], [[косинус]]тарҙың һәм [[тангенс]]тарҙың логарифмдарының 8-урынлы таблицалары бирелә. Непер тәҡдим иткән ''логарифм'' термины фәндә нығына. Логарифмдар теорияһын Непер, ул үлгәндән һуң улы Роберт тарафынан 1619 йылда баҫтырып сығарылған, үҙенең икенсе «''Построение удивительной таблицы логарифмов''» китабында бирә ({{lang-lat|Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio}}).

Документтарҙан күренеүенсә, логарифмлау техникаһына Непер 1594 йылда уҡ эйә була{{sfn |Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|с=13|name=USP13 }}. Уның асыштарының туранан тура маҡсаты булып, Неперға ҡатмарлы астрологик иҫәпләүҙәрҙе еңелләштереү тора{{sfn |История математики, том II|1970|с=56}}; тап шуның өсөн дә таблицаларға тик [[Тригонометрик функциялар|тригонометрик функцияларҙың]] логарифмдары ингән була.

[[Функция (математика)|Функция]] төшөнсәһе ул саҡта булмай әле, һәм Непер логарифмға, тигеҙ һәм логарифмик-яйая барыусы хәрәкәттәрҙе сағыштырып, [[Кинематика|кинематик]] билдәләмә бирә; мәҫәлән, синус логарифмына ул ошолай билдәләмә бирә<ref>{{книга |заглавие=Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей |ответственный=Под ред. [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]] |место=М. |издательство=Просвещение |год=1977 |страниц=224 |страницы=40 }}</ref>:
<blockquote>Бирелгән синустың логарифмы, һәр саҡ тулы синус геометрик кәмегән кеүек үк тиҙлек менән арифметик үҙә барыусы һан ул.</blockquote>
Хәҙерге тамғалауҙарҙа Неперҙың кинематик моделен [[дифференциаль тигеҙләмә]] менән һүрәтләп була{{sfn |История математики, том II|1970|с=59|name=HIST59 }}:
: <math> \frac{dx}{x} = - \frac{dy}{M}</math>,
бында M — масштаблы ҡабатлашыусы, ул, ҡиммәт кәрәк тиклем тамғалар менән бөтөн һан килеп сыҡһын өсөн индерелгән ([[Унарлы кәсер|унарлы кәсерҙәр]] ул ваҡытта киң ҡулланылмаған була). Непер M = {{formatnum:10000000}} итеп алған.

Ҡәтғи әйткәндә, Непер хәҙер логарифм тип аталған функцияны таблицаламаған. Әгәр уның функцияһын <math>\operatorname{LogNap}(x)</math> тип тамғалаһаң, ул натураль логарифм менән түбәндәгесә бәйләнгән<ref name=HIST59/>:
:: <math>\operatorname{LogNap}(x) = M \cdot (\ln(M) - \ln(x))</math>
Күренеүенсә, <math>\operatorname{LogNap}(M) = 0</math>, йәғни «тулы синустың» логарифмы (90°-ҡа ярашлы) нуль — Непер үҙенең билдәләмәһе менән ошоға өлгәшергә теләгән дә инде. Шулай уҡ ул, бөтә логарифмдар ҙа ыңғай булыуын теләгән; <math>x<M</math> өсөн был шарттың үтәлеүенә ышаныуы ҡыйын түгел. <math>\operatorname{LogNap}(0) = \infty</math>.

Непер логарифмының төп үҙсәнлеге: әгәр дәүмәлдәр [[геометрик прогрессия]] төҙөһә, ул саҡта уларҙың логарифмдары [[Арифметик прогрессия|арифметик]] прогрессия төҙөй. Ләкин өҙлөкһөҙ функция өсөн логарифмлау ҡағиҙәләре хәҙерге логарифм өсөн булған ҡағиҙәләрҙән айырыла, мәҫәлән:
: <math>\operatorname{LogNap}(a \cdot b)=\operatorname{LogNap}(a)+\operatorname{LogNap}(b)-\operatorname{LogNap}(1)</math>

=== Артабанғы үҫеше ===
Тиҙҙән асыҡланыуынса, алгоритмдағы хата арҡаһында Непер таблицаһындағы бөтә ҡиммәттәрҙә лә алтынсы тамғанан һуң дөрөҫ булмаған цифрҙар киткән{{sfn |История математики, том II|1970|с=61|name=IM61 }}. Әммә был иҫәпләүҙәрҙең яңы методикаһына киң билдәлелек алыуға ҡамасауламаған, һәм күп Европа математиктары логарифмик таблицалар төҙөү менән шөғөлләнгән. [[Кеплер, Иоганн|Кеплер]] үҙе 1620 йылда баҫтырып сығарған астрономик белешмәгә Неперға һоҡланыулы бағышлама индерә(уйлап табыусының ул ваҡытта инде вафат булғанын белмәйенсә). 1624 йылда Кеплер үҙенең логарифмик таблицалар вариантын баҫтырып сығара ({{lang-lat|Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos}}){{sfn |Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|с=39}}. Логарифмдарҙы ҡулланыу Кеплерға [[Донъяның гелиоцентрик системаһы|гелиоцентрик астрономияның]] уңышын нығытыусы [[Рудольф таблицалары]]н төҙөү буйынса күп йыллыҡ хеҙмәтен сағыштырмаса тиҙерәк тамамларға мөмкинлек бирә.

Неперҙың китабы баҫылғандан һуң бер нисә йыл үткәс, хәҙерге заман төшөнсәһенә яҡыныраҡ торған логарифмды ҡулланыусы логарифмик таблицалар барлыҡҡа килә. Лондон профессоры [[Бригс, Генри|Генри Бригс]] [[Унарлы логарифм|унарлы логарифмдарҙың]] 14-урынлы таблицаһын төҙөй (1617), шуның менән бергә тригонометрик функциялар өсөн түгел, 1000-гә тиклемге ирекле бөтөн һандар өсөн (7 йылдан һуң Бригс һандар һанын 20000-гә тиклем арттыра). 1619 йылда Лондондың математика уҡытыусыһы Джон Спайделл ({{lang-en|John Speidell}}) Неперҙың төҙәтелгән һәм тулыландырылған логарифмик таблицаларын киренән баҫтыра, улар ысынында натураль логарифмдар таблицаһы булалар. Спайделл бөтөн һандарға тиклем масштаблауҙы һаҡлаһа ла, уның да 1000-гә тиклемге һандарҙың логарифмдары була (шуның менән бергә берәмектең логарифмы, Бригстыҡы кеүек, нулгә тигеҙ була) {{sfn |История математики, том II|1970|с=63}}<ref>''Charles Hutton.'' [https://books.google.ru/books?id=zDMAAAAAQAAJ&pg=PA30&lpg=PA30&dq=Speidell+logarithm&source=bl&ots=okbhTbkRfc&sig=KWTXsVOdf-c2DtZLntcYTAetFUM&hl=ru&sa=X&ei=2K6JT838GoTHsgaMvaHgCw&redir_esc=y#v=onepage&q=Speidell%20logarithm&f=false Mathematical Tables.] London, 1811, p. 30.</ref>.

Оҙаҡламай логарифмдарҙың математикала урыны иҫәпләүҙәрҙең уңайлылығы менән генә сикләнмәй икәне асыҡлана. 1629 йылда Бельгия математигы [[Сен-Венсан, Грегуар де|Грегуар де Сен-Венсан]], <math>y=\frac {1}{x}</math> [[Гипербола (математика)|гиперболаһы]] аҫтындағы майҙан логарифмик закон буйынса үҙгәрә икәнен күрһәтә{{sfn |История математики, том II|1970|с=133}}. 1668 йылда немец математигы [[Меркатор, Николас|Николас Меркатор (Кауфман)]] үҙенең ''Logarithmotechnia'' китабында логарифмдың сикһеҙ рәткә тарҡалыуын аса һәм баҫтыып сығара{{sfn |Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|с=52|name=USP52 }}. Күп тарихсыларҙың фекеренсә, логарифмдарҙың барлыҡҡа килеүе күп математик концепцияларға көслө йоғонто яһай, шул иҫәптән:
# [[Иррациональ һан|Иррациональ]] һәм [[трансцендент һан]]дар төшөнсәһенең дөйөм танылыуы һәм формалашыуы{{sfn |Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=51, 286, 352}}.
# [[Күрһәткесле функция|Күрһәткесле функцияның]] һәм дөйөм [[һанлы функция]] төшөнсәһенең, [[E (һан)|Эйлер һанының]] барлыҡҡа килеүе, [[Айырмалы схема|айырмалы тигеҙләмәләр]] теорияһының үҫеше{{sfn |Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=213, 217}}.
# Сикһеҙ рәттәр менән эш башланыуы<ref name=USP52/>.
# Төрлө типтағы [[Дифференциаль тигеҙләмә|дифференциаль тигеҙләмәләрҙе]] сығарыуҙың дөйөм ысулдары.
# Иҫәпләү өсөн теүәл логарифмик таблицалар талап итеүсе [[Иҫәпләү ысулдары|һанлы ысулдар]] теорияһының һиҙелерлек үҫеше.

XIX быуат аҙағына тиклем логарифмдың дөйөм ҡабул ителгән тамғаланышы булмай, ''a'' нигеҙе ''log'' символынан йә уңда, йә һулда, йә өҫтөндә күрһәтелә. Ахыр сиктә математиктар, нигеҙ өсөн иң уңайлы урын — юлдан түбәнерәк, ''log'' символынан һуң тигән фекергә киләләр: <math>\log_a b</math>. Логарифмдың нығыраҡ ҡулланылған төрҙәренең — унарлы һәм натураль — <math>\lg, \; \ln</math> ҡыҫҡаса тамғаланышы күпкә элегерәк һәм бер юлы бер нисә авторлыҡта килеп сыға һәм шулай уҡ XIX быуат аҙағына тамам нығына<ref>{{cite book |last=Cajori. |first=Florian |authorlink=Florian Cajori |title=A History of Mathematics, 5th ed |pages=152 |publisher=AMS Bookstore |date=1991 |isbn=0821821024 |url=https://books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&dq=%22Cajori%22+%22A+History+of+Mathematics%22+}}</ref>.

Логарифмлауҙы хәҙерге төшөнсәгә яҡын — [[Дәрәжәгә күтәреү|дәрәжәгә күтәреүгә]] кире ғәмәл булараҡ аңлау — беренсе башлап [[Валлис, Джон|Валлиста]] (1685) һәм [[Бернулли, Иоганн|Иоганн Бернуллиҙа]] (1694) күренә, ә тулыһынса [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] тарафынан законлаштырыла<ref name=IM61/>. «Введение в анализ бесконечных» ([[1748]]) китабында Эйлер [[күрһәткесле функция|күрһәткесле]], шулай уҡ логарифмлы функцияларҙың хәҙерге билдәләмәләрен бирә, уларҙың дәрәжәле рәттәргә тарҡалмаһын килтерә, натураль логарифмдың ролен айырым билдәләп китә<ref>{{книга |автор=Рыбников К. А. |заглавие=История математики. В двух томах |место=М. |издательство=Изд. МГУ |том=II |год=1963 |страницы=25 }}</ref>. Логарифмлы функцияны комплекслы өлкәгә таратыу даны ла Эйлерҙыҡы һанала.

=== Логарифмды комплекслы өлкәгә киңәйтеү ===
XVII—XVIII быуаттар сигендә [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбниц]] һәм [[Иоганн Бернулли]] логарифмды комплекслы һандарға киңәйтергә маташалар, ләкин, ул ваҡытта логарифм төшөнсәһенең үҙенең аныҡ билдәләмәһе булмағанлыҡтан, тулы теорияны төҙөй алмайҙар{{sfn |История математики, том III|1972|с=325—328|name=IM3-325 }}. Был сәбәп буйынса башта Лейбниц һәм Бернулли араһында, ә XVIII быуат уртаһында — [[Д’Аламбер, Жан Лерон|Д’Аламбер]] һәм Эйлер араһында бәхәсләшеү бара. Бернулли һәм Д’Аламбер, <math>\log(-x) = \log(x)</math> тип билдәләргә кәрәк тип иҫәпләйҙәр, шул уҡ ваҡытта Лейбниц, тиҫкәре һандың логарифмы уйҙырма һан икәнен иҫбатлай<ref name=IM3-325/>. Тиҫкәре һәм комплекслы һандарҙың логарифмдарының тулы теорияһы Эйлер тарафынан 1747—1751 йылдарҙа баҫтырып сығарыла һәм хәҙергенән бер ни менән дә айырылмай<ref>{{книга |автор=Рыбников К. А. |заглавие=История математики. В двух томах |место=М. |издательство=Изд. МГУ |том=II |год=1963 |страницы=27, 230-231}}</ref>. Бәхәс дауам итһә лә (Д’Аламбер үҙенең фекерен яҡлай һәм уны үҙенең [[Энциклопедия, или Толковый словарь наук, искусств и ремёсел|«Энциклопедия»һында]] һәм башҡа хеҙмәттәрендә ентекләп аргументлай), Эйлерҙың ҡарашы XVIII быуат аҙағына дөйөм танылыу ала.

XIX быуатта, [[комплекслы анализ]] үҫешеү менән, комплекслы логарифмды өйрәнеү яңы асыштарға стимул бирә. [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] 1811 йылда, <math>\frac{1}{z}</math>-ҙән интеграл булараҡ билдәләнгән логарифмлы функцияның күп ҡиммәтлелегенең тулы теорияһын эшләй {{sfn |Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций|1981|с=122—123}}. [[Риман, Георг Фридрих Бернхард|Риман]], был һәм оҡшаш функцияларҙың билдәле факттарына таянып, [[Риман йөҙө|Риман йөҙҙәренең]] дөйөм теорияһын төҙөй.

[[Конформлы сағылыш|Конформлы сағылыштарҙың]] теорияһын эшләү, [[картография]]ла логарифмдар асышына тиклем үк барлыҡҡа килгән (1550) [[меркатор проекцияһы]]н комплекслы логарифм һымаҡ тасуирларға мөмкин икәнен күрһәтә<ref>{{книга |автор=Клейн Ф. |заглавие=Элементарная математика с точки зрения высшей |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-2.htm |том=II. Геометрия |место = М. |издательство=Наука |год=1987 |страниц=416 |страницы=159—161 }}</ref>.

== Ҡайһы бер практик ҡулланылыштары ==

=== Фәндә һәм тәбиғәттә логарифмлы бәйләнештәр ===
Логарифмлы функциялар математикала ла, тәбиғәт фәндәрендә лә ныҡ киң таралыу алған. Йыш ҡына логарифмдар [[үҙенә оҡшашлыҡ]] булған ерҙә күренәләр, йәғни ниндәйҙер объект эҙмә-эҙ бәләкәйләтелгән һәм ҙурайтылған масштабта яңынан барлыҡҡа килә; түбәндә [[рекурсивлы алгоритмдар]], [[фрактал]]дар йәки моллюсктар ҡабырсағы кеүек миҫалдарҙы ҡарағыҙ. Логарифмдарҙы төрлө фәндәрҙә ҡулланыуҙың бер нисә миҫалын килтерәйек.

==== Һандар теорияһы ====
[[Ябай һандарҙың таралыуы]] асимптотик ябай закондарға буйһона<ref>{{книга|автор=Дербишир, Джон.   |заглавие=Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике |издательство=Астрель |год=2010 |страниц=464 |isbn=978-5-271-25422-2 }}</ref>:
# 1-ҙән <math>n</math>-гә тиклем интервалда ябай һандар һаны яҡынса <math>\frac{n}{\ln n}</math>-ға тигеҙ.
# ''k''-сы ябай һан яҡынса <math>k \ln k</math>-ға тигеҙ.
Тағы ла теүәлерәк баһалауҙар [[интеграллы логарифм]]ды ҡуллана.

==== Математик анализ ====
Логарифмдар йыш ҡына [[интеграл]]дарҙы тапҡанда һәм [[Дифференциаль тигеҙләмә|дифференциаль тигеҙләмәләрҙе]] сығарғанда килеп сығалар. Миҫалдар:
: <math>\int {\operatorname{tg} x} \, dx = -\ln |\cos x| + C; \quad \int {\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}} = -\ln \ \left|\ x+\sqrt{x^2+a}\ \right| + C</math>

==== Ихтималлыҡ теорияһы һәм статистика ====
[[Файл:Rozklad benforda.svg|thumb |300px |<center>[[Бенфорд законы|Бенфорд таралыуы]]. Горизонталь буйынса — беренсе мәғәнәле цифрҙар, вертикаль буйынса — уларҙың барлыҡҡа килеү ихтималлығы.</center>]]
[[Статистика]]ла һәм [[ихтималлыҡ теорияһы]]нда логарифм бер нисә практик мөһим ихтималлы таралыуға инә. Мәҫәлән, [[логарифмик таралыу]]<ref>{{cite web| url=http://mathworld.wolfram.com/Log-SeriesDistribution.html| title=Log-Series Distribution |author=Weisstein, Eric W.|publisher=MathWorld|lang=en|accessdate=2012-04-26}}</ref> генетикала һәм физикала ҡулланыла. [[Логнормаль таралыу]] йыш ҡына өйрәнелеүсе дәүмәл бер нисә бәйләнешһеҙ ыңғай [[Осраҡлы дәүмәл|осраҡлы үҙгәреүсәндәрҙең]] ҡабатландығы булған ситуацияла осрай<ref>{{книга |часть=Логарифмически нормальное распределение |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=3 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>.

[[Бенфорд законы]] («беренсе цифр законы») бирелгән мәғәнәле цифрҙың реаль дәүмәлдәрҙе үлсәгәндә килеп сығыу ихтималлығын тасуирлай.

Билдәһеҙ параметрҙы баһалау өсөн [[максималь ысынға оҡшашлыҡ ысулы]] һәм уның менән бәйле [[ысынға оҡшашлыҡ логарифмлы функция]]һы киң ҡулланыла<ref>{{книга |часть=Максимального правдоподобия метод |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=3 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>.

[[Осраҡлы аҙашып йөрөгәндә]] флуктуация [[Ҡабатланған логарифм законы|Хинчин-Колмогоров законы]] менән һүрәтләнә.

==== Информатика һәм иҫәпләү математикаһы ====
[[Информатика]]ла: [[Бит|мәғлүмәт үлсәү берәмеге]] ([[бит]]). Мәҫәлән, компьютерҙа <math>N</math> натураль һанын һаҡлау өсөн (компьютер өсөн ғәҙәти икеле форматта) <math>\log_2 N + 1</math> бит кәрәк була.

[[Информацион энтропия]] — мәғлүмәт һаны үлсәме.

[[Тиҙ сортҡа айырыу]], [[Фурьеның тиҙ үҙгәртеүе]] кеүек, [[Рекурсия|Рекурсивлы алгоритдмарҙың]] [[Иҫәпләү ҡатмалылығы|асимптотик ҡатмарлылығын]] «[[Бүлгеслә һәм хакимлыҡ ит (информатика)|бүлгеслә һәм хакимлыҡ ит]]» принцибына нигеҙләнгән баһалау<ref>{{книга|автор=Harel, David; Feldman, Yishai A.|заглавие=Algorithmics: the spirit of computing|место=New York|издательство=Addison-Wesley|год=2004|pages=143|isbn=978-0-321-11784-7}}</ref> һәм башҡалар

Ғәҙәттә һанлы ҡиммәттәр компьютерҙың йәки махсуслаштырылған процессорҙың хәтерендә [[Күсеп йөрөүсе өтөрлө һан|күсеп йөрөүсе өтөрлө]] форматында һаҡланалар. Әгәр, әммә, бирелгән төркөм өсөн ҡушыу һәм алыу һирәк башҡарылһа, ә ҡабатлау, бүлеү, дәрәжәгә күтәреү һәм тамыр алыу — күпкә йышыраҡ, ул саҡта бындай бирелештәрҙе [[Иҫәпләүҙең логарифмик системаһы|логарифмик форматта]] һаҡлау мөмкинлеген ҡарау әһәмиәтле. Был осраҡта һан урынына уның модуленең логарифмы һәм [[Тамға биты|тамғаһы]] һаҡлана, һәм логарифмдың үҙсәнлеге арҡаһында иҫәпләү тиҙлеге һиҙелерлек арта<ref>{{cite journal | author = N. G. Kingsburg, P. J. W. Rayner | title = Digital filtering using logarithmic arithmetic | journal = Electronics Letters | volume = 7 | date = Jan. 28, 1971 | pages = 55 | url = http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=ELLEAK000007000002000056000001 }}</ref>. Логарифмик форматта һаҡлау үҙенең нәтижәлелеген иҫбат иткән бер нисә системала ҡулланыла <ref>{{cite journal |author=R. C. Ismail and J. N. Coleman |title=ROM-less LNS |journal=2011 20th IEEE Symposium on Computer Arithmetic (ARITH) |pages=43–51 |date=July 2011 |doi=10.1109/ARITH.2011.15}}</ref><ref>{{cite journal|doi=10.1109/FPT.2006.270342|title=Comparing Floating-point and Logarithmic Number Representations for Reconfigurable Acceleration|author=Haohuan Fu, Oskar Mencer, Wayne Luk| url=http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=4042464|journal=IEEE Conference on Field Programmable Technology |month=December|pages=337 |year=2006 |date=June 2010}}</ref>.

==== Фракталдар һәм үлсәнеш ====
[[Файл:Sierpinski dimension.svg|thumb|<center>[[Серпинский өсмөйөшө]] (уңда)</center>]]
Логарифмдар [[фрактал]] өсөн [[Хаусдорф үлсәнешен]] сағылдырырға ярҙам итәләр<ref>''Иванов М. Г.'' [[:wikibooks:ru:Размер и размерность|Размер и размерность]] // «Потенциал», август 2006.</ref>. Мәҫәлән, [[Серпинский өсмөйөшө]]н ҡарайыҡ, ул [[Төҙөк өсмөйөш|тигеҙ яҡлы өсмөйөштән]], һәр этапта һыҙыҡлы үлсәме ике тапҡыр кәмей барған, оҡшаш өсмөйөштәрҙе эҙмә-эҙ алып ташлағап килеп сыға (һүрәтте ҡарағыҙ). Һөҙөмтәнең үлсәнеше ошо формула буйынса билдәләнә:
: <math>\frac {\ln 3}{\ln 2} \approx 1{,}58</math>

==== Механика һәм физика ====
[[Статистик физика|Статистик термодинамикала]] [[Термодинамик энтропия#энтропияның статистик билдәләмәһе: Больцман|Больцман принцибы]] — [[Термодинамик система|термодинамик системаның]] [[Хаос|буталсыҡлыҡ]] дәрәжәһен характерлаусы, торошоноң мөһим функцияларының береһе булып тора.

[[Циолковский формулаһы]] ракетаның тиҙлеген иҫәпләү өсөн ҡулланыла.

==== Химия һәм физик химия ====
[[Нернст тигеҙләмәһе]] электрохимик тигеҙләмәгә ингән, мәтдәләр активлығы булған системаның [[окисләнеү-тергеҙелеү потенциалы]]н, шулай уҡ окисланыу-тергеҙелеүсе парҙарҙың [[стандарт электродлы потенциал]]дары менән бәйләй.

Логарифм [[автопротолиз константаһы күрһәткесе]] (молекуланың үҙенән үҙе ионлашыуы) һәм [[водородлы күрһәткес]] (иретмәнең кислоталылығы) кеүек дәүмәлдәрҙең билдәләмәләрендә ҡулланыла.

==== Музыка теорияһы ====
[[Октава]]ны нисә өлөшкә бүлергә тигән мәсьәләне хәл итеү өсөн, <math>\log_2 \frac {3}{2} \approx 0{,}585</math> өсөн рациональ яҡынайыу табырға кәрәк. Әгәр был һанды [[Өҙлөкһөҙ кәсер|өҙлөкһөҙ кәсергә]] тарҡатһаң, ул саҡта өсөнсө ҡулайлы кәсер (7/12) октаваны 12 [[ярымтон]]дарға классик бүлеүҙе нигеҙләргә мөмкинлек бирә<ref name=Shilov/>.

==== Психология һәм физиология ====
Кешенең күп күренештәрҙе [[үҙләштереү]]е логарифмик закон ярҙамында яҡшы һүрәтләнә.

[[Вебер — Фехнер законы]] — [[һиҙем|һиҙемдең]] интенсивлығы [[стимул]]дың интенсивлығы логарифмына<ref>{{cite web|url=http://vocabulary.ru/dictionary/25/word/zakon-vebera-fehnera|title=ЗАКОН ВЕБЕРА-ФЕХНЕРА // Словарь практического психолога|last=Головин С. Ю.|accessdate=2012-04-17|archiveurl=http://www.webcitation.org/67yuMtdPX|archivedate=2012-05-28}}</ref> — тауыштың көсөнә<ref>{{статья|автор=Ирина Алдошина. |заглавие=Основы психоакустики|ссылка=http://rus.625-net.ru/audioproducer/1999/06/2.htm|издание=Звукорежиссёр|год=1999|выпуск=6}}</ref>, яҡтылыҡ баҙыҡлығына — пропорциональ тигән эмпирик [[Психофизиология|психофизиологик]] закон.

[[Фиттс законы]]: организмдың хәрәкәте һуңыраҡ йәки теүәлерәк үтәлгән һайын, уны үтәүгә шул тиклем ҙурыраҡ коррекция кәрәк һәм шул тиклем оҙағыраҡ был коррекция башҡарыла<ref>{{cite web|url=http://enc-dic.com/enc_psy/Fittsa-Zakon-29473.html|title=Закон Фиттса // Психологическая энциклопедия|accessdate=2012-04-17|archiveurl=http://www.webcitation.org/67yuO0iyM|archivedate=2012-05-28}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150702125536/http://enc-dic.com/enc_psy/Fittsa-Zakon-29473.html |date=2015-07-02 }}</ref>.

Һайлау булғанда ҡарар ҡабул итеүгә ваҡытты {{iw|Хик законы|en|Hick's law}} буйынса баһаларға мөмкин<ref>{{книга|автор=Welford, A. T.|заглавие=Fundamentals of skill |место=London| издательство=Methuen |год=1968|pages=61|isbn=978-0-416-03000-6}}</ref>.

==== Биология ====
Күп кенә биологик формалар [[Логарифмик спираль|логарифмик спиралгә]] —  һәр нөктәһендә тейеүсе был нөктәләге радиус-вектор менән бер үк мөйөш яһаған, йәғни әйләнәнең берәмек оҙонлоғона радиус үҫеше даими булған кәкере һыҙыҡҡа — яҡшы тап киләләр<ref>{{книга |часть=Логарифмическая спираль
|ссылка часть  = http://reslib.com/book/Matematicheskij_enciklopedicheskij_slovarj#327
|заглавие      = [[Математический энциклопедический словарь]]
|ссылка        = http://reslib.com/card/Matematicheskij_enciklopedicheskij_slovarj
|ответственный = Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]
|место= М. |год=1988
|издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]
|страницы=328 |страниц=847 |isbn=5-85270-278-1 }}</ref> :

<gallery widths="200" heights="200">
Файл:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|<center>[[Наутилус]] ҡабырсағы</center>
Файл:Pflanze-Sonnenblume1-Asio.JPG|<center>[[Көнбағыш]]та орлоҡтарҙың урынлашыуы</center>
Файл:Romanesco broccoli (Brassica oleracea).jpg|<center>[[Романеско (кәбәҫтә)|Романесконың төҫлө кәбәҫтәһе]]</center>
</gallery>

==== Төрлөһөнән ====
[[Олимпия системаһы]]нда уйындар  әйләнеше һаны, ярышта ҡатнашыусылар һанының [[Икеле логарифм|икеле логарифмына]] тигеҙ<ref>{{книга|автор=Харин А. А.|заглавие=Организация и проведение соревнований. Методическое пособие|ссылка=http://elibrary.udsu.ru/xmlui/bitstream/handle/123456789/8185/2011348.pdf?sequence=1|место=Ижевск|издательство=УдГУ|год=2011|страницы=27}}</ref>.

=== Логарифмик шкала ===
[[Файл:Slide rule example2 with labels.svg|thumb|450px|Логарифмик шкала]]
Унарлы логарифмдарҙың [[Логарифмик масштаб|Тигеҙһеҙ шкалаһы]] фәндең күп өлкәләрендә ҡулланыла. Иҫәпләүҙәрҙе тәьмин итеү өсөн ул [[логарифмик линейка|логарифмик линейкаға]] төшөрөлә. Башҡа миҫалдар:
* [[Акустика]] — [[Тауыш баҫымы|тауыш баҫымы кимәле]] һәм [[тауыш көсөргәнешлелеге]] ([[децибел]]дар)<ref>{{БСЭ3|статья=Децибел}}</ref>.
* [[Радиотехника]]ла һәм [[Электроэлемтә]]лә [[сигнал/тауыш] нисбәте]<ref>{{cite web |url=http://www.edu.nstu.ru/courses/msos/ |title=Учебно-методический комплекс: Методы и средства обработки сигналов |accessdate=2012-04-28 |archiveurl=http://www.webcitation.org/65YVVRjy7 |archivedate=2012-02-19 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120319040020/http://www.edu.nstu.ru/courses/msos/ |date=2012-03-19 }}</ref>.
* [[Астрономия]] — [[күренеп торған йондоҙло дәүмәл|йондоҙ яҡтылығы]] шкалаһы<ref>{{БСЭ3|статья=Звёздная величина}}</ref>.
* [[Химия]] — [[водород]]лы [[ион]]дарҙың активлығы ([[Водородлы күрһәткес|pH]])<ref>{{книга |автор=Бейтс Р. |заглавие=Определение рН. Теория и практика|издание=2 изд |место=Л. |издательство=Химия|год=1972}}</ref>.
* [[Сейсмология]] — [[Ер тетрәү магнитудаһы|Рихтер шкалаһы]]<ref>{{cite web |url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_geo/7041/Рихтера |title=Рихтера шкала |publisher=География. Современная иллюстрированная энциклопедия. — М.: Росмэн. Под редакцией проф. А. П. Горкина. 2006  |archiveurl  = http://www.webcitation.org/619JZufsT |archivedate = 2011-08-23 }}</ref>.
* [[Оптик тығыҙлыҡ]] — үтә күренеүсән объекттарҙың яҡтылыҡты йотоу йәки үтә күренмәгән объекттарҙың яҡтылыҡты сағылдырыу  үлсәме <ref>{{Книга:ФКТЭ|статья=Оптическая плотность}}</ref>.
* [[Идара итеү теорияһы]] — [[ЛАФЧХ|логарифмик амплитуда-фаза йышлыҡ характеристикаһы]]<ref>{{cite web|url=http://www.toehelp.ru/theory/tau/lecture06.htm|title=Понятие частотных характеристик|accessdate=2012-04-28|archiveurl=http://www.webcitation.org/67yuQikQO|archivedate=2012-05-28}}</ref>.
Логарифмик шкала бигерәк тә үлсәнеүсе дәүмәлдең кимәлдәре [[Геометрик прогрессия|геометрик прогрессия]] төҙөгән осраҡта уңайлы, сөнки ул саҡта уларҙың логарифмдары даими аҙым менән тарала. Мәҫәлән, классик [[Октава|октаваның]] 12 ярымтоны (яҡынса), знаменателе <math>\sqrt[12]{2} \approx 1{,}059</math>-гә тигеҙ булған, шундай прогрессияны төҙөй<ref name=Shilov>''Шилов Г. Е.'' [http://www.math.ru/lib/book/plm/v37.djvu Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы.] М.: Физматгиз, 1963. 20 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 37.</ref>. Оҡшаш рәүештә, Рихтер шкалаһының һәр кимәле алдағы кимәлгә ҡарағанда 10 тапҡыр күберәк энергияға ярашлы. Хатта геометрик прогрессия булмағанда ла логарифмик шкаланың үлсәнеүсе дәүмәлдең киң диапазондағы ҡиммәттәрен йыйнаҡ күрһәтеү өсөн файҙаһы тейергә мөмкин.

Логарифмик шкала шулай уҡ [[Дәрәжәле функция|дәрәжәле бәйләнештәрҙең]] дәрәжә күрһәткесен һәм экспонента күрһәткесендә коэффициентты баһалау өсөн киң ҡулланыла. Шуның менән бергә бер йәки ике күсәр буйынса логарифмик масштабта төҙөлгән график, тикшереү өсөн ябайыраҡ булған тура һыҙыҡ күренешен ала.{{clear}}
[[Файл:Logarithmic Scales no text.svg|660px|thumb|center|Координаталар күсәрҙәре буйынса шкалаларҙы төрлөсә һайлағанда өс функцияның графигы: <br>
Өҫкө рәт — 1) икеһе лә һыҙыҡлы; 2) логарифмик (x) һәм һыҙыҡлы (y); <br>
Аҫҡы рәт — 1) һыҙыҡлы (x) һәм логарифмик (y); 2) икеһе лә логарифмик.
{{легенда|red|<math>y=10^x</math>}} {{легенда|green|<math>y=x</math>}} {{легенда|blue|<math>y=\ln x</math>}}]]

=== Логарифмик таблицалар ===
[[Файл:Abramowitz&Stegun.page97.agr.jpg|thumb|Логарифмик таблицалар]]
Логарифмдың үҙсәнлегенән, күп урынлы һандарҙы күп хеҙмәт талап иткән ҡабатлау урынына, (таблицалар буйынса) уларҙың логарифмдарын табыу һәм ҡушыу етә, ә аҙаҡ шул уҡ таблицалар буйынса («[[Антилогарифм]]дар бүлеге») [[Потенцирләү (математика)|потенцирләүҙе]] башҡарырға, йәғни логарифмы буйынса һөҙөмтәнең ҡиммәтен табырға кәрәк. Бүлеүҙе башҡарыу, логарифмдар алыныуы менән генә айырыла.

Логарифмдарҙың беренсе таблицаларын Джон Непер ([[1614]]) баҫтырып сығара, һәм уларға тик [[Тригонометрик функциялар|тригонометрик функцияларҙың]] логарифмдары ғына ингән була, шуның менән бергә хаталы. Уға бәйһеҙ рәүештә үҙенең таблицаларын [[Бюрги, Йост|Йост Бюрги]], [[Кеплер, Иоганн|Кеплерҙың]] дуҫы ([[1620]]) баҫтырып сығара. [[1617 йыл]]да [[Оксфорд]]тың математика профессоры [[Бригс, Генри|Генри Бригс]] 1-ҙән 1000-гә тиклем һандарҙың 8 (һуңғараҡ — 14) тамға менән унарлы логарифмдары ингән таблицаларын баҫтырып сығара. Ләкин Бригстың таблицаларында ла хаталар табылған. [[Вега, Георг|Георг Вега]] таблицалары нигеҙендә беренсе хатаһыҙ таблица ([[1783]]) тик [[1857 йыл]]да ғына Берлинда барлыҡҡа килә (Бремикер таблицалары, ''Carl Bremiker''){{sfn |История математики, том II|1970|с=62}}.

Рәсәйҙә беренсе логарифмдар таблицаһы 1703 йылда [[Магницкий, Леонтий Филиппович|Л. Ф. Магницкий]] ҡатнашлығында баҫылып сыға<ref>{{книга |автор=Гнеденко Б. В. |заглавие=Очерки по истории математики в России, издание 2-е |место=М. |издательство=КомКнига |год=2005 |страниц=296 |isbn=5-484-00123-4 |страницы=66}}</ref>. СССР-ҙа логарифмдар таблицаларының бер нисә йыйынтығы баҫтырып сығарыла<ref>{{книга|заглавие=Логарифмические таблицы //Большая советская энциклопедия |ссылка=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/104256/Логарифмические }}</ref>:
# ''[[Брадис, Владимир Модестович|Брадис В. М.]]'' Дүрт урынлы математик таблицалар. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали [[экспоненциальная запись|мантиссы]] десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
# ''Вега Г.'' Ете урынлы логарифмдар таблицалары, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.
# ''Бремикер К.'' Логарифм-тригонометрик таблицалар. М.: Наука, 1962. 664 с. Классические шестизначные таблицы, удобные для расчётов с [[Тригонометрические функции|тригонометрическими функциями]].
# Тригонометрик дәүмәлдәрҙең натураль ҡиммәттәренең, уларҙың логарифмдарының һәм һандар логарифмдарының биш урынлы таблицалары, 6-е издание, М.: Наука, 1972.
# Натураль логарифмдар таблицалары, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.
# Комплекслы һандарҙың логарифмдарының ун ҡиммәтле таблицалары. М., 1952.

=== Логарифмик линейка ===
{{main|Логарифмиr линейка}}
1620-cе йылдарҙа Эдмунд Уингейт һәм Уильям Отред беренсе [[Логарифмик линейка|логарифмик линейканы]] уйлап табалар, улар кеҫә калькуляторҙары барлыҡҡа килгәнсе инженерҙың алмаштығыһыҙ иҫәпләү ҡоралы булып хеҙмәт итәләр{{sfn |История математики, том II|1970|с=65—66}}. Был компактлы инструмент ярҙамында тиҙ генә бөтә алгебраик ғәмәлдәрҙе башҡарып була, шул иҫәптән [[Тригонометрик функциялар|тригонометрик функциялар]] ҡатнашлығында<ref>{{книга |автор=Березин С. И. |заглавие=Счётная логарифмическая линейка |место=М. |издательство=Машиностроение |год=1968 }}</ref>. Иҫәпләү аныҡлығы — яҡынса 3  	мәғәнәле цифр.
[[Файл:Sliderule 2005.jpg|thumb|600px|center|Логарифмик линейка. 1,3 × 2 ҡабатлау йәки 2,6 / 2 бүлеү (C һәм D шкалаларын ҡарағыҙ).]]

== Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр ==
Логарифм <math>a^x=b</math> тигеҙләмәһенең сығарылышы булараҡ ысын һәм комплекслы һандар өсөн генә билдәләнмәй.
* Логарифмлы функцияны [[кватернион]]дар өсөн индерергә була (ҡарағыҙ. [[Кватернион#Кватернионлы үҙгәреүсән функциялары]]). Ләкин логарифмдың күпселек алгебраик үҙсәнлектәре был осраҡта юғала<ref>{{cite web|author=David Eberly.|datepublished=March 2, 1999|url=http://www.geometrictools.com/Documentation/Quaternions.pdf|title=Quaternion algebra and calculus|accessdate=12 апреля 2012|lang=en|description=|archiveurl=http://www.webcitation.org/67yuSmIjh|archivedate=2012-05-28}}</ref> — мәҫәлән, ҡабатландыҡтың логарифмы логарифмдар суммаһына тигеҙ түгел, һәм был бындай дөйөмләштереүҙең практик әһәмиәтен кәметә.
* Әгәр <math>a, b</math> — [[Абелев төркөмө|Абелевтың]] [[Сикле төркөм|сикле]] [[Мультипликативлы төркөм|мультипликативлы төркөмөнөң]] элементтары булһалар, ул саҡта логарифм был мәғәнәлә (әгәр ул булһа) [[Дискретлы логарифм|дискретлы]] тип атала. Йышыраҡ ул ниндәйҙер модуль буйынса [[Вычеттар ҡулсаһының мультипликативлы төркөмө|вычеттар ҡулсаһының]] сикле төркөмө өсөн ҡарала, ул был модуль буйынса ''индекс'' тип атала<ref>{{книга |автор=Виноградов И. М. |заглавие=Основы теории чисел |издательство=ГИТТЛ |место=М.-Л. |год=1952 |страниц=180 |ссылка=http://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu |страницы=97}}</ref> һәм [[Криптография|криптографияла]] мөһим роль уйнай. [[Цикллы төркөм]]дәрҙә, әгәр логарифмдың нигеҙе был төркөмдөң [[Алынма тамыр (абстрактлы алгебра)|алынма тамыры]] булһа, логарифм бар.
* '''{{iw|Матрицалы логарифм||en|Logarithm of a matrix}}:''' логарифмдарҙы шулай уҡ [[Матрица (математика)|матрицалар]] өсөн билдәләргә була<ref>{{книга |автор=Гантмахер Ф. Р. |заглавие=Теория матриц |издательство=Наука |место=М. |год=1967 |страниц=576 }}</ref>.
* Бик ҙур һандар менән эшләү өсөн, [[Дәрәжәгә күтәреү|дәрәжәгә күтәреү]] менән түгел, ә юғарыраҡ тәртиптәге ғәмәл — [[Тетрация|тетрация]] менән бәйле [[суперлогарифм]] төшөнсәһе индерелә.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Антилогарифм]]
* [[Логарифмлы вычет]]
* [[Йыйылыусанлыҡтың логарифмлы билдәһе]]
* [[Логарифмик ҡағыҙ]]
* [[Полилогарифм]]
* [[Дәүмәлдең тәртибе]]
* [[Простаферетик функция]]
* [[Логарифмик функцияларҙан интегралдар теҙеме]]

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр|2}}

== Әҙәбиәт ==
{{wiktionary|логарифм}}
; Теория логарифмов
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]]
  |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vygodskij1966ru.djvu
  |заглавие=Справочник по элементарной математике |место=М. |издательство=Наука |год=1978
  |ref=Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике }}
** Переиздание: АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.
* {{книга |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., [[Сканави, Марк Иванович|Сканави М. И.]]
  |заглавие=Элементарная математика. Повторительный курс |издание=Издание третье, стереотипное
  |издательство=Наука |место=М. |год=1976 |страниц=591 |ref=Элементарная математика}}
* {{книга |автор=Корн Г., Корн Т. |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu
  |заглавие=Справочник по математике (для научных работников и инженеров) |страниц=720
  |издательство=Наука |место=М. |год=1973 |ref=Корн Г., Корн Т. Справочник по математике }}
* {{книга |автор=Свешников А. Г., Тихонов А. Н. |заглавие=Теория функций комплексной переменной
  |место=М. |издательство=Наука |год=1967 |страниц=304
  |ref=Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной }}
* {{книга |автор=[[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]]
  |заглавие=Курс дифференциального и интегрального исчисления
  |издание=изд. 6-е |место=М. |издательство=Наука |год=1966 |страниц=680
  |ref=Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления }}
* {{книга |автор=Шахмейстер А. Х. |заглавие=Логарифмы. Пособие для школьников, абитуриентов и преподавателей
  |издание=изд. 5-е |место=СПб. |издательство=МЦНМО |год=2016 |страниц=288 |isbn=978-5-4439-0648-5 }}

; История логарифмов
* {{книга |автор=Абельсон И. Б. |заглавие=Рождение логарифмов
  |ссылка=http://oldskola.narod.ru/RozLog/rozlog00.htm |страниц=231
  |место=М.—Л. |издательство=Гостехиздат |год=1948 }}
* {{книга |автор=Гиршвальд Л. Я. |заглавие=История открытия логарифмов
  |место = Харьков |издательство=Изд-во Харьковского университета |год=1952 |страниц=33 }}
* {{книга |автор=Клейн Ф. |заглавие=Элементарная математика с точки зрения высшей
  |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-1.htm |том=I. Арифметика. Алгебра. Анализ
  |место = М. |издательство=Наука |год=1987 |страниц=432
  |ref=Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей }}
* {{книга |часть=Математика XVII столетия
  |заглавие=История математики |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm
  |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах
  |место=М. |издательство=Наука |год=1970 |том=II |ref=История математики, том II }}
* {{книга |часть=Математика XVIII столетия
  |заглавие=История математики |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm
  |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах
  |место=М. |издательство=Наука |год=1972 |том=III |ref=История математики, том III }}
* {{книга |автор=Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.).
  |заглавие=Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций
  |ref=Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций
  |место=М. |издательство=Наука |том=II |год=1981 }}
* {{книга |автор=[[Успенский, Яков Викторович|Успенский Я. В.]]
  |заглавие=Очерк истории логарифмов |место=Петроград |год=1923 |страниц=78
  |издательство=Научное книгоиздательство |ref=Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов }}

{{Избранная статья|Математика}}

[[Категория:Элементар функциялар]]
[[Категория:Комплекслы үҙгәреүсәнле элементар функциялар]]
[[Категория:Логарифмдар]]