Пифагор теоремаһы битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

[[Файл:Pythag anim.gif|мини|Пифагор теоремаһын тигеҙ тултырылғанлыҡ аша иҫбатлауҙы аңлатыусы схема{{Переход|#Доказательство через равнодополняемость}}.]]
{{Тригонометрия}}
'''Пифаго́р теоремаһы''' — [[тура мөйөшлө өсмөйөш]]төң яҡтары араһында бәйләнеш уранлаштырыусы, [[Евклид геометрияһы]]ның төп теоремаларының береһе: [[катет]]тар оҙонлоҡтарының квадраттары суммаһы [[гипотенуза]] оҙонлоғоноң квадратына тигеҙ.

Был нисбәт теге йәки был күренештә боронғо мәҙәниәткә беҙҙең эраға тиклем күп йылдар элек билдәле булған тип фараз ителә; беренсе геометрик иҫбатлау [[Пифагор]]ҙыҡы тип иҫәпләнә.
Раҫлау [[Евклид]]тың «[[Башланғыстар (Евклид)|Башланғыстарына]]» 47-се Һөйләм булып ингән{{Переход|#История}}.

Шулай уҡ, гипотенузала төҙөлгән квадраттың майҙаны катеттарҙа төҙөлгән квадраттарҙың майҙандары суммаһына тигеҙ, тигән геометрик факт булараҡ күрһәтелергә мөмкин. Кире раҫлау ҙа дөрөҫ{{переход|#Обратная теорема Пифагора}}: ике яғының оҙонлоҡтарының квадраттары суммаһы өсөнсө яғының оҙонлоғоноң квадратына тигеҙ булған өсмөйөш тура мөйөшлө була.

Был теореманың бер нисә дөйөмләштереүе бар{{Переход|#Вариации и обобщения}} — ирекле өсмөйөштәр өсөн, юғары үлсәмле арауыҡтарҙағы фигуралар өсөн. [[Евклидтыҡы булмаған геометрия]]ларҙа теорема үтәлмәй{{Переход|#Неевклидова геометрия}}.

== Тарихы ==
Математика тарихсыһы [[Кантор, Мориц Бенедикт|Мориц Кантор]] фекеренсә, [[Боронғо Египет]]та батша [[Аменемхет I]] осоронда (б. э. тиклем [[XXIII быуат]]) яҡтары 3, 4, 5-кә тигеҙ булған тура мөйөшлө өсмөйөш тураһында билдәле булған — уны гарпедонаптар — «арҡан тартыусылар» ҡулланғандар<ref>Кантор Берлин музейындағы 6619 папирусына һылтана</ref>. [[Хаммурапи]] осорона ҡараған (б. э. тиклем [[XX быуат]]) [[Боронғо Вавилон батшалығы|Боронғо Вавилон]] тексында гипотенузаны яҡынса иҫәпләү килтерелгән<ref>[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PrintHT/Babylonian_Pythagoras.html History topic: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110606082111/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PrintHT/Babylonian_Pythagoras.html |date=2011-06-06 }}</ref>. [[Варден, Бартель Леендерт ван дер|Ван-дер-Варден]] фекеренсә, нисбәт дөйөм күренештә Вавилонда яҡынса б. э. тиклем [[XVIII быуат]]та уҡ билдәле булыуы ихтимал.

[[Файл:Chinese pythagoras.jpg|мини|[[Чжоу би суань цзин]] (б. э. тиклем 500—200 йылдар) китабынан һүрәт]]
Б. э. тиклемге V—III быуаттар осорона ҡараған [[Боронғо Ҡытай]]ҙың «[[Чжоу би суань цзин]]» китабында яҡтары 3, 4 һәм 5-кә тигеҙ булған өсмөйөш килтерелә, шуның менән бергә һүрәтте теорема нисбәтен график нигеҙләү итеп аңлатып була<ref>{{книга|часть=Наука, техническая и военная мысль, здравоохранение и образование|заглавие=Духовная культура Китая: энциклопедия в 5 томах|ссылка=http://www.synologia.ru/a/Чжоу_би_суань_цзин|ответственный=Титаренко М. Л|место=М.|издательство=Восточная литература РАН|год=2009|том=5|страницы=939—941|страниц=1055|isbn=9785020184299}}</ref>. «[[Математика в девяти книгах]]» Ҡытай мәсьәләләр йыйынтығында (б. э. тиклем X—II быуат) айырым китап теореманың ҡулланыуына бағышланған.

Нисбәтте иҫбатлау [[Боронғо Греция|боронғо грек]] философы [[Пифагор]] (б. э. тиклем 570—490) тарафынан бирелгән тип дөйөм ҡабул ителгән. [[Прокл Диадох|Проклды]]ң (412—485 н. э.), Пифагор, өс һандан торған Пифагор төркөмөн табыу өсөн, алгебраик ысулдар ҡулланған тигән раҫлаусы дәлиле бар{{Переход|#Пифагоровы тройки}}{{Sfn|Euclid|1956|p=351}}, ләкин шуның менән бергә, Пифагор үлгәндән һуң биш быуат дауамында, уның авторлығын иҫбатлау тураһында тура телгә алыу табылмай. Әммә [[Плутарх]] һәм [[Цицерон]] кеүек авторҙар Пифагор теоремаһы тураһында яҙалар, йөкмәткеһенән күренеүенсә, Пифагорҙың авторлығы дөйөм билдәле һәм һис шикһеҙ{{Sfn|Heath|1921|loc= vol I, p. 144}}<ref name=Fritz>{{cite journal |title=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum  |author=''[[Фриц, Курт фон|Kurt Von Fritz]]'' |journal=The Annals of Mathematics, Second Series|volume=  46 |date=Apr., 1945|pages= 242—264 |jstor=1969021 |issue=  2 |publisher=Annals of Mathematics}}: ''«Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики».''</ref>. [[Диоген Лаэртский]] еткергән риүәйәт бар, уның буйынса [[Пифагор]] йәнәһе үҙенең теореманы асыуын ҙур мәжлес яһап байрам иткән<ref>{{Книга|автор=Георг Гегель|заглавие=Лекции по истории философии|ссылка=https://books.google.com/books?id=T6WNCwAAQBAJ&pg=PT282 |место= |издательство=Litres |год=2016-09-08|страницы=282|страниц=1762|isbn=9785457981690}}</ref>.

Яҡынса б. э. тиклем 400 йылда, Прокл фекеренсә, [[Платон]] алгебра һәм геометрияны берләштергән, өс һандан торған Пифагор төркөмөн табыу ысулын биргән. Яҡынса б. э. тиклем 300 йылда [[Евклидтың Башланғыстары|Евклидтың "Башланғыстар"ында]] Пифагор теоремаһының бик боронғо [[Аксиома|аксиоматик иҫбатлауы]] күренә<ref name= Aaboe>
{{cite book |title=Episodes from the early history of mathematics |author=Asger Aaboe |url=https://books.google.com/books?id=5wGzF0wPFYgC&pg=PA51 |page=51 |quote=…it is not until Euclid that we find a logical sequence of general theorems with proper proofs. |isbn=0883856131 |year=1997 |publisher=[[Mathematical Association of America]]}}</ref>.

== Әйтелештәре ==
[[Файл:Pythagorean.svg|мини|<math>a</math> һәм <math>b</math> катеттарына таянған квадраттарҙың майҙандарының суммаһы, гипотенузала төҙөлгән квадраттың майҙанына тигеҙ <math>c</math>]]
Төп формулировкала алгебраик ғәмәлдәр бар — катеттарының оҙонлоғо <math>a</math> һәм <math>b</math>, ә гипотенузаһының оҙонлоғо — <math>c</math> булған тура мөйөшлө өсмөйөштә, түбәндәге нисбәт үтәлә:
: <math>a^2 + b^2 = c^2</math>.

{{Якорь|Геометрик формулировка}}
[[Фигураның майҙаны]] төшөнсәһенә таяныусы, тиң булған геометрик формулировкаһы булырға мөмкин: тура мөйөшлө өсмөйөштә гипотенузала төҙөлгән квадраттың майҙаны, катеттарҙа төҙөлгән квадраттарҙың майҙандарының суммаһына тигеҙ.
Евклидтың "Башланғыстар"ында теорема ошондай күренештә әйтеп бирелгән.

{{Якорь|Обратная теорема Пифагора}}'''Пифагорҙың кире теоремаһы''' — яҡтарының оҙонлоғо ошо <math>a^2 + b^2 = c^2</math> нисбәте менән бәйләнгән өсмөйөштөң тура мөйөшлө булыуы тураһында раҫлау. Эҙемтә булараҡ, теләһә ниндәй ыңғай өс <math>a</math>, <math>b</math> һәм <math>c</math> шундай һандары өсөн, бында <math>a^2 + b^2 = c^2</math>, катеттары <math>a</math> һәм <math>b</math> һәм гипотенузаһы <math>c</math> булған тура мөйөшлө өсмөйөш бар.

== Иҫбатлауҙар ==
Фәнни әҙәбиәттә Пифагор теоремаһының 400-ҙән кәм булмаған иҫбатланышы теркәлгән<ref>''Elisha Scott Loomis.'' Pythagorean Proposition</ref>, был теореманың геометрия өсөн ҙур әһәмиәте, шулай уҡ һөҙөмтәнең ябайлығы менән аңлатыла. Иҫбатлауҙың төп йүнәлештәре: өсмөйөш элементтарының нисбәтен алгебраик ҡулланыу (шулай, мәҫәлән, популяр булған оҡшашлыҡ ысулы{{Переход|#Через подобные треугольники}}), майҙандар ысулы{{переход|#Доказательства методом площадей}}, шулай уҡ төрлө экзотик иҫбатлауҙар осрай (мәҫәлән, дифференциаль тигеҙләмәләр ярҙамында).

=== Оҡшаш өсмөйөштәр ярҙамында ===
[[Файл:Podobnye treugolniki proof.svg|мини]]
Дәреслектәрҙә алгебраик формулировканы киң таралған иҫбатлауҙарҙың береһе булып [[өсмөйөштәр оҡшашлығы]] техникаһын ҡулланып иҫбатлау тора, был осраҡта ул туранан-тура тиерлек аксиомаларҙан килеп сыға һәм [[фигураның майҙаны]] төшөнсәһенә ҡағылмай. Унда <math>C</math> түбәһендәге мөйөшө тура мөйөш, яҡтары <math>a, b, c</math>, ҡаршы ятыусы түбәләре ярашлы рәүештә <math>A, B, C</math> булған <math>\triangle ABC</math> өсмөйөшө өсөн, <math>CH</math> [[Өсмөйөштөң бейеклеге|бейеклеге]] үткәрелә, был ваҡытта (ике тигеҙ мөйөшө буйынса [[Өсмөйөштәр оҡшашлығы билдәләре|оҡшашлыҡ билдәһе]]нә ярашлы) оҡшашлыҡ нисбәте барлыҡҡа килә: <math>\triangle ABC \sim \triangle ACH</math> һәм <math>\triangle ABC \sim \triangle CBH</math>, бынан түбәндәге нисбәттәр килеп сыға:
: <math> \frac{a}{c}=\frac{|HB|}{a}</math>; <math>\frac{b}{c}=\frac{|AH|}{b}</math>.
[[Пропорция (математика)|Пропорцияларҙың]] ситке быуындарын ҡабатлағанда ошондай тигеҙлектәр килеп сыға:
: <math>a^2=c\cdot |HB|</math>; <math>b^2=c\cdot |AH|</math>,
уларҙы быуын-быуынлап ҡушыу кәрәкле һөҙөмтәне бирә:
: <math>a^2+b^2=c\cdot\left(|HB|+|AH|\right)=c^2 \, \Leftrightarrow \, a^2+b^2=c^2</math>.

=== Майҙандар ысулы менән иҫбатлау ===
Иҫбатлауҙарҙың күбеһе майҙан төшөнсәһен ҡуллана.
Уларҙың күбеһе ҡарар күҙгә ябай булыуға ҡарамаҫтан, бындай иҫбатлауҙар, иҫбатланышы Пифагор теоремаһының үҙен иҫбатлауға ҡарағанда ҡатмарлыраҡ булған фигураларҙың майҙаны үҙсәнлеген ҡулланалар.

==== Тигеҙ тулыландырыу аша иҫбатлау ====
[[Файл:Pythagorean proof2.svg|мини|Тигеҙ тулыландырыу аша иҫбатлау схемаһы.]]
Тигеҙ тулыландырыу аша иҫбатлау катеттары <math>a, b</math> һәм гипотенузаһы <math>c</math> булған тура мөйөшлө өсмөйөштөң дүрт күсермәһен ҡуллана, улар яғы <math>a+b</math> булған квадрат һәм яғының оҙонлоғо <math>c</math> булған эске дүртмөйөш барлыҡҡа килерлек итеп урынлаштырыла. Был конфигурацияла эске дүртмөйөш [[квадрат]] була, сөнки тура мөйөшкә ҡаршы ятҡан ике ҡыҫынҡы мөйөштөң суммаһы — 90°, ә [[йәйелмә мөйөш]] — 180°. Тышҡы квадраттың майҙаны <math>(a+b)^2</math>-ға тигеҙ, ул майҙаны <math>c^2</math> булған эске квадраттан һәм һәр береһенең майҙаны <math>\frac{ab}{2}</math>-гә тигеҙ булған дүрт тура мөйөшлө өсмөйөштән тора, һөҙөмтәлә <math>(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2</math> нисбәтенән алгебраик үҙгәртеүҙәр ярҙамында теореманың раҫлауы килеп сыға.

==== Евклид иҫбатлауы ====
[[Файл:Teorema de Pitágoras.Euclides.svg|мини|Евклид иҫбатлауына һыҙма. Иҫбатлауҙың төп йүнәлеше — <math>\triangle ACK \cong \triangle ABD</math> конгруэнтлығын килтереп сығарыу, уларҙың майҙандары ярашлы рәүештә <math>AHJK</math> һәм <math>ACED</math> тура дүртмөйөштәренең майҙандарының яртыһын тәшкил итә.]]
Евклидтың классик иҫбатлауы гипотенузала төҙөлгән квадратты тура мөйөш түбәһенән төшөрөлгән бейеклек менән киҫкәндә барлыҡҡа килгән тура дүртмөйөштәрҙең майҙандары катеттарҙа төҙөлгән квадраттарҙың майҙандарына тигеҙ булыуын килтереп сығарыуға йүнәлтелгән.

Иҫбатлау өсөн ҡулланылған конструкция шундай: тура мөйөшө <math>C</math> булған <math>\triangle ABC</math> тура мөйөшлө өсмөйөшө, катеттарында төҙөлгән <math>ACED</math> һәм <math>BCFG</math> квадраттары һәм гипотенузала төҙөлгән <math>ABIK</math> квадраты өсөн <math>CH</math> [[Өсмөйөштөң бейеклеге|бейеклеге]] һәм уны дауам итеүсе <math>s</math> нуры үткәрелә, ул гипотенузала төҙөлгән квадратты ике <math>AHJK</math> һәм <math>BHJI</math> тура дүртмөйөштәренә бүлә. Иҫбатлау <math>AHJK</math> тура дүртмөйөшө майҙанының <math>AC</math> катетында төҙөлгән квадрат майҙанына тигеҙ булыуын килтереп сығарыуға йүнәлтелгән; икенсе тура дүртмөйөштөң майҙаны икенсе катетта төҙөлгән квадраттың майҙанына тигеҙ булыуы оҡшаш рәүештә килтереп сығарыла.

<math>AHJK</math> һәм <math>ACED</math> тура дүртмөйөштәренең майҙандарының тигеҙлеге <math>\triangle ACK</math> һәм <math>\triangle ABD</math> өсмөйөштәренең [[Конгруэнтлыҡ (геометрия)|конгруэнтлығы]] аша килеп сыға, уларҙың һәр береһенең майҙаны ярашлы рәүештә <math>AHJK</math> һәм <math>ACED</math> тура дүртмөйөштәренең майҙандарының яртыһына тигеҙ, сөнки: әгәр өсмөйөш менән тура дүртмөйөштөң бер яғы уртаҡ, ә өсмөйөштөң уртаҡ яҡҡа төшөрөлгән бейеклеге тура дүртмөйөштөң икенсе яғы булһа, өсмөйөштөң майҙаны тура дүртмөйөштөң майҙанының яртыһына тигеҙ була. Өсмөйөштәрҙең конгруэнтлығы ике яҡтарының (квадраттарҙың яҡтары) һәм улар араһындағы мөйөштәренең (тура мөйөштән һәм <math>A</math> түбәһендәге мөйөштән торған) тигеҙлегенән килеп сыға.

Шулай итеп, <math>AHJK</math> һәм <math>BHJI</math> тура дүртмөйөштәренән торған гипотенузала төҙөлгән квадраттың майҙаны катеттарҙа төҙөлгән квадраттарҙың майҙандарының суммаһына тигеҙ булыуы иҫбатлана.

==== Леонардо да Винчи иҫбатлауы ====
[[Файл:Teorema de Pitágoras.Leonardo da Vinci.svg|мини|Леонардо да Винчи иҫбатлауына һыҙма]]
[[Леонардо да Винчи]] тарафынан табылған иҫбатлау майҙандар ысулына ҡарай. <math>C</math> мөйөшө тура мөйөш булған <math>\triangle ABC</math> тура мөйөшлө өсмөйөшө һәм <math>ACED</math>, <math>BCFG</math> һәм <math>ABHJ</math> квадраттары бирелһен ти (һүрәтте ҡарағыҙ). Был иҫбатлауҙа һуңғы квадраттың <math>HJ</math> яғында тышҡы яҡҡа <math>\triangle ABC</math> өсмөйөшөнә конгруэнт, шуның менән бергә гипотенузаға ҡарата, шулай уҡ уға төшөрөлгән бейеклеккә ҡарата сағылдырылған өсмөйөш төҙөлә (йәғни <math>JI = BC</math> һәм <math>HI = AC</math>). <math>CI</math> тура һыҙығы гипотенузала төҙөлгән квадратты ике тигеҙ өлөшкә бүлә, сөнки <math>\triangle ABC</math> һәм <math>\triangle JHI</math> өсмөйөштәре төҙөү буйынса тигеҙҙәр. Иҫбатлау <math>CAJI</math> һәм <math>DABG</math> дүртмөйөштәренең конгруэнтлығын асыҡлай, дүртмөйөштәрҙең һәр береһе, бер яҡтан, катеттарҙа төҙөлгә квадраттарҙың яртышар майҙандарының һәм бирелгән өсмөйөш майҙанының суммаһына тигеҙ, икенсе яҡтан, гипотенузала төҙөлгән квадрат майҙанының яртыһы менән бирелгән өсмөйөш майҙанының суммаһына тигеҙ. Һөҙөмтәлә, катеттарҙа төҙөлгә квадраттарҙың яртышар майҙандарының суммаһы гипотенузала төҙөлгән квадрат майҙанының яртыһына тигеҙ, был Пифагор теоремаһының геометрик формулировкаһына тиң.

==== Оҡшаш өсмөйөштәрҙең майҙандары аша ====
Артабанғы иҫбатлау, оҡшаш өсмөйөштәрҙең майҙандары ярашлы яҡтарының квадраттары кеүек сағыштырылалар тигән раҫлауға нигеҙләнгән.

[[Файл:Altitude of a right triangle.svg|thumb]]
<math>ABC</math> тура мөйөшлө өсмөйөш булһын, ти, <math>AD</math> — тура мөйөшө түбәһенән гипотенузаға төшөрөлгән перпендикуляр.
<math>ABC</math>, <math>DBA</math> өсмөйөштәре оҡшаш, сөнки тура мөйөштәре бар һәм <math>B</math> мөйөшө уртаҡ.
Тимәк
: <math>\frac{\text{майҙан}~DBA}{\text{майҙан}~ABC}=
 \frac{AB^2}{BC^2}.</math>

Шул уҡ юл менән табабыҙ
: <math>\frac{\text{майҙан}~DAC}{\text{майҙан}~ABC}=
 \frac{AC^2}{BC^2}.
</math>

<math>DBA</math> һәм <math>DAC</math> өсмөйөштәре икеһе бергә <math>\triangle ABC</math> өсмөйөшөн төҙөгәнлектән,
<math>\triangle DBA</math> һәм <math>\triangle DAC</math> майҙандарының суммаһы <math>\triangle ABC</math> майҙанына тигеҙ.
Ошонан сығып
: <math>\frac{AB^2+AC^2}{BC^2}=1</math>
йәки
<math>AB^2+AC^2=BC^2.</math>

=== Сикһеҙ бәләкәйҙәр ысулы менән иҫбатлау ===
[[Файл:PythagoreanDerivation.svg|мини|Сикһеҙ бәләкәйҙәр ысулы менән иҫбатлау]]
[[Дифференциаль тигеҙләмә]]ләр техникаһына таяныусы бер нисә иҫбатлауҙар бар. Атап әйткәндә, <math>a</math> һәм <math>b</math> катеттарының һәм <math>c</math> гипотенузаһының сикһеҙ бәләкәй ҡушымтаһын ҡулланыусы иҫбатлау [[Харди, Годфри Харолд|Хардиҙыҡы]] тип иҫәпләнә. Мәҫәлән, <math>b</math> катеты даими булғанда <math>a</math> катетының ҡушымтаһы <math>da</math> <math>dc</math> гипотенузаның ҡушымтаһына килтерә, шулай итеп

: <math>\frac {da}{dc} = \frac {c}{a}</math>

Үҙгәреүсәндәрҙе айырып алыу ысулы менән уларҙан <math>c\ dc = a\, da </math> дифференциаль тигеҙләмәһе килеп сыға,
уны интеграллау <math>c^2 = a^2  + \mathrm{Const}</math> нисбәтен бирә. <math>a = 0 , c = b</math> башланғыс шарттарҙы ҡулланып константа <math> b^2</math> булыуын асыҡлайбыҙ, һөҙөмтәлә теореманың раҫлауы килеп сыға.

Ахырғы формулала квадрат бәйләнеш өсмөйөштөң яҡтары һәм ҡушымталар араһында һыҙыҡлы пропорционаллек арҡаһында килеп сыға.

== Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр ==

=== Өс яғында оҡшаш геометрик фигуралар ===
[[Файл:Pythagoras applied to similar triangles1.svg|мини|Оҡшаш өсмөйөштәр өсөн дөйөмләштереү, йәшел фигураларҙың майҙаны күк фигураларҙың майҙанына тигеҙ.]]
[[Файл:Pythagoras by similar triangles.PNG|мини|Пифагор теоремаһы оҡшаш тура мөйөшлө өсмөйөштәрҙе ҡулланып.]]
Евклид үҙенең «[[Башланғыстар (Евклид)|Башланғыстарында]]», яҡтарҙа төҙөлгән квадраттарҙың майҙандарынан ирекле [[оҡшашлыҡ|оҡшаш]] геометрик фигураларҙың майҙандарына күсеп, Пифагор теоремаһының мөһим геометрик дөйөмләштерелеүен биргән<ref name=Euclid_VI>Euclid’s ''Elements'': book VI, proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle».</ref>: катеттарҙа төҙөлгән бындай фигураларҙың майҙандарының суммаһы, гипотенузала төҙөлгән уларға оҡшаш фигураның майҙанына тигеҙ.

Был дөйөмләштереүҙең төп идеяһы шунда, оҡшаш геометрик фигураның майҙаны үҙенең теләһә ниндәй һыҙыҡлы үлсәменең квадратына пропорциональ, һәм, айырым осраҡта теләһә ниндәй яғының квадратына. Ошонан сығып, ярашлы рәүештә оҙонлоҡтары <math>a</math> һәм <math>b</math> булған катеттарҙа һәм <math>c</math> гипотенузаһында төҙөлгән, майҙандары <math>A</math>, <math>B</math> һәм <math>C</math> булған оҡшаш фигуралар өсөн, ошо нисбәт дөрөҫ:

: <math>\frac{A}{a^2} = \frac{B}{b^2} = \frac{C}{c^2}\, \Rightarrow \, A + B = \frac{a^2}{c^2}C + \frac{b^2}{c^2}C</math>.

Пифагор теоремаһы буйынса <math>a^2 + b^2 = c^2</math> булғанлыҡтан, <math>A + B = C</math> тигеҙлеге дөрөҫ.

Бынан тыш, тура мөйөшлө өсмөйөштөң яҡтарында төҙөлгән өс оҡшаш геометрик фигураларҙың майҙандары өсөн <math>A + B = C</math> нисбәте үтәлә икәнлеген Пифагор теоремаһына таянмай иҫбатлау мөмкин булһа, Евклид дөйөмләштереүен иҫбатлауҙы кире тәртиптә ҡулланып, Пифагор теоремаһын иҫбатлауҙы килтереп сығарып булыр ине. Мәҫәлән, әгәр гипотенузала, майҙаны <math>C</math> булған баштағы өсмөйөшкә конгруэнт тура мөйөшлө өсмөйөш, ә катеттарҙа — майҙандары <math>A</math> һәм <math>B</math> булған уға оҡшаш ике тура мөйөшлө өсмөйөш төҙөгәндә, катеттарҙағы өсмөйөштәр баштағы өсмөйөштө уның бейеклеге менән бүлеүҙән килеп сыға икән, йәғни өсмөйөштөрҙең ике бәләкәй майҙандарының суммаһы өсөнсөһөнөң майҙанына тигеҙ була, шулай итеп <math>A + B = C</math> һәм, оҡшаш фигуралар өсөн нисбәтте ҡулланып, Пифагор теоремаһы килтереп сығарыла.

=== Косинустар теоремаһы ===
{{главная|Косинустар теоремаһы}}
Пифагор теоремаһы — ирекле өсмөйөштә яҡтарының оҙонлоғон бәйләүсе, дөйөмөрәк булған косинустар теоремаһының айырым осрағы<ref name= Leff1>{{cite book |title=Cited work |author=Lawrence S. Leff |url=https://books.google.com/?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA326 |page=326 |isbn=0764128922 |publisher=Barron's Educational Series |date=2005-05-01}}</ref>:
: <math>a^2+b^2-2ab\cos{\theta}=c^2</math>,
бында <math>\theta</math> — <math>a</math> һәм <math>b</math> яҡтары араһындағы мөйөш. Әгәр был мөйөш 90° булһа, ул саҡта <math>\cos \theta = 0</math>, һәм формула ғәҙәти Пифагор теоремаһына тиклем ябайлаша.

=== Ирекле өсмөйөш ===
[[Файл:Tâbit ibn Qorra.PNG|мини|Сабит ибн Курра асыҡлаған дөйөмләштереү. Аҫтағы һүрәт <math>\triangle DBA</math> өсмөйөшөнөң <math>\triangle ABC</math> өсмөйөшөнә оҡшашлығын күрһәтә.]]
Пифагор теоремаһының, тик яҡтарының оҙонлоғо нисбәтенә генә таянып эш итеүсе, ирекле өсмөйөшкә дөйөмләштерелеүе бар. Ул беренсе булып Сабии астрономы [[Сабит ибн Курра]] тарафынан асылған тип иҫәпләнә<ref name=Eves>
{{cite book |title=Great moments in mathematics (before 1650) |author=Howard Whitley Eves |url=https://books.google.com/books?id=9_w5jDPTvCQC&pg=PA41 |chapter=§ 4.8: …generalization of Pythagorean theorem  |isbn=0883853108 |year=1983 |page=41 |publisher=Mathematical Association of America}}</ref>. Унда яҡтары <math>a, b, c</math> булған ирекле өсмөйөш өсөн, уға нигеҙе <math>c</math> яғында булған, түбәһе бирелгән өсмөйөштөң <math>c</math> яғына ҡаршы ятыусы түбәһе менән тап килгән, нигеҙе эргәһендәге мөйөшө <math>c</math> яғына ҡаршы ятыусы <math>\theta</math> мөйөшөнә тигеҙ булған, [[тигеҙ эргәле өсмөйөш]] ҡамала. Һөҙөмтәлә бирелгән өсмөйөшкә оҡшаш булған ике өсмөйөш барлыҡҡа килә: беренсеһе — яҡтары <math>a</math>, ҡамалған тигеҙ эргәле өсмөйөштөң унан алыҫтағы эргә яғы, һәм <math>r</math> — <math>c</math> яғының өлөшө; икенсеһе — уға <math>b</math> яғынан симметрик һәм <math>c</math> яғының өлөшөнә ярашлы яғы <math>s</math>. Һөҙөмтәлә <math>\theta=\pi/2</math> булғанда Пифагор теоремаһына әүерелеүсе<ref name=Sayii>{{cite journal |doi=10.1086/348837 |jstor=227603 |author=''[[Сайылы, Айдын|Aydin Sayili]]'' |year= 1960 |title= Thâbit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem  |journal= Isis |volume= 51 |issue=1 |pages= 35—37 |month=Mar. |ref=harv}}</ref><ref name=Sally2>{{cite book |title=Cited work |author=Judith D. Sally, Paul Sally |chapter=Exercise 2.10 (II) |page=62 |url=https://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA62 |isbn=0821844032 |date=2007-12-21 }}</ref>:
: <math> a^2 +b^2 =c(r+s) </math>, нисбәте үтәлгән булыуы килеп сыға.

Нисбәт барлыҡҡа килгән өсмөйөштәрҙең оҡшашлығы эҙемтәһе булып тора:

: <math>\frac{c}{a} = \frac{a}{r}, \, \frac{c}{b} = \frac{b}{s} \, \Rightarrow \, cr +cs = a^2 +b^2</math>.

=== Майҙандар тураһында Паппа теоремаһы ===
[[Майҙандар тураһында Паппа теоремаһы]], ирекле өсмөйөш һәм уның ике яғында ирекле [[параллелограмм]]дар өсөн өсөнсө яғында, майҙаны бирелгән ике параллелограмдың майҙандарының суммаһына тигеҙ булырлыҡ итеп параллелограмм төҙөргә мөмкинлек биреүсе теорема, шулай уҡ Пифагор теоремаһының дөйөмләштерелеүе итеп ҡарарға була<ref name=Jennings>{{cite book |title=Modern geometry with applications: with 150 figures |author=George Jennings |chapter=Figure 1.32: The generalized Pythagorean theorem |page=23 |url=https://books.google.com/?id=6OhcE7YQY8QC&pg=PA23 |isbn=038794222X |year=1997 |edition=3rd |publisher=Springer}}</ref>: бирелгән өсмөйөш — тура мөйөшлө, ә катеттарҙа параллелограмдар сифатында квадраттар төҙөлгән осраҡта, гипотенузала төҙөлгән квадрат майҙандар тураһында Паппа теоремаһын ҡәнәғәтләндереүсе булып сыға.

=== Күп үлсәмле дөйөмләштереүҙәр ===
Пифагор теоремаһының [[Өс үлсәмле арауыҡ|өс үлсәмле Евклид арауығы]] өсөн дөйөмләштерелеүе булып [[де Гуа теоремаһы]] тора: әгәр [[тетраэдр]]ҙың тура мөйөшө булһа, ул саҡта тура мөйөшкә ҡаршы ятҡан ҡырының майҙанының квадраты, ҡалған өс ҡырының майҙандарының квадраттары суммаһына тигеҙ. Был һығымта юғары үлсәмле Евклид арауыҡтары өсөн «{{mvar|n}}-үлсәмле Пифагор теоремаһы» булараҡ дөйөмләштерелергә мөмкин<ref name=Bhatia>
{{cite book |title=Matrix analysis |author=Rajendra Bhatia |url=https://books.google.com/?id=eay3HALl620C&pg=PA21 |page=21 |isbn=0387948465 |year=1997 |publisher=Springer}}
</ref> — ортогональ <math>n</math>-үлсәмле [[симплекс]] өсөн майҙандары <math>S_1, \dots, S_n</math> булған ортогональ ҡырҙары һәм майҙаны <math>S_0</math> булған уларға ҡаршы ятыусы ҡыры өсөн түбәндәге нисбәт үтәлә:
: <math>S_0^2 = \sum_{i=1}^n S_i^2</math>.

Тағы ла бер күп үлсәмле дөйөмләштереү [[тура мөйөшлө параллелепипед]]тың диагонале оҙонлоғоноң квадратын табыу мәсьәләһенән килеп сыға: уны иҫәпләү өсөн ике тапҡыр Пифагор теоремаһын ҡулланырға кәрәк, һөҙөмтәлә ул параллелепипедтың өс эргәләш яҡтарының квадраттарының суммаһын төҙөй. Дөйөм осраҡта, эргәләш яҡтарының оҙонлоҡтары <math>a_1, \dots, a_n</math> булған <math>n</math>-үлсәмле тура мөйөшлө параллелепипедтың диагоналенең оҙонлоғо түбәндәгесә:
: <math>d^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2</math>,

өс үлсәмле осраҡтағы кеүек, һөҙөмтә перпендикуляр яҫылыҡтарҙа тура мөйөшлө өсмөйөштәргә Пифагор теоремаһын эҙмә-эҙ ҡулланыу эҙемтәһе булып тора.

[[Парсеваль тигеҙлеге]] Пифагор теоремаһын сикһеҙ үлсәмле арауыҡтарға дөйөмләштереү булып тора<ref>''[[Шилов, Георгий Евгеньевич|Шилов Г. Е.]]'' Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 194</ref>.

=== Евклид булмаған геометрия ===
Пифагор теоремаһы [[Евклид геометрияһы]] аксиомаларынан килеп сыға һәм Евклид булмаған геометрия өсөн дөрөҫ түгел<ref name = false>{{cite book |title=Cited work |author=Stephen W. Hawking |page=4 |url=https://books.google.com/books?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA4 |isbn=0762419229 |year=2005}}</ref> — Пифагор теоремаһының үтәлеше [[Евклидтың параллеллек аксиомаһы|Евклидтың параллеллек тураһында постулатына]] тиң көслө<ref name = Parallel>{{cite book |title=CRC concise encyclopedia of mathematics |author= Eric W. Weisstein |url=https://books.google.com/books?id=aFDWuZZslUUC&pg=PA2147 |page=2147 |quote=The parallel postulate is equivalent to the ''Equidistance postulate'', ''Playfair axiom'', ''Proclus axiom'', the ''Triangle postulate'' and the ''Pythagorean theorem''. |edition=2nd |isbn=1584883472 |year=2003}}</ref><ref name= Pruss>{{cite book |title=The principle of sufficient reason: a reassessment |author= Alexander R. Pruss |quote=We could include… the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate. |isbn=052185959X |year=2006 |publisher=Cambridge University Press |page=11 |url=https://books.google.com/books?id=8qAxk1rXIjQC&pg=PA11}}</ref>.

Евклид булмаған геометрияла тура мөйөшлө өсмөйөштөң яҡтары араһындағы нисбәт, һис шикһеҙ, Пифагор теоремаһынан айырмалы формала була. Мәҫәлән, [[сферик геометрия]]ла тура мөйөшлө өсмөйөштөң, берәмек сфераның [[октант]]ын сикләп торған бөтә өс яғының оҙонлоғо <math>\pi/2</math>, был Пифагор теоремаһына ҡаршы килә.

Шуның менән бергә, әгәр өсмөйөштөң тура мөйөшлө булыу шартын өсмөйөштөң ике мөйөшөнөң суммаһы өсөнсө мөйөшөнә тигеҙ булыу шарты менән алмаштырһаң, Пифагор теоремаһы [[Лобачевский геометрияһы|гиперболалы]] һәм [[Риман геометрияһы|эллиптик]] геометрияла дөрөҫ<ref>{{cite journal|author=''Victor Pambuccian''|title=Maria Teresa Calapso’s Hyperbolic Pythagorean Theorem|journal=The Mathematical Intelligencer|volume=32|number=4|date=December 2010|page =2|doi=10.1007/s00283-010-9169-0}}</ref>.

==== Сферик геометрия ====
{{главная|Сферик Пифагор теоремаһы}}
[[Файл:Triangle sphérique.svg|мини|[[Сферик өсмөйөш]]]]
Радиусы <math>R</math> булған сферала яҡтары <math>a, b, c</math> булған теләһә ниндәй тура мөйөшлө өсмөйөш өсөн (мәҫәлән, әгәр өсмөйөштә <math>\gamma</math> мөйөшө тура мөйөш булһа) яҡтары араһындағы нисбәт түбәндәге күренештә була<ref name=ONeill>{{cite book |title=Elementary differential geometry |author=Barrett O'Neill |url=https://books.google.com/?id=OtbNXAIve_AC&pg=PA441 |chapter=Exercise 4 |page=441 |isbn=0120887355 |year=2006 |edition=2nd |publisher=Academic Press}}</ref>:

: <math> \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right) \cdot \cos \left(\frac{b}{R}\right)</math>.

Был тигеҙлек бөтә сферик өсмөйөштәр өсөн дөрөҫ булған [[косинустар теоремаһы (сферик геометрия)|сферик косинустар теоремаһының]] айырым осрағы булараҡ килеп сығырға мөмкин:

: <math> \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right) \cdot \cos \left(\frac{b}{R}\right) + \sin\left(\frac{a}{R}\right) \cdot \sin\left(\frac{b}{R}\right) \cdot \cos \gamma</math>.

[[Тейлор рәте]]н косинус функцияһына (<math>\cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2}</math>) ҡулланып, әгәр <math>R</math> радиусы [[сикһеҙлек]]кә ынтылһа, ә <math>\dfrac{a}{R}</math>, <math>\dfrac{b}{R}</math> һәм <math>\dfrac{c}{R}</math> аргументтары нулгә ынтылһа, ул саҡта тура мөйөшлө өсмөйөштөң яҡтары араһындағы сферик нисбәт Пифагор теоремаһына яҡыная икәнен күрһәтеп була.

==== Лобачевский геометрияһы ====
[[Файл:Hyperbolic triangle.svg|мини|[[Гиперболалы өсмөйөш]]]]
[[Лобачевский геометрияһы]]нда яҡтары <math>a, b, c</math>, тура мөйөшөнә ҡаршы ятҡан яғы <math>c</math> булған тура мөйөшлө өсмөйөш өсөн, яҡтары араһындағы нисбәт түбәндәгесә була<ref name=Stahl>{{cite book |title=The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry |author=Saul Stahl |page=122 |url=https://books.google.com/?id=TABicHVMQhMC&pg=PA122 |chapter=Theorem 8.3| isbn=086720298X |year=1993 |publisher=Jones & Bartlett Learning}}</ref>:

: <math> \operatorname{ch} c=\operatorname{ch} a \cdot \operatorname{ch} b</math>,

бында <math> \operatorname{ch}</math> — [[гиперболалы косинус]]<ref>''Микиша А. М., Орлов В. Б.'' Толковый математический словарь. Основные термины. — М. Русский язык, 1989 г.</ref>. Был формула бөтә өсмөйөштәр өсөн дөрөҫ булған гиперболалы косинустар теоремаһының айырым осрағы булып тора<ref name=Gilman>{{cite book |title=Two-generator discrete subgroups of PSL (2, R) |author=Jane Gilman |url=https://books.google.com/?id=YRFz9Zj_vAAC&pg=PA74 |chapter=Hyperbolic triangles |isbn=0821803611 |year=1995 |publisher=American Mathematical Society Bookstore}}</ref>:

: <math>\operatorname{ch}c= \operatorname{ch} a \cdot \operatorname{ch} b - \operatorname{sh} a \cdot \operatorname{sh} b \cdot \cos \gamma </math>,
бында <math>\gamma</math> — түбәһе <math>c</math> яғына ҡаршы ятҡан мөйөш.

[[Тейлор рәте]]н гиперболалы косинус өсөн (<math>\operatorname{ch}x \approx 1 + \dfrac{x^2}{2}</math>) ҡулланып, әгәр гиперболалы өсмөйөш бәләкәсәйһә (йәғни, <math>a</math>, <math>b</math> һәм <math>c</math> нулгә ынтылғанда), ул саҡта тура мөйөшлө өсмөйөштә гиперболалы нисбәт классик Пифагор теоремаһы нисбәтенә яҡыная икәнлеген күрһәтеп була.

== Ҡулланыу ==

=== Ике үлсәмле тура мөйөшлө системаларҙа алыҫлыҡ ===
Пифагор теоремаһының мөһим ҡулланылышы — [[тура мөйөшлө координаталар системаһы]]нда ике нөктә араһындағы алыҫлыҡты табыу: координаталары <math>(a, b)</math> һәм <math>(c, d)</math> булған нөктәләр араһындағы <math>s</math> алыҫлығы тигеҙ:
: <math>s = \sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}</math>.

Комплекслы һандар өсөн Пифагор теоремаһы [[комплекслы һандың модуле]]н табыу өсөн тәбиғи формула бирә — <math>z=x+yi</math> өсөн ул комплекслы яҫылыҡта <math>(x, y)</math> нөктәһенә [[радиус-вектор]]ҙың оҙонлоғона тигеҙ:
: <math>|z| = \sqrt{x^2 + y^2}</math>.

<math>z_1 = x_1+y_1i</math> һәм <math>z_2 = x_2+y_2i</math> комплекслы һандары араһындағы алыҫлыҡ шулай уҡ Пифагор теоремаһы формаһында күрһәтелә<ref name=Gray>{{cite book |title=Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica |author=[[Грэй, Альфред (математик)|Alfred Gray]], Elsa Abbena, Simon Salamon |page=194 |url=https://books.google.com/?id=TGw98Z6Cv-EC&pg=PA194 |isbn=1584884487 |year=2006 |publisher=CRC Press |edition =3rd}}</ref>:
: <math>|z_1 - z_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}</math>.

=== Евклид метрикаһы ===
[[Евклид метрикаһы]] — [[Евклид арауығы|Евклид арауыҡтарында]] Пифагор теоремаһы буйынса иҫәпләнгән алыҫлыҡ функцияһы, ике үлсәмле осраҡта туранан-тура, һәм күп үлсәмле арауыҡта эҙмә-эҙ ҡулланылышы; <math>n</math>-үлсәмле арауыҡтың <math>p = (p_1, \dots, p_n)</math> һәм <math>q = (q_1, \dots, q_n)</math> нөктәләре өсөн улар араһындағы <math>d(p, q)</math> алыҫлығы түбәндәгесә иҫәпләнә:
: <math>d(p, q) = \sqrt{\sum_{i=1}^n{(p_i - q_i)^2}}</math>.

=== Һандар теорияһы ===
[[Пифагорҙың өс һаны]] — тура мөйөшлө өсмөйөштөң яҡтары була алған өс <math>(x,\;y,\;z)</math> [[натураль һан]]дары йыйылмаһы, йәғни <math>x^2 + y^2 = z^2</math> [[Диофант тигеҙләмәһе]]н ҡәнәғәтләндереүсе натураль һандар. [[Һандар теорияһы]]нда Пифагорҙың өс һаны мөһим роль уйнай, уларҙы эффектив табыу мәсьәләһе боронғо замандарҙан алып бөгөнгө көнгә тиклем киң эш ҡатламы тыуҙырҙы. [[Ферманың бөйөк теоремаһы]] формулировкаһы 2-нән ҙурыраҡ дәрәжә өсөн [[Пифагорҙың өс һаны]]н табыу мәсьәләһенә оҡшаш.

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр|2}}

== Әҙәбиәт ==
{{Навигация}}
* ''Ван-дер-Варден Б. Л.'' Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — М., 1959
* ''Глейзер Г. И.'' История математики в школе. — М., 1982
* ''Еленьский Щ.'' По следам Пифагора. — М., 1961
* {{книга |автор=Клауди Альсина. |заглавие=Секта чисел. Теорема Пифагора |ref=Клауди Альсина
  |место=М. |издательство=Де Агостини |год=2014 |страниц=152 |isbn=978-5-9774-0633-8 
  |серия=Мир математики: в 45 томах, том 5 }}
* ''Литцман В.'' [http://www.ega-math.narod.ru/Books/Pythagor.htm#ch1 Теорема Пифагора.] — М., 1960.
** [http://th-pif.narod.ru/ Сайт о теореме Пифагора] с большим числом доказательств, материал взят из книги В. Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.
* ''Скопец З. А.'' Геометрические миниатюры. — М., 1990
* {{книга |автор=Euclid |заглавие= The Elements (3 vols.) |ответственный=Translated by Johan Ludvig Heiberg with an introduction and commentary by Thomas L. Heath|издательство=Dover |издание=Reprint of 1908 |год= 1956 |volume= 1 (Books I and II)|isbn= 0-486-60088-2|ref=Euclid}}
* {{книга |заглавие=A History of Greek Mathematics (2 Vols.)|автор=Heath S.|издательство= Clarendon Press, Oxford |год=1921 |издание= Edition of Dover Publications, Inc. (1981) |isbn= 0-486-24073-8|ref=Heath}}

== Һылтанмалар ==
* [http://www.moypifagor.narod.ru/history.htm История теоремы Пифагора]
* ''Г. Глейзер, академик РАО, Москва.'' [http://mat.1september.ru/2001/24/no24_01.htm О теореме Пифагора и способах её доказательства] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071217212244/http://mat.1september.ru/2001/24/no24_01.htm |date=2007-12-17 }}
* Ролик серии «[[Математические этюды]]», посвящённый теореме Пифагора (для [http://www.etudes.ru/ru/mov/mov044/index.php компьютера], [https://itunes.apple.com/ru/app/id404430950 iPhone], [https://itunes.apple.com/ru/app/pythagoras-hd/id404432708 iPad])
* [http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=3&page=2 Теорема Пифагора и пифагоровы тройки.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160303215944/http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=3&page=2 |date=2016-03-03 }} Глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из неё»
* [http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html Теорема Пифагора на WolframMathWorld]{{ref-en}}
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Cut-The-Knot, секция, посвящённая теореме Пифагора, около 70 доказательств и обширная дополнительная информация]{{ref-en}}

[[Категория:Планиметрия]]
[[Категория:Өсмөйөш геометрияһы]]
[[Категория:Евклид геометрияһы теоремалары|Пифагор]]
[[Категория:Пифагор]]
[[Категория:Исемле закондар һәм ҡағиҙәләр]]