Скаляр ҡабатландыҡ битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

'''Скаляр ҡабатландыҡ''' (ҡайһы берҙә '''эске ҡабатландыҡ''') — һөҙөмтәһе координаталар системаһына бәйле булмаған, ҡабатлашыусы векторҙарҙың оҙонлоғон һәм улар араһындағы мөйөштө характерлаусы [[һан]] булған, ике [[Вектор (математика)|вектор]] өҫтөндәге ғәмәл (векторҙарҙы ҡарағанда, һандарҙы йыш ҡына [[скаляр]]ҙар тип атайҙар). Был ғәмәлгә ''x''  векторының ''оҙонлоғон'' ''y'' векторының ''x'' векторына ''проекцияһына'' ҡабатландығы ярашлы. Был ғәмәл ғәҙәттә һәр ҡабатлашыусы буйынса [[коммутативлыҡ|коммутатив]] һәм [[Һыҙыҡлы сағылыш|һыҙыҡлы]] тип ҡарала.

Ғәҙәттә түбәндәге тамғалауҙарҙың береһе ҡулланыла:
: <math>\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle</math>,
: <math> (\mathbf a, \mathbf b)  </math>,
: <math> \mathbf a \cdot \mathbf b </math>,
йәки ([[Квант механикаһы|квант механикаһында]] векторҙар өсөн йыш ҡулланылған [[Дирак, Поль|Дирак]] [[бра һәм кет|тамғалауы]]):
: <math>\langle a|b\rangle</math>.

Ғәҙәттә скаляр ҡабатландыҡ ыңғай тип уйланыла, йәғни
:  теләһә ниндәй <math>a\not=0</math> өсөн <math> \langle \mathbf a, \mathbf a \rangle > 0</math>.

Әгәр бындай фаразлау булмаһа, ҡабатландыҡ '''[[Индефинит ҡабатландыҡ|индефинит йәки асыҡланмаған]]''' тип атала.

== Билдәләмә ==
<math>\mathbb L</math> [[Векторлы арауыҡ|векторлы арауығында]] <math>\mathbb C</math> [[комплекслы һан|комплекслы]] (йәки <math>\mathbb R</math> [[ысын һан|ысын]]) [[һан|һандар]] [[Ялан (алгебра)|яланы]] өҫтөндә '''скаляр ҡабатландыҡ''' тип, <math>x, y \in \mathbb L</math> элементтары өсөн,  һәр элементтар пары өсөн <math> \mathbb C </math> (йәки <math>\mathbb R</math>) ҡиммәттәре ҡабул иткән һәм түбәндәге шарттарҙы ҡәнәғәтләндергән <math>\langle x, y \rangle</math> функцияһы атала:
#  <math> \mathbb L</math> [[һыҙыҡлы арауыҡ| арауығының]] теләһә ниндәй өс <math>x_1, x_2 </math> һәм <math>y </math> элементтары өсөн һәм <math> \mathbb C </math> (йәки <math>\mathbb R</math>) күмәклегенән <math>\alpha , \beta </math> өсөн <math> \langle \alpha x_1+\beta x_2,y \rangle = \alpha \langle x_1,y \rangle + \beta \langle x_2,y \rangle</math> тигеҙлеге дөрөҫ (скаляр ҡабатландыҡтың беренсе аргумент буйынса һыҙыҡлы булыуы);
# теләһә ниндәй <math>x </math> һәм <math>y </math> өсөн <math> \langle y,x \rangle = \overline{\langle x,y \rangle}</math> тигеҙлеге дөрөҫ, бында һыҙыҡ комплекслы  эйәртеүсәнлекте аңлата (эрмит симметриялылыҡ);
# теләһә ниндәй <math>x </math> өсөн <math>\langle x,x \rangle \ge 0 </math>, шуның менән бергә тик <math>x=0 </math> булғанда ғына <math>\langle x,x \rangle =0 </math> (скаляр ҡабатландыҡтың ыңғайлығы билдәләнеүе).

Билдәләмәнең 2п. <math> \langle x,x \rangle \in \mathbb R</math> булыуы килеп сыға. Шуға күрә, '''скаляр ҡабатландыҡтың''' комплекслы (дөйөм осраҡта) ҡиммәттәр ҡабул итеүенә ҡарамаҫтан,  п.3 мәғәнәһе бар.

== Алгебраик билдәләмә ==
'''''n'''''-үлсәмле [[Ысын һандар|ысын]] арауыҡта ике {{nowrap|1='''a''' = [''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>]}} һәм {{nowrap|1='''b''' = [''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ..., ''b''<sub>''n''</sub>]}} векторҙары өсөн скаляр ҡабатландыҡ ошолай билдәләнә:<ref name="Lipschutz2009">{{cite book |author= S. Lipschutz, M. Lipson |first1= |title= Linear Algebra (Schaum’s Outlines)|edition= 4th |year= 2009|publisher= McGraw Hill|isbn=978-0-07-154352-1}}</ref>
:<math>\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_{i=1}^n a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n</math>.
Мәҫәлән, өс үлсәмле арауыҡта {{nowrap|[1, 3, −5]}} һәм {{nowrap|[4, −2, −1]}} векторҙарының ҡабатландығы ошолай иҫәпләнә:

:<math>
\begin{align}
\ [1, 3, -5] \cdot [4, -2, -1] &= 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1) \\
&= 4 - 6 + 5 \\
&= 3.
\end{align}
</math>

{{nowrap|1='''a''' = [''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>]}} һәм {{nowrap|1='''b''' = [''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ..., ''b''<sub>''n''</sub>]}} комплекслы векторҙары өсөн скаляр ҡабатландыҡ ошолай билдәләнә:
:<math>\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_{i=1}^n a_i\overline{b_i}=a_1\overline{b_1}+a_2\overline{b_2}+\cdots+a_n\overline{b_n}</math>.
Мәҫәлән, <math> [1+i, 2] \cdot [2+i, i] = (1+i) \cdot (\overline{2+i}) + 2 \cdot \overline i = (1+i) \cdot (2-i) + 2 \cdot (-i) = 3-i</math>

== Геометрик билдәләмә ==
[[Файл:Dot Product.svg|thumb|right|200 px|'''A''' • '''B''' = <nowiki>|</nowiki>'''A'''<nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki>'''B'''<nowiki>|</nowiki> cos(θ)]]
Әгәр векторҙың оҙонлоғо һәм векторҙар араһындағы мөйөш төшөнсәләренә билдәләмә, бәйһеҙ рәүештә скаляр ҡабатландыҡ төшөнсәһен индергәнгә тиклем бирелһә (классик геометрияла, ҡағиҙә булараҡ, шулай итәләр ҙә инде), ул саҡта скаляр ҡабатландыҡҡа билдәләмә ҡабатлашыусыларҙың оҙонлоғо һәм улар араһындағы мөйөш төшөнсәләре аша бирелә:

: <math> \langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = 
|\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cdot \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf b)} </math>

Хәҙерге аксиоматика ғәҙәттә скаляр ҡабатландыҡтан башлап төҙөлә, ул саҡта векторҙың оҙонлоғо һәм векторҙар араһындағы мөйөш төшөнсәләре скаляр ҡабатландыҡ аша бирелә (түбәндәрәк ҡарағыҙ).

== Бәйле билдәләмәләр ==
* Скаляр ҡабатландыҡ менән ысын сикле үлсәмле һыҙыҡлы арауыҡ ''Евклид'' арауығы тип атала, комплекслы — ''унитар'' тип.

Хәҙерге аксиоматик ҡарашта векторҙарҙың скаляр ҡабатландығы төшөнсәһе нигеҙендә түбәндәге сығарылма төшөнсәләр индерелә:

* Векторҙың '''оҙонлоғо''' , был төшөнсә аҫтында ғәҙәттә уның Евклид [[Норма (математика)|нормаһын]] аңлайбыҙ: <math>\| \mathbf x\| = \sqrt{\langle \mathbf x,\mathbf x\rangle}</math> ('оҙонлоҡ' термины ғәҙәттә сикле үлсәмле векторҙарға ҡулланыла, әммә кәкере һыҙыҡлы юлдың оҙонлоғон иҫәпләү осрағында йыш ҡына сикһеҙ үлсәмле арауыҡ осрағында ла ҡулланыла).
* [[Евклид арауығы]]ның (айырым осраҡта, Евклид яҫылығының) нулдән айырмалы векторҙары араһындағы '''[[Мөйөш|мөйөш]]''' тип, [[косинус]]ы был векторҙарҙың скаляр ҡабатландығының уларҙың оҙонлоҡтарының (нормаларының) ҡабатландығына сағыштырмаһына тигеҙ булған һан атала: <math>\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = |\mathbf a| |\mathbf b| \cos \varphi.</math><br /> Арауыҡ [[Уйланма Евклид арауығы|уйланма Евклид арауығы]] булһа, мөйөш төшөнсәһе векторҙар төҙөгән сектор эсендә изотроп тура һыҙыҡтары булмаған векторҙар өсөн генә билдәләнә. Мөйөш төшөнсәһе үҙе был осраҡта, [[гиперболик косинус]]ы был векторҙарҙың скаляр ҡабатландығының уларҙың оҙонлоҡтары (нормалары) ҡабатландығына сағыштырмаһына тигеҙ булған һан булараҡ индерелә: <math>
|\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle| = |\mathbf a| |\mathbf b| \operatorname{ch} \varphi.
</math>

* Скаляр ҡабатландыҡтары нулгә тигеҙ булған векторҙар '''ортогональ''' (перпендикуляр) векторҙар тип аталалар. Был билдәләмә скаляр ҡабатландыҡ ыңғай билдәләнгән теләһә ниндәй арауыҡҡа ҡулланыла. Мәҫәлән, [[ортогональ күпбыуындар]] ниндәйҙер Гильберт арауығында ысынында бер-береһенә ортогональ (был билдәләмә мәғәнәһендә).
* Скаляр ҡабатландыҡ ыңғай билдәләнгән арауыҡ (ысын йәки комплекслы) [[Гильберт алды арауығы]] тип атала.
** Шуның менән бергә скаляр ҡабатландыҡ ыңғай билдәләнгән сикле үлсәмле арауыҡ шулай уҡ [[Евклид арауығы]] тип атала, ә комплекслыһы — [[Эрмит арауығы|Эрмит йәки унитар]] арауыҡ тип атала.
* Скаляр ҡабатландыҡтың тамғаһы билдәләнмәгән осраҡта ''индефинитлы метрикалы арауыҡ'' тип атала. Бындай арауыҡтарҙа скаляр ҡабатландыҡ норманы килтереп сығармай (һәм ул ғәҙәттә өҫтәлмә индерелә). Сикле үлсәмле индефинитлы метрикалы ысын арауыҡ  [[Уйҙырма Евклид арауығы]] тип атала (бындай  арауыҡтың мөһим айырым осрағы булып [[Минковский арауығы]] тора). Сикһеҙ үлсәмле индефинитлы метрикалы арауыҡтар араһында [[Понтрягин арауығы]] һәм [[Крейн арауығы]] мөһим роль уйнайҙар.

== Миҫалдар ==
* <math>\mathbf x = (x_1, x_2, x_3)</math> векторҙарының өс үлсәмле ысын [[Векторлы арауыҡ|векторлы арауығында]] скаляр ҡабатландыҡты <math> \langle\mathbf x, \mathbf y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3</math> формулаһы буйынса индереү был арауыҡты [[Евклид арауығы]]на әйләндерә. Ошоға оҡшаш раҫлау теләһә ниндәй үлсәмле Евклид арауығы өсөн дөрөҫ (ул саҡта суммаға арауыҡтың  үлсәменә тигеҙ булған һанда быуындар инә).
** Теләһә ниндәй Евклид арауығында (''n''-үлсәмле) һәр саҡ<ref>
Ортонормированность базиса определяется условием
: <math>\langle \mathbf e_i, \mathbf e_j \rangle= \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \ne j, \end{cases}</math>
заключающемся в равенстве нулю скалярных произведений разных базисных векторов, например, первого и второго, первого и третьего, итд (ортогональность), и равенстве единице — скалярного произведения каждого базисного вектора с самим собой (нормированность). Упоминаемые в основном тексте формулы получаются прямым перемножением векторов, разложенных по такому базису, учитывая свойства скалярного произведения, особенно его билинейность, позволяющую раскрывать скобки итп как при вычислениях с обычными числами.
</ref> [[ортонормалаштырылған базис]] <math>{\mathbf e_1, \mathbf e_2,\dots,\mathbf e_n}</math> һайларға мөмкин<br />
:: вектоҙарҙы был базис буйынса тарҡатҡанда:
:: <math>\mathbf a = a_1 \mathbf e_1 + a_2 \mathbf e_2 + \dots + a_n \mathbf e_n</math>,
:: <math>\mathbf b = b_1 \mathbf e_1 + b_2 \mathbf e_2 + \dots + b_n \mathbf e_n</math> һ. б. ш.,
:: скаляр ҡабатландыҡ түбәндәге формула менән күрһәтелә:
:: <math>\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle=\mathbf a^T \mathbf b = a_1 b_1+a_2 b_2+\dots+a_n b_n</math>.
<!-- :Дөйөм осраҡта:

:: <math>\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle=a^T G b</math>
 Please, insert Γ instead of G.

:: бында G — [[Грам матрицаһы]], ул базис ортонормалаштырылған булғанда һәм тик шул саҡта ғына берәмеккә тигеҙ. -->
* Шундай уҡ, ләкин комплекслы, арауыҡта, скаляр ҡабатландыҡ икенсерәк формула буйынса индерелә: <math> \langle\vec x, \vec y\rangle = x_1\overline{y_1}+x_2\overline{y_2}+x_3\overline{y_3}</math>. Бында <math>\overline{a}</math> аша <math>\ a</math>-ға [[Комплекслы һан|комплекслы бәйле]] һан тамғаланған. Был билдәләмәгә ярашлы скаляр ҡабатландыҡ ыңғай билдәләнгән була. Комплекслы бәйле булмағанда скаляр ҡабатландыҡтың [[Эрмитов формаһы|эрмитовлыҡ]] аксиомаһы боҙолор ине, тимәк, вектор [[Норма (математика)|нормаһының]] уның аша билдәләнгән ысын булыуына өлгәшеп булмаҫ ине, йәғни ғәҙәти мәғәнәлә норма килеп сыҡмаҫ ине.
* Ниндәйҙер Ω өлкәһендә үлсәнмәле квадраттар менән интеграцияланыусы ысын функциялар арауығында ыңғай билдәләнгән скаляр ҡабатландыҡ билдәләмәһе индерергә мөмкин:
:: <math> \langle f, g \rangle = \int\limits_\Omega f(x) g(x) d\Omega</math>

* Комплекслы функциялар өсөн шундай осраҡта, әгәр скаляр ҡабатландыҡтың эрмитовлығы (һәм ыңғай билдәләнгән булыуы) талап ителһә, f-ҡа йәки g-ға интеграл аҫтында комплекслы бәйле өҫтәргә кәрәк.
* Ортонормалаштырылмаған базистар ҡулланғанда скаляр ҡабатландыҡ векторҙарҙың компоненттары аша [[Метрик тензор|метрик тензор]] <math>g_{ij}</math> ҡатнашлығында күрһәтелә:
:: <math> \langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = \sum g_{ij}a^i b^j</math>
: был саҡта метрика үҙе (дөрөҫөрәге, уның был базис аша күренеше) базис векторҙарҙың скаляр ҡабатландығы <math> f_i\ </math> менән ошолай бәйләнгән:
:: <math> g_{ij} = \langle\mathbf f_i, \mathbf f_j\rangle </math>

** (ортонормалаштырылған базистарҙа метрика  тривиаль, йәғни [[Кронекер дельтаһы|берәмек матрица <math>g_{ij} = \delta_{ij}</math>]] аша күрһәтелә)
* Скаляр ҡабатландыҡтың шундай конструкцияларын сикһеҙ үлсәмле арауыҡтарҙа ла индерергә мөмкин, мәҫәлән, функциялар арауыҡтарында:
:: <math> \langle f, g \rangle = \int\limits_{(\Omega_1 \times \Omega_2)} K(x_1,x_2) f(x_1) g(x_2) d(\Omega_1 \times \Omega_2) </math>
::: <math> \langle f, g \rangle = \int\limits_\Omega K(x) f(x) g(x) d\Omega </math>
: бында ''К'' — ыңғай билдәләнгән, беренсе осраҡта аргументтарҙың урынын алмаштырыуға ҡарата симметрик (комплекслы x өсөн — эрмитов) функция.

== Үҙсәнлектәре ==
* [[косинустар теоремаһы]] скаляр ҡабатландыҡ ҡулланып бик еңел индерелә:
*: <math>|BC|^2 = \vec{BC}^2 = (\vec{AC} - \vec{AB})^2 = \langle\vec{AC} - \vec{AB},\vec{AC} - \vec{AB}\rangle = \vec{AC}^2 + \vec{AB}^2 - 2 \langle\vec{AC},\vec{AB}\rangle = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 |AB| |AC| \cos\hat A</math>
* Векторҙар араһындағы мөйөш:
*: <math>\alpha = \arccos \frac{\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle}{\sqrt{\langle\mathbf a, \mathbf a\rangle\langle\mathbf b,\mathbf b\rangle}}</math>
* Векторҙар араһындағы мөйөшкә баһа:
*: <math> \langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = 
|\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cdot \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf b)} </math> формулаһында тамға тик мөйөш косинусы аша билдәләнә (векторҙарҙың нормаһы һәр саҡ ыңғай). Шуға күрә скаляр ҡабатландыҡ > 0, әгәр векторҙар араһындағы мөйөш ҡыҫынҡы булһа, һәм < 0, әгәр векторҙар араһындағы мөйөш йәйенке булһа.
* Берәмек вектор <math>\mathbf e</math> менән билдәләнгән йүнәлешкә <math>\mathbf a</math> векторының проекцияһы:
*: <math>a_e = \langle\mathbf a,\mathbf e\rangle = |\mathbf a| |\mathbf e| \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf e)} = |\mathbf a| \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf e)} </math>,   так как <math>|\mathbf e| = 1</math>
*  <math>\mathbf a</math> һәм <math>\mathbf b</math> векторҙарының ортогоналлек<ref>
Абстрактлы формулировкала был шарт <math>\vec a\bot \vec b</math> — бары тик ортогоналлек билдәләмәһе. Оҡшаш рәүештә, ике формула юғарылағы абстрактлы формулировкала шулай уҡ ярашлы төшөнсәләрҙең бары тик скаляр ҡабатландыҡ аша билдәләмәләре булып торалар, ләкин улар бөтәһе лә конкрет иҫәпләүҙәрҙә уңышлы файҙалана алалар, мәҫәлән, ниндәй билдәләмәләр системаһы ҡулланылған булыуына ҡарамай, хәҙерге абстрактла йәки традицион элементар, элементар геометрияла.
</ref> (перпендикуляр булыу) шарты:
:: <math>\mathbf a\bot \mathbf b \Leftrightarrow \langle\mathbf a,\mathbf b\rangle = 0</math>

* Ике <math>\mathbf{a}\ </math> һәм <math>\mathbf{b}\ </math> векторҙарында төҙөлгән параллелограмм майҙаны
:: <math> \sqrt{\langle\mathbf{a}, \mathbf{a}\rangle\langle\mathbf{b},\mathbf{b}\rangle - \langle\mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle^2}\ </math> тигеҙ.

=== [[Коши — Буняковский тигеҙһеҙлеге]] ===
Скаляр ҡабатландыҡлы һыҙыҡлы арауыҡтың теләһә ниндәй <math> \mathbf x</math> һәм <math> \mathbf y </math> элементтары өсөн [http://www.nsu.ru/education/funcan/node75.html] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090227055701/http://nsu.ru/education/funcan/node75.html |date=2009-02-27 }}

<math>  \vert \langle x,y \rangle \vert ^2 \le \langle x,x \rangle \langle y,y \rangle </math> тигеҙһеҙлеге үтәлә

== Тарихы ==
Скаляр ҡабатландыҡ [[Гамильтон, Уильям Роуан|У. Гамильтон]] тарафынан [[1846 йыл]]да, [[кватернион]]дар менән бәйле [[векторлы ҡабатландыҡ]] менән бер үк ваҡытта индерелә<ref>{{книга|автор=Crowe M. J.|заглавие=A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System|год=1994|издательство=Courier Dover Publications|страниц=270|страницы=32|isbn=0486679101|ссылка=https://books.google.lt/books?id=y5-S5dmVqGIC&pg=PA32}}</ref> — ярашлы рәүештә, скаляр өлөшө нулгә тигеҙ булған ике кватернион ҡабатландығының скаляр һәм вектор өлөшө кеүек<ref>{{статья|автор=Hamilton W. R.|заглавие=On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra|издание=Philosophical Magazine. 3rd Series|год=1846|место=London|том=29|страницы=30|ссылка=https://archive.org/details/londonedinburghp29lond}}</ref>.

== Вариациялар һәм дөйөмләштереү ==
[[Тензорлы алгебра]]ла сикле үлсәмле скаляр ҡабатландыҡтың иң ябай дөйөмләштереүе булып ҡабатланыусы индекстар буйынса [[тензор төргәге|төргәк]] тора. Шундай уҡ дөйөмләштереүҙе сикһеҙ үлсәмле осраҡта ла эшләргә мөмкин (Функцияларҙың сикһеҙ үлсәмле арауыҡтары өсөн — [[#Миҫалдар|миҫалдарҙы ҡарағыҙ (юғарыла)]]).

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Псевдоскалярное произведение]]
* [[Внешнее произведение]]
* [[Векторное произведение]]
* [[Смешанное произведение]]
* [[Гильбертово пространство]]
* [[Метрический тензор]]

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр|2}}

== Һылтанмалар ==
{{commonscat-inline|Scalar product}}

{{Вектора и матрицы}}

[[Категория:Аналитик геометрия]]
[[Категория:Һыҙыҡлы алгебра]]
[[Категория:Функциональ анализ]]
[[Категория:Векторлы анализ]]