Пи (һан) битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{другие значения|Пи}}
{| class="infobox"
|colspan="2" align="center"| [[Иррациональ һан]]дар <br> {{Ысын константалар|inline=1}}
|-style="background:#f0f0f0"
|nowrap| '''Иҫәпләү системаһы''' || '''<math>\pi</math> һанына баһа'''
|-
|align="right"| [[Унарлы иҫәпләү системаһы|Унарлы]] || 3,1415926535897932384626433832795…
|-style="background:#f0f0f0"
|align="right"| [[Икеле иҫәпләү системаһы|Икеле]] || 11,00100100001111110110…
|-
|align="right"| [[Ун алтылы иҫәпләү системаһы|Ун алтылы]] || 3,243F6A8885A308D31319…
|-style="background:#f0f0f0"
|align="right"| [[Алтмышарлы иҫәпләү системаһы|Алтмышарлы]] ||  3; 08 29 44 00 47 25 53 07 …
|-
|align="right"| [[Рациональ яҡынайыуҙар]]|| {{frac|22|7}}, {{frac|179|57}}, {{frac|223|71}}, {{frac|333|106}}, {{frac|355|113}}, {{frac|103993|33102}} <small>(теүәллеге арта барыу тәртибендә һанап кителгән)</small>
|-style="background:#f0f0f0"
|align="right"| [[Өҙлөкһөҙ кәсер]] ||{{nowrap|[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, … ]}}
<small>(Был өҙлөкһөҙ кәсер [[Периодик функция|периодлы түгел]]. Һыҙыҡлы нотацияла яҙылған)</small>
|-
|align="right" nowrap| [[Тригонометрия]] ||<math>\pi</math> [[радиан]] = 180°
|}
{{Врезка | Выравнивание = right | Ширина = 34em | Содержание =
<div style="text-align:right; font-family:'Courier New';">
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4[[Точка Фейнмана|999999]]837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989<br>
…
</div>
 | Подпись         =<hr>
<math>\pi</math> һаны унарлы кәсерҙең тәүге мең юғары разряды менән<ref>[http://www.math.com/tables/constants/pi.htm PI<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref>
}}
[[Файл:Pi-unrolled-720.gif|thumb|300px|Әгәр әйләнәнең [[диаметр]]ы бергә тигеҙ булһа, әйләнәнең оҙонлоғо — ул «пи» һаны]]

<math>\boldsymbol\pi</math> ('''«пи»''' тип әйтелә) — [[математик константа|математик даими]], [[әйләнә]]нең оҙонлоғоноң уның [[диаметр]]ына сағыштырмаһына тигеҙ булған һан<ref group="K">Был билдәләмә тик [[Евклид геометрияһы]] өсөн генә яраҡлы. Башҡа геометрияларҙа әйләнәнең оҙонлоғоноң уның диаметры оҙонлоғона сағыштырмаһы ирекле булырға мөмкин. Мәҫәлән, [[Лобачевский геометрияһы]]нда был сағыштырма <math>\pi</math>-ҙән бәләкәй.</ref>. [[Грек алфавиты]]ның «[[пи (хәреф)|π]]» хәрефе менән тамғалана.

== Үҙсәнлектәре ==

=== Транцендентлыҡ һәм иррационаллек ===
<math>\pi</math> һаны [[иррациональ һан|иррациональ]], йәғни уның ҡиммәте <math>\frac{m}{n}</math> кәсере күренешендә теүәл күрһәтелә алмай, бында <math>m</math> һәм <math>n</math> — бөтөн һандар. Ошонан сығып, уның унарлы яҙылышы тамамланмай (сикһеҙ) һәм [[Периодлы кәсер|периодлы]] була алмай. <math>\pi</math> һанының иррационаллеген беренсе булып 1761 йылда [[Ламберт, Иоганн Генрих|Иоганн Ламберт]]<ref>{{Cite news
  | last = Lambert
  | first = Johann Heinrich
  | title = Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques
  | publication-date = 1768
  | year = 1761
  | periodical = Histoire de l'Académie,
  | publication-place = Berlin
  | volume = XVII
  | pages = 265–322
  | postscript = }}</ref> [[тангенс]]ты [[өҙлөкһөҙ кәсер]]гә тарҡатыу юлы менән иҫбатлай. 1794 йылда [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандр]] <math>\pi</math> һәм <math>\pi^2</math> һандарының иррационаллегенең ҡәтғиерәк иҫбатланышын килтерә.

<math>\pi</math> — [[транцендент һан]], йәғни ул коэффициенттары бөтөн һандар булған ниндәй ҙә булһа тигеҙләмәнең [[Күпбыуын тамыры|тамыры]] була алмай. <math>\pi</math> һанының транцендентлығын [[1882 йыл]]да [[Кёнигсберг университеты|Кёнигсберг]], ә аҙаҡ [[Мюнхен университеты]] профессоры [[Линдеман, Фердинанд фон|Линдеман]] иҫбатлай. Иҫбатлауҙы [[Клейн, Феликс|Феликс Клейн]] 1894 йылда ябайлаштыра<ref>Доказательство Клейна приложено к работе «Вопросы элементарной и высшей математики», ч. 1, вышедшей в [[Гёттинген]]е в 1908 году.</ref>. [[Евклид геометрияһы]]нда [[түңәрәк]]тең [[фигураның майҙаны|майҙаны]] һәм [[әйләнә оҙонлоғо]] <math>\pi</math> һанының функциялары булғанлыҡтан, <math>\pi</math> һанының транцендентлығын иҫбатлау 2,5 мең йылдан артыҡ һуҙылған [[Түңәрәк квадратураһы|түңәрәктең квадратураһын]] төҙөргә маташыуҙарға сик ҡуя.

1934 йылда [[Гельфонд, Александр Осипович|Гельфонд]]<ref>{{MathWorld|GelfondsConstant|Постоянная Гельфонда}}</ref> <math>e^\pi</math> һанының транцендентлығын иҫбатлай. 1996 йылда [[Нестеренко, Юрий Валентинович|Юрий Нестеренко]] теләһә ниндәй натураль <math>n</math> өсөн <math>\pi</math> һәм <math>e^{\pi\sqrt n}</math> һандары [[Алгебраик бәйләнешһеҙлек|алгебрак бәйләнешһеҙ]] икәнен иҫбатлай, бынан, айырым алғанда,<ref name="autogenerated1"/><ref>[http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=sm&paperid=158&volume=187&year=1996&issue=9&fpage=65&what=fullt&option_lang=eng Модулярные функции и вопросы трансцендентности]</ref> <math>\pi+e^\pi,\pi e^\pi</math> һәм <math>e^{\pi\sqrt n}</math> һандарының транцендентлығы килеп сыға.

<math>\pi</math> [[периодтар ҡулсаһы]]ның элементы булып тора (тимәк, [[Иҫәпләнмәле һан|иҫәпләнмәле]] һәм [[арифметик һан]]). Ләкин <math>1/\pi</math> периодтар ҡулсаһына инәме икәне билдәһеҙ.

=== Нисбәттәр ===
<math>\pi</math> һанын иҫәпләү өсөн күп формулалар билдәле:
{{anchor|Виет формулаһы}}
* {{нп5|π һанының яҡынлауы өсөн Виет формулаһы|||Viète's formula}}:
:: <math>\frac2\pi=
\frac{\sqrt{2}}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots</math>
: Был <math>\pi</math> һанының сикһеҙ һандағы ғәмәлдәр менән тәүге билдәле асыҡ күренеше. Уны ошолай иҫбатларға мөмкин. <math>\sin2 \varphi=2 \sin \varphi \cos \varphi</math> тождествоһын рекурсив ҡулланып һәм сикләнмәгә күсеп, табабыҙ
:: <math>\varphi \cos\dfrac\varphi2\cos \frac\varphi4\cdots = \sin \varphi .</math>
: <math>\varphi=\frac\pi2</math> алмаштырып ҡуяһы һәм [[Тригонометрик тождестволар#Икеләтелгән һәм ярты мөйөш формулалары|икеләтелгән мөйөш косинусы формулаһын]] ҡулланаһы ҡала: <math>\cos 2 \varphi=\cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi .</math>

* [[Валлис формулаһы]]:
:: <math>\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}</math>
* [[Лейбниц рәте]]:
:: <math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}</math>
* Башҡа рәттәр:
:: <math>\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}</math> ([[кире квадраттар рәте]])

:: <math>\begin{align}
\pi &= \frac12\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{16^k}\left(\frac8{8k+2} + \frac4{8k+3} + \frac4{8k+4} - \frac1{8k+7}\right)=
 \\ &= \frac14\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{16^k}\left(\frac8{8k+1} + \frac8{8k+2} + \frac4{8k+3} - \frac2{8k+5} - \frac2{8k+6} - \frac1{8k+7}\right)=
 \\ &= \;\;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{4^k}\left(\frac2{4k+1} + \frac2{4k+2} + \frac1{4k+3}\right)
\end{align}</math>

:: <math> \pi=2 \sqrt{3} \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\, 3^k \, (2k+1)}</math>
* Тапҡыр рәттәр:
:: <math>\pi=8\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(4m-2)^{2k}}=4\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{m^2-k^2}{(m^2+k^2)^2}=\sqrt[4\,\,]{360 \sum \limits_{k=1}^{\infty}\sum \limits_{m=1}^k\frac{1}{m(k+1)^3}}</math>
* [[Сикләнмә (математика)|Сикләнмәләр]]:

:: <math>\pi=\lim \limits_{m\rightarrow \infty }{\frac { (m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[ (2m )! \right] ^{2}\,m}}</math>
:: <math>\pi= \sqrt{\frac{6}{\lim \limits_{n\to\infty}\prod \limits_{k=1 \atop p_k \in \mathbf{P}}^{n}\,\left ( 1-\frac{1}{p_{k}^2}\right ) }}\quad \to  </math> бында <math> p_k </math> — ябай һандар
:: <math>\pi=\lim_{n\to\infty} 2^n\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}},</math> бында <math>n</math> аңлатманың тамырҙар һаны.<ref>{{статья |автор= [[Ромер, Павел Эмилиевич|Ромер П.]]|заглавие= Новое выражение для π|ссылка= http://vofem.ru/ru/articles/9702/|язык= ru|издание= [[В.О.Ф.Э.М.]]|год= 1890|номер= 97|страницы= 2—4}}</ref>

* [[Эйлер тождествоһы (комплеклы анализ)|Эйлер тождествоһы]]:
:: <math>e^{i \pi} + 1 = 0\;</math>
* [[Математик константалар|Константалар]] араһында башҡа бәйләнештәр:
:: <math>\frac{\pi}{e}=2 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left (\frac{2k+1}{2k-1} \right )^{2k-1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k} </math>
:: <math>\pi \cdot e = 6 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left ( \frac{2k+3}{2k+1}\right )^{2k+1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}</math>
* [[Пуассон, Симеон Дени|Пуассон]] интегралы йәки [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] интегралы

:: <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}</math>
:: <math>\int\limits_{0}^{\infty} \frac{Br(x)}{\displaystyle e^{Br^4(x)}}dx=\sqrt{\pi},</math> где <math>Br(x)</math> — [[Бринг тамыры]].

* [[Интеграл синусы]]:
:: <math>\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=\pi </math>

* [[Дилогарифм]] аша күрһәтеү:<ref>{{MathWorld|PiSquared|Pi Squared}}</ref>
:: <math>\pi=\sqrt{6\ln^2 2+12\ \operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)}</math>

* Үҙ булмаған интеграл аша
:: <math>\int\limits_{0}^{+\infty}{\frac{dx}{(x+1)\sqrt x}}=\pi</math>

== Тарихы ==
[[Файл:Greek lc pi icon.svg|thumb|130px|константа символы]]

Был һандың грек хәрефе <math>\pi</math> менән тамғаланышын беренсе булып 1706 йылда Британия математигы [[Джонс, Уильям (математик)|Джонс]] файҙаланған<ref>{{книга |автор=''Гнездовский Ю. Ю.'' |часть=Введение |заглавие=Справочник по тригонометрии |издательство=Экоперспектива |год= 2006 |страницы=3 |isbn=985-469-141-1}}</ref>, ә [[Эйлер, Леонард|Леонард Эйлерҙың]] 1737 йылдағы хеҙмәттәренән һуң ул дөйөм ҡабул ителә. Был тамғалау {{lang-el2|περιφέρεια}} әйләнә, периферия һәм {{lang-el2|περίμετρος}}  периметр тигән грек һүҙҙәренең баш хәрефенән алынған {{sfn |Вездесущее число «пи»|2007|с=10—11|name=ZZ10}}.

<math>\pi</math> һанын өйрәнеү һәм уның ҡиммәтен аныҡлау бөтә математиканың үҫеше менән параллель бара һәм бер нисә мең йыллыҡты алып тора. Тәүҙә <math>\pi</math> [[геометрия]] ҡарашынан сығып өйрәнелә, аҙаҡ [[математик анализ]]дың XVII быуатта үҫеше был һандың универсаль булыуын күрһәтә.

=== Геометрик осор ===
Әйләнәнең оҙонлоғоноң диаметрға сағыштырмаһы теләһә ниндәй әйләнә өсөн дә бер төрлө булыуы, һәм был сағыштырма 3-тән бер аҙ ҙур булыуы, [[Боронғо Мысырҙа математика|Боронғо Мысыр]], [[Вавилон математикаһв|Вавилон]], [[Һиндостанда математика тарихы|Боронғо Һиндостан]] һәм [[Боронғо Грецияла математика|Боронғо Греция]] геометрҙарына ла билдәле була, иң боронғо яҡынайыуҙары б. э. тиклем өсөнсө мең йыллыҡҡа ҡарай.

Боронғо Вавилонда <math>\pi</math> һанын өскә тигеҙ итеп алғандар. Уны {{sfn|Кымпан|1971}} түбәндәге формула аша асыҡлағандар: [[түңәрәктең майҙаны]] [[Әйләнә|әйләнә оҙонлоғоноң]] квадратының 12-гә бүлендегенә тигеҙ. Билдәле булған иң теүәл яҡынайыуҙарының иң тәүгеләре яҡынса б. э. тиклем 1900-сө йылдар менән даталана: был <sup>25</sup>/<sub>8</sub> = 3,125 ([[Боронғо Вавилон периоды|Боронғо Вавилон батшалығы]] осорондағы [[Суза]] балсыҡ табличкаһы)<ref>''E. M. Bruins''. ''[http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00018846.pdf Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse]'', 1950.</ref> һәм <sup>256</sup>/<sub>81</sub> ≈ 3,16 ([[Урта батшалыҡ]] осорондағы мысыр [[Ахмес папирусы]]); ике ҡиммәттең дә ысын ҡиммәтенән айырмаһы 1 %-тан ҙур түгел. Ведалар тексы «[[Шатапатха-брахмана]]» <math>\pi</math> һанының яҡынайыуы сифатында <sup>339</sup>/<sub>108</sub> ≈ 3,139 кәсерен бирә.

Ҡытай философы һәм ғалимы [[Чжан Хэн]], II быуатта, <math>\pi</math> һаны өсөн ике эквивалент тәҡдим итә: 92/29 ≈ 3,1724 һәм <math>\sqrt{10}</math> ≈ 3,1622. [[Джайнизм]]дың б. э. тиклем V—VI быуаттарҙа яҙылған изге китаптарынан, ул ваҡытта Һиндостанда ла <math>\pi</math> һанын <math>\sqrt{10}</math> тигеҙ итеп ҡабул итеүҙәре күренә<ref>''Стройк. Д. Я.'' Краткий очерк истории математики. М., Наука, 1984, с. 47-48.</ref>

[[Файл:Archimedes pi.svg|350px|right]]
[[Файл:Cutcircle2.svg|thumb|<math>\pi</math> һанын иҫәпләү өсөн Лю Хуэй алгоритмы]]

[[Архимед]], ихтимал, беренсе булып <math>\pi</math> һанын иҫәпләү өсөн математик ысул тәҡдим иткән. Бының өсөн ул [[әйләнәгә]] төҙөк [[күпмөйөш]]тәр ҡамаған һәм уның тирәләй ҡамаусы төҙөк [[күпмөйөш]]тәр төҙөгән. Әйләнәнең [[диаметр]]ын берәмек итеп алып, Архимед ҡамалған күпмөйөштөң [[периметр]]ын әйләнә оҙонлоғоноң түбәнге баһаһы, ә ҡамаусы күпмөйөш периметрын юғары баһаһы  итеп ҡараған. Төҙөк 96-мөйөш ҡарап, Архимед <math>3\frac{10}{71} < \pi <3\frac{1}{7}</math> баһаһын тапҡан һәм <math>\pi</math> һанын яҡынса иҫәпләү өсөн табылған сиктәрҙең юғарыһын тәҡдим иткән: — 22/7 ≈ 3,142857142857143.

Европа мәҙәниәтендә артабанғы яҡынайыу астроном [[Клавдий Птолемей]] менән бәйле (яҡынса 100 — яҡынса 170), ул ярты градус аҙымы менән хордалар таблицаһын төҙөгән, был уға <math>\pi</math> өсөн <sup>377</sup>/<sub>120</sub> яҡынлауын табырға мөмкинлек бирә, ул яҡынса Птолемей иҫәпләгән берәмек әйләнәгә ҡамалған 720-мөйөш периметрының яртыһына тигеҙ була{{sfn |Вездесущее число «пи»|2007|с=29}}. Леонардо Пизанский ([[Фибоначчи]]) «''Practica Geometriae''» китабында (яҡынса 1220 й.), күрәһең, Птолемейҙың яҡынлауын <math>\pi</math> өсөн түбәнге сик тип уйлап, үҙенең яҡынлауын килтерә{{sfn|Кымпан|1971|с=81}} — <sup>864</sup>/<sub>275</sub>. Ләкин ул Птолемейҙыҡына ҡарағанда хөртөрәк була, сөнки Фибоначчи ярты градуслы хорданың оҙонлоғон тапҡанда ҙурыраҡ яҡҡа яңылыша, һөҙөмтәлә <sup>377</sup>/<sub>120</sub> яҡынлауы <math>\pi</math> өсөн юғары сик булып сыға.

Һиндостанда [[Ариабхата]] һәм [[Бхаскара I|Бхаскара]] 3,1416 яҡынлауын ҡулланғандар. [[Варахамихира]] VI быуатта «Панча-сиддхантика»ла <math>\sqrt{10}</math> яҡынлауын ҡуллана.

Б. э. 265 йылында, [[Вэй (батшалыҡ)|Вэй]] батшалығынан математик [[Лю Хуэй]] <math>\pi</math> һанын теләһә ниндәй дәрәжәлә теүәллек менән иҫәпләү өсөн ябай һәм теүәл {{translation2|Лю Хуэй алгоритмын|итератив алгоритм||Liu Hui's π algorithm}} тәҡдим итә. Ул үҙ аллы 3072-мөйөш өсөн иҫәпләү яһай һәм <math>\pi</math> өсөн түбәндәге принцип буйынса яҡынса ҡиммәт таба:

: <math>\pi\approx A_{3072} = {3 \cdot 2^8\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}}}}}}} \approx 3,14159.</math>

Һуңғараҡ Лю Хуэй <math>\pi</math> һанын тиҙ иҫәпләү ысулын уйлап таба һәм тик 96-мөйөш ярҙамында 3,1416 яҡынса ҡиммәтен таба, ул бер бер артлы килгән күпмөйөштәрҙең майҙандарының айырмаһы знаменателе 4-кә тигеҙ булған [[геометрик прогрессия]] төҙөй тигән факттың өҫтөнлөгөн ҡулланған.

480-се йылдарҙа ҡытай математигы [[Чунчжи, Цзу|Цзу Чунчжи]] <math>\pi</math> ≈ <sup>355</sup>/<sub>113</sub> булыуын күрһәткән, һәм 12288-мөйөшкә ҡарата ҡулланылған Лю Хуэй алгоритмын файҙаланып 3,1415926 < <math>\pi</math> < 3,1415927 икәнен күрһәткән. Был ҡиммәт артабанғы 900 йыл дауамында <math>\pi</math> һанының иң теүәл яҡынлауы булып ҡалған.

=== Классик период ===
II меңйыллыҡҡа тиклем <math>\pi</math> һанының 10-дан артыҡ булмаған цифры билдәле була. <math>\pi</math> һанын өйрәнеүҙә артабанғы ҙур уңыштар [[математик анализ]] үҫеше, бигерәк тә, рәттең яраҡлы һандағы быуындарын ҡушып, <math>\pi</math> һанын теләһә ниндәй теүәллек менән иҫәпләргә мөмкинлек биреүсе [[Рәт суммаһы|рәттәр]]ҙе асыу менән бәйле.

;Мадхава — Лейбниц рәте

1400-се йылдарҙа [[Сангамаграманан Мадхава]] шундай рәттәрҙең береһен таба:

: <math>{\pi} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \cdots</math>

Был һөҙөмтә [[Лейбниц рәте|Мадхава — Лейбниц рәте]], йәки Грегори — Лейбниц рәте (ул өр яңынан [[Грегори, Джеймс|Джеймс Грегори]] һәм [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Готфрид Лейбниц]] тарафынан XVII быуатта табылғандан һуң) булараҡ билдәле. Ләкин был рәт <math>\pi</math> һанына бик яй йыйылыусан, был практикала һандың күп цифрҙарын иҫәпләүҙең ҡатмарлылығына килтерә — Архимед баһаһын яҡшыртыу өсөн яҡынса рәттең 4000 быуынын ҡушырға кәрәк. Әммә Мадхава был рәтте

: <math>\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)</math>

рәтенә үҙгәртеп, һандың яҙылышында 11 цифрын дөрөҫ табып, <math>\pi</math>-не 3,14159265359 тип иҫәпләй алған. Был рекорд 1424 йылда [[Ислам урта быуаттар математикаһы|фарсы математигы]] [[әл-Каши|Джамшид әл-Каши]] тарафынан  еңелә, ул үҙенең «Трактат об окружности» исемле хеҙмәтендә <math>\pi</math> һанының 17 цифрын килтерә, шуларҙың 16-һы дөрөҫ була.

;Лудольф һаны

Архимед заманынан һуң Европаның беренсе индергән иң ҙур өлөшө голланд математигы [[Цейлен, Людольф|Людольф ван Цейлендың]] өлөшө була, ул <math>\pi</math> һанын 20 унарлы цифры менән иҫәпләү өсөн ун йыл сарыф итә (был һөҙөмтә 1596 йылда баҫылып сыға). Архимед ысулын ҡулланып, ул икеләтеүҙе ''n''-мөйөшкә тиклем еткерә, бында ''n'' = 60·2<sup>29</sup>. Үҙенең һөҙөмтәләрен «Об окружности» китабында яҙып («Van den Circkel»), Лудольф уны ошо һүҙҙәр менән тамамлай: «Кемдең теләге бар, артабан дауам итһен әйҙә». Вафат булғандан һуң уның ҡулъяҙмаларында <math>\pi</math> һанының тағы ла 15 теүәл цифры асыҡланғаны беленә. Лудольф үҙе тапҡан тамғалар уның  ҡәбер өҫтөнә ҡуйылған ташына уйып яҙылһын тип васыят әйтә. Уның хөрмәтенә <math>\pi</math> һанын ҡайһы берҙә «лудольф һаны» йәки «Лудольф константаһы» тип атайҙар.

''Лудольф һаны'' — <math>\pi</math> һанының 32 дөрөҫ унарлы тамғаһы менән яҡынса ҡиммәте.

;π яҡынайыуы өсөн Виет формулаһы

Сама менән шул уҡ ваҡытта Европала сикһеҙ рәттәрҙе анализлау һәм билдәләү ысулдары үҫешә башлай. Шундай тәүге тәҡдим [[Виет, Франсуа|Франсуа Виет]] тарафынан 1593 йылда табылған, {{нп5|π һанының яҡынайыуы өсөн Виет формулаһы|||Viète's formula}} була:
: <math>\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots</math>.



;Валлис формулаһы

[[Валлис формулаһы]] икенсе билдәле һөҙөмтә була:

: <math>\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots</math>,

ул [[Валлис, Джон|Джон Валлис]] тарафынан 1655 йылда сығарыла.

Оҡшаш ҡабатландыҡтар:

{{кол|3}}
<math>\pi=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{3}\right )^2}</math>

<math>\pi=\frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{2}{3}\right )^2}</math>

<math>\pi=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{4}\right )^2}</math>

<math>\pi=\frac{4}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{3}{4}\right )^2}</math>

<math>\pi=6\cdot \frac{1}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{6}\right )^2}</math>

<math>\pi=\frac{6}{5}\cdot \frac{1}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{5}{6}\right )^2}</math>

<math>\pi=4\cdot\prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2+k}{k^2+k+\frac{1}{4}}</math>

<math>\pi=\frac{9}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{2}{9}}</math>

<math>\pi=\frac{16}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{3}{16}}</math>

<math>\pi=\frac{36}{5}\cdot\frac{1}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{5}{36}}</math>
{{конец кол}}

;[[e (һан)|Эйлер һаны e]] менән туғандашлыҡ бәйләнешен иҫбатлаусы ҡабатландыҡ

<math>\pi= 2\sqrt{3}\prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k-1 \right )^{\frac 12 -k} \left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}}{2k+1}\left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}</math>

==== Тождестволарға нигеҙләнгән ысулдар ====
Яңы осорҙа <math>\pi</math> һанын иҫәпләү өсөн тождестволарға нигеҙләнгән аналитик ысулдар ҡулланыла. Юғарыла һанап кителгән формулалар иҫәпләү маҡсатында бик ҡулай түгелдәр, сөнки йә яй йыйылыусан рәттәрҙе ҡулланалар, йәки ҡатмарлы квадрат тамыр алыуҙы талап итәләр.

;Мэчин формулалары

π һанын (шулай уҡ натураль логарифмдарҙы һәм башҡа функцияларҙы) табыуҙың үҙе үҫтергән рәттәр теорияһына һәм математик анализаға нигеҙләнгән беренсе нәтижәле һәм заманса ысулын, <math>\mathrm{arctg}\frac{1}{2}</math>-ҙе рәткә тарҡатып, 1676 йылда [[Ньютон, Исаак|Исаак Ньютон]] Ольденбургҡа икенсе хатында бирә<ref>{{Книга|автор=Исаак Ньютон|заглавие=Математические работы (в переводе и переработке Мордухай-Болтовского)|оригинал=|ответственный=Мордухай-Болтовской (также перевод и комментарии)|издание=|место=Москва, Ленинград|издательство=Главное изд-во технико-теоретической литературы|год=1937|страницы=|страниц=|isbn=|isbn2=}}</ref>. Был ысул нигеҙендә тағы ла нәтижәлерәк формуланы 1706 йылда Джон Мэчин (John Machin) таба

: <math>\frac{\pi}{4} = 4\,\mathrm{arctg}\frac{1}{5} - \mathrm{arctg}\frac{1}{239}</math>

Арктангенсты [[Тейлор рәте]]нә тарҡатып

: <math>\mathrm{arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots</math>,

<math>\pi</math> һанын ҙурыраҡ теүәллек менән иҫәпләргә яраҡлы тиҙ  йыйылыусан рәт алырға мөмкин.

Бындай типтағы формулалар хәҙерге ваҡытта Мэчин формулалары булараҡ билдәлеләр, бер нисә бер-бер артлы рекордтар ҡуйыу өсөн файҙаланылалар һәм компьютер дәүерендә <math>\pi</math> һанын тиҙ иҫәпләү өсөн билдәле булған ысулдарҙың иң яҡшылары булып ҡалалар. Иоганн Дазеның (en.Johann Dase) феноменаль счётчигы менән ҙур рекорд ҡуйыла, ул 1844 йылда [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] күрһәтмәһе буйынса Мэчин  формулаһын <math>\pi</math> һанының 200 цифрын иҫәпләү өсөн ҡуллана {{Нет АИ|3|4|2015}}. XIX быуат аҙағына иң яҡшы һөҙөмтә инглиз Уильям Шенкс тарафынан алына, уның 707 цифрҙы иҫәпләү өсөн 15 йылы сарыф ителә, хаталаныу арҡаһында тәүге 527 цифры ғына дөрөҫ була. Шундай хаталарҙан ҡотолоу өсөн, ундай төрҙәге хәҙерге иҫәпләүҙәр ике тапҡыр башҡарылалар. Әгәр һөҙөмтәләр тап килһә, улар юғары ихтималлыҡ менән дөрөҫ булалар. Шенкстың хатаһын 1948 йылда тәүге компьютерҙарҙың береһе асыҡлай; ул үҙе бер нисә сәғәт эсендә <math>\pi</math> һанының 808 тамғаһын иҫәпләй.

;Пи — трансцендент һан

XVIII быуатта теоретик ҡаҙаныштар <math>\pi</math> һанының асылына төшөнөүгә килтерә, быға тик һанлы иҫәпләүҙәр ярҙамында ғына өлгәшеү мөмкин булмаҫ ине. [[Ламберт, Иоганн Генрих|Иоганн Генрих Ламберт]] 1761 йылда <math>\pi</math> һанының иррационаллеген иҫбатлай, ә [[Лежандр, Адриен Мари|Адриен Мари Лежандр]] 1774 йылда <math>\pi^2</math> һанының иррационаллеген иҫбатлай. 1735 йылда, Леонард Эйлер билдәле [[Базель проблемаһы]]н —  <math>\frac{\pi^2}{6}</math> тигеҙ булып сыҡҡан

: <math>\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots</math> суммаһының теүәл ҡиммәтен табыу проблемаһын хәл иткәс, [[ябай һан]]дар һәм <math>\pi</math> араһында бәйләнеш урынлаштырыла.

Лежандр ҙа, Эйлер ҙа <math>\pi</math> [[трансцендент һан|трансцендент]] булырға мөмкин тип фаразлайҙар, был аҙаҡҡы сиктә 1882 йылда [[Линдеман, Фердинанд фон|Фердинанд фон Линдеман]] тарафынан иҫбат ителә.

;Символ «<math>\pi</math>»
{{main|Математик тамғалауҙар тарихы}}
[[Джонс, Уильям (математик)|Уильям Джонстың]] «Обозрение достижений математики» китабы (''Synopsis Palmoriorum Mathesios'', 1706 йыл) беренсе булып был константаны тамғалау өсөн грек хәрефе [[Пи (хәреф)|<math>\pi</math>]]-ны ҡулланыуға индергән тип иҫәпләнә, ләкин был тамғалау [[Леонард Эйлер]] 1737 йылда уны ҡабул иткәс (йәки бәйһеҙ рәүештә үҙе уға килгәс) дөйөм танылыу ала<ref name=ZZ10/>. Эйлер былай тип яҙа: «''Практиканы һиҙелерлек еңелләштерергә мөмкинлек биргән ярашлы кәкренең оҙонлоғон йәки яҫы фигураның майҙанын табыу өсөн күп башҡа ысулдар бар; мәҫәлән, түңәрәктә диаметр әйләнәнең оҙонлоғона 1 <math>\left(\frac{16}{5}-\frac{4}{239}\right)-\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{16}{5^3}-\frac{4}{239^3}\right)+\cdots = 3{,}14159 \cdots = \pi</math>-гә сағыштырылған кеүек сағыштырыла''».

=== Компьютер иҫәпләүҙәре эраһы ===
Цифрлы техника дәүере [[XX быуат]]та иҫәпләү рекордтарының барлыҡҡа килеү тиҙлеген арттырыуға килтерҙе. [[Нейман, Джон фон|Джон фон Нейман]] һәм башҡалар 1949 йылда [[ЭНИАК]]-ты <math>\pi</math> һанының 2037 тамғаһын иҫәпләү өсөн ҡулланалар, был 70 сәғәт ваҡытты ала. 1961 йылда [[Дэниел Шенкс]] [[IBM 7090]]-да 100000 тамғаны иҫәпләй, ә миллион билдәһен 1973 йылда үтеп кителә<ref group="K">Беҙҙең көндәрҙә ЭВМ ярҙамында <math>\pi</math> һаны триллион тамғаға тиклем аныҡлыҡ менән иҫәпләнгән, был фәнни файҙаға ҡарағанда техник файҙа, сөнки ундай теүәллектең практик файҙаһы юҡ.

Иҫәпләү теүәллеге ғәҙәттә компьютерҙың булған ресурстары менән сикләнә, — йышыраҡ ваҡыт менән, һирәгерәк — хәтер кимәле менән.</ref>. Бындай прогресс аппарат менән тиҙ тәьмин итеү арҡаһында ғына түгел, ә яңы алгоритмдар арҡаһында ла мөмкин була.

XX быуат башында һинд математигы [[Рамануджан, Сриниваса Айенгор|Сриниваса Рамануджан]] <math>\pi</math> өсөн бик күп яңы формулалар таба, уларҙың ҡайһы берҙәре үҙҙәренең элегантлығы һәм математик тәрәнлеге арҡаһында билдәле булып китәләр. Был формулаларҙың береһе — рәт:

: <math>\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}</math>.

Ир туғандар [[Ир туғандар Чудновскийҙар|Чудновскийҙар]] тарафынан 1987 йылда уға оҡшаш формула табыла:

: <math>\frac{1}{\pi} = \frac{1}{426880 \sqrt{10005}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}</math>,

ул рәттең һәр быуынына яҡынса 14 цифр бирә. Чудновскийҙар был формуланы 1980-се йылдар аҙағында <math>\pi</math> һанын иҫәпләүҙә, формула ярҙамында 1989 йылда табылған унарлы тарҡатыуҙың 1 011 196 691 цифрын да индереп, бер нисә рекорд ҡуйыу өсөн ҡулланалар.

Хәҙерге заман рекордтары ҡуйыусы [[суперкомпьютер]]ҙарҙан айырмалы рәүештә, был формула персональ компьютерҙарҙа <math>\pi</math> һанын иҫәпләүсе программаларҙа ҡулланыла.

Эҙмә-эҙлелек, һәр артабанғы быуыны менән теүәллекте ғәҙәттә билдәле бер дәүмәлгә арттырған бер ваҡытта, шундай итератив алгоритмдар бар, улар һәр аҙымда дөрөҫ цифрҙар һанын ''ҡабатлайҙар'', ләкин шундай һәр аҙымда юғары иҫәпләүҙәр сарыф итеүҙе талап итәләр.
Был тәңгәлдә 1975 йылда ҙур алға китеш була, [[Ричард Брент]] һәм Юджин Саламин бер береһенә бәйһеҙ рәүештә Брент — Саламин алгоритымын асалар, ул тик арифметиканы ҡулланып, һәр аҙымда билдәле тамғалар һанын икеләтә<ref>{{Citation | last = Brent | first = Richard | year = 1975 | title = Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation | periodical = Analytic Computational Complexity | publication-place = New York | publisher = Academic Press | editor-last = Traub | editor-first = J F | pages = 151–176 | url = http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080723170157/http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html |date=2008-07-23 }}{{ref-en}}</ref>. Алгоритм башланғыс ҡиммәттәрҙе
: <math>a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1</math>

һәм итерацияларҙы ҡуйыуҙан тора:

''a<sub>n</sub>'' һәм ''b<sub>n</sub>'' етерлек яҡын булғанға тиклем
: <math>a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}</math>
: <math>t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n</math>,

Ул саҡта <math>\pi</math> баһаһы

: <math>\pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}</math> формулаһы менән бирелә.

Был схеманы ҡулланғанда 25 итерация 45 миллион унарлы тамғаны табыу өсөн етә. Һәр аҙымда теүәллекте дүрт тапҡыр арттырыусы оҡшаш алгоритм Джонатан Боруэйн тарафынан табыла<ref>{{книга|автор=Jonathan M Borwein.|заглавие=Pi: A Source Book|издательство=Springer|год=2004|isbn=0387205713}}{{ref-en}}</ref>. Был ысулдар ярҙамында [[Канада, Ясумаса|Ясумаса Канада]] һәм уның төркөмө, 1980 йылдан башлап, <math>\pi</math> һанын иҫәпләүҙең күпселек рекордтарын ҡуялар, 1999 йылда 206 158 430 000 тамғаға тиклем. 2002 йылда Канада һәм уның төркөмө яңы рекорд ҡуя — 1 241 100 000 000 унарлы тамға.

Канаданың алдағы күпселек рекордтары Брент — Саламин алгоритымы ярҙамында ҡуйылһа ла, 2002 йылдағы иҫәпләүҙә Мэчинов тибындағы ике формула ҡулланыла, улар яйыраҡ эшләй, ләкин хәтерҙе ҡулланыуҙы киҫкен кәметәләр.

Иҫәпләү 64 быуындан торған, оператив хәтере 1 [[терабайт]] булған [[Hitachi]] суперкомпьютерында башҡарыла, ул секундына 2 триллион операция башҡарырға һәләтле була.

<!-- В en: 1996, на сайте Plouffe 1995 в других статьях 1997-->
[[1997 йыл]]да Саймон Плафф тарафынан асылған һәм ул беренсе тапҡыр баҫылып сыҡҡан мәҡәлә авторҙары буйынса аталған [[Бэйли — Боруэйн — Плафф формулаһы]] яҡын аралағы мөһим үҫеш булып тора<ref name="bbpf">{{статья|автор=David H. Bailey, Peter B. Borwein, Simon Plouffe.|заглавие=On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants|ссылка=http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf|издание=Mathematics of Computation|год=1997|выпуск=218|том=66|страницы=903—913}}{{ref-en}}</ref>.
Был формула,

: <math>\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right),</math>

ул <math>\pi</math> һанының теләһә ниндәй конкрет ун алтылы йәки икеле цифрын алдағы цифрҙарҙы иҫәпләмәйенсә табырға мөмкинлек биреүе менән иғтибарға лайыҡ<ref name="bbpf"/>. 1998 йылдан 2000 йылға тиклем [[PiHex]] [[төркөмләнгән иҫәпләүҙәр|төркөмләнгән]] проект <math>\pi</math> һанының [[квадриллион]]ынсы битын иҫәпләү өсөн ББП [[Беллар, Фабрис|Фабрис Белларҙың]] үҙгәртелгән [[Беллар формулаһы|формулаһын]] ҡуллана, ул нуль булып сыға<ref>{{cite web|author=[[Фабрис Беллар|Fabrice Bellard]].|url=http://bellard.org/pi/pi_bin/pi_bin.html|title=A new formula to compute the n<sup>th</sup> binary digit of pi|accessdate=2010-01-11|lang=en|archiveurl=https://www.webcitation.org/617AsLjCD?url=http://bellard.org/pi/pi_bin/pi_bin.html|archivedate=2011-08-21|deadlink=no}}</ref>.

2006 йылда Саймон Плафф, PSLQ ҡулланып, матур формулалар рәте таба<ref>{{cite web|author=Simon Plouffe.|url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf|title=Indentities inspired by Ramanujan’s Notebooks (part 2)|accessdate=2010-01-11|lang=en|archiveurl=https://www.webcitation.org/617AtFW4Y?url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf|archivedate=2011-08-21|deadlink=no}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110926231624/http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf |date=2011-09-26 }}</ref>. ''q'' = [[Гельфонд даимиһы|e<sup>π</sup>]] булһын, ти, ул саҡта

: <math>\frac{\pi}{24} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \left(\frac{3}{q^n-1} - \frac{4}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math>

: <math>\frac{\pi^3}{180} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \left(\frac{4}{q^n-1} - \frac{5}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math>

һәм түбәндәге күренештәге башҡалары

: <math>\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right) </math>,

бында ''q'' = [[Гельфонд даимиһы|''e''<sup>π</sup>]], ''k'' — [[таҡ һан]], һәм ''a'', ''b'', ''c'' — [[рациональ һан]]дар. Әгәр ''k'' — 4''m'' + 3 күренешендә булһа, был формула айырыуса ябай күренештә була:

: <math>p\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{2^{k-1}}{q^n-1} - \frac{2^{k-1}+1}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math>

[[Кәсер (математика)|знаменателе]] — ҡабатлашыусыларға яҡшы тарҡатып булған һан булған рациональ ''p'' өсөн, формуланың ҡәтғи иҫбатланышы әлегә юҡ.

[[2009 йыл]]дың авгусында Японияның Цукуба университеты ғалимдары 2 576 980 377 524 унарлы разрядтан торған эҙмә-эҙлелекте иҫәпләп сығаралар<ref>{{Cite web |url=http://science.compulenta.ru/451031/ |title=π һанын иҫәпләү теүәллегенең яңы рекорды ҡуйыла |accessdate=2009-08-20 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090822131356/http://science.compulenta.ru/451031/ |archivedate=2009-08-22 |deadlink=yes }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090822131356/http://science.compulenta.ru/451031/ |date=2009-08-22 }}</ref>.

[[2009 йыл]]дың [[31 декабрь|31 декабрендә]] француз программисы [[Беллар, Фабрис|Фабрис Беллар]] персональ компьютерҙа 2 699 999 990 000 унарлы разрядтан торған эҙмә-эҙлелек иҫәпләй<ref>[http://bellard.org/pi/pi2700e9/ Pi Computation Record]</ref>.

[[2011 йыл]]дың [[19 октябрь|19 октябрендә]] Александр Йи һәм Сигэру Кондо өтөрҙән һуң 10 триллион цифр теүәллегендә эҙмә-эҙлелекте иҫәпләйҙәр<ref>{{Cite web|url=http://iscience.ru/2011/10/20/opredeleno-10-trillionov-cifr-desyatichnogo-razlozheniya-dlya-%CF%80/|title=Определено 10 триллионов цифр десятичного разложения для π|deadlink=yes|accessdate=2019-10-04|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180725122041/http://iscience.ru/2011/10/20/opredeleno-10-trillionov-cifr-desyatichnogo-razlozheniya-dlya-%CF%80/|archivedate=2018-07-25}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180725122041/http://iscience.ru/2011/10/20/opredeleno-10-trillionov-cifr-desyatichnogo-razlozheniya-dlya-%CF%80/ |date=2018-07-25 }}</ref><ref name="pi-10t">[http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html Round 2… 10 Trillion Digits of Pi]</ref>.

[[2013 йыл]]дың [[28 декабрь|28 декабрендә]] АҠШ студенты Александр Йи һәм Япония тикшеренеүсеһе Сигэру Кондо (ja|近藤茂) өтөрҙән һуң 12,1 триллион цифрға тиклем аныҡлыҡ менән эҙмә-эҙлелекте иҫәпләйҙәр<ref>{{Cite web|url=http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-12t/|title=Pi - 12.1 Trillion Digits|publisher=www.numberworld.org|accessdate=2019-10-29}}</ref>.

Голландия математигы [[Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян|Брауэр]] XX быуаттың беренсе яртыһында, <math>\pi</math> һанының унарлы тарҡалмаһында <math>0123456789</math> эҙмә-эҙлелеген эҙләүҙе мәғәнәһеҙ мәсьәлә миҫалы сифатында килтерә — уның фекеренсә, бының өсөн кәрәк булған теүәллеккә бер ҡасан да өлгәшеп булмаясаҡ. XX быуат аҙағында был  эҙмә-эҙлелек табыла, ул өтөрҙән һуң 17 387 594 880-се тамғанан башлана{{sfn |Хоакин Наварро|2014|с=11.}}.

== Рациональ яҡынлашыуҙары ==
<!-- Пустые строки между пунктами этого списка добавлены чтобы дроби не налезали друг на друга-->
* <math>\frac{22}{7}</math> — [[Архимед]] (б. э. тиклем III быуат) — боронғо грек математигы, физигы һәм инженеры;
* <math>\frac{377}{120}</math> — Клавдий [[Клавдий Птолемей|Птолемей]] (б. э. тиклем II быуат) һәм [[Ариабхата]] (б. э. V быуаты) — һинд астрономы һәм математигы;
* <math>\frac{355}{113}</math> — [[Цзу Чунчжи]] (б. э. V быуаты) — ҡытай астрономы һәм математигы.

;Яҡынайыуҙарҙың теүәллеген сағыштырыу

{| class="wikitable"
|-align="center", bgcolor="#B0C4DE"
| '''Һан''' || '''[[Түңәрәкләү|Түңәрәкләнгән ҡиммәте]]''' || '''Теүәллек ([[Һан разряды|разрядтарҙың]] тап килеүенең''')
|-align="center"
| bgcolor="E6E6FA" | <font size="5"><math>\pi</math></font> || 3,14159265… ||
|-align="center"
| bgcolor="E6E6FA" | <math>\frac{22}{7}</math> || <span style="color:#0000CD">'''3,14'''</span>285714… || өтөрҙән һуң 2 разряд 
|-align="center"
| bgcolor="E6E6FA" | <math>\frac{377}{120}</math> || <span style="color:#0000CD">'''3,141'''</span>66667… || өтөрҙән һуң 3 разряд
|-align="center"
| bgcolor="E6E6FA" | <math>\frac{355}{113}</math> || <span style="color:#0000CD">'''3,141592'''</span>92… || өтөрҙән һуң 6 разряд
|}

== Хәл ителмәгән проблемалар ==
* <math>\pi</math> һәм <math>\pi^2</math> һандары өсөн теүәл [[иррационаллек самаһы]] билдәле түгел (ләкин <math>\pi</math> өсөн ул 7,6063-тән артмай икәнлеге билдәле)<ref>{{MathWorld|IrrationalityMeasure|Мера иррациональности}}</ref><ref>''Max A. Alekseyev'' [https://arxiv.org/abs/1104.5100 On convergence of the Flint Hills series], 2011.</ref>.
* Түбәндәге һандарҙың береһе өсөн дә иррационаллек самаһы билдәле түгел: <math>\pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac{\pi}{e}, \pi ^ e, \pi ^{\sqrt 2}, \ln \pi, \pi ^ \pi, e^{\pi^2}.</math> Уларҙың береһе өсөн дә хатта, ул [[Рациональ һан|рациональ]] һан, [[Алгебраик һан|алгебраик]] [[Иррациональ һан|иррациональ]] йәки [[Трансцендент һан|трансцендент]] һан буламы икәнлеге лә билдәле түгел. Ошонан сығып, <math>\pi</math> һәм <math>e</math> һандары [[Алгебраик бәйләнешһеҙлек|алгебраик бәйләнешһеҙҙәрме]] икәне лә билдәһеҙ<ref name=autogenerated1>{{MathWorld|IrrationalNumber|Иррациональное число}}</ref><ref>{{MathWorld|Pi|Pi}}</ref><ref>[http://www.math.ou.edu/~jalbert/courses/openprob2.pdf Some unsolved problems in number theory]</ref><ref>{{MathWorld|TranscendentalNumber|Трансцендентное число}}</ref><ref>[http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/AWSLecture5.pdf An introduction to irrationality and transcendence methods] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130517183134/http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/AWSLecture5.pdf |date=2013-05-17 }}</ref>.
* <math>n</math>-дың ниндәйҙер ыңғай бөтөн ҡиммәтендә <math>{^n\pi}</math> [[бөтөн һан]] буламы икәне билдәле түгел (см. [[тетрация]]).
* Ошоға тиклем <math>\pi</math> һанының [[Нормаль һан|нормаллеге]] тураһында бер нәмә лә билдәле түгел; хатта 0—9 цифрҙарының ҡайһылары <math>\pi</math> һанының унарлы яҙылышында сикһеҙ һанда осрай икәне лә билдәһеҙ. <math>\pi</math> һанының 200 млрд унарлы тамғаһын компьютер тикшереүе күрһәтеүенсә бөтә 10 цифр был яҙылышта берҙәй йыш ҡабатлана{{sfn |Вездесущее число «пи»|2007|с=67—69}}:
{| class="wikitable"
|-
! Цифр !! Нисә тапҡыр осрай
|-
! 0 !! 20 000 030 841
|-
! 1 !! 19 999 914 711
|-
! 2 !! 20 000 013 697
|-
! 3 !! 20 000 069 393
|-
! 4 !! 19 999 921 691
|-
! 5 !! 19 999 917 053
|-
! 6 !! 19 999 881 515
|-
! 7 !! 19 999 967 594
|-
! 8 !! 20 000 291 044
|-
! 9 !! 19 999 869 180
|}

Ләкин ҡәтғи иҫбатланышы юҡ.
* <math>\frac{1}{\pi}</math> [[периодтар ҡулсаһы]]на инәме икәне билдәһеҙ.

== Бюффон энәһе ысулы ==
{{main|Задача Бюффона о бросании иглы}}
Бер тигеҙ алыҫлыҡта ятҡан тура һыҙыҡтар менән һыҙыҡлатылған яҫылыҡҡа ирекле рәүештә оҙонлоғо күрше тура һыҙыҡтар араһындағы алыҫлыҡҡа тигеҙ булған энәне шулай итеп ташлайҙар, һәр ташлағанда энә йә тура һыҙыҡтарҙы киҫмәй, йәки берәүһен генә киҫә. Энәнең ниндәй ҙә булһа һыҙыҡ менән киҫешеүҙәре һанының дөйөм ташлауҙар һанына сағыштырмаһы, ташлауҙар һаны сикһеҙлеккә тиклем артҡанда, <math>\frac2\pi</math>  һанына яҡыная икәнен иҫбат итеп була<ref>[http://kvant.mirror1.mccme.ru/1983/05/obman_ili_zabluzhdenie.htm Обман или заблуждение?] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120130192306/http://kvant.mirror1.mccme.ru/1983/05/obman_ili_zabluzhdenie.htm |date=2012-01-30 }} Квант № 5 1983 год</ref>. Был энә ысулы [[ихтималлыҡ теорияһы]]на нигеҙләнә һәм [[Монте-Карло ысулы]]ның нигеҙендә ята<ref>''Г. А. Гальперин.'' [http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1161679&uri=node2.html Биллиардная динамическая система для числа пи] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140613060835/http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1161679&uri=node2.html |date=2014-06-13 }}.</ref>.

== [[Мнемоника|Мнемоник]] ҡағиҙәләр ==
π һанының 8—11 тамғаһын хәтерләү өсөн шиғырҙар:
{| width="100%"
|-valign="top"
|
{{начало цитаты}}
<poem>
Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
</poem>
{{конец цитаты}}
|
{{начало цитаты}}
<poem>
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.

Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять».
</poem>
{{конец цитаты}}
|}
Хәтерҙә ҡалдырыуға шиғыр үлсәмен һаҡлау ярҙам итергә мөмкин:
{{начало цитаты}}
<poem>
Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять
Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть
Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два
Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один
</poem>
{{конец цитаты}}
π һанының беренсе цифрҙары һүҙҙәрҙәге хәрефтәр һаны рәүешендә шифрланған шиғырҙар бар:
{| width="100%"
|-valign="top"
|
{{начало цитаты}}
<poem>
Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.
</poem>
{{конец цитаты}}
{{начало цитаты}}
<poem>
Учи и знай в числе известном
За цифрой цифру, как удачу примечать.
</poem>
{{конец цитаты}}
|
{{начало цитаты}}
<poem>
Раз у Коли и Арины
Распороли мы перины.
Белый пух летал, кружился,
Куражился, замирал,
Ублажился,
Нам же дал
Головную боль старух.
Ух, опасен пуха дух!
</poem>
{{конец цитаты|источник=Георгий Александров}}
|}

Бындай шиғырҙар [[1918 йылғы урыҫ орфографияһы реформаһы|реформаға тиклемге орфографияла]] ла булғандар.
Мәҫәлән, артабанғы шиғырҙы Түбәнге Новгород гимназияһы уҡытыусыһы Шенрок яҙған<ref>[[Элементарная геометрия (Киселёв)|«Элементарная геометрия» Киселёва]][[s:Индекс:А. П. Киселёв. Элементарная геометрия (1914).djvu|стр. 225]]</ref>:
{{начало цитаты}}<poem>
Кто и шутя и скоро пожелаетъ
Пи узнать, число ужъ знаетъ.</poem>{{конец цитаты}}

== Өҫтәлмә факттар ==
{{trivia}}
* 21-йәшлек һинд студенты Раджвир Мина (Rajveer Meena) <math>\pi</math> һанының өтөрҙән һуңғы тамғаларын хәтерҙә ҡалдырыу буйынса донъя рекорды ҡуя, ул 2015 йылдың мартында 9 сәғәт 27 минут эсендә өтөрҙән һуң 70 000 тамғаны хәтергә  төшөрә.<ref>[http://www.ndtv.com/india-news/21-year-old-memorises-70-000-pi-digits-sets-guinness-record-1226747 21-Year-Old Memorises 70,000 Pi Digits, Sets Guinness Record]</ref> Быға тиклем, 10 йыл дауамында тиерлек, рекорд ҡытайлы Лю Чаола һаҡлана, ул 2006 йылда 24 сәғәт 4 минут эсендә өтөрҙән һуң 67 890 тамғаны хатаһыҙ әйтеп бирә<ref>[http://www.newsgd.com/culture/peopleandlife/200611280032.htm Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi]</ref><ref>[http://www.pi-world-ranking-list.com/lists/details/luchaointerview.html Interview with Mr. Chao Lu]</ref>. Шул уҡ 2006 йылда Япониянан Акира Харагути <math>\pi</math> һанын өтөрҙән һуң 100-тамғаға тиклем иҫтә ҡалдырҙым тип белдерә<ref>[https://archive.is/20120714174124/search.japantimes.co.jp/print/fl20061217x1.html How can anyone remember 100,000 numbers?] — The Japan Times, 17.12.2006.</ref>, ләкин быны рәсми рәүештә тикшереү килеп сыҡмай<ref>[http://www.pi-world-ranking-list.com/news/index.html Pi World Ranking List]</ref>. Рәсәйҙә хәтерҙә ҡалдырыу буйынса Денис Бабушкин рекорд ҡуя (13 202 тамға)<ref>[https://m.kp.ru/daily/27047/4113249/?]</ref>.
* 1897 йылда [[Индиана]] штатында (АҠШ) [[пи һаны тураһында закон проекты|пи һаны тураһында билль]] баҫылып сыға, ул закон менән уның ҡиммәтен 3,2-гә тигеҙ тип билдәләй<ref>[http://www.agecon.purdue.edu/crd/Localgov/Second%20Level%20pages/indiana_pi_bill.htm The Indiana Pi Bill, 1897]{{ref-en}}</ref>. Был билль, был законды ҡараған ваҡытта штаттың закон сығарыу йыйылышында ҡатнашҡан Пердью университеты профессорының ваҡытында ҡыҫылыуы арҡаһында, закон булып китмәй.
* 1960-сы йылдарҙа сығарылған  «Кит аулаусы белешмәһендә» «Гренландия киттары өсөн Пи өскә тигеҙ» тип яҙылған<ref>В. И. Арнольд любит приводить этот факт, см. например книгу [http://www.mccme.ru/edu/viarn/whatis.ps Что такое математика] ([[PostScript|ps]]), стр. 9.</ref>.
* Пи һанының  бирелгән һандағы тамғаларын (32 миллионға тиклем) иҫәпләүгә сарыф ителгән ваҡытты билдәләүсе «супер Пи» программаһы компьютерҙарҙың етештереүсәнлеген (нәтижәлелек) асыҡлау өсөн ҡулланылырға мөмкин.
* 2019 йылдың 14 мартында, пи һанының рәсми булмаған байрамын билдәләгәндә, [[Google (компания)|Google]] компанияһы был һанды өтөрҙән һуң 31,4 триллион тамға менән күрһәтә. Һанды бындай теүәллек менән Япониянан Google хеҙмәткәре Эмма Харука-Ивао иҫәпләй алған.<ref>{{Cite web|url=https://www.mk.ru/science/2019/03/14/znachenie-chisla-pi-vychislili-do-314-trln-znakov-posle-zapyatoy.html|title=Значение числа «пи» вычислили до 31,4 трлн знаков после запятой|publisher=www.mk.ru|lang=ru|accessdate=2019-03-14}}</ref>

== Мәҙәниәттә ==
* Пи һаны хөрмәтенә аталған [[Пи (фильм)|нәфис фильм]] бар.
* Йыл һайын [[14 март]]та рәсми булмаған байрам «[[пи һаны көнө]]» билдәләнә, ул <math>\pi</math> һанының яҡынса ҡиммәтенә ярашлы, даталарҙың АҠШ форматында (ай/көн) 3,14 тип яҙылған көн. Байрамды [[1987 йыл]]да [[Сан-Франциско]] физигы [[Ларри Шоу]] уйлап сығарған тип иҫәпләнә<ref>[http://latimesblogs.latimes.com/thehomeroom/2008/03/a-slice-of-pi-p.html Статья в Los Angeles Times «Желаете кусочек <math>\pi</math>»? (название обыгрывает сходство в написании числа <math>\pi</math> и слова pie (англ. пирог))] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090219220744/http://latimesblogs.latimes.com/thehomeroom/2008/03/a-slice-of-pi-p.html |date=2009-02-19 }} {{недоступная ссылка|число=22|месяц=05|год=2013|url=http://latimesblogs.latimes.com/thehomeroom/2008/03/a-slice-of-pi-p.html|id=20100516}}{{ref-en}}.</ref>, ул 14 мартта теүәл 01:59 сәғәттә дата һәм ваҡыт Пи = 3,14159 һанының тәүге разрядтары менән тап килеүенә иғтибар итә.
* [[22 июль]] <math>\pi</math> һаны менән бәйле тағы ла бер дата булып тора, ул «Яҡынса Пи һаны көнө» тип атала ({{lang-en|Pi Approximation Day}}), сөнки Европа даталар форматында был көн 22/7 тип яҙыла, ә был кәсерҙең ҡиммәте <math>\pi</math> һанының яҡынса ҡиммәте булып тора.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Точка Фейнмана]]
* [[Число τ]]

== Иҫкәрмәләр ==
; Комментарии
{{Примечания|group=K}}
; Примечания
{{Иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==
* {{книга|автор=Жуков А. В.|ссылка=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.18.pdf
  |заглавие=О числе π|место=М.|издательство=МЦМНО|год=2002|страниц=32|isbn=5-94057-030-5}}
* {{книга|автор=Жуков А. В.|заглавие=Вездесущее число «пи»|издание=2-е изд |ref=Вездесущее число «пи»
  |место=М.|издательство=Издательство ЛКИ|год=2007|страниц=216|isbn=978-5-382-00174-6}}
* {{Книга|автор=Кымпан, Флорика. |заглавие=История числа пи |ref=Кымпан
  |ответственный=|издание=|место=М.|издательство=Наука|год=1971|страницы=|страниц=217|isbn=}}
* {{книга |автор=Наварро, Хоакин. |серия=Мир математики: в 45 томах, том 7 |ref=Хоакин Наварро
  |заглавие=Секреты числа <math>\pi.</math> Почему неразрешима задача о квадратуре круга
  |место=М. |издательство=Де Агостини |год=2014 |страниц=143 |isbn=978-5-9774-0629-1 }}
* {{книга|автор=[[Перельман, Яков Исидорович|Перельман Я. И.]]|заглавие=Квадратура круга
  |место=Л.|издательство=Дом занимательной науки|год=1941}}. Переиздание: ЁЁ Медиа, ISBN 978-5-458-62773-3.
* {{книга|автор=Шумихин Сергей, Шумихина Александра. |заглавие=Число Пи. История длиною в 4000 лет
  |место=М.|издательство=Эксмо |год=2011 |страниц=192 |isbn=978-5-699-51331-4 |серия=Тайны мироздания}}
* {{Книга|автор=David H. Bailey, Jonathan M. Borwein
  |заглавие=Pi: The Next Generation A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation
  |ответственный=|место=|издательство=Springer|год=2016|страницы=|страниц=507|isbn=978-3-319-32375-6}}

== Һылтанмалар ==
* {{MathWorld |urlname=PiFormulas |title=Pi Formulas}}
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Representations+of+Pi Различные представления числа Пи] на [[Wolfram Alpha]]
* {{OEIS|A000796}}
* [http://pi2e.ch/ 22,4 трлн знаков числа пи] (мировой рекорд)

{{внешние ссылки}}
{{Числа с собственными именами}}
{{Иррациональные числа}}

[[Категория:Оҡшашлыҡ критерийҙары]]
[[Категория:Пи (һан)| ]]
[[Категория:Ыңғай һандар]]
[[Категория:Һандар]]