Парабола битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{Другие значения|Парабола (значения)}}

{| border="1" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px"
|style="background: #efefef; font-size: 150%;" align="center" colspan=2|Парабола
|-
|align="center" colspan=2|[[Файл:Parabola3.svg|thumb|Парабола, уның фокусы һәм директрисаһы]]
|-
|bgcolor=#efefef|[[Конус киҫелештәре|Конус киҫелеше]]: ||[[Файл:Conicas2.PNG|thumb|125px|Парабола [[конус киҫелеше]] булараҡ]]
|-
|bgcolor=#efefef|[[Эксцентриситет]]:||align="center"|<math>\textstyle e=1</math>
|-
|bgcolor=#efefef| Тигеҙләмәләр:||align="center"|<math>
\begin{smallmatrix}
y=x^2\\[10pt]
y=ax^2+bx+c\\[10pt]
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey=F \\
(B^2-4AC=0)
\end{smallmatrix}
</math>
|-
|style="background: #efefef; font-size: 90%;" align="center" colspan=2|{{flatlist|
* [[Гипербола (математика)|гипербола]]
* [[парабола]]
* [[эллипс]]
* [[әйләнә]]
}}
|}
'''Пара́бола''' ({{lang-el|παραβολή}} — ҡушымта) — бирелгән [[тура һыҙыҡ|тура һыҙыҡтан]] (параболаның [[Директриса (геометрия)|директрисаһы]] тип аталған) һәм бирелгән [[Нөктә (геометрия)|нөктәнән]] (параболаның [[конус киҫелеше|фокусы]] тип аталған) бер тигеҙ алыҫлыҡта ятҡан [[нөктәләрҙең геометрик урыны]].

[[Эллипс]] һәм [[гипербола (математика)|гипербола]] менән бер рәттән, парабола [[конус киҫелеше]] булып тора. Уға берәмек [[эксцентриситет]]лы конус киҫелеше тип билдәләмә бирергә мөмкин.

[[Файл:Parabel som keglesnit.jpg|thumb|right|Парабола булған конус киҫелеше һүрәте]]
[[Файл:Parabolaconstruct.svg|thumb|Параболаны конус киҫелеше булараҡ төҙөү]]
[[Файл:Parabolic conic section.svg|thumb|Конус киҫелештәре]]

== Түбәһе ==
Параболаның, уның директрисаһына иң яҡын ятҡан нөктәһе был параболаның ''түбәһе'' тип атала. Түбәһе фокустан директрисаға төшөрөлгән перпендикулярҙың уртаһы була.

== Тигеҙләмәләр ==
Параболаның  [[Тура мөйөшлө координаталар системаһы|тура мөйөшлө]] [[координаталар системаһы|координаталар системаһында]] каноник тигеҙләмәһе:
: <math>\textstyle y^2=2px, p>0</math> (йәки <math>\textstyle x^2=2py</math>, әгәр күсәрҙәрҙең урындарын алмаштырғанда).
{{math|''p''}} һаны фокаль параметр тип атала, ул фокустан директрисаға тиклемге алыҫлыҡҡа тигеҙ<ref>{{книга|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|Александров П.С.]]|часть=Парабола|заглавие=Курс аналитической геометрии и линейной алгебры|место={{М}}|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1979|страниц=512|страницы=69—72}}</ref>. Поскольку каждая точка Параболаның һәр нөктәһе фокустан һәм директрисанан бер тигеҙ алыҫлыҡта булғас, түбәһе лә — шулай уҡ, шуға күрә ул фокус һәм директриса араһында икеһенән дә <math>\frac{p}{2}</math> алыҫлығында ята.
{|class="standard collapsible collapsed"
!style="text-align: left; background:#efefef;"| Вывод
|-
|[[Файл:Parabola4.svg|right|thumb|150px]]
PQ [[директриса (геометрия)|директрисаһының]] тигеҙләмәһе: <math>\textstyle x+\frac{p}{2}=0</math>, F  фокусының координаталары <math>\left (\frac{p}{2};0\right ).</math> Шулай итеп, координаталар башы O — CF киҫегенең уртаһы. Параболаның тигеҙләмәһе буйынса, унда ятҡан теләһә ниндәй M нөктәһе өсөн, {{nobr|KM {{=}} FM}} тигеҙлеге үтәлә. Артабан, <math> \textrm{KM=KD+DM}=\frac{p}{2}+x</math> һәм <math>\textrm{FM}=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}</math> булғанлыҡтан, тигеҙлек түбәндәге күренеште ала:
: <math>\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}=\frac{p}{2}+x.</math>
Квадратҡа күтәргәндән һәм үҙгәртеүҙәр башҡарғандан һуң тиң көслө тигеҙләмә килеп сыға: <math>y^2=2px.</math>
|}

=== Квадратик функция менән бирелгән парабола ===
<math>y=ax^2+bx+c</math> [[квадратик функция]]һы <math>a\neq 0</math> булғанда шулай уҡ параболаның тигеҙләмәһе була һәм графикта <math>y=ax^2</math> параболаһы кеүек үк  парабола итеп һүрәтләнә, тик һуңғыһынан айырмалы рәүештә, түбәһе координаталар башында түгел, ә координаталары түбәндәге формулалар буйынса иҫәпләнгән ниндәйҙер A нөктәһендә:
: <math>x_\textrm{A}=-\frac{b}{2a},\;y_\textrm{A}=-\frac{D}{4a},</math> бында <math> D=b^2-4ac</math> — квадрат өсбыуындың [[дискриминант]]ы.
Квадратик функция менән бирелгән параболаның симметрия күсәре түбәһе аша ординаталар күсәренә параллель үтә. {{math|''a'' > 0}} ({{math|''a'' < 0}}) булғанда фокус был күсәрҙә түбәһе өҫтөнән (аҫтынан) 1/4{{math|''a''}} алыҫлығында ята, ә директриса — түбәһе өҫтөнән (аҫтынан) шул уҡ алыҫлыҡта һәм абсциссалар күсәренә параллель үтә. <math>y=ax^2+bx+c</math> тигеҙләмәһе <math>y=a(x-x_\textrm{A})^2+y_\textrm{A}</math> күренешендә күрһәтелергә мөмкин, ә координаталар башын A нөктәһенә күсергәндә параболаның тигеҙләмәһе каноник тигеҙләмәгә әйләнә. Шулай итеп, һәр квадратик функция өсөн шундай координаталар системаһын табырға мөмкин, был системала ярашлы парабола тигеҙләмәһе каноник күренештә була. Шуның менән бергә <math>p=\frac{1}{|2a|}.</math>

=== Параболаның дөйөм тигеҙләмәһе ===
Дөйөм осраҡта параболаның  координаталар күсәрҙәренең береһенә параллель симметрия күсәре булыуы мотлаҡ түгел. Ләкин, теләһә ниндәй башҡа конус киҫелеше кеүек, парабола [[Икенсе тәртиптәге кәкере һыҙыҡ|икенсе тәртиптәге кәкере һыҙыҡ]] булып тора, шунлыҡтан, яҫылыҡта Декарт координаталар системаһында уның тигеҙләмәһе квадрат күпбыуын күренешендә яҙылырға мөмкин:
: <math>Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0. </math>

Әгәр ошондай күренештә бирелгән икенсе тәртиптәге кәкере һыҙыҡ парабола булһа, ул саҡта өлкән быуындарҙың коэффициенттарынан төҙөлгән [[дискриминант]] <math>B^2-4AC</math> нулгә тигеҙ.

=== Поляр системала тигеҙләмәһе ===
Үҙәге фокуста булған һәм параболаның күсәре буйлап нуль йүнәлешле (фокустан түбәгә) <math>(\rho,\vartheta)</math> [[поляр координаталар|поляр координаталар системаһында]] парабола түбәндәге тигеҙләмә менән бирелергә мөмкин
: <math>\rho (1 + \cos \vartheta) = p,</math>

бында {{math|''p''}} — фокаль параметр (фокустан директрисаға тиклемге алыҫлыҡ йәки фокустан түбәгә тиклемге икеләтелгән алыҫлыҡ)

=== Квадрат функцияның коэффициенттарын иҫәпләү ===
Әгәр күсәре ординаталар күсәренә параллель булған параболаның тигеҙләмәһе <math>y = ax^2 + bx + c</math> өсөн төрлө өс нөктәһенең координаталары <math>(x_{1}; y_{1}), \;(x_{2}; y_{2}), \;(x_{3}; y_{3})</math>  билдәле булһа, ул саҡта уның коэффициенттары ошолай табылырға мөмкин:
: <math>a=\frac{y_{3}-\tfrac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, \ \ 
b=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), \ \ 
c=\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}.</math>
Әгәр түбәһе <math>(x_0;y_0)</math> һәм өлкән коэффициент <math>a</math> билдәле булһа, ул саҡта ҡалған коэффициенттар һәм тамырҙары түбәндәге формулалар буйынса иҫәпләнә:
: <math>b=-2ax_0</math>
: <math>c=ax_0^2+y_0</math>
: <math>x_1=x_0+\sqrt{-\frac{y_0}{a}}</math>
: <math>x_2=x_0-\sqrt{-\frac{y_0}{a}}</math>

== Үҙсәнлектәре ==
[[Файл:Parabel 2.svg|thumb|right|Параболаның сағылдырыу үҙсәнлеге (оптика)]]
[[Файл:Parabola with focus and directrix.svg|thumb|{{math|P<sub>''n''</sub>}}-тан фокусҡа {{math|F}} тиклемге алыҫлыҡ, {{math|P<sub>''n''</sub>}}-тан {{math|Q<sub>''n''</sub>}}-ҡа тиклемге алыҫлыҡҡа тигеҙ (L директрисаһында)]]
[[Файл:Parabola with focus and arbitrary line.svg|thumb|{{math|FP<sub>''n''</sub>Q<sub>''n''</sub>}} һыҙыҡтарының оҙонлоҡтары тигеҙ. Эллипстан айырмалы рәүештә, параболаның икенсе фокусы — сикһеҙлектә (шулай уҡ ҡарағыҙ [[Шары Данделена]])]]
* Парабола — [[икенсе тәртиптәге кәкере һыҙыҡ]].
* Уның, ''параболаның күсәре'' тип аталған [[симметрия]] күсәре бар. Күсәр фокус һәм түбәһе аша директрисаға перпендикуляр үтә.
* '''Оптик үҙсәнлеге.''' Параболаның күсәренә параллель нурҙар шәлкеме, параболала сағылып, уның фокусында йыйыла. Һәм киреһенсә, фокуста урынлашҡан сығанаҡтан яҡтылыҡ, параболанан сағылып уның күсәренә параллель нурҙар шәлкеме булып тарала.
* Әгәр параболаның фокусын тейеүсегә ҡарата сағылдырһаң, ул саҡта уның [[образ (математика)|образы]] [[конус киҫелеше директрисаһы|директрисала]] ятасаҡ.
* Параболаның ирекле [[Хорда (геометрия)|хордаһының]] уртаһын һәм был хорданың остарында уға үткәрелгән тейеүселәрҙең киҫешеү нөктәһен тоташтырған киҫек директрисаға перпендикуляр, ә уның уртаһы параболала ята.
* Парабола [[тура һыҙыҡ]]тың [[антиподера|антиподераһы]] була.
* Бөтә параболалар [[оҡшаш]]. Фокус һәм директриса араһындағы алыҫлыҡ масштабты билдәләй.
* Тура һыҙыҡ буйлап тәгәрәгән парабола фокусының траекторияһы [[сылбырлы һыҙыҡ]] <ref>Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство)/ Под ред. А.П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. С. 250.</ref>.

== Бәйле билдәләмәләр ==
* Парабола симметрия күсәре тирәләй әйләнгәндә [[эллиптик параболоид]] барлыҡҡа килә.

== Дөйөмләштереү ==
Парабола <math>\textstyle n = -\frac{1}{2}</math> булғандағы [[синусоидаль спираль]];

== Параболалар физик арауыҡта ==
[[Файл:Leonardo parabolic compass.JPG|thumb|Леонардо да Винчиҙың параболалы компасы]]

[[Йондоҙ]]ҙарға йәки башҡа [[масса|массив]] объекттарға ([[йондоҙ]]ҙарға йәки [[планета]]ларға) яҡын ҙур [[тиҙлек]]тә үткән ҡайһы бер космос есемдәренең ([[комета|кометаларҙың]], [[астероид]]тарҙың һәм башҡалар) [[Материаль нөктәнең траекторияһы|траекториялары]] парабола (йәки [[гипербола (математика)|гипербола]]) формаһында була. Был есемдәр үҙҙәренең ҙур тиҙлеге арҡаһында йондоҙҙоң [[гравитация]] яланына эләкмәйҙәр һәм ирекле осошон дауам итәләр. Был күренеш космос караптарының (айырып әйткәндә, [[Вояджер]] аппараттарының)[[Гравитацион манёвр|гравитацион манёврҙары]] өсөн ҡулланыла.

Ер шарттарында [[ауырлыҡты юғалтыу]] булдырыу өсөн, самолёттарҙың Кеплер параболаһы тип аталған парабола траекторияһы буйлап осошо үткәрелә.

Һауа ҡаршылығы булмаған осраҡта есемдең осош траекторияһы, бер төрлө гравитация ҡырына яҡынайғанда, парабола күренешендә була.

Шулай уҡ параболалы көҙгөләр һәүәҫкәрҙәрҙең Кассерген, Шмидт — Кассерген, Ньютон системаһындағы күсереп йөрөтмәле телескоптарында ҡулланыла, а параболаның фокусында окулярға сағылыш биреүсе ярҙамсы көҙгөләр ҡуйыла.

[[Шыйыҡлыҡ]] һалынған һауыт вертикаль күсәре тирәләй әйләнгәндә, һауыттағы шыйыҡлыҡ йөҙө һәм вертикаль яҫылыҡ парабола буйлап киҫешәләр.

Параболаның, уның күсәренә параллель нурҙар шәлкемен фокусҡа йыйыу үҙсәнлеге прожекторҙар, фонарҙәр, фарҙар, шулай уҡ [[Рефлектор (телескоп)|телескоп-рефлекторҙар]] (оптик, инфраҡыҙыл, радио- …) конструкцияларында, мәғлүмәтте алыҫ араларға тапшырыусы ([[спутник антеннаһы|спутник]] һәм башҡа) тар йүнәлешле антенналарҙың конструкцияларында, [[ҡояш электр станцияһы|ҡояш электр станцияларында]] һәм башҡа өлкәләрҙә ҡулланыла.

Парабола формаһы ҡайһы берҙә [[архитектура]]ла ҡыйыҡтар һәм көмбәҙҙәрҙе төҙөүҙә ҡулланыла.

<gallery>
Parabolic orbit.gif|Параболалы орбита һәм юлдаштың уның буйынса хәрәкәте (анимация)
Bouncing ball strobe edit.jpg|[[Баскетбол]] тубының төшөүе
Parabolic trough solar thermal electric power plant 1.jpg|[[Калифорния]]ла, [[АҠШ]] параболалы [[ҡояш электр станцияһы]] 
ParabolicWaterTrajectory.jpg|Һыу ағымының параболалы траекторияһы
Parabola shape in rotating layers of fluid.jpg|Әйләнеүсе шыйыҡлыҡ ҡойолған һауыт
Parabola-antipodera.gif|Парабола — тура һыҙыҡтың [[антиподера]]һы
</gallery>

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
{{колонки|2}}
* [[Квадратичная функция]]
* [[Кривая второго порядка]]
* [[Кубическая парабола]]
* [[Конические сечения]]:
** [[Эллипс]]
** [[Гипербола (математика)|Гипербола]]
** [[Окружность]]
* [[Парабола Ладовского]]
* [[Параболы, вписанные в треугольник]] (в том числе парабола Киперта)
* [[Полукубическая парабола]] (парабола Нейла)
* [[Параболоид]]
* [[Шары Данделена]]
* [[Цепная линия]]
* [[Каустика]]
{{колонки/конец}}

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==
* {{статья |автор= Бронштейн И.|заглавие= Парабола|ссылка= http://kvant.mccme.ru/1975/04/parabola.htm|издание= [[Квант (журнал)|Квант]]|год= 1975|номер= 4|страницы= 9-16}}
* {{книга |заглавие= [[Математическая энциклопедия]] (в 5-и томах)|ссылка= |место= М.|издательство= [[Советская Энциклопедия]]|год= 1982}}
* {{книга |автор= [[Маркушевич, Алексей Иванович|Маркушевич А. И.]]|заглавие= Замечательные кривые|ссылка= http://www.math.ru/lib/files/plm/v04.djvu|место= |издательство= [[Гостехиздат]]|серия= [[Популярные лекции по математике]], выпуск 4|год= 1952|страниц= 32}}
* {{книга |автор= А. А. Акопян, А. В. Заславский.|заглавие= Геометрические свойства кривых второго порядка|ссылка= http://www.mccme.ru/free-books/akopyan/Zaslavky-Akopyan.pdf|место= М.|издательство= МЦНМО|год= 2007|страниц= 136}}

== Һылтанмалар ==
{{wiktionary|парабола}}
{{Навигация}}
* [http://www.pm298.ru/2step5.shtml Статья] в справочнике «Прикладная математика».
* [http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/102a56fb-ff41-ba07-824f-df2d64d5e750/parabola.html Анимированные рисунки], иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
* [http://mysite.du.edu/~jcalvert/math/parabola.htm Информация] ([[английский язык|англ.]]) о связи параболы с физикой.
* [http://www.kvantmultfilm.ru/de_mal.php?en=14 Учебный фильм о параболе] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304092955/http://www.kvantmultfilm.ru/de_mal.php?en=14 |date=2016-03-04 }}

{{Кривые}}
{{Конические сечения}}

[[Категория:Конус киҫелештәре]]
[[Категория:Алгебраик кәкере һыҙыҡтар]]
[[Категория:Планиметрия]]