Сикһеҙлек битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{Ук}}
[[Рәсем: Infinite.svg|right|thumb|150px|Сикһеҙлек тамғаһы]]

'''Сикһеҙлек''' — сиктәрен билдәләү йәки һан миҡдарын күрһәтеү мөмкин булмаған, сикһеҙ, иге-сиге булмаған, бөткөһөҙ предметтарҙы һәм күренештәрҙе ҡылыҡһырлау өсөн ҡулланылған фекерләү категорияһы{{Sfn|НФЭ|2010}}. Сикле, иҫәпләнә торған, сиге булған тигәнгә ҡапма-ҡаршы ҡулланыла. [[Математика]]ла{{Переход|#математикала}}, [[логика]]ла{{Переход|#логикала}} һәм [[философия]]ла{{Переход|#философияла}} даими тикшерелә, шулай уҡ [[психология]]ла, [[теология]]ла, [[физика]]ла{{Переход|#физикала}} шуға ярашлы рәүештә сикһеҙлекте аңлау, статусы һәм тәбиғәте тураһында мәсьәләләр өйрәнелә.

Тарихи сикһеҙлектең беренсе проблемалары — арауыҡ һәм ваҡыттың сиклелек мәсьәләләре, донъяла әйберҙәр һаны, ҡатмарлыраҡ проблемалар — [[Континуум (күмәклектәр теорияһы)|континуумды]] сикһеҙ бүлеү мөмкинлеге{{Переход|#Континуум}}, сикһеҙ объекттар менән эш итеү мөмкинлеге (''актуаль сикһеҙлек'' проблемаһы {{Переход|#Потенциаль һәм актуаль сикһеҙлек}}), сикһеҙ бәләкәй дәүмәлдәрҙең — инфинитезималдәрҙең{{Переход|#Инфинитезималь}} тәбиғәте һәм үҙҙәрен тотошо, төрлө төрҙәге сикһеҙлектәрҙең булыуы һәм улар араһындағы нисбәт{{Sfn|НФЭ|2010}}. Математик [[күмәклектәр теорияһы]]нда сикһеҙлекте тәрәнерәк тикшеренә башлайҙар {{Переход|#Теория множеств}}, унда бер нисә сикһеҙ объекттарҙың төрлө төрҙәрен үлсәү системалары төҙөлә, ләкин өҫтәлмә яһалма сикләүҙәрһеҙ бындай төҙөүҙәр [[Күмәклектәр теорияһы парадокстары|күп һандағы парадокстар]]{{Переход|#Логицизм и парадоксы теории множеств}} тыуҙыра, уларҙы еңеп сығыу юлдары, теоретик-күмәклекле төҙөүҙәрҙең, уларҙың нәтижәләренең һәм альтернативаларының статусы хәҙерге заман философтарының тикшеренеүҙәренең төп йүнәлештәре булып тора {{Переход|#Современная философия}}.

[[Файл:David Gerstein - Infinity Rally.jpg|мини|{{не переведено 2|Герштейн, Дуду|Давид (Дуду) Герштейн|he|דוד גרשטיין}}. Сикһеҙ ралли]]

== Төп төшөнсәләр ==

=== Потенциаль һәм актуаль сикһеҙлек ===<!-- используется для перенаправлений [[Актуальная бесконечность]], [[потенциальная бесконечность]]-->
Сикһеҙлек ниндәйҙер процестың сикләнмәгәнлеге итеп ҡаралырға мөмкин, мәҫәлән, [[Евклидтың Башланғыстары#Беренсе китап|Евклидтың икенсе постулатында]] теләһә ниндәй тура һыҙыҡты сикһеҙ һәм өҙлөкһөҙ дауам итеү мөмкинлеге раҫланғанда, процесты өҙлөкһөҙ дауам итергә мөмкин булыуы күҙ уңында тотола, ләкин ундай сикһеҙ тура һыҙыҡ кеүек үҙ аллы объекттың булыуы унан килеп сыҡмай. Шундай төрҙәге процестарҙы һәм уларҙы тасуирлаусы объекттар йыйылмаһын, '''потенциаль сикһеҙлек''' тип ҡылыҡһырлайҙар ([[Схоластика]]ла «''синкатегорематик сикһеҙлек''» термины ҡулланыла), сикһеҙ сикһеҙ предметтарҙы һәм күренештәрҙе күҙ уңында тотмай, сикһеҙ процестың һәр фазаһында тик сикле субъекттар ғына ҡарала, йәғни ул тик сиклене өлөшләтә генә инҡар итеү булып тора{{Sfn|НФЭ|2010}}.

Альтернативаһы булып '''актуаль сикһеҙлек''' (схоластикала — «''категорематик сикһеҙлек''») төшөнсәһе тора, ул сикле иҫәпләп булмаған объекттарҙы бирелгән, реаль булған, әммә бүленмәҫ һәм бер бөтөн, уларға таянып эш итергә мөмкин тип иҫәпләүҙе аңлата.{{Sfn|НФЭ|2010}}. Был юҫыҡта сикһеҙлек актуаль — сиклене туранан-тура һәм тулыһынса инҡар итеү булараҡ — мистиктар тарафынан төрлө дини категорияларҙы ҡылыҡһырлау өсөн ҡулланыла, хәҙерге заман математиктары актуаль сикһеҙ күмәклектәр{{Переход|#Күмәклектәр теорияһы}} һәм актуаль сикһеҙ үлсәмле арауыҡтар{{Переход|#Сикһеҙ үлсәмле арауыҡтар}} менән эш итәләр. Фәлсәфәлә, теологияла, логикала, математикала, тәбиғи фәндә фактик сикһеҙлектең рөхсәт ителгәнлеге һәм йөкмәткеһе тураһындағы фекерҙәр мәсьәләне ҡараған бөтә ваҡыт дауамында һиҙелерлек үҙгәрә үҙгәрә.

=== Сифат һәм һан яғынан сикһеҙлек ===
Сифат яғынан сикһеҙлек — объекттар һәм күренештәр бәйләнешенең дөйөм, бөтмәҫ, универсаль тәбиғәтен билдәләүсе категория<ref name="БСЭ">{{БСЭ3 | автор= И. С. Алексеев| Бесконечность в философии|3}}</ref>, [[Абсолют (философия)|Абсолют]], [[Космос (философия)|Космос]], [[Алла]], [[Плотин#Единое, Ум, Мировая душа|Аҡыл]] һәм башҡа категориялар төрлө фәлсәфәүи мәктәптәрҙә төрлө ваҡыттарҙа сифат яғынан сикһеҙлек тип ҡаралалар.

Һан яғынан сикһеҙлек сикле дәүмәлдәр менән үлсәү мөмкин булмаған процестарҙы һәм объекттарҙы ҡылыҡһырлай. Математиктар, мәҫәлән, сикһеҙ рәттәрҙең үҙсәнлектәрен, сикһеҙ үлсәмле арауыҡтарҙы, сикһеҙ һандағы элементтары булған күмәклектәрҙе өйрәнгәндә һан яғынан сикһеҙлек төшөнсәһе менән эш итәләр; логикала һәм философияла һан яғынан сикһеҙлек төшөнсәһе менән эш итеү мөмкинлектәре һәм сикләүҙәр өйрәнелә.

=== Континуум ===
[[Континуум (философия)|Континуум]] ({{lang-la|continuum}}) — объекттарҙың компонент өлөштәргә сикһеҙ бүленеү мөмкинлеге һәм был процестың потенциаль сикһеҙлеге мәғәнәһендә өҙлөкһөҙлөк, бөтөнлөк идеяһына ҡараған сикһеҙлек формаһы. Континуаллек [[Дискретлыҡ|дискретлыҡҡа]], өҙөклөккә, бүленмәҫ (атомар) компоненттарының булыуына ҡапма-ҡаршы ҡуйыла. Һанлы күсәрҙең киҫектәре ([[Континуум (күмәклектәр теорияһы)|континуум күмәклектәр теорияһында]]), ниндәйҙер мәғәнәлә һанлы күсәрҙең киҫектәре менән оҡшаш, сикләнгән һәм [[Сепарабелле арауыҡ|айырып алынмалы]] арауыҡтарҙың билдәле бер төрө ([[Континуум (топология)|топологияла континуум]]) континуумды кәүҙәләндерә. Континуумдың сикһеҙ бүленеүсәнлек үҙсәнлектәрен өйрәнеү нигеҙендә математикала [[Өҙлөкһөҙлөк (математика)|өҙлөкһөҙлөк]] төшөнсәһе индерелә. Континуумдың [[онтология|онтологик]] тәбиғәте, [[тәбиғәт фәне]]ндә континуумдың статус тураһында мәсьәләләр [[антиклыҡ]] замандарынан башлап философтарҙың бик күп хеҙмәттәрендә сағылыш таба<ref>{{книга
|автор = Катасонов В. Н.
|часть = Непрерывность и прерывистость
|заглавие = Новая философская энциклопедия
|ссылка часть = http://iph.ras.ru/elib/2059.html
|издание = 2-е изд., испр. и дополн.
|место = М.
|издательство = Мысль
|год = 2010
|том = 2
|страницы =
|страниц = 2816
|тираж = 5000
|isbn = 978-5-244-01115-9
}}</ref>.

=== Инфинитезималь ===
{{Main|Бесконечно малое}}
Инфинитезималдәр — дәүмәлдәренең эҙмә-эҙлекле кәмеүе менән ҡылыҡһырланған потенциаль сикһеҙ процестарҙа, атап әйткәндә, континуумды компонент өлөштәргә бүлгәндә, кәмеүсе һанлы эҙмә-эҙлелектәрҙә, ҡайһы берҙә Ғаләмдең йә аңдың атом төҙөлөшө тураһында тәғлимәттә ҡатнашҡан сикһеҙ бәләкәй дәүмәлдәр. [[Исаак Ньютон]] һәм [[Готфрид Лейбниц]] тарафынан сикһеҙ бәләкәйҙәр иҫәпләмәһендә {{Переход|#Сикһеҙ бәләкәйҙәр иҫәпләмәһе}} булдырылған инфинитезималдәрҙең математик тасуирламаһы [[математик анализ]]дың нигеҙе булып тора{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|c=10—13}}.

== Математикала ==

=== Һандар теорияһы ===
Сикһеҙлек тураһындағы иртә фекерҙәрҙең төп сығанаҡтарының береһе булып [[натураль һандар]] һәм [[Натураль рәт|натураль рәттең]] потенциаль сикһеҙлеге тора. Сикһеҙлек тураһында һандар теорияһында күп булмаған һөҙөмтәләрҙең береһе тип [[Евклид]]тың "[[Евклид башланғыстары|Башланғыстар"ында]] [[ябай һан]]дар күмәклегенең сикһеҙлеген [[киреһенән сығып иҫбатлау]] иҫәпләнә<ref>Книга IX, утверждение 20</ref>: әгәр ябай һандар күмәклеге сикле тип уйлағанда, {{num1|1|берәмек}} һәм был күмәклектәге бөтә ябай һандарҙың ҡабатландығы суммаһына тигеҙ булған һан был һандарҙың береһенә лә бүленмәй, ләкин ул саҡта был һан йә үҙе ябай һан булып тора, йәки баштағы күмәклеккә инмәгән ниндәйҙер ябай һанға бүленә; ләкин быларҙың икеһе лә баштағы шарттарға ҡаршы килә. Сикһеҙлек тураһында теоретик-һанлы фекер йөрөтөү [[Галилей парадоксы]]н тыуҙыра: һәр һанға уның [[Квадрат (һан)|квадраты]] ярашлы ҡуйылырға мөмкин, йәғни, квадраттар бөтә һандарҙан кәм түгел, шуның менән бергә һәр һандан квадрат тамыр алып булмай, йәғни, квадраттар — бөтә һандар күмәклегенең бер өлөшө генә{{Sfn|Бурбаки|1963|с=39}}.

Һандар теорияһында актуаль сикһеҙлектең ниндәй ҙә булһа абстракцияһын ҡулланыу талап ителмәй, шулай булыуға ҡарамаҫтан, уның күп мәсьәләләре сикһеҙлек шарты формулировкаһы менән бәйле, мәҫәлән, {{2019}} йылға ҡарата, бирелгән һан модулдәре буйынса [[Алынма тамыр (һандар теорияһы)|алынма тамыр]] булып торған ябай һандар күмәклегенең сикһеҙлеге ([[Артин гипотезаһы]]), [[ябай игеҙәк-һандар]] күмәклегенең сикһеҙлеге, һәр йоп һан өсөн айырмалары был һанға тигеҙ булған күрше ябай һандар парҙары күмәклегенең сикһеҙлеге ([[Полиньяк гипотезаһы]]), [[камил һандар]] күмәклегенең сикһеҙлеге тураһында мәсьәләләр [[Асыҡ математик проблемалар|асыҡ проблемалар]] булып торалар.

=== Сикһеҙ рәттәр ===
[[Файл:Archimedes Parabola.png|thumb|Архимед параболаһы]]
Сикһеҙ [[Һанлы рәт|рәтте]] ҡулланыуҙың беренсе дәлиле [[Архимед]]тың "Парабола квадратураһы"нда күренә, унда [[тура һыҙыҡ]] һәм [[парабола]] араһындығы сегменттың һәм уның менән нигеҙе шул уҡ һәм бейеклеге тигеҙ булған [[өсмөйөш]]төң майҙандарының сағыштырмаһы 4:3 тигән раҫлауҙы иҫбатлау өсөн ул [[Рәт суммаһы|сикһеҙ рәттең суммаһын иҫәпләп сығара]]:
: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^n} = 1 + \frac{1}{4^1} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \cdots = {4 \over 3} </math>,
һәм аҙаҡ һөҙөмтәне [[киреһенән сығып иҫбатлау]] ысулы менән киренән тикшерә<ref name="Паплаускас-1">{{статья
 |автор         = Паплаускас А. Б.
 |заглавие      = Доньютоновский период развития бесконечных рядов. I
 |ссылка        = 
 |язык          = ru
 |автор издания = Юшкевич А. П. (отв. редактор)
 |издание       = [[Историко-математические исследования]]
 |тип           = 
 |место         = М.
 |издательство  = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год           = 1973
 |том           = XVIII
 |страницы      = 104—131
 |тираж         = 1900
}}</ref>.

1340-сы йылдарҙа [[Суайнсхед, Ричард|Суайнсхед]] беренсе тапҡыр ябай кәмей барыусы [[геометрик прогрессия]] булмаған сикһеҙ рәттең суммаһын таба:

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \frac{4}{2^4} +\cdots = 2</math>.

Шулай уҡ XIV быуатта [[Орем, Николай|Орем]] сикһеҙ рәттәр менән эшләй, асыҡ геометрик иҫбатлауҙар ҡулланып, ул ярайһы уҡ һирәк һанлы рәттәрҙең суммаһын таб, сикһеҙ геометрик прогрессия суммаһының формулаһын (иҫбатламайынса) таба һәм [[Гармоник рәт|гармоник рәттең]] таралыусанлығын [[Гармоник рәт#Орем иҫбатлауы|иҫбатлай]]<ref name="Паплаускас-1"/>.

XVI быуатта, Оремдың һөҙөмтәләрен ҡулланып, {{нп5|Томаш, Алваруш|Томаш|de|Alvarus Thomaz}} ҡатмарлы закондар менән төҙөлгән ҡайһы-бер сикһеҙ прогрессияларҙың суммаһын таба<ref name="Паплаускас-1"/>. Һиндостанда XV быуатта [[Тригонометрик функциялар|тригонометрик функцияларҙың]] [[Тейлор рәте|сикһеҙ дәрәжәле рәттәргә]] тарҡалмаһы табыла<ref name="Паплаускас-1"/>, [[Сангамаграманан Мадхава]] иң күп өлөш индерә<ref name="dani">{{статья| заглавие = Ancient Indian Mathematics – A Conspectus | автор = Dani S. G. |издание = Resonance |том = 17 | номер =3 |год =2012 |страницы=236—246}}</ref>.

[[Менголи, Пьетро|Менголи]] [[1650 йыл]]да баҫылып сыҡҡан трактатында рәттәрҙең күп кенә мөһим үҙсәнлектәрен асыҡлай, рәт ҡалдығы төшөнсәһе индерә, шулай итеп аңғармаҫтан рәттәрҙе бөтөн объекттар итеп ҡарай, шулай уҡ дөйөмләштерелгән гармоник рәттең таралыусанлығын иҫбатлай<ref name="Паплаускас-2">{{статья
 |автор         = Паплаускас А. Б.
 |заглавие      = Доньютоновский период развития бесконечных рядов. II. Пьетро Менголи
 |ссылка        =
 |язык          = ru
 |автор издания = Юшкевич А. П. (отв. редактор)
 |издание       = Историко-математические исследования
 |тип           =
 |место         = М.
 |издательство  = Наука
 |год           = 1974
 |том           = XIX
 |страницы      = 143—157
 |тираж         = 1900
}}</ref>. [[Меркатор, Николас|Меркатор]] [[1668 йыл]]да [[логарифм]]ик функцияның [[дәрәжәле рәт]]кә тарҡалмаһын<ref name="Паплаускас-3">{{статья
 |автор         = Паплаускас А. Б.
 |заглавие      = Доньютоновский период развития бесконечных рядов. III
 |ссылка        =
 |язык          = ru
 |автор издания = Юшкевич А. П. (отв. редактор)
 |издание       = Историко-математические исследования
 |тип           =
 |место         = М.
 |издательство  = Наука
 |год           = 1975
 |том           = XX
 |страницы      = 257—281
 |тираж         = 2100
}}</ref>, ә [[1667 йыл]]да [[Грегори, Джеймс|Грегори]] — [[Тригонометрик функциялар|тригонометрик функцияларҙың]] тарҡалмаһын аса, һәм, аҙаҡ килеп, [[Тейлор, Брук|Тейлор]], Меркаторҙың, Грегориҙың, шулай уҡ [[Ньютон, Исаак|Ньютондың]] һөҙөмтәләрен дөйөмләштереп, [[1715 йыл]]да теләһә ниндәй [[аналитик функция]]ны бирелгән нөктәлә сикһеҙ рәткә тарҡатырға мөмкин булыуын күрһәтә, шуның менән функцияларҙың киң класының ҡиммәттәрен сикһеҙ сумма итеп күрһәтеү мөмкинлеген асыҡлай.

=== Сикһеҙ бәләкәйҙәр иҫәпләмәһе ===
Антиклыҡ осоронан билдәле булған [[файҙаланып бөтөү ысулы]], һәм [[Кавальери, Бонавентура|Кавальери]] тарафынан 1635 йылда формулировкаланған [[бүленмәүселәр ысулы]] ниндәйҙер кимәлдә сикһеҙ бәләкәй дәүмәлдәр мәғлүмәтен ҡулланһалар ҙа, тәү башлап [[Валлис, Джон|Валлис]], [[Барроу, Исаак|Барроу]] һәм [[Грегори, Джеймс|Грегори]] XVII быуат уртаһында сикһеҙ бәләкәйҙәр менән ғәмәлдәрҙе алгебралаштырырға тырышып ҡарайҙар, асыҡтан-асыҡ инфинитезималдарҙы 1680-се йылдарҙа бер үк ваҡытта Ньютон үҙенең "флюксий ысулы"нда (сикһеҙ бәләкәй [[Функцияның үҫеше|үҫештәр]]) һәм Лейбниц ([[Дифференциал (математика)|дифференциалды]] билдәләүсе) [[математик абстракция]]лайҙар{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|c=10—13}}.

Сикһеҙ бәләкәйҙәрҙең ҡәтғи билдәләмәһен [[Сикләнмә (математика)|сикләнмә]], [[Абсолют йыйылыусанлыҡ|йыйылыусанлыҡ]] һәм [[өҙлөкһөҙлөк (математика)|өҙлөкһөҙлөк]] төшөнсәләрен ҡулланып XIX быуатта [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] һәм [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрасс]] бирә, был билдәләмәләрҙә {{нп5|(ε, δ)|<math>(\varepsilon, \delta)</math>-формулировка|en|(ε, δ)-definition of limit}} иң традицион булып китә (мәҫәлән, әгәр теләһә ниндәй <math>\varepsilon>0</math> өсөн, <math>x</math>-тың <math>0 < \left| x - x_0 \right| < \delta</math> шартын ҡәнәғәтләндергән теләһә ниндәй ҡиммәтендә <math>\left| f \left( x \right) - \alpha \right| < \varepsilon</math> үтәлгән <math>\delta > 0 </math> табылһа, Коши буйынса <math>\alpha</math> <math>f</math> функцияһының <math>x_0</math> нөктәһендә сикләнмәһе тип иҫәпләнә). Сикһеҙ бәләкәйҙәрҙһең һуңыраҡ бирелгән билдәләмәләрендә [[нөктәнең тирә-яғы|тирә-яҡ]] — асыҡ аҫкүмәклек <math>\mathbb R</math> ([[Гейне, Эдуард|Гейне]]) техникаһы ҡулланыла, улар тәбиғи рәүештә [[дөйөм топология]]ла ([[асыҡ күмәклек]] төшөнсәһен абстракциялаусы) дөйөмләштерелә.

[[Робинсон, Абрахам|Робинсондың]] [[Стандарт булмаған анализ]]ында (1960-сы йылдар) сикһеҙ бәләкәйҙәр теләһә ниндәй <math>n \in \mathbb N</math> өсөн <math>1/n</math>-ҙән ҙур булмаған дөйөмләштерелгән һандар төрө һымаҡ индереләләр, бөтә бындай һандар класы «нуль монадаһы» <math>\mu (0)</math> менән актуалләштерелә{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|c=26}}.

=== Математик анализ ===
Сикһеҙ бәләкәйҙәр иҫәпләмәһе{{Переход|#Исчисление бесконечно малых}} нигеҙендә төҙөлгән [[математик анализ]]да асыҡтан-асыҡ [[Сикһеҙ бәләкәй һәм сикһеҙ ҙур|сикһеҙ ҙур дәүмәлдәр]] абстракцияһы индерелә: [[ысын һан]]дар күмәклегенә [[сикһеҙ йыраҡ нөктә (һанлы тура һыҙыҡ)|сикһеҙ йыраҡ нөктәләр]] символы <math>+\infty</math> һәм <math>-\infty</math> өҫтәлә (сик ҡиммәттәрҙе һәм йыйылыусанлыҡты билдәләү өсөн ҡулланылған [[киңәйтелгән һанлы тура һыҙыҡ]] <math>\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\} </math>) төҙөлә. Символдар менән ғәмәлдәр башҡарырға мөмкин (бында <math>\alpha</math> — ысын һан):
: <math>\pm \infty + \alpha = \pm \infty</math>,
: <math> (+\infty) + (+\infty) = +\infty</math>,
: <math> (-\infty) + (-\infty) = -\infty</math>,
: <math>\pm \infty \cdot 1 = \pm \infty</math>,
: <math>\pm \infty \cdot -1 = \mp \infty</math>,
: <math>\pm \infty \cdot +\infty = \pm \infty</math>,
: <math>\pm \infty \cdot \alpha = \operatorname{sgn}\alpha \cdot \pm{\infty} \, (\alpha \ne 0)</math>,
: <math>\pm \infty \big / \alpha = \operatorname{sgn}\alpha \cdot \pm \infty \, (\alpha \ne 0)</math>,
: <math>\alpha\big / \pm \infty = 0 \, (\alpha \ne \pm \infty)</math>,
: <math>\left ( \left \vert \frac{\alpha }{0} \right \vert = +\infty \right ) \, (\alpha \ne 0 )</math>
: <math>\left ( \left \vert \frac{\pm \infty}{0} \right \vert = +\infty \right ) </math>


әммә ҡайһы бер сикләүҙәр менән: билдәһеҙлек ситуациялары тыуғанда

: <math>\left (\pm \infty-\pm \infty \right ), \ \left (\frac{\infty}{\infty} \right ), \ \left (\frac{0}{0} \right ), \ \left (~0^0 \right ), \ \left (1^\infty \right ), \ \left (\infty^0 \right ), \ (0\cdot\infty) ,
\left (\frac{\pm \infty}{0} \right ),
\left (\frac{\alpha}{0} \right ) </math>

сикһеҙлек барлыҡҡа килеүгә килтергән иң һуңғы аңлатма йөкмәткеһен асыҡлау принцибы буйынса [[аныҡһыҙлыҡты асыу|аныҡһыҙлыҡтарҙы асыу]] ҡағиҙәләре ҡулланыла (мәҫәлән, [[Лопиталь ҡағиҙәһе]]), йәғни, анализда был мәғәнәлә сикке аңлатмаларҙы яҙыу өсөн дәйәмләштерелгән ҡыҫҡартыу итеп <math>\pm \infty</math> символдары ҡулланыла, ләкин тулы ҡиммәтле объект булараҡ түгел (ҡайһы бер дидактик материалдарҙа ысын һандар менән тәртип бәйләнеше менән бәйләнмәгән бер сикһеҙ йыраҡ нөктә <math>\pm \infty</math> ҡулланыла<ref>{{книга
|автор        = Кудрявцев Л. Д.
|заглавие     = Краткий курс математического анализа
|издание      = 3-е изд. перераб.
|место        = М.
|издательство = Физматлит
|год          = 2005
|том          = 1
|страницы     = 19
|страниц      = 400
|isbn         = 5-9221-0184-6
|ref          = Кудрявцев
}}</ref>).

Робинсондыңа [[стандарт булмаған анализ]]ында сикһеҙ бәләкәй һәм сикһеҙ ҙур дәүмәлдәр [[Моделдәр теорияһы|теоретик-моделле]] сараларҙы йәлеп итеү менән актуалләшәләр, шуның менән бергә, шул арҡала стандарт булмаған анализда мәғәнәле саралар һәм иҫбатлау ысулдары күп осраҡтарҙа классик ысулдарҙан отошло, һәм классик анализда ла табылырға мөмкин булған, ләкин күргәҙмәлек етешмәгәнлектән күренмәгән күп кенә яңы һөҙөмтәләр алынған<ref>{{Из|МЭ|статья=Нестандартный анализ|автор=[[Драгалин, Альберт Григорьевич|Драгалин А. Г.]]}} <cite>С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа</cite></ref>.

=== Проектив геометрия ===
[[Файл:Real projective line.svg|thumb|<math>\infty</math> нөктәһе тамғаланған ысын [[проектив тура һыҙыҡ]]]]
Математикала сикһеҙлек тураһында фекерҙе актуалләштереүҙә [[Понселе, Жан-Виктор|Понселе]] [[1822 йыл]]да төҙөгән [[проектив геометрия]] мөһим роль уйнай, уның төп идеяларының береһе — сикһеҙ алыҫты «идеаль нөктәләргә» һәм «идеаль тура һыҙыҡтарға» проекциялағанда боролоу. Шулай, Евклид арауығында <math>\R^2</math> сикһеҙ яҫылыҡты проектив яҫылыҡҡа <math>\R P^2</math> әйләндереү өсөн, параллель тура һыҙыҡтарҙың һәр класы өсөн [[идеаль нөктә]] өҫтәргә кәрәк, һәм бөтә ошондай идеаль нөктәләр (һәм тик шулар) {{нп5|идеаль тура һыҙыҡ|идеаль тура һыҙыҡҡа|en|line at infinity}} боролалар. Был төҙөүҙәрҙә [[Ысын һан|ысын]] [[проектив тура һыҙыҡ]] һанлы тура һыҙыҡтың идеаль нөктә менән киңәйеүе (<math>\R P^1 = \R \cup \{ \infty \}</math>) булып тора.

Шулай уҡ, анализдағы{{Переход|#Математический анализ}} кеүек, алынған сикһеҙлек менән проектив геометрияла ғәмәлдәр башҡарырға мөмкин (проектив геометрияла, анализдан айырмалы рәүештә, сикһеҙлектең тамғаһы юҡ, <math>\alpha \in \R</math>):
: <math>\infty \pm \alpha = \infty</math>,
: <math>\infty \cdot \alpha = \infty, \, \alpha \ne 0</math>,
: <math>\infty \cdot \infty  = \infty </math>,
: <math>\alpha \big / \infty = 0</math>,
: <math>\infty \big / \alpha = \infty</math>,
: <math>\alpha \big / 0 = \infty, \, \alpha \ne 0</math>,

шул уҡ ваҡытта <math>\infty + \infty, \, \infty - \infty, \, \infty \cdot 0, \, \infty / \infty, \, 0 / 0</math> аңлатмаларының мәғәнәһе юҡ.

[[Файл:Riemann sphere.png|thumb|[[Риман сфераһы]] һәм [[комплекслы яҫылыҡ]]]]
[[Комплекслы һан]]ға геометрик интерпретация биргәндә, [[Риман, Георг Фридрих Бернхард|Риман]][[1851 йыл]]да проектив геометрия ысулдарын ҡуллана, һәм <math>\Complex</math> [[Комплекслы яҫылыҡ|комплекслы яҫылығы]] өсөн <math>\Complex P^1</math> проектив арауығын — һанлы проектив тура һыҙыҡтың комплекслы дөйөмләштереүен төҙөй, ул [[Риман сфераһы]] булараҡ билдәле: сфераның полюстары — <math>0</math> һәм <math>\infty</math> нөктәләре, ә [[стереографик проекция]]һы (<math>\infty</math> нөктәһе тишеп алынған) уны [[Комплекслы яҫылыҡ|комплекслы яҫылыҡҡа]] күсерә. Сикһеҙлек тамға менән ҡулланылған ысын анализдан айырмалы рәүештә, [[комплекслы анализ]]да сикһеҙлектең тап проектив формаһы (<math>\Complex \cup \{\infty\}</math>)ҡулланыла.

=== Күмәклектәр теорияһы ===
Математикала сикһеҙлек тураһында фекергә төп өлөштө [[күмәклектәр теорияһы]] индерә: актуаль сикһеҙлек һәм сикһеҙлектең төрлө төрҙәре идеяһы был теорияның ҙур өлөшөн биләй.

Сикһеҙлектең төрлө төрҙәрен үлсәү өсөн күмәклектәр теорияһында [[Күмәклектең ҡеүәте|ҡеүәт]] (кардиналь һан) төшөнсәһе индерелә, ул сикле күмәклектәр өсөн элементтар һаны менән тап килә, ә сикһеҙ күмәклектәр өсөн [[биекция]] принцибы эшләй башлай: әгәр күмәклектәр араһында үҙ-ара-бер мәғәнәле ярашлылыҡ урынлаштырып булһа, улар тигеҙ ҡеүәтле. Шулай, <math>\N</math> натураль һандар күмәклеге бөтөн һандар күмәклеге (<math>\Z</math>), йоп натураль һандар күмәклеге, бөтә рациональ һандар күмәклеге (<math>\Q</math>) менән тигеҙ ҡеүәтле булып сыға, ә (<math>\mathbb I = [0,1]</math> һанлы тура һыҙыҡ киҫеге, континуум{{Переход|#Континуум}}) бөтә һанлы тура һыҙыҡ (<math>\R</math>), шулай уҡ <math>n</math>-үлсәмле [[Евклид арауығы]] (<math>\R^n</math>) менән биектив ярашлылыҡта булып сыға. Натураль һандар күмәклегенең һәм уның менән тигеҙ ҡеүәтле күмәклектәрҙең ([[Иҫәпләү күмәклеге|иҫәпләү күмәклектәренең]]) ҡеүәте {{Переход|#Обозначения}} <math>\aleph_0</math> тип, ә континуумдың ҡеүәте — <math>\mathfrak c</math> тип тамғалана. Артабан, натураль һандарҙың бөтә аҫкүмәклектәре күмәклеге (<math>2^\N</math>) һәм континуум араһында үҙ-ара-бер мәғәнәле ярашлылыҡ бар икәне асыҡлана, шулай итеп, <math>\mathfrak c = 2^{\aleph_0}</math>, һәм иҫәпләү күмәклеге — бөтә сикһеҙ күмәклектәрҙән ҡеүәте буйынса иң бәләкәйе. [[Континуум-гипотеза]]ға ярашлы, <math>\aleph_0</math> һәм <math>\mathfrak c</math> араһында ике аралағы ҡеүәт юҡ (<math>\mathfrak c = \aleph_1</math>), шулай уҡ, [[Коэн, Пол Джозеф|Коэн]] [[1962 йыл]]да күрһәткәнсә, континуум-гипотезаны ла, уның кире ҡағыуын да төп [[күмәклектәр теорияһы аксиоматикаһы]]нда иҫбатлап булмай. [[Дөйөмләштерелгән континуум-гипотеза]] бөтә кардиналь һандар <math>2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}</math> бәйләнешенә буйһоналар тип фаразлай, икенсе төрлө әйткәндә, бөтә мөмкин булған сикһеҙ кардиналь һандар нәҡ натураль һандар күмәклегенән эҙмә-эҙ [[булеан]]ды (бөтә аҫкүмклектәре күмәклеге) алыу ҡеүәттәрен кәүҙәләндерәләр: <math>\#\N, \# \mathcal P (\N), \# \mathcal P (\mathcal P (\N)), \dots</math><ref>Иногда для бесконечных кардинальных чисел, представляющих мощность последовательного взятия булеанов от счётного множества используют [[Бет-число|бет-нотацию]] (от второй буквы еврейского алфавита — [[бет (буква еврейского алфавита)|бет]]), в этих обозначениях обобщённая континуум-гипотеза формулируется как <math>\aleph_\alpha = \beth_\alpha</math></ref>.

[[Файл:Omega-exp-omega-labeled.svg|thumb|Рәт һандарын <math>\omega^\omega</math>-ға тиклем күрһәтеү: спиралдең һәр урамы — <math>\omega</math> дәрәжә]]
Күмәклектәр теорияһы индергән сикһеҙлектең икенсе төрө — [[тәртип һандары]] (ординалдар), улар менән бәйле [[трансфинитлы индукция]] принцибы менән бер рәттән, математиктар, логиктар һәм философтар араһында ҙур бәхәс тыуҙыралар. Әгәр кардиналь һандар үҙ-ара-бер мәғәнәле ярашлылыҡҡа ҡарата эквивалентлыҡ класын ҡылыҡһырлаһалар, тәртип һаны [[Тулыһынса тәртипкә килтерелгән күмәклек|тулыһынса тәртипкә килтерелгән күмәклектәр]] өҫтөнән тулы тәртип бәйләнешен һаҡлаусы биектив ярашлылыҡтарға ҡарата эквивалентлыҡ класы характеристикаһы булараҡ барлыҡҡа килә. Сикле күмәклектәр өсөн ординал һәм кардинал тап килә, әммә сикһеҙ күмәклектәр өсөн был һәр саҡ улай булмай, бер тәртип һанындағы бөтә күмәклектәр тигеҙ ҡеүәтле, ә кире раҫлау дөйөм осраҡта дөрөҫ түгел. Ординалдар натураль рәтте сикһеҙлектән ситтә эҙмә-эҙ дауам итергә мөмкин булырлыҡ итеп төҙөлә<ref>Такую схему определения предложил [[Фон Нейман, Джон|фон Нейман]] в 1920-е годы, Кантор изначально использовал другой способ</ref>:
: <math> 0 = \varnothing</math>,
: <math> 1 = \varnothing \cup \{0\} = \{\varnothing \}</math>,
: …
: <math> n+1 = n \cup \{n\}</math>,
бынан һуң, бөтә сикле тәртип һандары күмәклеген <math>\omega</math> итеп ҡарап, тәртипкә килтерелгән күмәклектәрҙе ҡушыу (эҙмә-эҙлекле рәүештә беренсе ҡушылыусы, һуңынан икенсе ҡушылыусы күмәклек элементтары буйынса айырым берекмәләр өҫтөнән тәртип индереп) һәм ҡабатлау (тулыһынса тәртипкә килтерелгән күмәклектәрҙең декарт ҡабатландығы өҫтөнөн [[лексикографик тәртип]] ҡулланып) операциялары базаһында [[тәртип һандары арифметикаһы]] индерелә, һәм процесс башлана:
: <math> \omega + 1 = \omega \cup \{ \omega \}</math>,
: <math> \omega + 2 = (\omega + 1) \cup \{ \omega + 1 \}</math>,
: …
: <math> \omega \cdot 2 = \omega + \omega</math>,
: <math>\omega \cdot 2 + 1</math>,
: …

Артабан <math>\omega ^2 = \omega \cdot \omega</math>, артабан — <math>\omega ^3, \dots, \omega ^\omega, \dots, \omega^{\omega^\omega}, \cdots, </math> төҙөлә, ары — [[Эпсилон һандары (математика)|<math>\varepsilon_0</math>-һандар]]:

: <math>\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}} = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \dots \}</math>.
Бөтә иҫәпләү ординалдар күмәклегенең (бөтә <math>\omega</math> һәм <math>\varepsilon</math>) ҡеүәте иҫәпләү күмәклектәр ҡеүәте <math>\aleph_0</math>-дән һуң килгән <math>\aleph_1</math>-гә тигеҙ булыуы иҫбатланған, артабан юғарыраҡ тәртиптәге ординалдар төҙөлә. [[Трансфинитлы индукция]] — дөйөмләштерелгән [[математик индукция]] принцибы, тәртип һандары идеяларын ҡулланып, теләһә нидәй тулыһынса тәртипкә килтерелгән күмәклеккә ҡарата раҫлауҙарҙы иҫбат итергә мөмкинлек бирә. [[Бурали-Форти парадоксы]] бөтә тәртип һандары күмәклеге ҡапма-ҡаршылыҡлы булыуын күрһәтә, ләкин күмәклектәр теорияһының күп аксиомалаштырыуында ундай күмәклектәрҙе төҙөү тыйылған.

=== Сикһеҙ үлсәмле арауыҡтар ===
{{В планах|дата=2016-12-31}}

=== Фракталь геометрия ===
{{main|Фрактал}}
[[Файл:Mandelbrot sequence new.gif|thumb|[[Мандельброт күмәклеге]] — сикһеҙ үҙ-үҙенә оҡшаш фрактал кәүҙәләнештәренең береһе]]
{{В планах|дата=2016-12-31}}

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==
* {{книга
 |автор         = [[Николя Бурбаки|Н. Бурбаки]]
 |часть         = Основания математики. Логика. Теория множеств
 |ссылка часть  =
 |заглавие      = Очерки по истории математики
 |оригинал      =
 |ссылка        =
 |викитека      =
 |ответственный = [[Башмакова, Изабелла Григорьевна|И. Г. Башмакова]] (перевод с французского)
 |издание       =
 |место         = М
 |издательство  = Издательство иностранной литературы
 |год           = 1963
 |страницы      = 37—53
 |страниц       = 292
 |серия         = Элементы математики
 |тираж         =
 |ref           = Бурбаки
}}
* {{книга |автор= [[Виленкин, Наум Яковлевич|Виленкин Н. Я.]]
 |заглавие=В поисках бесконечности
 |ссылка=
 |место= М.
 |издательство=Наука
 |год=1983
 |ref = Виленкин
}}
* {{книга
 |автор         = Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С.
 |заглавие      = Инфинитезимальный анализ: избранные темы
 |ссылка        =
 |викитека      =
 |ответственный =
 |издание       =
 |место         = М.
 |издательство  = Наука
 |год           = 2011
 |страниц       = 398
 |серия         =
 |isbn          = 978-5-02-036137-9
 |тираж         =
 |ref           = Гордон, Кусраев, Кутателадзе
}}
* {{книга |автор=Грасиан, Энрике.
 |заглавие= Открытие без границ. Бесконечность в математике
 |место=М.
 |издательство=Де Агостини
 |год=2014
 |страниц=144
 |isbn=978-5-9774-0713-7
 |серия=Мир математики: в 45 томах, том 18
 |ref=Энрике Грасиан
}}
* {{книга
 |автор         = Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж.
 |заглавие      = Пути и лабиринты. Очерки по истории математики
 |оригинал      = Routes et dédales
 |ссылка        =
 |викитека      =
 |ответственный = Перевод с французского А. А. Брядинской под редакцией И. Г. Башмаковой
 |место         = М.
 |издательство  = Мир
 |год           = 1986
 |страницы      = 394—402
 |страниц       = 432
 |серия         = Современная математика. Популярная серия
 |тираж         = 50000
 |ref           = Даан-Дальмедико, Пейффер
}}
* {{БРЭ|статья=Бесконечность|id=1861915 |автор=[[Катасонов, Владимир Николаевич|Катасонов В. Н.]]|том=3|страницы=413—415|ref=Катасонов}}
* {{Источник/НФЭ|Бесконечное|[[Катасонов, Владимир Николаевич|Катасонов В. Н.]]|url=https://iphlib.ru/greenstone3/library/collection/newphilenc/document/HASH0140b4612aa2c2c3b235a140}}
* {{книга |автор=[[Клайн, Морис|Клайн М.]] |заглавие=Математика. Утрата определённости |издательство=[[Мир (издательство)|Мир]] |место=М. |год=1984 |страниц=446 | ref = Клайн}}

{{ВС}}


[[Категория:Философия терминдары]]
[[Категория:Математика фәлсәфәһе]]
[[Категория:Сикһеҙлек| ]]
[[Категория:Математик объекттар]]