Төркөм (математика) битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{Теория групп}}
{{Значения|Группа}}
'''Төркөм''' [[Математика|математикала]] — [[Ассоциатив ғәмәл|ассоциатив]] бинар ғәмәл билдәләнгән  [[күмәклек]], шуның менән бергә был ғәмәл өсөн [[нейтраль элемент]] (ҡабатлау өсөн берҙең аналогы), һәм күмәклектең һәр элементының [[Кире элемент|киреһе]] бар. [[Дөйөм алгебра|Дөйөм алгебраның]] төркөмдәр менән шөғөлләнгән тармағы [[Төркөмдәр теорияһы|төркөмдәр теорияһы]] тип атала<ref name = "defex">{{книга|автор =Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. |заглавие = Основы теории групп|издание = 3-е изд.|место = Москва|издательство = Наука|год = 1982|страницы = 16|страниц = 288|тираж = 11800}}</ref>.

Төркөм миҫалдарының береһе — [[Ҡушыу|ҡушыу]] ғәмәле менән тәьмин ителгән [[Бөтөн һан|бөтөн һандар]] күмәклеге: теләһә ниндәй ике бөтөн һандың суммаһы шулай уҡ бөтөн һанды бирә, нейтраль элемент ролен [[Нуль (һан)|ноль]] уйнай, ә ҡапма-ҡаршы тамғалы һан кире элемент була. Башҡа миҫалдар — ҡушыу ғәмәле менән [[Ысын һан|ысын һандар]] күмәклеге, [[Яҫылыҡ (математика)|яҫылыҡтың]] [[Координаталар башы|координаталар башы]] тирәләй [[әйләнеш|әйләнештәр]] күмәклеге. Төркөмгә [[Аксиомалар системаһы|аксиомалар системаһы]] аша, төҙөүсе күмәклектәрҙең үҙенсәлегенә бәйләнмәгән абстракт билдәләмә биреү арҡаһында, төркөмдәр теорияһында дөйөм үҙсәнлектәре һәм уларҙың структураһы күҙлегенән төрлө сығышлы математик объекттарҙы өйрәнеү өсөн универсаль аппарат булдырылған. Математикала һәм унан ситтә төркөмдәрҙең һәр ерҙә ҡыҫылғанлығы уларҙы хәҙерге математикала һәм уның ҡушымталарында мөһим конструкция итә.

Төркөм [[Симметрия|симметрия]] төшөнсәһенә фундаменталь оҡшаш һәм уның бөтә сағылыштарын өйрәнеүҙә мөһим инструмент булып тора. Мәҫәлән, [[симметрия төркөмө]] [[Геометрия|геометрик]] объекттың үҙсәнлектәрен сағылдыра: ул объектты үҙгәрешһеҙ ҡалдырған үҙгәртеүҙәр күмәклегенән һәм ике бер береһенең артынса килгән шундай үҙгәртеүҙәрҙе комбинациялау операцияһынан тора. [[Нөктәле симметрия төркөмө]] кеүек симметрия төркөмдәре химияла молекуляр симметрия күренешен аңларға ярҙам итә; [[Пуанкаре төркөмө]] [[Арауыҡ-ваҡыт|арауыҡ-ваҡыттың]] симметрияһын характерлай, ә [[махсус унитар төркөм]]дәр [[Элементар өлөшсәләр физикаһы|элементар өлөшсәләр физикаһының]] [[Стандарт модель|стандарт моделендә]] ҡулланылалар <ref>{{книга|автор =Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. |заглавие = Основы теории групп|издание = 3-е изд.|место = Москва|издательство = Наука|год = 1982|страницы = 9—14|страниц = 288|тираж = 11800}}</ref>.

Төркөм төшөнсәһен [[Эварист Галуа]], [[күпбыуын]]дарҙы өйрәнгәндә [[1830-сы йылдарҙа]] индерә<ref name = "Kleiner"/>.

Хәҙерге заман төркөм теорияһы математиканың әүҙем бүлеге булып тора<ref>Тик 2005 йылда ғына, [[MathSciNet]] мәғлүмәттәре буйынса, ''Group theory and generalisations'' өлкәһендә 2 меңдән артыҡ тикшеренеү эше баҫылып сыға.</ref>. [[1981 йыл]]да тамамланған [[Ябай сикле төркөмдәр классификацияһы|ябай сикле төркөмдәрҙе классификациялауҙа]] ҙур һөҙөмтәләргә өлгәшелә: теоремаларҙы иҫбатлау йөҙҙән артыҡ авторҙың 1955 йылдан башлап баҫылып сыҡҡан йөҙләгән фәнни мәҡәләһенең тиҫтәләгән мең битен тәшкил итә, ләкин иҫбатлауҙа табылған етешһеҙлек арҡаһында мәҡәләләр яҙылыуы дауам итә<ref name=autogenerated1>{{книга|автор = Горенстейн Д.|заглавие = Конечные простые группы. Введение в их классификацию|оригинал = Finite simple Groups. An Introduction to Their Classification|ответственный = под ред. А.И. Кострикина|издание = Мир|место = Москва|издательство = Мир|год = 1985|страницы = 9—17|страниц = 352|тираж = 5250}}</ref>. 1980-се йылдар уртаһынан геометрик объекттар булараҡ [[килтереп сығарыусы төркөмдәр күмәклеге|сикле-килтереп сығарылған төркөмдәр]]ҙе өйрәнеүсе [[төркөмдәрҙең геометрик теорияһы]] һиҙелерлек үҫеш ала.

== Билдәләмә ==
Буш булмаған ''G'' күмәклеге унда бирелгән <math>{*}</math> [[бинар операция|бинар операцияһы]] менән: <math>\mathrm{G} \times \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G}
</math> <math>(\mathrm{G}, *)
</math> төркөм тип атала, әгәр ошондай аксиомалар үтәлһә:

# '''[[Ассоциативлыҡ (математика)|ассоциативлыҡ]]''': <math>\forall (a, b, c\in G)\colon (a*b)*c = a*(b*c)</math>;
# '''[[Нейтраль элемент|нейтраль элементтың]] булыуы''': <math>\exists e \in G \quad \forall a \in G\colon (e*a=a*e=a)</math>;
# '''кире элементтың булыуы''': <math>\forall a \in G \quad \exists a^{-1}\in G\colon (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)</math>.
Һуңғы ике аксиоманы бер '''<math>*</math>-ға кире операцияның''' булыуы аксиомаһы менән алмаштырырға мөмкин:<blockquote><math>\forall (a,b\in G) \quad \exists (x,y\in G)\colon (a*x=b)\land (y*a=b)</math>.</blockquote>Шуның менән бергә юғарыла килтерелгән аксиомалар ҡәтғи иң әҙе булып тормайҙар. [[Нейтраль элемент|Нейтраль]] һәм [[Кире элемент|кире элементтар]] булһын өсөн [[Нейтраль элемент|һул нейтраль]] элементтың һәм [[Кире элемент|һул кире]] элементтың булыуы етә. Шуның менән бергә, улар автоматик рәүештә ғәҙәттәге нейтраль һәм кире элемент булалар икәнен иҫбатлап була{{sfn|Сагалович|2010|с=50}}.

=== Бәйле билдәләмәләр ===
{{main|Словарь терминов теории групп}}

* Дөйөм осраҡта төркөмдән ''[[коммутативлыҡ]]'' үҙсәнлеге үтәлеүе талап ителмәй.
** <math>a*b = b*a</math> тигеҙлеге үтәлгән <math>a,\;b</math> элементтары пары ''алмаштырып ҡуйылмалы'' йәки ''коммутирлаусы'' тип аталалар.
** Төркөмдөң бөтә элементтары менән алмаштырып ҡуйылмалы элементтар күмәклеге ''[[төркөмдөң үҙәге]]'' тип атала.
** Теләһә ниндәй ике элементы коммутирлаған төркөм [[Абель төркөмө|''коммутативлы'' йәки ''Абель'']] төркөмө тип атала.
* ''[[Аҫтөркөм]]'' — <math>G</math> төркөмөнөң, <math>G</math>-ла билдәләнгән операцияға ҡарата төркөм булып торған <math>H</math> аҫкүмәклеге ул.
* <math>(G,*)</math> ''төркөмөнөң тәртибе''  — <math>G</math> [[күмәклек ҡеүәте|ҡеүәте]] (йәғни уның элементтары һаны).
** Әгәр <math>G</math> күмәклеге сикле булһа, ул саҡта төркөм [[Сикле төркөм|''сикле'']] тип атала.
* ''Төркөмдөң гомоморфизмдары'' — ул төркөм структураһын һаҡлаусы төркөмдәрҙең [[Сағылыш|сағылыштары]]. Йәғни төркөмдәрҙең <math>f \colon (G,*) \to (H,\times)</math> сағылышы [[Гомоморфизм|гомоморфизм]] тип атала, әгәр <math>f(a * b) = f(a) \times f(b)</math> шартын ҡәнәғәтләндерһә.
* Әгәр <math>f(g(a)) = a</math> һәм <math>g(f(b))=b</math>, бында <math>b\in G</math> һәм <math>a\in H</math> үтәлерлек <math>f \colon (G,*) \to (H,\times)</math> төркөмдәр гомоморфизмы һәм <math>g\colon
 (H,\times) \to (G,*) </math> төркөмдәр гомоморфизмы булһа, ике төркөм ''изоморфлы'' тип атала. Был осраҡта был гомоморфизмдар ''изоморфизмдар'' тип аталалар.
*<math>g \in G</math> элементы өсөн <math>H</math> аҫтөркөмө буйынса ''һул эргәләш класс'' — <math>gH= \{gh \mid h\in H\}</math> күмәклеге, <math>H</math> аҫтөркөмө буйынса ''уң эргәләш класс'' — <math>Hg= \{hg \mid h\in H\}</math> күмәклеге.
*''[[Нормаль аҫтөркөм]]'' — һул һәм уң эргәләш кластары тап килгән айырым төрҙәге аҫтөркөм. Теләһә ниндәй <math>g \in G</math> өсөн, <math>gH = Hg</math>.
*''[[Фактор төркөм]]'' — төркөмдөң, үҙе төркөм булып торған, уның нормаль аҫтөркөмө буйынса эргәләш кластар күмәклеге.

== Стандарт тамғалауҙар ==

=== Мультипликатив яҙыу ===
Ғәҙәттә төркөм операцияһын (абстрактлы) ''ҡабатлау'' тип атайҙар; ул саҡта ''мультипликатив яҙыу'' ҡулланыла:
* операция һөҙөмтәһен ''ҡабатландыҡ'' тип атайҙар һәм <math>a \cdot b
</math> йәки <math>a b </math> тип яҙалар;
* нейтраль элемент «<math>1</math>» йәки <math>e</math> тип тамғалана һәм ''берәмек'' тип атала;
* <math>a</math>-ға кире элемент <math>a^{-1}</math> тип яҙыла.

Әгәр төркөм операцияһы ''ҡабатлау'' тип аталһа, ул саҡта төркөмдөң үҙен <math>\mathrm{G}</math> ''мультипликатив'' тип атайҙар һәм яҙыуҙың тулы ысулында (төркөм операцияһын асыҡ күрһәтергә теләһәләр) ошолай тамғалайҙар: <math>(\mathrm{G}, \cdot)
</math>.

Тапҡырлы ҡабатлауҙарҙы <math>aa</math>, <math>aaa</math>, <math>...</math> натураль дәрәжәләр күренешендә яҙалар <math>a^2</math>, <math>a^3</math>,<math>...</math><ref>Элементтың натуральная степень а корректно определяется благодаря ассоциативности</ref>. <math>a</math> элементы өсөн <ref>Корректность вытекает из единственности обратного элемента.</ref> [[Бөтөн һан|бөтөн]] дәрәжә билдәләнә, ошо рәүешле яҙыла: <math>a^0=e</math>, <math>a^{-n} = (a^{-1})^n</math>.

=== Аддитив яҙыу ===
Коммутативлы төркөмдә билдәләнгән операция йыш ҡына (абстрактлы) ''ҡушыу'' тип ҡарала һәм '' аддитив яҙыла'':
* «<math>a + b</math>» тип яҙалар һәм килеп сыҡҡан элементты <math>a</math> һәм <math>b</math> элементтарының ''суммаһы'' тип атайҙар;
* нейтраль элемент «<math>0</math>»  тип тамғалана һәм уны ''нуль'' тип атайҙар;
* <math>a</math>-ға кире элементты «<math>-a</math>» тип тамғалайҙар һәм уны <math>a</math>-ға ''ҡапма-ҡаршы''  элемент тип атайҙар;
* яҙыуҙы ошолай ҡыҫҡарталар:  <math>a + (-b) = a -b</math>;
* <math>a+a</math>, <math>a+a+a</math>, <math>-a-a</math> күренешендәге аңлатмаларҙы <math>2a</math>, <math>3a</math>, <math>-2a</math> символдары менән тамғалайҙар.

Әгәр төркөм операцияһы ''ҡушыу'' тип аталһа, ул саҡта шундай төркөмдөң үҙен <math>\mathrm{G}</math> ''аддитив'' тип атайҙар һәм  яҙыуҙың тулы ысулында ошолай тамғалайҙар:  <math>(\mathrm{G}, +)</math><ref name = "karg">{{книга|автор =Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. |заглавие = Основы теории групп|издание = 3-е изд.|место = Москва|издательство = Наука|год = 1982|страницы = 18|страниц = 288|тираж = 11800}}</ref>.

== Миҫалдар ==
Төркөмдәрҙең ғәйәт ҙур һанда миҫалдары һәм шулай уҡ уларҙың хәҙерге кешелек донъяһында ҡулланылышы бар. Ҡушыу ғәмәле менән бәйле [[Бөтөн һан|бөтөн һандар]] күмәклеге аддитив төркөм йәки ҡушыу буйынса төркөм тип атала. Ҡабатлау ғәмәле менән <math>0</math>-дән башҡа [[Рациональ һан|рациональ һандар]] күмәклеге мультипликатив төркөм була. Был төркөмдәр [[Дөйөм алгебра|дөйөм алгебра]] бүлегендә мөһим конструкцияларҙың барлыҡҡа килеүенә башланғыс булалар.
Төркөмдәр математиканың төрлө өлкәләрендә ҡулланылалар. Математик объекттарҙы йыш ҡына артабан уларҙың үҙсәнлектәрен өйрәнеү өсөн төркөмдәр менән бәйләйҙәр. Мәҫәлән, [[Пуанкаре, Анри|Анри Пуанкаре]] [[Фундаменталь төркөм|фундаменталь төркөм]] төшөнсәһе индереп, [[Топология|топологияға]] нигеҙ һала<ref>{{книга|автор = Hatcher Allen|заглавие = Algebraic topology|издательство = Cambridge University Press|место = Cambridge|год = 2002|pages =30|isbn = 978-0-486-45868-7}}</ref>.
Төркөмдәрҙең теоретик ҡулланылышынан тыш уларҙы практикала ҡулланыуҙың күп ысулдары бар. Миҫалға, улар [[Төркөмдәрҙең иҫәпләү теорияһы|төркөмдәрҙең иҫәпләү теорияһына]] һәм [[алгоритм]]дар өлкәһендәге белемдәргә нигеҙләнгән [[Криптография|криптографияла]] ҡулланылалар.
[[Файл:Clock group.svg|thumb|250px|upright|Сәғәт ''12'' модуле буйынса ваҡытты күрһәтә.
<math> \begin{align}
 n = 12\\
9+4 &\equiv 1 \pmod {12}\,
\end{align}</math>.]]

[[Модуле буйынса сағыштырыу|Модулле арифметикала]] ике бөтөн һанды ҡушалар, ә килеп сыҡҡан сумманы ыңғай бөтөн һанға бүләләр, уны аҙағынан модуль тип атайҙар. Бүлеүҙән ҡалдыҡ модулле ғәмәлдең һөҙөмтәһе булып тора. Теләһә ниндәй <math>n</math> модуле өсөн  <math>0</math>-дән <math>n-1</math>-гә тиклем бөтөн һандар күмәклеге ҡушыу буйынса төркөм барлыҡҡа килтерә. <math>a</math>-ға кире элемент булып <math>a^{-1} = n-a</math> һаны, нейтраль элемент булып — <math>0</math> һаны тора. Бындай төркөмдөң асыҡ миҫалы булып циферблатлы сәғәт хеҙмәт итә ала<ref>{{книга |автор=М. Вельшенбах|часть=Глава 5. Модульная математика: вычисление в классах вычетов.| ответственный=|заглавие=Криптография на C и С++ в действии|место=М. |издательство=«Триумф»|год=2004|том=|страницы=81—84|страниц=464 |isbn=5-89392-083-X|ссылка=}}</ref>.

Төркөмдәр теорияһының ҡулланылышы математика менән генә сикләнмәй, уны [[физика]], [[химия]] һәм [[информатика]] кеүек фәндәрҙә ҡулланалар.

* '''Ҡушыу ғәмәле менән [[бөтөн һандар]]''' <math>(\mathbb{Z},+)</math> — коммутатив төркөм, нейтраль элементы <math>0</math> һаны. Ҡабатлау ғәмәле менән бөтөн һандар төркөм барлыҡҡа килтермәй. Йомоҡлоҡ, ассоциативлыҡ һәм нейтраль элементтың булыуы үтәлә, әммә кире элементтың булыуы тураһында аксиома үтәлмәй. Мәҫәлән, <math>a=2</math>, ул саҡта <math>a\cdot b=1</math> йәғни <math>b = 1/2</math>. Кире элемент бөтөн һан түгел<ref name = "olshansky">{{книга|автор =Ольшанский А. Ю.|заглавие = Геометрия определяющих соотношений в группе|издательство = Наука|год = 1989|страницы = 18—19|страниц = 448|isbn = 5-02-013916-5}}</ref>.
* '''Ҡабатлау ғәмәле менән ыңғай [[рациональ һандар]].''' Рациональ һандарҙың ҡабатландығы — яңынан рациональ һан, рациональ һанға кире элемент кире кәсер менән күрһәтелә, ассоциативлыҡ үтәлә, ә бер һаны нейтраль элемент булып тора<ref name = "olshansky"/>.
* '''Ике төҙөүсе менән [[ирекле төркөм]]''' (<math>F_2</math>) буш һүҙҙән (төркөмдөң берәмеге) һәм дүрт <math>a</math>, <math>a^{-1}</math>, <math>b</math> һәм <math>b^{-1}</math> символдарынан төҙөлгән бөтә сикле һүҙҙәрҙән тора, бында <math>a
</math>  <math>a^{-1}</math> менән йәнәш тормай, һәм <math>b</math>  <math>b^{-1}</math> менән йәнәш тормай. Бындай һүҙҙәрҙе ҡабатлау ғәмәле — ул ябай ғына ике һүҙҙе бер һүҙгә [[Конкатенация|берләштереү]] һәм артабан <math>aa^{-1}</math>, <math>a^{-1}a</math>, <math>bb^{-1}</math> һәм <math>b^{-1}b</math> парҙарын ҡыҫҡартыу ул<ref>{{книга|автор =Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. |заглавие = Основы теории групп|издание = 3-е изд|место = Москва|издательство = Наука|год = 1982|страницы = 122—124|страниц = 288|тираж = 11800}}</ref>.
* '''[[Симметрик төркөм]].''' Сикле күмәклектең үҙенә бөтә [[биекция|биекциялары]] [[Күмәклек|күмәклеге]], [[сағылыштар композицияһы|композиция]] операцияһы менән, сикле төркөм була, ул [[симметрик төркөм]], йәки '''алмаштырмалар төркөмө''' тип атала. Сикле симметрик төркөмдөң ҡеүәте <math>S_{n}</math> <math>n</math> элементлы күмәклек өсөн <math>n!</math>-ға тигеҙ.  <math>n \geq 3</math> булғанда был төркөм Абель төркөмө булмай<ref>{{книга|автор = Курош А. Г.|заглавие = Теория групп|ответственный = под ред. Брудно К. Ф|издание = 3-е изд|место = Москва|издательство = Наука|год = 1967|страницы = 34|страниц = 648|тираж = 20000}}</ref>. Теләһә ниндәй [[сикле төркөм]] ниндәйҙер симметрик төркөмдөң аҫтөркөмө була ([[Кэли теоремаһы (төркөмдәр теорияһы)|Кэли теоремаһы]])<ref name = "olshansky"/><ref>{{книга|автор =Куликов Л. Я. |заглавие = Алгебра и теория чисел|издательство = Высшая школа|год = 1979|страницы = 351|страниц = 559|тираж = 40000}}</ref>.

[[Файл:Cyclic group.svg|right|thumb|upright|Берҙән 6 комплекслы тамыр циклик төркөм төҙөй]]
* '''[[Циклик төркөм|Циклик төркөмдәр]]''' бер <math>a</math> элементының дәрәжәләренән <math>\langle a \rangle = \{ a^n \mid n \in \mathbb{Z} \}</math> тора. <math>a</math> элементы циклик төркөмдөң '''''төҙөүсеһе''''' тип атала. Циклик төркөмдәр һәр ваҡыт коммутатив. Телгә алынған ҡушыу буйынса бөтөн һандар бындай төркөмдөң миҫалы булып тора. [[Берҙең тамырҙары|Берҙең <math>n</math> комплекслы тамырҙарынан]] торған төркөм циклик төркөм була, йәғни <math>|z^n| = 1</math> шартын һәм комплекслы һандарҙы ҡабатлау ғәмәлен ҡәнәғәтләндергән <math>z</math> [[Комплекслы һан|комплекслы һандар]] төркөмө<ref>{{книга|автор =Винберг Э. Б.|заглавие = Основы теории групп|издание = 2-е изд|издательство = Факториал Пресс|год = 2001|страницы =162—163|страниц = 544|isbn = 5-88688-060-7}}</ref>. Мультипликатив сикле төркөм <math>(\mathrm{G}, \cdot)</math> шулай уҡ циклик төркөм була. Мәҫәлән, <math>3</math>, <math>n = 5</math> булғанда <math>\mathrm{G}</math> төркөмөнөң төҙөүсе элементы була:

:<math> \begin{align}
3^1 &\equiv 3 \pmod 5\\
3^2 &\equiv 4 \pmod 5\\
3^3 &\equiv 2 \pmod 5\\
3^4 &\equiv 1 \pmod 5\,
\end{align}</math>

* '''[[Рубик кубигы төркөмө]]''' — симметрик төркөм аҫтөркөмө <math>S_{48}</math>, [[Рубик кубигы|Рубик кубигын]] үҙгәртеүҙәр уның элементтары булып торалар. Ике үҙгәртеүҙең композицияһы яңынан үҙгәртеү була, һәр үҙгәртеү өсөн кире элемент бар, ассоциативлыҡ һәм нейтраль элемент бар<ref name="GAP">{{cite web|last = Schönert|first = Martin.|url = http://www.gap-system.org/Doc/Examples/rubik.html|title = Analyzing Rubik's Cube with GAP|accessdate = 2013-07-19|lang = en|archiveurl = https://www.webcitation.org/6JOcrLXVG?url=http://www.gap-system.org/Doc/Examples/rubik.html|archivedate = 2013-09-05}}</ref>.
* '''[[Галуа төркөмө|Галуа төркөмдәре]].''' Математикаға полиномиаль тигеҙләмәләрҙе симметрия үҙсәнлеге ярҙамында сығарыу өсөн индерелгәндәр. Мәҫәлән, <math alt="x = (negative b plus or minus the squareroot of (b squared minus 4 a c)) over 2a">ax^2+bx+c=0</math> квадрат тигеҙләмәһен сығарыу <math alt="x = (negative b plus or minus the squareroot of (b squared minus 4 a c)) over 2a">x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math> тамырҙарын бирә. Оҡшаш формула [[Куб тигеҙләмә|өсөнсө]] һәм [[Дүртенсе дәрәжә тигеҙләмә|дүртенсе]] дәрәжә тигеҙләмә өсөн бар, ләкин <math>5</math>-се һәм юғарыраҡ дәрәжә полиномиаль тигеҙләмә өсөн формула юҡ<ref>{{книга||автор =Постников М. М.|заглавие = Теория Галуа|издательство = Физматгиз|место = Москва|год = 1963|страницы =126—127|страниц = 220|тираж = 11500}}</ref>.

== Иң ябай үҙсәнлектәре==
* Һәр <math>a</math> элементы өсөн кире элемент <math>a^{-1}</math> берҙән-бер.
* Нейтраль элемент берҙән-бер:
*: Әгәр <math>e_1, e_2</math>— нейтраль, ул саҡта <math>e_1 \cdot e_2 = e_1 = e_2 \cdot e_1 = e_2 = e_1</math>.
* <math>(a^m)^n=a^{mn}</math>.
* <math>(a^{-1})^{-1} = a</math>.
* <math>a^{m+n}=a^m\cdot a^n</math>.
* <math>e^n=e</math>, теләһә ниндәй <math>n \in\mathbb{Z}</math> өсөн<ref name="karg" />.
* <math>(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}</math>.
* ''Ҡыҫҡартыу закондары'' дөрөҫ:
*:<math>c \cdot a = c \cdot b \Leftrightarrow a = b</math>,
*:<math>a \cdot c = b \cdot c \Leftrightarrow a = b</math>.
* Нейтраль элементҡа кире элемент нейтраль элемент үҙе<ref>{{книга|автор =Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. |заглавие = Основы теории групп|издание = 3-е изд.|место = Москва|издательство = Наука|год = 1982|страницы = 17|страниц = 288|тираж = 11800}}</ref>.
* Төркөмдә теләһә ниндәй <math>x \cdot c = b</math> йәки <math>c \cdot x = b</math> тигеҙләмәһенең берҙән бер <math>x</math> сығарылышы бар; йәғни төркөмдә бер ҡиммәтле билдәләнгән уң һәм һул «бүлеү» мөмкин<ref name="defex" />.
* <math>\mathrm{G}</math> төркөмөнөң ике аҫтөркөмөнөң киҫешеүе <math>\mathrm{G}</math> төркөмөнөң аҫтөркөмө {{sfn|Сагалович|2010|с=56}}.
* [[Лагранж теоремаһы (төркөмдәр теорияһы)|Лагранж теоремаһы]]: әгәр <math>\mathrm{G}</math> — <math>g</math> сикле тәртиптәге төркөм булһа, ул саҡта уның теләһә ниндәй аҫтөркөмөнөң <math>\mathrm{G_1}</math> тәртибе <math>g_1</math> төркөмдөң тәртибенең бүлеүсеһе була. Бынан, теләһә ниндәй элементтың тәртибе лә төркөмдөң тәртибен бүлә икәне килеп сыға<ref>{{книга|автор =Куликов Л. Я. |заглавие = Алгебра и теория чисел|издательство = Высшая школа|год = 1979|страницы = 353|страниц = 559|тираж = 40000}}</ref>.
* Төркөмдә аҫтөркөмдәр һанын табыу өсөн [[Лагранж теоремаһы (төркөмдәр теорияһы)|Лагранж теоремаһы]] һәм [[Силов теоремаһы]] ҡулланыла.

== Төркөмдө биреү ысулдары ==
Төркөмдө бирергә мөмкин:

* [[Төркөмдө барлыҡҡа килтереүсе күмәклек|барлыҡҡа килтереүсе күмәклек]]<ref>{{книга|автор =Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. |заглавие = Основы теории групп|издание = 3-е изд|место = Москва|издательство = Наука|год = 1982|страницы = 24|страниц = 288|тираж = 11800}}</ref> һәм уның элементтары араһында [[Төркөмдө биреү|бәйләнештәр йыйылмаһы]] ярҙамында;
* [[Фактор төркөм]] <math>G / H</math> менән, бында <math>G </math> — ниндәйҙер төркөм һәм <math>H</math> — уның [[нормаль аҫтөркөмө]]<ref>{{книга|автор =Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. |заглавие = Основы теории групп|издание = 3-е изд|место = Москва|издательство = Наука|год = 1982|страницы = 45—46|страниц = 288|тираж = 11800}}</ref>;
* Ике төркөмдөң [[Ярым тура ҡабатландыҡ|ярым тура ҡабатландығы]] менән һәм, айырым алғанда,
** Ике <math>(G, \cdot )</math> һәм <math>(H, \cdot )</math> төркөмдәренең ''тура ҡабатландығы'' менән, йәғни компоненттар буйынса ҡабатлау ғәмәле индерелгән <math>G \times H</math> парҙар күмәклеге:  <math>(g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 \cdot h_2)</math><ref>{{книга|автор =Винберг Э. Б.|заглавие = Основы теории групп|издание = 2-е|издательство = Факториал Пресс|год = 2001|страницы =409, 415|страниц = 544|isbn = 5-88688-060-7}}</ref>;
* Ике төркөмдөң [[Ирекле ҡабатлау|ирекле ҡабатландығы]] менән: <math>G </math> һәм <math>H</math> төркөмдәренең ирекле ҡабатландығы, төҙөүселәр системаһы <math>G </math> һәм <math>H</math> төҙөүселәре системаларының берекмәһе булған төркөм,<ref>''Ленг С.''&nbsp;Алгбра. {{М.}}:&nbsp;Мир, 1964. С.&nbsp;23.</ref>  ә бәйләнештәр системаһы <ref>''Ленг С.''&nbsp;Алгбра. {{М.}}:&nbsp;Мир, 1964. С.&nbsp;52.</ref>  <math>G </math> һәм <math>H</math> бәйләнештәр системаһының берекмәһе<ref>{{книга|автор =Ольшанский А. Ю.|заглавие = Геометрия определяющих соотношений в группе|издательство = Наука|год = 1989|страницы = 330—331|страниц = 448|isbn = 5-02-013916-5}}</ref>.


== Тарихы ==
Төркөмдөң хәҙерге төшөнсәһе математиканың бер нисә тармағынан барлыҡҡа килә. Иң башта төркөмдәр теорияһының алға этәреүсе көстәре булып дүртенсенән юғарыраҡ дәрәжәләге [[Алгебраик тигеҙләмә|алгебраик тигеҙләмәләрҙең]] сығарылыштарын эҙләү тора. 19-сы быуаттың француз математигы [[Галуа, Эварист|Эварист Галуа]], [[Руффини, Паоло|Руффини]] һәм [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранждың]] тикшеренеүҙәрен эшләп бөтөрөп, конкрет алгебраик тигеҙләмәнең, уның сығрылыштарының [[Симметрик төркөм|симметрия төркөмө]] күҙлегенән, сиселеү критерийын бирә. Галуаның ундай төркөмдәренең элементтары [[Күпбыуын тамыры|тамырҙарҙың]] билдәле бер алмаштырмаларына ярашлы. Галуаның идеялары замандаштары тарафынан кире ҡағыла һәм уның вафатынан һуң [[Лиувилль, Жозеф|Лиувилль]] тарафынан 1846 йылда баҫылып сыға. Галуа кеүек шул уҡ хеҙмәттәргә таянып, [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] алмаштырмалар төркөмөн ентекле тикшерә<ref name = "Kleiner">{{статья|автор = Israel Kleiner.|заглавие = The Evolution of Group Theory: A Brief Survey|язык = en|издание = [[Mathematics Magazine]]|тип = журнал|год = 1986|месяц = 10|том = 59|номер = 4|страницы = 195-215|doi = 10.2307/2690312|mr = 863090}}</ref>. Беренсе тапҡыр [[Сикле төркөм|сикле төркөм]] төшөнсәһен [[Кэли, Артур|Артур Кэли]] 1854 йылда үҙенең «Глава по теории групп, зависящих от символического уравнения θ<sup>n</sup> = 1» ({{lang-en|"On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ<sup>n</sup><math>=</math>1"}}) хеҙмәтендә индерә<ref>Cayley (1854) «On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ<sup>n</sup> = 1», ''Philosophical Magazine'', 4th series, ''' (42) : 40-47.</ref>.

[[Геометрия]] — төркөмдәр систематик рәүештә ҡулланылған икенсе өлкә, бигерәк тә, немец математигы [[Клейн, Феликс|Феликс Клейндың]] «[[Эрланген — Нюрнберг университеты|Эрланген]] программаһы» өлөшө булараҡ, симметрия төркөмө. Геометрияның [[Лобачевский геометрияһы|гиперболик]] һәм [[һыҙма геометрия]] кеүек яңы бүлектәре барлыҡҡа килгәндән һуң, Клейн төркөмдәр теорияһын уларҙы яҡшыраҡ бергәләп хәл итеү өсөн ҡуллана. Был идеяларҙы артабан үҫтереү математикаға 1884 йылда [[Ли төркөмө|Ли төркөмө]] төшөнсәһен индереүгә килтерҙе <ref name = "Kleiner"/>.

Төркөмдәр теорияһы үҫешенә сәбәпсе булған математиканың өсөнсө өлкәһе, — [[һандар теорияһы]]. Ҡайһы бер [[Абель төркөмө|Абель төркөмдәре]] [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусстың]] «[[Арифметические исследования]]» (1801) хеҙмәтендә йәшерен ҡулланыла. 1847 йылда [[Куммер, Эрнст Эдуард|Эрнст Куммер]] беренсе тапҡыр ябай һандарға тарҡатыуҙы тасуирлаусы [[Ферманың бөйөк теоремаһы|Ферманың бөйөк теоремаһын]] төркөмдәр ярҙамында иҫбатларға маташа. 1870 йылда [[Кронекер, Леопольд|Кронекер]] Куммерҙың хеҙмәттәрен дөйөмләштерә һәм сикле Абель төркөмөнөң хәҙергегә яҡын билдәләмәһен бирә<ref name = "Kleiner"/>.

Төркөмдәр теорияһының айырымланыуы [[Жордан, Мари Энмон Камиль|Камиль Жордандың]] «Трактат о заменах и алгебраических уравнениях» (1870) хеҙмәтенән һуң башлана<ref>{{книга| автор  = Wussing, Hans.|заглавие = The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory|издание = Review of General Psychology|место = [[Нью-Йорк]]|издательство = [[Dover Publications]]|год = 2007|pages = 154| isbn = 978-0-486-45868-7 }}</ref>. 20 быуатта төркөмдәр теорияһы әүҙем үҫешә башлай. [[Фробениус, Фердинанд Георг|Фробениустың]] һәм [[Бёрнсайд, Уильям|Бёрнсайдтың]] [[Сикле төркөм|сикле төркөмдәрҙе]] күҙаллау тураһында тәүге хеҙмәттәре, Ричард Браурҙың күҙаллауҙарҙың модулле теорияһы һәм [[Шур, Исай|Шурҙың]] яҙмалары донъя күрә. Ли төркөмө теорияһын һәм локаль компактлы төркөмдәрҙе өйрәнеүҙә [[Вейль, Герман|Вейль]] һәм [[Картан, Анри|Картан]] һиҙелерлек уңыштарға өлгәшәләр. Беренсе булып [[Шевалле, Клод|Клод Шевалле]] формулировкалаған, аҙағыраҡ [[Борель, Арман|Борель]] һәм [[Титс, Жак|Титстың]] хеҙмәттәрендә телгә алынған [[Алгебраик төркөм|алгебраик төркөмдәр]] теорияһы  был теорияларҙың алгебраик өҫтәмәһе булып тора<ref name = "Kleiner"/>.

1960—61 уҡыу йылында [[Чикаго университеты|Чикаго университетында]] төркөмдәр теорияһы йылы үтә, ул Даниель Горенстейн, [[Томпсон, Джон Григгс|Джон Томпсон]] һәм Уолтер Фейт кеүек теоретиктарҙы бергә туплай, шуның менән күп һандағы математиктарҙың хеҙмәттәшлегенә нигеҙ һала, улар һуңынан 1980-се йылдарҙа [[Ябай сикле төркөмдәрҙе классификациялау|бөтә ябай сикле төркөмдәрҙе классификациялау тураһында теорема]] сығаралар. Был проект үҙенең үлсәмдәре буйынса бөтә алдағы төркөмдәрҙе классификацияларға маташыуҙарҙы үтеп китә, иҫбатлау оҙонлоғо буйынса ла, был эшкә йәлеп ителгән ғалимдарҙың һаны буйынса ла. Ағымдағы тикшеренеүҙәр төркөмдәрҙе классификациялауҙы ябайлаштырыуға йүнәлтелгән. Хәҙерге ваҡытта төркөмдәр теорияһы әүҙем үҫешеүен һәм математиканың ҡалған бүлектәренә тәьҫир итеүҙе дауам итә <ref name=autogenerated1 /><ref>{{статья|автор = Leonard Scott, Ronald Solomon, John Thompson, John Walter, Efim Zelmanov|заглавие = Walter Feit (1930–2004)|ссылка =http://www.ams.org/notices/200507/fea-feit.pdf Walter Feit (1930–2004)|язык = en|издание = Notices of the American Mathematical Society|тип = журнал|год = 2005|месяц = 8|том = 52|номер = 7|страницы = 728—735}}</ref><ref>{{книга|автор = Wilson, Robert A.|заглавие = The finite simple groups | издание = Graduate Texts in Mathematics|место = Нью-Йорк|издательство = [[Springer-Verlag]] |год =2009 |pages = 2—5| isbn = 978-1-84800-987-5 | doi=10.1007/978-1-84800-988-2}}</ref>.

== Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр ==
* [[Магма (алгебра)|Группоид]] — күмәклек унда бирелгән [[Бинар операция|бинар операция]] менән<ref>{{книга|автор =Белоусов В. Д. |заглавие =Основы теории квазигрупп и луп|издательство = Наука|год = 1967|страницы = 5|страниц = 223|тираж = 2800}}</ref>.
* [[Квазитөркөм (математика)|Квазитөркөм]] — ниндәйҙер <math>Q</math> күмәклегенән һәм, теләһә ниндәй <math>a,b \in Q</math> өсөн, <math>a \cdot x =b</math> һәм <math>y \cdot a = b</math> тигеҙлеге үтәлгән, берҙән бер <math>x</math> һәм <math>y</math> элементтары булған шундай <math>\cdot</math> бинар операцияһынан торған [[Группоид (алгебра)|группоид]] ул<ref>{{книга|автор =Белоусов В. Д. |заглавие =Основы теории квазигрупп и луп|издательство = Наука|год = 1967|страницы = 6|страниц = 223|тираж = 2800}}</ref>.
* [[Ярымтөркөм]] — унда бирелгән [[Ассоциатив ғәмәл|ассоциатив]] бинар операция менән [[алгебраик система]]. [[Натураль һан|Натураль һандар]] күмәклеге ҡушыу ғәмәле менән натураль һандарҙың аддитив ярымтөркөмөн төҙөйҙәр<ref name=autogenerated4>{{книга|автор =Куликов Л. Я. |заглавие = Алгебра и теория чисел|издательство = Высшая школа|год = 1979|страницы = 346—347|страниц = 559|тираж = 40000}}</ref>.
* <math>G</math> күмәклеге унда бирелгән, тәүге ике аксиоманы ғына ҡәнәғәтләндергән <math>\cdot</math> [[бинар операция]]һы менән, [[моноид]] тип атала. Натураль һандар күмәклеге нуль менән натураль һандарҙың аддитив моноидын төҙөй<ref name=autogenerated4 />.

== Өҫтәлмә структуралы төркөмдәр ==
Күп төркөмдәр бер үк ваҡытта ниндәй ҙә булһа башҡа (өҫтәлмә) математик структураға эйә булалар. [[Категориялар теорияһы]] телендә был — [[Категория (математика)|категорияла]] [[Төркөм объекты|төркөм объекттары]]; икенсе төрлө әйткәндә, был —  улар өсөн ([[морфизм]]дар тип аталған), төркөмдөң аксиомаларына эйәргән ниндәйҙер үҙгәртеүҙәр класы бирелгән объекттар (йәғни, мәҫәлән, билдәле бер математик структураға эйә булған күмәклектәр). Атап әйткәндә, һәр төркөм (элекке билдәләнгән мәғәнәлә) бер үк ваҡытта [[күмәклек]] була, шуға күрә төркөм [[Категориялар теорияһы|күмәклектәр категорияһында]] төркөм объекты  '''''Set''''' (был категорияла морфизмдар — күмәклектәрҙең [[сағылыш|сағылыштары]])<ref name=autogenerated3>{{книга|автор = Букур И., Деляну А.|часть = Введение|заглавие= Введение в теорию категорий и функторов|оригинал= Introduction to the theory of categories and functors|ответственный = пер. с англ. {{nobr|Д. А. Райкова }}, {{nobr|В. Ф. Ретах }}| место= М.|издательство  = Мир|год = 1972|страницы= 9—10|страниц = 259}}</ref>.

=== Ҡулсалар ===
{{main|Ҡулса  (математика)}}

'''Ҡулса''' — [[Коммутатив операция|коммутатив]] ҡушыуҙың һәм (коммутатив булыуы мотлаҡ булмаған) ҡабатлауҙың [[Бинар операция|бинар операциялары]] билдәләнгән <math>K</math> [[күмәклек|күмәклеге]], шуның менән бергә ҡушыуға ҡарата ''К'' төркөм төҙөй, ә ҡабатлау ҡушыу менән [[Дистрибутивлыҡ|дистрибутив]] закон менән бәйләнгән.

Ҡулсаны коммутатив һәм [[Ассоциатив операция|ассоциатив]] тип атайҙар, әгәр унда бирелгән ҡабатлау ғәмәле коммутатив һәм ярашлы рәүештә ассоциатив булһа. Ҡулсаның элементы <math>1</math> берәмек тип атала, әгәр ошо шарт үтәлһә: <math>a \cdot 1 = 1 \cdot a = a</math>, бында <math>a</math> — ҡулсаның теләһә ниндәй элементы.

''[[Бөтөн һан|Z]]'', ''[[Рациональ һан|Q]]'', ''[[Ысын һан|R]]'' һанлы күмәклектәре берәмек менән коммутатив ассоциатив ҡулса булалар. [[Вектор (математика)|Векторҙар]] күмәклеге [[Векторлы ҡабатлау|векторлы ҡабатлау]] ғәмәле менән антикоммутатив ҡулса була (йәғни <math>a \cdot b = - b \cdot a</math>) векторлы ҡабатлау үҙсәнлеге буйынса<ref>{{книга|автор=Винберг Э. Б.|заглавие = Основы теории групп|издание = 2-е изд|издательство = Факториал Пресс|год = 2001|страницы =14—15|страниц = 544|isbn = 5-88688-060-7}}</ref>: <math>a \times b + b \times a = 0</math>.

=== Яландар ===
{{main|Ялан (алгебра)}}

'''Ялан''' — ул берәмек менән коммутатив ассоциатив ҡулса <math>F</math>, шуның менән бергә ҡушыуға ҡарата <math>F</math> төркөм төҙөй, ә уның нулдән айырмалы элементтары ҡабатлау буйынса төркөм була. Ялан бер нулдән генә тора алмай. [[Рациональ һан|рациональ]] һәм [[Ысын һан|ысын]] һандар күмәклектәре ялан булалар. Теләһә ниндәй яланда <math>a \cdot b = 0</math> тик <math>a  = 0</math> һәм/йәки <math> b = 0</math> булғанда ғына<ref>{{книга|автор =Винберг Э. Б.|заглавие = Основы теории групп|издание = 2-е изд|издательство = Факториал Пресс|год = 2001|страницы =16|страниц = 544|isbn = 5-88688-060-7}}</ref>.

=== Топологик төркөмдәр ===
{{main|Топологик төркөм}}

Ҡайһы бер [[Топологик арауыҡ|топологик арауыҡтар]] бер үк ваҡытта төркөм структураһы менән дә тәьмин ителгән булырға мөмкин. Был осраҡта бындай арауыҡ ''топологик төркөм'' булырға мөмкин.
 
Атап әйткәндә, '''топологик төркөм''' — бер үк ваҡытта [[топологик арауыҡ]] та булған төркөм ул, шуның менән бергә төркөмдөң элементтарын ҡабатлау <math>\mathrm{G} \times \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G}</math> һәм кире элементты алыу ғәмәле <math>\mathrm{G}  \rightarrow \mathrm{G}</math> ҡулланылған топологияла [[Өҙлөкһөҙ сағылыш|өҙлөкһөҙ сағылыштар]] булалар <ref>''Бурбаки Н.''  Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. {{М.}}: Наука, 1969.  С. 12.</ref>. Топологик төркөмдәр '''''Top''''' [[Категориялар теорияһы|топологик арауыҡтарҙа]] [[Төркөм объекты|төркөм объекттары]] булалар<ref name=autogenerated3 />.

Топологик төркөмдәрҙең иң мөһим миҫалдары — ул [[ысын һандар]]ҙың аддитив төркөмө <math>(\mathbb{R}, +) </math>, нулдән айырмалы [[ысын һандар|ысын һандарҙың]] мультипликатив төркөмө <math>(\mathbb{R^*}, \cdot) </math>, [[тулы һыҙыҡлы төркөм]] <math>GL(n)</math>, [[махсус һыҙыҡлы төркөм]] <math>SL(n)</math>, [[ортогональ төркөм]] <math>O(n)</math>, [[махсус ортогональ төркөм]] <math>SO(n)</math>, [[унитар төркөм]] <math>U(n)</math>, [[махсус унитар төркөм]] <math>SU(n)</math><ref>''Рохлин В. А., Фукс Д. Б.''  Начальный курс топологии. Геометрические главы.  {{М.}}: Наука, 1977.  С. 268—271.</ref>.

=== Ли төркөмдәре ===
{{main|Группа Ли}}

'''Ли төркөмө''' ([[Софус Ли]] хөрмәтенә) — бер үк ваҡытта ''K'' яланында [[дифференциалланыусы төрлөлөк]] (һуңғыһының ролендә ысын йәки комплекслы һандар яландары сығыш яһарға мөмкин) булған төркөм ул, шуның менән бергә төркөмдөң элементтарын ҡабатлау <math>\mathrm{G} \times \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G}</math> һәм кире элементты алыу ғәмәле <math>\mathrm{G}  \rightarrow \mathrm{G}</math> [[шыма функция|шыма сағылыштар]] булалар (комплекслы осраҡта индерелгән сағылыштарҙың [[голоморф функция|голоморфлығы]] талап ителә). Шуның менән бергә теләһә ниндәй комплекслы <math>n</math>-үлсәмле Ли төркөмө бер үк ваҡытта <math>2n</math> үлсәмле ысын Ли төркөмө <ref name=autogenerated2>{{книга|автор =Винберг Э. Б.|заглавие = Основы теории групп|издание = 2-е изд|издательство = Факториал Пресс|год = 2001|страницы =501|страниц = 544|isbn = 5-88688-060-7}}</ref>.

Топологик төркөмдәрҙең миҫалы рәүешендә алдағы бүлектә килтерелгән бөтә конкрет төркөмдәр, бер үк ваҡытта Ли төркөмдәре лә булалар.

Ли төркөмдәре тәбиғи рәүештә өҙлөкһөҙ [[симметрия|симметрияларҙы]] ҡарағанда барлыҡҡа киләләр; шулай, Ли төркөмөн барлыҡҡа килтерәләр<ref>''Кострикин А. И., Манин Ю. И.''  Линейная алгебра и геометрия. {{М.}}: Наука, 1986. С. 201.</ref> <math>\mathrm{E}  \rightarrow \mathrm{E}</math> күренешендәге [[изометрия (математика)|изометриялар]], бында <math>\mathrm{E} 
</math> — [[Евклид арауығы|Евклид нөктәле арауығы]]. <math>Is(\mathrm{E} )</math> тип тамғаланған килеп сыҡҡан төркөм<ref>''Дьедонне Ж.''  Линейная алгебра и элементарная геометрия. {{М.}}: Наука, 1972. С. 129.</ref>, икенсе Ли төркөмөнөң ''аҫтөркөмө'' була — <math>\mathrm{E}</math> арауығының, <math>Aff(\mathrm{E} )</math> тип тамғаланған [[аффинлы үҙгәртеү|аффинлы төркөмө]] <ref>''Долгачёв И. В., Широков А. П.'' Аффинное пространство // Матем. энциклопедия. Т. 1. {{М.}}: Сов. энциклопедия, 1982. Стб. 362—363.</ref>.

Ли төркөмдәре, уларҙа булған структураларҙың бай булыуы планында, бөтә төрлөлөктәрҙең иң яҡшыһы булып торалар, шулай булараҡ, [[Дифференциаль геометрия һәм топология|дифференциаль геометрияла һәм топологияла]] бик мөһимдәр. Улар шулай уҡ геометрияла, математик анализда, механикала һәм физикала мөһим роль уйнайҙар<ref name=autogenerated2 />.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Алгебраик структуралар]]
* [[Төркөмдәр теорияһының терминдар һүҙлеге]]
* [[Күпҡыр төркөмө]]
* [[Клейн төркөмө]]

== Иҫкәрмәләр ==
{{Ииҫкәрмәләр|2}}

== Әҙәбиәт ==

=== Фәнни әҙәбиәт ===
* {{source|Q22328165|ref=Сагалович|ref-year=2010}} <!-- Введение в алгебраические коды -->
* ''Белоногов В. А.'' Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
* ''Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И.'' Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
* ''Кострикин А. И.'' Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
* ''Курош А. Г.'' Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
* ''Холл М.'' Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
* ''Gorenstein D.'' Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
* ''Huppert B.'' Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.

=== Популяр әҙәбиәт ===
* {{книга |автор=Александров П. С. |ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/djvu/bib-kvant/groups.htm |заглавие=Введение в теорию групп |том=7 |серия=[http://www.mccme.ru/free-books/ilib.htm#bmkvant «Библиотечка Квант»]}}
* {{статья |автор=Садовский Л., Аршинов М. |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1976/10/gruppy.htm |заглавие=Группы |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |номер=10 |год=1976}}
* {{книга |ответственный = Сост. А. П. Савин |заглавие = Энциклопедический словарь юного математика |место = М. |издательство = [[Педагогика (издательство)|Педагогика]] |год = 1985 |страниц = 352 |часть = Группа |страницы = 88—94}}

[[Категория:Төркөмдәр теорияһы]]
[[Категория:Симметрия]]