Трапеция битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{Ук}}
{{значения}}
[[Файл:Trapezoid.svg|right]]
'''Трапе́ция''' ({{lang-grc|τραπέζιον}} — «''бәләкәй өҫтәл''» һүҙенән {{lang-grc2|τράπεζα}} — «''өҫтәл''» һүҙенән ) — ике яғы [[Параллеллек|параллель]] булған [[Ҡабарынҡы күпмөйөш|ҡабарынҡы]] [[дүртмөйөш]]. Йыш ҡына трапеция билдәләмәһендә ҡалған ике яғы параллель булмаҫҡа тейеш тигән шарт өҫтәйҙәр<ref>{{книга
|часть =
|заглавие = Математический энциклопедический словарь
|оригинал =|автор =|ссылка =|isbn = 
|страницы = 587
|год = 1988
|место =  М.
|издательство = [[Советская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]
}}</ref>. Параллель булған ҡапма-ҡаршы яҡтары трапецияның нигеҙҙәре тип аталалар, ә ҡалған ике яғы — эргә яҡтары тип атала. Урта һыҙығы — эргә яҡтарының урталарын тоташтырған киҫек.

== Билдәләмәнең төрҙәре ==
Трапецияның икенсе билдәләмәһе лә бар.

Трапеция — ике яғы параллель булған ҡабарынҡы дүртмөйөш<ref>[http://www.bymath.net/studyguide/geo/sec/geo8.htm Вся элементарная математика] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150709034559/http://www.bymath.net/studyguide/geo/sec/geo8.htm |date=2015-07-09 }}</ref><ref>[http://mathworld.wolfram.com/Trapezoid.html Wolfram MathWorld]</ref>. Был билдәләмәгә ярашлы, [[параллелограмм]] һәм [[тура дүртмөйөш]] — трапецияның айырым осраҡтары. Түбәндә килтерелгән формулалар трапецияның ике билдәләмәһе өсөн дә дөрөҫ.

== Бәйләнгән билдәләмәләр ==

=== Трапецияның элементтары  ===
[[Файл:Трапеция и диагонали.png|thumb|300px|right|Трапецияның диагоналдәре киҫешкән нөктә, уның эргә яҡтарының дауамы киҫешкән нөктә һәм нигеҙҙәренең урталары бер тура һыҙыҡта яталар]]

* Параллель булған ҡапма-ҡаршы яҡтары трапецияның '''нигеҙҙәре''' тип аталалар.
* Ҡалған ике яғы трапецияның '''эргә яҡтары''' тип аталалар.
* Трапецияның эргә яҡтарының урталарын тоташтырған киҫек трапецияның '''[[Трапецияның урта һыҙығы|урта һыҙығы]]''' тип атала.

=== Трапецияның төрҙәре ===
* Эргә яҡтары тигеҙ булған трапеция '''тигеҙ эргәле''' трапеция тип атала (һирәгерәк '''тигеҙ ҡабырғалы'''<ref>{{Книга|автор=Коллектив авторов|заглавие=Современный справочник школьника. 5-11 классы. Все предметы|ссылка=https://books.google.com/books?id=YRmFAQAAQBAJ|издательство=Litres|год=2015-09-03|страницы=82|страниц=482|столбцы=|isbn=9785457410022}}</ref> или '''равнобочной'''<ref>{{Книга|автор=М. И. Сканави|заглавие=Элементарная математика|ссылка=https://books.google.com/books?id=6EX6AgAAQBAJ&pg=PA437|издательство=|год=2013|страницы=437|страниц=611|isbn=9785458254489}}</ref> трапецией).
* Эргә яғы эргәһендәге мөйөштәре [[Тура мөйөш|тура]] булған трапеция '''тура мөйөшлө''' трапеция тип атала.
<gallery>
Trapezoid2 1.png|Тигеҙ эргәле трапеция
Trapezoid1.png|Тура мөйөшлө трапеция
</gallery>

== Уртаҡ үҙсәнлектәре ==
{{Mainref|<ref>{{книга | заглавие = Четырёхугольники | ссылка =http://math4school.ru/chetyrehugolniki.html
}}</ref>}}
* Трапецияның урта һыҙығы нигеҙҙәренә параллель һәм уларҙың ярымсуммаһына тигеҙ.
* Диагоналдәренең уртаһын тоташтырған киҫек нигеҙҙәренең ярым айырмаһына тигеҙ һәм урта һыҙыҡта ята.
* (Дөйөмләштерелгән [[Фалес теоремаһы]]). [[Мөйөш]]төң яҡтарын киҫеүсе параллель тура һыҙыҡтар мөйөштөң яҡтарынан пропорциональ киҫектәр киҫеп алалар.
* Әгәр трапецияның нигеҙҙәре оҙонлоҡтары суммаһы уның эргә яҡтарының оҙонлоҡтары суммаһына тигеҙ булһа, был трапецияға әйләнә ҡамарға мөмкин. 
* Трапеция диагоналдәренең киҫешеү нөктәһе аша үткән һәм нигеҙҙәренә параллель булған киҫек был нөктә менән урталай бүленә һәм <math>\frac{2xy}{x+y}</math> трапеция нигеҙҙәре оҙонлоҡтарының [[Гармоник урта|гармоник уртаһына]] тигеҙ (Бураков формулаһы).
* Трапецияның диагоналдәре киҫешкән нөктә, уның эргә яҡтарының дауамы киҫешкән нөктә һәм нигеҙҙәренең урталары бер тура һыҙыҡта яталар.
* Әгәр трапецияның теләһә ҡайһы нигеҙе эргәһендәге мөйөштәренең суммаһы  90°-ҡа тигеҙ булһа, нигеҙҙәренең урталарын тоташтырған киҫек уларҙың [[wikt:ярым айырма|ярым айырмаһына]] тигеҙ.
* Трапецияның диагоналдәре киҫешкәндә нигеҙҙәрендә ятҡан өсмөйөштәр [[Өсмөйөштәр оҡшашлығы|оҡшаштар]].
* Эргә яҡтарында ятҡан өсмөйөштәр тигеҙ ҙурлыҡта.
* Әгәр нигеҙҙәренең сағыштырмаһы <math>K</math>-ға тигеҙ булһа, ул саҡта нигеҙҙәрендә ятҡан өсмөйөштәрҙең майҙандары сағыштырмаһы <math>K^2</math> тигеҙ.
* Трапецияның бейеклеге түбәндәге формула менән билдәләнә:
:: <math> h=\sqrt{c^2-\frac 14 \left ( \frac{c^2-d^2}{b-a}+b-a\right )^2}</math>
: бында <math> b </math> — ҙур нигеҙе, <math> a </math> — бәләкәй нигеҙе, <math> c </math> һәм <math> d </math> — эргә яҡтары.
* Трапецияның диагоналдәре <math> d_1</math> һәм <math> d_2 </math> яҡтары менән түбәндәге нисбәт менән бәйләнгән:
:: <math>d_1^2+d_2^2=2ab+c^2+d^2 </math>
: Уларҙы асыҡ итеп күрһәтергә була:
:: <math> d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}</math>
:: <math> d_2=BD=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}</math>
: Әгәр, киреһенсә, эргә яҡтары һәм диагоналдәре билдәле булһа, ул саҡта нигеҙҙәре түбәндәге формулалар менән күрһәтеләләр:
:: <math>a=\sqrt{\frac{(c^2-d_1^2)^2-(d^2-d_2^2)^2}{2(c^2-d^2+d_1^2-d_2^2)}}</math>
:: <math>b=\sqrt{\frac{(c^2-d_2^2)^2-(d^2-d_1^2)^2}{2(c^2-d^2-d_1^2+d_2^2)}}</math>
:: ә билдәле нигеҙҙәре һәм диагоналдәре аша эргә яҡтары түбәндәгесә:
:: <math>c=\sqrt{\frac{a(d_2^2-b^2)+b(d_1^2-a^2)}{a+b}}</math>
:: <math>d=\sqrt{\frac{a(d_1^2-b^2)+b(d_2^2-a^2)}{a+b}}</math>
: Әгәр бейеклеге <math> h </math> билдәле булһа, ул саҡта
:: <math>d_1=\sqrt{b^2+d^2-2b\sqrt{d^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{d^2-h^2} \right )^2}</math>
:: <math>d_2=\sqrt{b^2+c^2-2b\sqrt{c^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{c^2-h^2} \right )^2}</math>

== Тигеҙ эргәле трапецияның үҙсәнлектәре һәм билдәләре ==
Трапеция тигеҙ эргәле була шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр түбәндәге эквивалентлы шарттарҙың теләһә ҡайһыһы үтәлһә:
* нигеҙҙәренең уртаһы аша үткән тура һыҙыҡ нигеҙҙәренә перпендикуляр (йәғни трапецияның симметрия күсәре булып тора);
* түбәһенән ҙур нигеҙенә төшөрөлгән бейеклек уны, береһе нигеҙҙәренең ярым суммаһына, икенсеһе — нигеҙҙәренең ярым айырмаһына тигеҙ булған киҫектәргә бүләй;
* теләһә ҡайһы нигеҙе эргәһендәге мөйөштәре тигеҙ;
* ҡапма-ҡаршы мөйөштәренең суммаһы 180°-ҡа тигеҙ;
* диагоналдәренең оҙонлоҡтары тигеҙ;
* бындай трапецияны әйләнә менән ҡамарға мөмкин;
* был трапецияның түбәләре булып шулай уҡ ниндәйҙер [[антипараллелограмм]]дың түбәләре тора.

Бынан тыш 
* әгәр тигеҙ эргәле трапецияла диагоналдәр перпендикуляр булһа, ул саҡта бейеклек нигеҙҙәренең ярым суммаһына тигеҙ.

== Ҡамалған һәм ҡамаусы әйләнә ==
{{Нет ссылок|В этом разделе|дата=6 июля 2015}}
* Әгәр трапецияның нигеҙҙәре суммаһы эргә яҡтарының суммаһына тигеҙ булһа, ул саҡта был трапецияға [[әйләнә]] [[Ҡамалған әйләнә|ҡамарға]] мөмкин. Был осраҡта урта һыҙыҡ эргә яҡтарының ярым суммаһына тигеҙ (сөнки трапецияның урта һыҙығы нигеҙҙәренең ярым суммаһына тигеҙ).
* Трапецияла уның эргә яғы ҡамалған әйләнәнең үҙәгенән 90° мөйөш аҫтында күренә.
* Әгәр трапеция тигеҙ эргәле булһа, уның тирәләй [[әйләнә]] [[Ҡамаусы әйләнә|ҡамарға]] мөмкин.
* Тигеҙ эргәле трапецияны ҡамаусы әйләнәнең радиусы:{{нет АИ|6|07|2015}}
:: <math>R=\frac{bcd_1}{4\sqrt{p(p-b)(p-c)(p-d_1)}}=\sqrt{\frac{ab+c^2}{4-\left ( \frac{b-a}{c}\right )^2}}</math>
: бында <math>p=\frac 12 (b+c+d_1) \, , \,   c</math> — эргә яҡ, <math>b</math> — ҙур нигеҙе, <math>a</math> — бәләкәй нигеҙе, <math> d_1=d_2 </math> — тигеҙ эргәле трапецияның диагоналдәре.
* Әгәр <math>a+b=2c </math> булһа, ул саҡта тигеҙ эргәле трапецияға радиусы
:: <math>r=\frac h2=\frac{\sqrt{ab}}{2}</math> булған әйләнә ҡамарға мөмкин.
* Әгәр трапецияға радиусы <math>r</math> булған [[әйләнә]] [[Ҡамалған әйләнә|ҡамалһа]], һәм ул тейеү нөктәләре менән эргә яҡтарын ике киҫеккә — <math>v</math> һәм <math>w</math> бүлһә — ул саҡта <math>r = \sqrt{vw}</math>.

== Майҙан ==
: ''Бында тап трапецияға хас булған формулалар килтерелгән. Шулай уҡ ҡара: [[Дүртмөйөш#Майҙан|ирекле дүртмөйөштәрҙең майҙандары]] өсөн формулалар.''
* Әгәр <math>a</math> һәм <math>b</math> — нигеҙҙәре һәм <math>h</math> — бейеклек булһа, [[Фигураның майҙаны|майҙан]] формулаһы:
:: <math>S= \frac{(a+b)}{2}h</math>
* Әгәр <math>m</math> — урта һыҙыҡ һәм <math>h</math> — бейеклек булһа, [[Фигураның майҙаны|майҙан]] формулаһы:
:: <math>S= \displaystyle m h</math>
''Иҫкәрмә:'' Юғарыла килтерелгән ике формула эквивалентлы, сөнки нигеҙҙәренең ярым суммаһы трапецияның урта һыҙығына тигеҙ:
:: <math>m= \frac{ (a+b) }{2}</math>
* Формула, бында <math>a<b</math> — трапецияның нигеҙҙәре, <math>c</math> һәм <math>d</math> — эргә яҡтары:
:: <math>S=\frac{a+b}{4(b-a)}\sqrt{(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}.</math>
: йәки
:: <math>S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\frac 14 \left ( \frac{c^2-d^2}{b-a}+b-a\right )^2}</math>
* Урта һыҙыҡ <math>m</math> фигураны, майҙандары сағыштырмаһы<ref>Сканави М.И. [http://edu.sernam.ru/book_el_math.php?id=196 202. Площадь трапеции] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170812065730/http://edu.sernam.ru/book_el_math.php?id=196 |date=2017-08-12 }} // Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп., М.: 1974г. - 592с.</ref>
:: <math>\frac{S_1}{S_2}=\frac{3a+b}{a+3b}</math> кеүек булған ике трапецияға бүлә

* Ҡамаусы әйләнәнең радиусы <math>r</math> һәм нигеҙе эргәһендәге мөйөшө <math>\alpha</math> булған тигеҙ эргәле трапецияның майҙаны:
:: <math>S=\frac{4r^2}{\sin{\alpha}}</math>
* Тигеҙ эргәле трапецияның майҙаны:
:: <math>S=(b-c\cos{\gamma})c\sin{\gamma}=(a+c\cos{\gamma})c\sin{\gamma}</math>
: бында <math>c</math> — эргә яғы, <math>b</math> — ҙур нигеҙе, <math>a</math> — бәләкәй нигеҙе, <math>\gamma</math> — ҙур нигеҙе менәнэргә яғы араһындағы мөйөш<ref>Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов 1986. С. 184</ref>.
* Тигеҙ эргәле трапецияның майҙаны уның яҡтары аша
:: <math>S=\frac{a+b}{2} \sqrt{c^2-\frac 14 (b-a)^2}</math>

{{Навигация
|Викисловарь=трапеция
}}

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр}}
===== Исем =====
{{Күпмөйөштәр}}

[[Категория:Дүртмөйөштәр]]