Тейлор рәте битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

'''Те́йлор рәте''' — [[Функция (математика)|функцияны]] [[Дәрәжәле функция|дәрәжәле функцияларҙың]] [[Рәттең суммаһы|сикһеҙ суммаһына]] тарҡатыу.

Тейлор рәте [[Тейлор, Брук|Тейлорҙың]] баҫылып сыҡҡан хеҙмәттәренән күп алда билдәле була<ref>Taylor, Brook, ''Methodus Incrementorum Directa et Inversa'' [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, ''A Source Book in Mathematics 1200—1800'' (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329—332.</ref> — уны XIV быуатта уҡ [[Һиндостан]]да<ref>''Gupta R. C.'' The Madhava-Gregory series, Math. Education 7 (1973), B67-B70.</ref>, шулай уҡ XVII быуатта [[Грегори, Джеймс|Грегори]] һәм [[Ньютон, Исаак|Ньютон]] ҡулланалар.

Тейлор рәттәре функцияны [[күпбыуын]]дар менән [[аппроксимация|аппроксимациялағанда]] ({{comment|аппроксимация|бер объекттарҙы икенселәре менән алмаштырыу}}) ҡулланылалар.
Атап әйткәндә, тигеҙләмәләрҙе [[линеаризация]]лау [[Тейлор теоремаһы|Тейлор рәтенә тарҡатыу һәм беренсе тәртиптән юғары бөтә быуындарын алып ташлау]] юлы менән башҡарыла.

== Билдәләмә ==
1. [[Ысын һан|Ысын]] <math>x</math> үҙгәреүсәнле, <math>a</math> нөктәһендә <math>k</math> тапҡыр [[Дифференциалланыусы функция|дифференциалланыусы]] <math>f(x)</math> функцияһының Тейлор '''күпбыуыны''' тип түбәндәге сикле сумма атала
: <math>\sum_{n=0}^k \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n=f(a)+ f'(a)(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k</math>,

ул, дифференциалланыусы функцияның [[Сикле үҫештәр формулаһы|урта ҡиммәт тураһында Лагранж теоремаһы]] эҙемтәһенең дөйөмләштерелеүе булараҡ, [[Яҡынса иҫәпләүҙәр|яҡынса иҫәпләүҙәрҙә]] ҡулланыла:
: <math>x-a=h \to 0</math> булғанда <math>f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h +o(h)\approx f(a)+f'(a)\cdot h=f(a)+f'(a)\cdot (x - a)</math> дөрөҫ.

Сумманың яҙылышында <math>f^{(0)}(x)=f(x)</math> тамғаланышы һәм буш күмәклек буйынса ҡабатлау тураһында килешеү: <math>0!=1</math>, <math>(x - a)^0=1</math> ҡулланылған.

2. Ысын <math>x</math> үҙгәреүсәнле, <math>a</math> нөктәһенең эргә-яғында сикһеҙ дифференциалланыусы <math>f(x)</math> функцияһының <math>a</math> нөктәһендә Тейлор '''рәте''' тип, <math>a</math> параметрына бәйле <math>\varphi_{n}(x;a)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot(x - a)^n</math> уртаҡ быуынлы, [[формаль дәрәжәле рәт]] атала
: <math>\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n=\sum_{n=0}^{+\infty} \varphi_{n}(x;a)</math>.
Икенсе төрлө әйткәндә, <math>f(x)</math> функцияһының <math>a</math> нөктәһендә Тейлор рәте тип <math>(x - a)</math> икебыуынының ыңғай дәрәжәләре буйынса рәт атала:
: <math>f(a)+ f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \ldots\,</math>.<ref>Запорожец Г. И. «Руководство к решению задач по математическому анализу» — С. 371</ref>

Түбәндә миҫалдарҙа күрһәтелеүенсә, <math>a</math> нөктәһенең эргә-яғында <math>f(x)</math> функцияһының сикһеҙ дифференциалланыусы булыуы, Тейлор рәте <math>a</math> нөктәһенең үҙенән башҡа ҡайҙа булһа ла функцияның үҙенә йыйылыусан булыуы өсөн етерлек түгел.

3. <math>a</math> нөктәһенең ниндәйҙер <math>U\subseteq \mathbb C</math> эргә-яғында [[Коши — Риман шарттары]]н ҡәнәғәтләндергән комплекслы <math>z</math> үҙгәреүсәнле <math>f(z)</math> функцияһының <math>a</math> нөктәһендә Тейлор '''рәте''' тип, түбәндәге дәрәжәле рәт атала:

: <math>\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z - a)^n</math>.

Ысын үҙгәреүсәнле функция осрағынан айырмалы рәүештә, шарттарҙан радиустың шундай <math>R>0</math> ҡиммәте табыла, бында <math>D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|< R\}\subseteq U</math> өлкәһендә рәт <math>f(z)</math> функцияһына йыйыла икәне килеп сыға.

4. <math>a=0</math> осрағында рәт
: <math>\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n</math>
'''[[Маклорен]] рәте''' тип атала.

== Аналитик функция ==
1. Ысын <math>x</math> үҙгәреүсәнле <math>f(x)</math> функцияһы өсөн, <math>f(x)</math> <math>(a-R; a+R)</math>  интервалында йыйылыусан дәрәжәле рәт <math>\sum\limits_{k = 0}^{+\infty} {{c_k}{{(x - a)}^k}}\,</math> рәүешендә күрһәтелә алырлыҡ шундай <math>R>0</math> радиусы һәм шундай <math>c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,</math>, <math>k=0,1,2,\dots\,</math> коэффициенттары булһа, функция <math>x=a</math> нөктәһендә [[аналитик функция|аналитик]] тип атала,
йәғни <math>\forall x \in (a-R; a+R)</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\lim_{n\to +\infty}\,\sum\limits_{k = 0}^{n} {{c_k}{{(x - a)}^k}}=f(x)</math>.

Әгәр функция аралыҡтың (күмәклектең) һәр нөктәһендә аналитик булһа, ул был аралыҡта (күмәклектә) аналитик тип атала.

2. <math>\sum\limits_{k = 0}^{+\infty} {{c_k}{{(z - a)}^k}}</math> дәрәжәле рәте <math>D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|< R\}</math> йыйылыусанлыҡ өлкәһенең теләһә ниндәй компактлы <math>K</math> [[Аҫкүмәклек|аҫкүмәклегендә]] теләһә нисә һан тапҡыр быуын-быуынлап дифференциалларға мөмкинлек бирә.

Әгәр <math>\sum\limits_{k = 0}^{+\infty} {{c_k}{{(z - a)}^k}}</math> функцияһының <math>k</math>-сы сығарылмаһында <math>z=a</math> алмаштырһаң, <math>{c_k}\cdot k!</math> килеп сыға.

Шулай итеп, <math>a</math> нөктәһендә аналитик <math>f(z)</math> функцияһы һәм ниндәйҙер <math>R>0</math> өсөн <math>D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|< R\}</math>-ҙа бөтә ерҙә ошолай күрһәтеү дөрөҫ: <math>f(z)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (z - a)^k</math>.

Эҙемтә. Ысын <math>x</math> үҙгәреүсәнле <math>f(x)</math> функцияһы <math>a</math> нөктәһендә аналитик була шул саҡта һәм бары тик шул саҡта ғына, әгәр ул <math>a</math> нөктәһе ингән ниндәйҙер асыҡ интервалда <math>a</math> параметры менән үҙенең Тейлор рәтенә тигеҙ булһа.

3. Һорау: <math>a</math> нөктәһендә сикһеҙ дифференциалланыусы ысын <math>x</math> үҙгәреүсәнле теләһә ниндәй <math>f(x)</math> функцияһы өсөн уның <math>\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^k</math> Тейлор рәте ниндәйҙә булһа <math>(a-R; a+R)</math> интервалында бөтә ерҙә <math>f(x)</math>-ҡа йыйылырмы, йәғни <math>f(x)</math> был рәт итеп күрһәтелә аламы?

Яуап: юҡ.
Тейлор рәте йыйылған, ләкин шул уҡ ваҡытта <math>a</math>-ның теләһә ниндәй эргә-яғында функциянан айырмалы булған, ысын үҙгәреүсәнле сикһеҙ дифференциалланыусы функциялар бар.

Миҫалдар. Ысын үҙгәреүсәнле функциялар  <math> f_{2}(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
{e^{ - \frac{1}{{x^{2} }}}},& x \ne 0\\
0,& x = 0
\end{array} \right.\,
</math>,
<math> f_{+}(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
{e^{ - \frac{1}{x}}},& x > 0\\
0,&x \le 0
\end{array} \right.\,
</math>,
<math> f_{\rm v}(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
{e^{ - \frac{1}{{|x|}}}},& x \ne 0\\
0,& x = 0
\end{array} \right.\,
</math>
<math> x=0</math> нөктәһендә сикһеҙ дифференциалланыусы булып торалар, шуның менән бергә бөтә сығарылмалары нулгә тигеҙ.

Тимәк, бөтә был функцияларҙың <math> a=0</math> параметры менән Тейлор рәттәре тождестволы нулгә тигеҙ.
Әммә, теләһә ниндәй <math>R>0</math> өсөн <math>a=0</math> нөктәһенең <math>(-R; +R)</math> эргә-яғында,  функциялар <math>0</math>-дән айырмалы булған нөктәләр табыла.
Шулай итеп, был функциялар <math>a=0</math> нөктәһендә аналитик булмайҙар.

{{Начало скрытого блока|
Заголовок=Иҫбатлау}}

Иҫбатлауҙы [[Коши, Огюстен Луи|Огюстен Луи Коши]] тәҡдим иткән  <math> f(x)=f_{2}(x)= \left\{ \begin{array}{ll}
{e^{ - \frac{1}{x^{2}}} },& x \ne 0\\
0,& x = 0
\end{array} \right.\,
</math> функцияһы өсөн башҡарабыҙ.

<math>\exp\left( - \frac{1}{z^2}\right)</math> функцияһы, бөтә <math>z\in\overline{\mathbb C}\setminus\{0\}</math> өсөн комплекслы үҙгәреүсәнле аналитик функция була.

<math>z \neq 0</math> өсөн 
<math>\frac{d}{dz}\exp\left( - \frac{1}{z^2}\right)
=\exp\left( - \frac{1}{z^2}\right)\cdot \left( \frac{2}{z^3}\right)</math> икәне асыҡ күренә.
<math>x\in\mathbb R</math> өсөн <math>f(x)</math> функцияһы — ул, һулдан  <math>x=0</math> нөктәһендә <math>\lim_{x\to 0, x<0} \exp\left( - \frac{1}{x^2}\right)=0</math> сикләнмәһе
һәм уңдан <math>\lim_{x\to 0, x>0} \exp\left( - \frac{1}{x^2}\right)=0</math> сикләнмәһе менән тулыландырылған, «төҙәтелгән» функция
<math>\exp\left( - \frac{1}{x^2}\right)</math>, <math>x \in \mathbb R\setminus\{0\}</math>.


Функцияның <math>f(x)</math> <math>x=0</math> нөктәһендә сығарылмаһын табабыҙ.
Билдәләмә буйынса:
<math>f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0, \Delta x\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} 
= \lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{f(h) - 0}{h} 
= \frac{0}{0}
= \lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{f'(h)}{h'} 
=\lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{2 f(h)}{{h}^{3}}</math>.

<math>x \in (0;1)</math> өсөн
<math>0<e^{ - \frac{1}{x^{2}}} < e^{ - \frac{1}{x}} </math> үтәлгәнлектән,
ирекле <math>\alpha> 0</math> өсөн <math> 
\lim_{x \to 0, x>0}\frac{ e^{ - \frac{1}{x}} }{x^{\alpha}} = 
0</math> дөрөҫ икәнен иҫбатлайбыҙ.

Лопиталь ҡағиҙәһен туранан тура өлөштәргә ҡулланыу
:<math>\lim_{x \to 0, x>0}e^{ - \frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0, x>0}x^{\alpha}=0</math> һөҙөмтә бирмәй.
Үҙгәреүсәнде алмаштырып ҡуйыуҙы башҡарабыҙ: <math>\frac{1}{x} = t</math>:

<math> \lim_{x \to 0, x>0} \frac{ e^{ - \frac{1}{x}} }{x^{\alpha}} 
= \lim_{t \to +\infty} \frac{t^{\alpha}}{e^t} 
= \frac{+\infty}{+\infty}
= \lim_{t \to +\infty} \frac{\alpha t^{\alpha-1}}{e^t}</math>.

<math>k =\lceil \alpha \rceil</math> булһын ти.
Лопиталь ҡағиҙәһен <math>k</math> тапҡыр ҡулланып, числителдә табабыҙ йә (<math>\alpha=k</math> булғанда) <math>k! </math> константаһын, йәки (<math>\alpha<k</math> булғанда) сикһеҙ бәләкәй <math>\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)t^{\alpha-k}</math>:

:<math> \lim_{t \to +\infty} \frac{t^{\alpha}}{e^t} 
= \frac{+\infty}{+\infty}
= \ldots
= \lim_{t \to +\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)t^{\alpha-k}}{e^t}=0</math>.

Шулай итеп,
:<math>f'(0) = \lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{2 f(h)}{{h}^{3}}=0</math>.

(<math>x \neq 0</math> өсөн) <math>f(x)</math> функцияһының бер нисә башланғыс сығарылмаларын табабыҙ:

: <math>f'(x) = \frac{{2f(x)}}{{{x^3}}}</math>

: <math>f''(x) = \left( {\frac{{2f(x)}}{{{x^3}}}} \right)' 
= 2\left( {f'(x)\frac{1}{{{x^3}}} + f(x)\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)'} \right) 
= 2\left( {\frac{{2f(x)}}{{{x^3}}}\frac{1}{{{x^3}}} + f(x)\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)'} \right) 
= 2f(x)\left( {\frac{2}{{{x^6}}} - \frac{3}{{{x^4}}}} \right)
</math>

: <math>f'''(x) = \left( {2f(x)\left( {\frac{2}{{{x^6}}} - \frac{3}{{{x^4}}}} \right)} \right)' 
= 4f(x)\left( {\frac{2}{{{x^9}}} - \frac{3}{{{x^7}}} + \frac{6}{{{x^5}}} - \frac{6}{{{x^7}}}} \right)
</math>

Һәм шулай артабан. Бөтә осраҡтарҙа ла, күренеүенсә,
<math>f(x)</math>-тың
<math>x</math>-тың бөтөн тиҫкәре дәрәжәләре суммаһына ҡабатландығы килеп сыға.
Сикһеҙ бәләкәйҙәрҙең һуңғы суммаһы сикһеҙ бәләкәй була.
Шулай итеп,
<math>\lim_{x \to 0, x\in\mathbb R\setminus\{0\}}f^{(k)}(x) = 0 </math>.

Эҙмә-эҙ рәүештә билдәләмә буйынса (юғарылағы кеүек)  <math>x=0</math> нөктәһендә <math>f(x)</math>-тың сығарылмаларын иҫәпләп,
бөтә сығарылмалары ла <math>x=0</math> нөктәһендә нулгә тигеҙ булыуын асыҡлайбыҙ.
{{Конец скрытого блока}}

== Тейлор рәтенең йыйылыусанлыҡ өлкәһе ==
Тейлор рәтенең, дәрәжәле рәт булараҡ, йыйылыу өлкәһе — түңәрәк (үҙәге <math>a</math> нөктәһендә булған) комплекслы үҙгәреүсән осрағында һәм интервал (үҙәге <math>a</math> нөктәһендә булған) — ысын үҙгәреүсән осрағы өсөн.

1. Мәҫәлән, <math>f(x) = \frac{1}{1 - x}</math> функцияһы Тейлор рәтенә ошолай тарҡатылырға мөмкин: <math>\frac{1}{1 - x} = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {{x^k}} </math> (был сикһеҙ кәмей барыусы геометрик прогрессия суммаһының билдәле формулаһы). Ләкин, әгәр <math>\frac{1}{1 - x} </math> функция, <math>x=1 </math> нөктәһенән башҡа, бөтә ысын һандар күмәклегендә бирелһә, ул саҡта <math> \sum\limits_{k = 0}^\infty  {x^k} </math> рәт тик <math> |x|<1 </math> шарты үтәлгәндә генә йыйыла.

2. Тейлор рәтенең йыйылыусанлыҡ радиусын, мәҫәлән, Даламбер формулаһы буйынса табырға мөмкин:

: <math>R = \lim_{k \to \infty} \left| {\dfrac{{\dfrac{{{f^{(k)}}(a)}}{{k!}}}}{{\dfrac{{{f^{(k + 1)}}(a)}}{{(k + 1)!}}}}} \right| 
= \lim_{k \to \infty} \left| {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}{{{f^{(k + 1)}}(a)}}(k + 1)} \right|</math>.

3. Миҫал өсөн <math> e^x </math> экспоненциаль функцияһын ҡарайыҡ. Экспоненциаль функцияның теләһә ниндәй сығарылмаһы теләһә ниндәй нөктәлә функцияның үҙенә тигеҙ булғанлыҡтан, экспоненциаль функцияның йыйылыусанлыҡ радиусы <math>R=\lim_{k \to \infty}\left| {\frac{{{e^a}}}{{{e^a}}}(k + 1)} \right| = \lim_{k \to \infty}(k + 1) = \infty</math>. Тимәк, экспоненциаль функцияның теләһә ниндәй <math>a</math> параметрлы Тейлор рәте бөтә <math>x</math> күсәрендә йыйыла.

<!---- Осмысленный кусок из бредового раздела «Зависимость Р. Т. от параметра». Буду дорабатывать, пока только перебросил ---->

4. Тейлор рәтенең йыйылыусанлыҡ өлкәһе параметрға — рәтте тарҡатыу <math>a</math> нөктәһенә бәйле.

Мәҫәлән, дөйөм осраҡта (ирекле <math>a</math> өсөн) <math>f(x) = \frac{1}{{1 - x}}</math> функцияһын Тейлор рәтенә тарҡатайыҡ: <math>f(x) = \frac{1}{{1 - x}} = \frac{1}{{1 - a}}\sum\limits_{k = 0}^\infty  {{{\left( {\frac{{x - a}}{{1 - a}}} \right)}^k}}</math>.

Геометрик прогрессияның суммаһы формулаһы ярҙамында, был рәт, <math>x</math> аргументының функцияһы булараҡ, <math>a</math>-ның теләһә ниндәй ҡиммәтендә (<math>a=1</math> башҡа) бер үк күренештә була икәнен иҫбатлап була.

Ысынлап та,

: <math>\frac{1}{1 - a}\sum\limits_{k = 0}^{\infty}{{\left( \frac{x - a}{1 - a} \right)}^k}  = \frac{1}{1 - a} \cdot \frac{1}{1 - \left( \dfrac{x - a}{1 - a} \right)} = \frac{1}{1 - x}</math>.

Рәттең йыйылыусанлыҡ өлкәһе <math>\left| \frac{x - a}{1 - a} \right| < 1</math> тигеҙһеҙлеге менән бирелергә мөмкин. Һәм хәҙер был өлкә <math>a</math>-ға бәйле. Мәҫәлән, <math>a=0</math> өсөг рәт <math>x \in ( - 1;1)</math> булғанда йыйыла. <math>a=0{,}5</math> өсөн рәт <math>x \in ( 0;1)</math> булғанда йыйыла.

== Тейлор формулаһы ==
<math>f(x)</math> функцияһының <math>x=a</math> нөктәһе ингән ниндәйҙер аралыҡта <math>n+1</math>-ҙе лә индереп, <math>n+1</math>-се тәртипкә тиклем бөтә сығарылмалары ла булһын ти. Дәрәжәһе <math>n</math>-дан ҙур булмаған, <math>x=a</math> нөктәһендәге ҡиммәте <math>f(x)</math> функцияһының был нөктәләге ҡиммәтенә тигеҙ булған, ә уның <math>n</math>-ды ла индереп <math>n</math>-сы тәртипкә тиклем сығарылмаларының <math>x=a</math> нөктәһендәге ҡиммәттәре <math>f(x)</math> функцияһының ярашлы сығарылмаларының был нөктәләге ҡиммәттәренә тигеҙ булған, <math>{P_n}(x)</math> күпбыуынын табабыҙ.

Ундай күпбыуын <math>{P_n}(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}{{k!}}{{(x - a)}^k}}</math> күренешендә булыуын еңел иҫбатлап була, йәғни ул <math>f(x)</math> функцияһының Тейлор рәтенең <math>n</math>-сы өлөшсә суммаһы. <math>f(x)</math>функцияһы һәм <math>{P_n}(x)</math> күпбыуыны араһындағы айырма ҡалдыҡ быуын тип атала һәм <math>{R_n}(x)=f(x)-{P_n}(x)</math> тип тамғалана. <math>f(x)={P_n}(x)+{R_n}(x)</math> формулаһы Тейлор формулаһы тип атала<ref>{{Книга|автор=Н.С. Пискунов|заглавие=Дифференциальное и интегральное исчисления|ответственный=|издание=|место=|издательство=Мифрил|год=1996|страницы=Том 1, глава 4, параграф 6|страниц=|isbn=}}</ref>. Ҡалдыҡ быуын <math>a</math> нөктәһенең ҡараған эргә-яғында <math>n+1</math> тапҡыр дифференциалланыусы икәнен еңел аңлап була. Тейлор формулаһы [[дифференциаль иҫәпләмә|дифференциаль иҫәпләмәлә]] күп һандағы теоремаларҙы иҫбат иткәндә ҡулланыла.
Икенсе төрлө әйткәндә, Тейлор формулаһы ниндәйҙер нөктәнең [[эргә яҡ|эргә-яғында]] функцияның үҙ-үҙен тотошон билдәләй.

Теорема:
{{рамка}}
Әгәр <math>f(x)</math> функцияһының остары <math>a</math> һәм <math>x</math> булған киҫектә <math>n+1</math> [[Функцияның сығарылмаһы|сығарылмаһы]] булһа, ул саҡта ирекле ыңғай <math>p</math> һаны өсөн, <math>a</math> һәм <math>x</math> араһында ятҡан шундай <math>\xi</math> нөктәһе табыла, бында

: <math>f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi).</math>
{{конец рамки}}

Был ҡалдыҡ быуын менән дөйөм формала Тейлор формулаһы ('''[[Шлёмильх, Оскар Ксавер|Шлёмильх]] — [[Рош, Эдуард Альберт|Рош]]''' формаһы).

=== [[Ҡалдыҡ быуын|Ҡалдыҡ быуындың]] төрлө формалары ===
[[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранж]] формаһында:
: <math>R_{n}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1; \qquad 0 < \theta < 1 </math>
{{Начало скрытого блока|Заголовок=Сығарыу}}
: Тейлор формулаһының ике өлөшөн дә <math>n</math> тапҡыр <math>x</math> буйынса дифференциаллайыҡ:
: <math>\begin{array}{l}
1)f(x)' = f(a)' + \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}{{(k - 1)!}}{{(x - a)}^{k - 1}}}  + {R_n}(x)'\\
2)f(x)'' = f(a)'' + \sum\limits_{k = 3}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}{{(k - 2)!}}{{(x - a)}^{k - 2}}}  + {R_n}(x)''\\
...\\
n - 1)f{(x)^{(n - 1)}} = f{(a)^{(n - 1)}} + {f^{(n)}}(a)(x - a) + {R_n}{(x)^{(n - 1)}}\\
n)f{(x)^{(n)}} = {f^{(n)}}(a) + {R_n}{(x)^{(n)}}
\end{array}
 </math>
: (Бынан, айырым алғанда, <math>{R_n}(a) = {R_n}(a)' = {R_n}(a)'' = ... ={R_n}{(a)^{(n)}} = 0 </math> булыуы күренә — был теләһә ниндәй формалағы ҡалдыҡ быуындың үҙсәнлеге.)
: Лагранж теоремаһы буйынса (<math>f(x)</math> теореманың шарттарына тура килгәнлектән) <math>x </math> һәм <math>a </math> араһында шундай <math>\xi </math> нөктәһе бар (йәғни <math>\xi </math> <math>x </math>-ҡа ла, <math>a </math>-ға ла тигеҙ түгел), бында <math>f{(x)^{(n)}} - {f^{(n)}}(a) = f{(\xi )^{(n + 1)}}(x - a) </math>. Бынан <math>{R_n}{(x)^{(n)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}}(x - a) </math>. Һуңғы тождествоны тағы ла бер тапҡыр <math>x </math> буйынса дифференциаллайбыҙ һәм табабыҙ <math>{R_n}{(x)^{(n + 1)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}} </math>.
: Ҡалдыҡ быуын <math>{R_n}(x) = \frac{{f{{(\xi )}^{(n + 1)}}{{(x - a)}^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}} </math> күренешендә бирелһен ти. Ул саҡта, беренсенән, ул һәм уның бөтә сығарылмалары <math>x=a</math> нөктәһендә нулгә тигеҙ, икенсенән, <math>{R_n}{(x)^{(n + 1)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}} </math>. Аҙағында тағы ла алмаштырып ҡуйыуҙы башҡарырға мөмкин: <math>\xi  = a + \theta (x - a),\qquad 0 < \theta < 1 </math>. Формула сығарылды.
{{Конец скрытого блока}}
[[Коши, Огюстен Луи|Коши]] формаһында:
: <math>R_{n}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1; \qquad 0 < \theta < 1</math>

Интеграль формала:
: <math>R_{n}(x) = {1 \over n!}\int\limits_a^x (x-t)^n f^{(n+1)} (t)\,dt</math>
{{Начало скрытого блока|Заголовок=Сығарыу}}
: Өлөштәре буйынса интеграллау ысулы менән табабыҙ <math>\begin{array}{l}
{R_n}(x) = \frac{1}{{n!}}\int\limits_a^x {{{(x - t)}^n}{f^{(n + 1)}}(t)dt}  = \frac{1}{{n!}}\int\limits_a^x {{{(x - t)}^n}d{f^{(n)}}(t)}  = \frac{1}{{n!}}\left. {\left( {{{(x - t)}^n}{f^{(n)}}(t)} \right)} \right|_a^x - \frac{1}{{n!}}\int\limits_a^x {{f^{(n)}}(t)d} {(x - t)^n} = \\
 = \frac{1}{{(n - 1)!}}\int\limits_a^x {{{(x - t)}^{n - 1}}{f^{(n)}}(t)d} t - \frac{{{{(x - a)}^n}{f^{(n)}}(a)}}{{n!}} = ... = \int\limits_a^x {f'(t)d} t - \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}{{k!}}}  = f(x) - \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}{{k!}}} 
\end{array}</math>
: бынан
: <math>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}{{k!}}}  + {R_n}(x)</math>
{{Конец скрытого блока}}
Фаразлауҙы йомшартабыҙ:
* <math>f(x)</math> функцияһының <math>a</math> нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында <math>n-1</math> сығарылмаһы һәм <math>a</math> нөктәһенең үҙендә <math>n</math>-сы сығарылмаһы булһын, ул саҡта:

: Асимптотик формала ([[Пеано]] формаһында, локаль формала):
:: <math>R_{n}(x) = o[(x - a)^n ]</math>
{{Начало скрытого блока|Заголовок=Сығарыу}}
:: <math>{R_n}(a) = {R_n}(a)' = {R_n}(a)'' = ... ={R_n}{(a)^{(n)}} = 0 </math> булғанлыҡтан, <math>x</math> <math>a</math>-ға ынтылғанда, <math>\frac{{{R_n}(x)}}{{{{(x - a)}^n}}} </math> сағыштырмаһының сикләнмәһен Лопиталь ҡағиҙәһе буйынса табырға мөмкин: <math>\lim_{x \to a}\frac{{{R_n}(x)}}{{{{(x - a)}^n}}} =\lim_{x \to a} \frac{{{R_n}(x)'}}{{\left( {{{(x - a)}^n}} \right)'}} =\lim_{x \to a} \frac{{{R_n}(x)''}}{{\left( {{{(x - a)}^n}} \right)''}} = ... = \lim_{x \to a}\frac{{{R_n}{{(x)}^{(n)}}}}{{{{\left( {{{(x - a)}^n}} \right)}^{(n)}}}} = \lim_{x \to a}\frac{{{R_n}{{(x)}^{(n)}}}}{{n!}} = 0 </math>
:: Сикләнмә нулгә игеҙ булғанлыҡтан, <math>x \to a</math> булғанда, <math>(x - a)^n</math>-нә ҡарағанда <math>R_{n}(x)</math> ҡалдыҡ быуыны юғары тәртиптәге сикһеҙ бәләкәй функция була. Ә был о-бәләкәйҙең билдәләмәһе.
{{Конец скрытого блока}}

== Функцияның аналитиклығы критерийы  ==
{{mainref|<ref>{{Книга|автор=Н.С. Пискунов|заглавие=Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов|ответственный=|издание=тринадцатое|место=|издательство=МОСКВА "НАУКА"|год=1985|страницы=Том 2, глава 16, параграф 16|страниц=|isbn=}}</ref>}}
Ниндәйҙер <math>f(x)</math> функцияһын ниндәйҙер <math>x=a</math> нөктәһендә Тейлор рәтенә тарҡатырға кәрәк булһын ти. Бының өсөн алдан функцияның был нөктәлә аналитик булыуына ышанырға кәрәк (йәғни тарҡатыла икәненә). Кире осраҡта функцияның Тейлор рәтенә тарҡалмаһы түгел, ә үҙенең функцияһына тигеҙ булмаған Тейлор рәте генә килеп сыға. Шуның менән бергә, Коши функцияһы миҫалында ышанырға мөмкин, функция ла <math>a</math> нөктәһендә теләгән тиклем тапҡыр дифференциалланыусы булырға, уның <math>a</math> параметры менән Тейлор рәте лә йыйылыусан булырға мөмкин, ләкин был ваҡытта Тейлор рәте үҙенең функцияһына тигеҙ булмаҫҡа мөмкин.

Беренсенән, Тейлор рәтенең ниндәйҙер өҙлөкһөҙ өлкәлә йыйылыусан булыуы, функцияның аналитик булыуының кәрәкле шарты булып тора. Ысынлап та, әгәр Тейлор рәте бары бер нөктәлә генә йыйылһа, ул саҡта был нөктә <math>x=a</math>, сөнки унда Тейлор рәте һәр ваҡыт йыйыла. Ләкин ул саҡта Тейлор рәте <math>f(x)</math> функцияһына берҙән-бер ошо нөктәлә генә тигеҙ, тимәк, был функция аналитик булмай.

Икенсенән, Тейлор формулаһы буйынса ҡалдыҡ быуын менән Тейлор рәтенә, <math>a</math> нөктәһе ингән эргә-яҡта сикһеҙ дифференциалланыусы теләһә ниндәй функция (ә тик аналитик түгел) тарҡатыла ала. Шундай функцияның <math>a</math> параметры менән Тейлор рәте был эргә-яҡта йыйылһын ти. Әгәр ике эҙмә-эҙлелектең һәр береһенең сикләнмәһе булһа, ул саҡта был эҙмә-эҙлелектәрҙең суммаһының сикләнмәһе уларҙың сикләнмәләренең суммаһына тигеҙ. Ул саҡта <math>a</math> нөктәһенең эргә-яғынан бөтә <math>x</math> өсөн Тейлор формулаһы буйынса <math>\lim_{n \to \infty}R_{n}(x) = \lim_{n \to \infty}(f(x)-P_n(x))=f(x)-\lim_{n \to \infty}P_n(x)</math> тип яҙырға мөмкин, бында <math>\lim_{n \to \infty}P_n(x)</math> — Тейлор рәте.

Күренеүенсә, <math>f(x)</math> функцияһы <math>a</math> нөктәһендә аналитик була шул саҡта һәм бары тик шул саҡта ғына, әгәр <math>a</math> нөктәһенең күрһәтелгән эргә-яғында шундай өҙлөкһөҙ <math>X</math> өлкәһе булһа, бөтә <math>x \in X</math> өсөн уның Тейлор формулаһы буйынса тарҡалмаһының ҡалдыҡ быуыны <math>n</math> артыу менән нулгә ынтылһа: <math>\lim_{n \to \infty}R_{n}(x) = 0</math>.

Миҫал итеп <math> e^x </math> экспоненциаль функцияһын ҡарайыҡ. Уның Тейлор рәте бөтә <math>x</math> күсәрендә теләһә ниндәй <math>a</math> параметры өсөн йыйыла. Хәҙер был функцияның бөтә <math>a</math> нөктәләрендә  аналитик булыуын иҫбатлайыҡ.

Лагранж формаһында был функция тарҡалмаһының ҡалдыҡ быуыны <math>{R_n}(x) = \frac{{{{(x - a)}^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}}{e^{\xi_n} }</math> күренешендә, бында <math>\xi_n</math> — <math>x</math> һәм <math>a</math> араһындағы ниндәйҙер һан (ирекле түгел, ләкин билдәле лә түгел). Ул саҡта, күренеүенсә, 
: <math>\lim_{n \to \infty}{R_n}(x) =\lim_{n \to \infty} \frac{{{{(x - a)}^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}}{e^{\xi_n} }\leq M\cdot \lim_{n \to \infty} \frac{{{{(x - a)}^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}}=0</math>

Бында билдәләләнгән арауыҡта экспонента ниндәйҙер <math>M</math> һаны менән сикләнгән булыуы ҡулланыла

Шуның менән бергә, ҡалдыҡ быуындың сикләнмәһе теләһә ниндәй <math>x</math> һәм <math>a</math> өсөн нулгә тигеҙ.

== Ҡайһы бер функцияларҙың Маклорен рәттәре ==
* [[Экспонента]]: <math>\displaystyle\mathrm{e}^{x} = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{x^n}{n!}, x\in\mathbb{C}</math>
* Натураль [[логарифм]] ("[[Меркатор рәте]]"): <math>\displaystyle\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{(-1)^n x^{n+1}}{(n+1)} =  \sum\limits^{\infin}_{n=1} \dfrac{(- 1)^{n-1}x^n}{n},</math> бөтә <math> -1< x \le 1</math> өсөн
* [[Ньютон Биномы|Биномиаль тарҡалма]]: <math>\displaystyle(1+x)^\alpha  = 1+\sum\limits^{\infin}_{n=1} \binom \alpha n x^n,</math> бөтә<math> \left| x \right| < 1</math> һәм бөтә комплекслы <math>\alpha</math> өсөн, бында <math>\displaystyle\binom \alpha n = \prod\limits_{k=1}^n \dfrac{\alpha-k+1}k = \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math>
** [[Квадрат тамыр]]: <math>\displaystyle\sqrt{1+x} = 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} + \dfrac{x^3}{16} - \cdots = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n,</math> бөтә <math>|x| \le 1</math> өсөн
** <math>\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = 1 + \sum\limits^{\infin}_{n=1} x^n,</math> бөтә <math> |x| < 1</math> өсөн
** Сикле геометрик рәт: <math>\displaystyle\dfrac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum\limits^{m}_{n=0} x^n, </math> бөтә <math> x \not = 1,\ m\in\mathbb{N}_0</math> өсөн
* [[Тригонометрик функциялар]]:
** Синус: <math>\displaystyle\sin x =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\ = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, x\in\mathbb{C}</math>
** Косинус: <math>\displaystyle\cos x =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}, x\in\mathbb{C}</math>
** Тангенс: <math>\displaystyle\operatorname{tg}\ x =  x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1},</math> бөтә <math> \left| x \right| < \dfrac{\pi}{2}</math> өсөн, бында <math>B_{2n}</math> — [[Бернулли һандары]]
** Секанс: <math>\displaystyle\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}</math> для всех <math> \left| x \right| < \dfrac{\pi}{2}</math> бында <math>E_{2n}</math> — [[Эйлер һандары]]
** Арксинус: <math>\displaystyle\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}</math> бөтә <math> \left| x \right| \le 1</math> өсөн<ref>При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой <math>\arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2},</math> где <math>\arccos x = {\pi\over 2}-\arcsin x</math></ref>
** Арккосинус: <math>\displaystyle\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}</math> бөтә <math> \left| x \right| \le 1</math> өсөн
** Арктангенс: <math>\displaystyle\operatorname{arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} x^{2n-1}</math> бөтә <math>\left| x \right| \le 1</math> өсөн
* [[Гиперболик функциялар]]:
** <math>\operatorname{sh}\, \left(x\right) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}, x\in\mathbb{C}</math>
** <math>\operatorname{ch}\, \left(x\right) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}, x\in\mathbb{C}</math>
** <math>\operatorname{th}\,\left(x\right) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}</math> бөтә <math> 
\left|x\right| < \dfrac{\pi}{2}</math> өсөн
** <math>\operatorname{arsh}\, \left(x\right) =  x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}</math> бөтә <math> \left| x \right| < 1</math> өсөн
** <math>\operatorname{arth}\, \left(x\right) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}</math> бөтә <math> \left| x \right| < 1</math> өсөн.

== Ике үҙгәреүсәнле функция өсөн Тейлор формулаһы ==
<math>f(x,y)</math> функцияһының <math>(x_0, y_0)</math> нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында, <math>(n+1)</math>-ҙе лә индереп <math>(n+1)</math>-се тәртипкә тиклем өҙлөкһөҙ сығарылмалары булһын, ти.
Дифференциаль оператор индерәбеҙ

: <math>\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y}</math>.

Ул саҡта <math>f(x,y)</math> функцияһының <math>(x_0, y_0)</math> нөктәһенең эргә-яғында <math>(x-x_0)^p (y-y_0)^q</math> дәрәжәләре буйынса <math>p+q\leq n</math> өсөн  тарҡалмаһы (Тейлор формулаһы) ошондай күренештә була

: <math>f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^k f(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),</math>

бында <math>R_n(x,y)</math> — Лагранж формаһында ҡалдыҡ быуын:

: <math>R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x],\ \zeta \in [y_0,y]</math>

<math>\dfrac {\partial} {\partial x}</math> һәм <math>\dfrac {\partial} {\partial y}</math> операторҙары
<math>\mathrm{T}^{k}</math>-ла тик <math>f(x,y)</math> функцияһына тәьҫир итә, ләкин <math>(x-x_0)</math>-ға һәм/йәки <math>(y-y_0)</math>-ға түгел икәнен күҙ уңында тоторға кәрәк.

Оҡшаш рәүештә теләһә ниндәй һандағы үҙгәреүсәнле функциялар өсөн формула төҙөлә, тик <math>\mathrm{T}</math> операторында ҡушылыусылар һаны ғына үҙгәрә.

Бер үҙгәреүсәнле функция осрағында <math>\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {d}{dx}\,</math>.

== Күп үҙгәреүсәнле Тейлор формулаһы ==
<math>(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})</math> нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында <math>(m+1)</math>-ҙе лә индереп <math>(m+1)</math>-се тәртипкә тиклем өҙлөкһөҙ сығарылмалары булған <math>n</math> үҙгәреүсәнле <math>f(x_1, x_2, ... x_n)</math> функцияһының Тейлор формулаһын табыу өсөн, дифференциаль оператор индерәбеҙ

: <math>\mathrm{T}=(x_1-a_{1})\dfrac {\partial} {\partial x_1}+(x_2-a_{2})\dfrac {\partial} {\partial x_2}+ ... +(x_n-a_{n})\dfrac {\partial} {\partial x_n}.</math>

Ул саҡта <math>(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})</math> нөктәһенең эргә-яғында функцияның <math>(x_i-a_{i})^{k_i}</math> дәрәжәләре буйынса тарҡалмаһы (Тейлор формулаһы) ошондай күренештә була

: <math>f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k=0}^m \dfrac {\mathrm{T}^k f(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})} {k!} + R_m(x_1, x_2, ... x_n),</math>

бында <math>R_m(x_1, x_2, ... x_n)</math> — <math>(m+1)</math> -се тәртиптәге ҡалдыҡ быуын.

<math>(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})</math> нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында сикһеҙ дифференциалланыусы <math>n</math> үҙгәреүсәнле функция өсөн, Тейлор рәте ошондай күренештә

: <math>f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k_1=0}^\infty\sum\limits_{k_2=0}^\infty...\sum\limits_{k_n=0}^\infty C_{k_1,k_2,...k_n}(x_1-a_{1})^{k_1}(x_2-a_{2})^{k_2}...(x_n-a_{n})^{k_n}</math>,

бында‘

: <math>C_{k_1,k_2,...k_n}=\dfrac{1}{k_1!k_2!...k_n!}\dfrac {\partial^{k_1+k_2+...+k_n}} 
{\partial x_1^{k_1}\partial x_2^{k_2}...\partial x_n^{k_n}}f(x_1,x_2,...x_n)|_{x_1=a_{1},x_2=a_{2},...,x_n=a_{n}}
</math>

=== Өс үҙгәреүсәнле функцияның Маклорен рәтенә тарҡалыу миҫалы ===
Өс <math>x</math>, <math>y</math> һәм <math>z</math> үҙгәреүсәнле функцияның <math>(0, 0, 0)</math> нөктәһе эргә-яғында бәләкәйлектең икенсе тәртибенә тиклем Тейлор рәтенә тарҡатыу өсөн аңлатма табабыҙ. <math>\mathrm{T}</math> операторы түбәндәге күренештә була
: <math>\mathrm{T}= x \dfrac {\partial} {\partial x}+ y \dfrac {\partial} {\partial y}+ z \dfrac {\partial} {\partial z}.</math>

Тейлор рәтенә тарҡалма түбәндәге күренештә яҙыла

: <math>f(x, y, z)=\sum\limits_{k=0}^2 \dfrac {\mathrm{T}^k f_0} {k!} + R_2(x, y, z) =</math>

: <math>= \left( 1+T+\frac {T^2}{2} \right) f_0 + R_2(x, y, z);</math>

: <math>T^2 = 
x^2 \dfrac {\partial^2} {\partial x^2}+ y^2 \dfrac {\partial^2} {\partial y^2}+ z^2 \dfrac {\partial^2} {\partial z^2} + 2xy \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial y} + 2xz \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial z}+ 2yz \dfrac {\partial^2} {\partial y \partial z},
</math> булыуын иҫәпкә алып,

табабыҙ

: <math>f(x, y, z)=  f_0 +

x \dfrac {\partial f_0} {\partial x} + y \dfrac {\partial f_0} {\partial y} + z \dfrac {\partial f_0} {\partial z}

+ \frac{x^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x^2} + \frac{y^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y^2} + \frac{z^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial z^2} +

</math>

: <math>
+ xy \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial y} + xz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial z} + yz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y \partial z}

+ R_2(x, y, z).
</math>

Мәҫәлән, <math>f(x,y,z)=e^{x+y+z}</math> булғанда,

: <math>f(x, y, z)=  1 + x + y + z  
+ \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + \frac{z^2}{2}
+ xy + xz + yz + R_2(x, y, z).
</math>

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Тейлор теоремаһы]]
* [[Фурье рәте]]
* [[Лоран рәте]]
* [[Дельсарт, Жан Фридерик]]
* [[Аналитик функция]]
* [[Эйлер формулаһы]]
* [[Үҫенте (математика)|Үҫенте]]
* [[Ағым (математика)|Ағым]]

== Иҫкәрмәләр ==
{{Иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==
* ''Емелин Александр'' [http://mathprofi.ru/razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady.html Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Примеры решений]
* ''Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х.'' Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
* ''Камынин Л. И.'' Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
* ''Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф.'' [http://webmath.exponenta.ru/s/vm_1_index.html Высшая математика. Первый семестр,] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100512095633/http://webmath.exponenta.ru/s/vm_1_index.html |date=2010-05-12 }} Интерактивный компьютерный учебник.
* {{книга
|автор        = [[Маркушевич, Алексей Иванович|Маркушевич А. И.]]
|заглавие     = Теория аналитических функций. В 2т.
|ссылка       = 
|издание      = Изд. 2-е
|место        = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год          = [[1967]]
|том          = 1: Начала теории
|страниц      = 486
|isbn         = 
}}
* {{книга
|автор        = Нарасимхан Р.
|заглавие     = Анализ на действительных и комплексных многообразиях 
|ссылка       = 
|издание      = пер. с англ. Е. М. Чирки
|место        = М.
|издательство = [[Мир (издательство)|Мир]]
|год          = [[1971]]
|том          = 
|страниц      = 232
|isbn         = 
}}
* {{статья |автор=Петрова С. С., Романовска Д. А. |заглавие=К истории открытия ряда Тэйлора.
  |издание=[[Историко-математические исследования]] |номер=25
  |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |место=М. |год=1980 |страницы=10—24 }}
* {{книга
|автор        = [[Пискунов, Николай Семёнович|Пискунов Н. С.]]
|заглавие     = Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2т.
|ссылка       = 
|издание      = Изд. 13-е
|место        = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука, Главная редакция физико-математической литературы]]
|год          = [[1985]]
|том          = 1
|страниц      = 432
|isbn         = 
}}
* {{книга
|автор        = [[Пискунов, Николай Семёнович|Пискунов Н. С.]]
|заглавие     = Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2т.
|ссылка       = 
|издание      = Изд. 13-е
|место        = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука, Главная редакция физико-математической литературы]]
|год          = [[1985]]
|том          = 2
|страниц      = 560
|isbn         = 
}}
* {{книга
|автор        = [[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]]
|заглавие     = Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3т. 
|ссылка       = 
|издание      = Изд. 8-е
|место        = М.
|издательство = [[Физматлит|ФИЗМАТЛИТ]]
|год          = [[2003]]
|том          = I
|страниц      = 680
|isbn         = ISBN 5-9221-0156-0
}}

{{rq|refless}}
{{Последовательности и ряды}}
{{Дифференциальное исчисление}}

[[Категория:Математик анализ]]
[[Категория:Күпбыуындар]]
[[Категория:Рәттәр]]