Факториал битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

'''{{math|''n''}} һанының факториалы''' ({{lang-lat|factorialis}} — эшләүсе, яһаусы, ҡабатлаусы; '''{{math|''n''}}!''' тамғалана, ''эн факториа́л'' тип уҡыла) — 1-ҙән алып {{math|''n''}} -ға тиклем, {{math|''n''}}-ды ла индереп, бөтә натураль һандарҙың ҡабатландығы:
: <math>n! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n =\prod_{i=1}^n i.</math>

Мәҫәлән:
: <math>5 ! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120</math>.
Килешеү буйынса: <math>0! = 1</math>. Шулай уҡ был тигеҙлек тәбиғи рәүештә лә үтәлә:
: <math>0! = \Bigl.(n-1)!\Bigr|_{n=1} = \Bigl.\frac{n!}{n}\Bigr|_{n=1} = \frac{1!}{1} = 1</math>
Факториал тиҫкәре булмаған бөтөн һандар өсөн генә билдәләнә.
Тиҫкәре булмаған бөтөн һандарҙың факториалдары эҙмә-эҙлелеге ошолай башлана<ref>{{OEIS long|A000142}}</ref>:
: 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, {{formatnum:40320}}, {{formatnum:362880}}, {{formatnum:3628800}}, {{formatnum:39916800}}, {{formatnum:479001600}}, {{formatnum:6227020800}}, {{formatnum:87178291200}}, {{formatnum:1307674368000}}, {{formatnum:20922789888000}}, {{formatnum:355687428096000}}, {{formatnum:6402373705728000}}, {{formatnum:121645100408832000}}, {{formatnum:2432902008176640000}}, …
Факториалдарҙы йыш ҡына комбинаторикала, һандар теорияһында һәм функциональ анализда ҡулланалар. Факториалдың <math>n!</math> тамғаланышын француз математигы Кристиан Крамп 1808 йылда тәҡдим иткән<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kramp.html  Крамп, Кристиан]</ref>.
Факториал бик тиҙ үҫеүсе функция булып тора. Ул теләһә ниндәй дәрәжәләге күпбыуынға ҡарағанда ла тиҙерәк үҫә, экспоненциаль функцияға ҡарағанда ла тиҙерәк үҫә (ләкин икеләтә экспоненциаль функцияға ҡарағанда <math>e^{e^n}</math> яйыраҡ үҫә).

== Үҙсәнлектәре ==

=== Рекуррент формула ===
: <math>n!= \begin{cases}
1 & n = 0,\\
n \cdot (n-1)! & n > 0.
\end{cases}</math>

=== Комбинаторлы интерпретация ===
Комбинаторикала {{math|''n''}} натураль һанының факториалы {{math|''n''}} элементтан торған күмәклектең перестановкалары һаны булараҡ интерпретациялана. Мәҫәлән, дүрт элементтан торған {''A'',''B'',''C'',''D''} күмәклеге өсөн 4! = 24 перестановка бар:
 ABCD  BACD  CABD  DABC
 ABDC  BADC  CADB  DACB
 ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
 ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
 ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
 ADCB  BDCA  CDBA  DCBA
Факториалды комбинаторик интерпретациялау 0! = 1 тождествоһфын нигеҙләргә лә мөмкинлек бирә, сөнки буш күмәклек бер генә ысул менән тәртипкә һалынырға мөмкин.

=== Гамма-функция менән бәйләнеш ===
[[Файл:Factorial05.jpg|400px|thumb|Комплекслы аргументлы факториалдың амплитудаһы һәм фазаһы.]]
Факториал бөтөн аргументлы гамма-функция менән түбәндәге нисбәт ярҙамында бәйләнгән:
: <math>n! = \Gamma(n+1).</math>
Шулай итеп, гамма-функцияны факториалды ыңғай ысын һандар өсөн дөйөмләштереү тип ҡарайҙар.
Аналитик дауам итеү юлы менән, <math>n=-1, -2, -3\ldots</math> булғандағы айырым нөктәләрҙе алып ташлап, уны бөтә комплекслы яҫылыҡҡа киңәйтәләр.
[[Файл:Generalized factorial function.svg|thumb|right|325px|Тиҫкәре бөтөн һандарҙан башҡа бөтә ысын һандар өсөн билдәләнгән, аргументтың натураль ҡиммәттәрендә факториал менән тап килгән Пи-функция]]
Факториалдың ысын (һәм комплекслы) һандар күмәклегенә туранан тура дөйөмләштереү булып түбәндәгесә билдәләнгән пи-функция тора:
: <math>\Pi(z)=\int_0^\infty t^{z} e^{-t}\, \mathrm{d}t</math>.
<math>\Pi(z) = \Gamma(z+1) \,,</math> булғанлыҡтан, натураль һандан пи-функция уның факториалы менән тап килә: <math>\Pi(n) = n!.</math> Факториал булараҡ, пи-функция рекурсив нисбәтте ҡәнәғәтләндерә: <math>\Pi(z) = z\Pi(z-1)\,.</math>

=== Стирлинг формулаһы ===
'''Стирлинг формулаһы''' — факториалды иҫәпләү өсөн асимптотик формула:
: <math>n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3} - \frac{571}{2488320 n^4} + \frac{163879}{209018880 n^5} + \frac{5246819}{75246796800 n^6} + O\left(n^{-7}\right)\right),</math>
(ҡара. ҙур-O)<ref>Был тарҡатманың коэффициенттары {{OEIS short|A001163}} (числителдәрҙе) һәм {{OEIS short|A001164}} (знаменателдәрҙе) бирәләр</ref>.
Күп осраҡта факториалды яҡынса иҫәпләү өсөн Стирлинг формулаһының баш быуынын ғына ҡарау етә:
: <math>n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>
Шуның менән бергә,
: <math>\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n+1)}< n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n)}.</math> тип раҫлап була
Стирлинг Формулаһы, натураль һандар эҙмә-эҙлелеген ҡабатлап тормайынса, туранан тура, ҙур һандарҙың факториалының яҡынса ҡиммәтен табырға мөмкинлек бирә. Шулай, Стирлинг формулаһы ярҙамында еңел иҫәпләп була:
* 100! ≈ 9,33×10<sup>157</sup>;
* 1000! ≈ 4,02×10<sup>2567</sup>;
* {{formatnum:10000}}! ≈ 2,85×10<sup>{{formatnum:35659}}</sup>.

=== Ябай һандарға тарҡатыу ===
Һәр {{math|''p''}} ябай һаны {{math|''n''!}}-ың ябай ҡабатлашыусыларға тарҡатмаһына 
: <math>\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3}\right\rfloor + \ldots.</math> дәрәжәһендә инә.
Шулай итеп,
: <math>n! = \prod_{p} p^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\ldots},</math>
бында ҡабатландыҡ бөтә ябай һандар буйынса алына. {{math|''n''}}-дан ҙурыраҡ булған һәр {{math|''p''}} ябай һаны өсөн ҡабатландыҡта ярашлы ҡабатлашыусы 1-гә тигеҙ икәне күренеп тора. Шуға күрә ҡабатландыҡты {{math|''n''}}-дан ҙур булмаған {{math|''p''}} ябай һандары буйынса ғына алырға мөмкин.

=== Дәрәжәле функцияның сығарылмаһы менән бәйләнеш ===
Тиҫкәре булмаған бөтөн {{math|''n''}} һаны өсөн:
: <math>\left( x^n \right)^{(n)}=n!</math>
Мәҫәлән:
: <math>\left( x^5 \right)^{(5)} 
= \left( 5 \cdot x^4 \right)^{(4)} 
= \left( 5 \cdot 4 \cdot x^3 \right)'''
= \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot x^2 \right)'' 
= \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x \right)' 
= {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5!</math>

=== Башҡа үҙсәнлектәре ===
* Натураль {{math|''n''}} һаны өсөн:
:: <math>n!^2 \geqslant n^n \geqslant n! \geqslant n</math>

== Дөйөмләштереү ==

=== Икеләтә факториал ===
{{math|''n''}} һанының '''икеләтә факториалы''' {{math|''n''‼}} тип тамғалана һәм [1,{{math|''n''}}] киҫегендәге {{math|''n''}} кеүек үк йоп (таҡ) бөтә натураль һандарҙың ҡабатландығы тип билдәләнә.
* Йоп {{math|''n''}} һаны өсөн:
: <math>n!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n = \prod_{i=1}^{\frac{n}{2}} 2i = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!</math>
* Таҡ {{math|''n''}} һаны өсөн:
: <math>n!! = {1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot n} = \prod_{i=0}^{\frac{n-1}{2}} (2i+1) = \frac{n!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}</math>

Тиҫкәре булмаған бөтөн ике йәнәш торған һандарҙың икеләтә факториалы менән берәүһенең ябай факториалы араһында бәйләнеш.
* Йоп{{math|''n''}} өсөн:
: <math>n!! = \frac{(n+1)!}{(n+1)!!}</math>
* Таҡ {{math|''n''}} өсөн:
: <math>n!! = \frac{n!}{(n-1)!!}</math>
{{Начало скрытого блока |Рамка = |Заголовок = Формула сығарыу|Выравнивание_заголовка = |Фон_заголовка = |Фон_текста = }}
* '''Йоп {{math|''n''}} өсөн формула:'''
: <math>n!! = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!</math>
{| class="wikitable"
|-
|
: '''Формуланы сығарыу:'''
: <math>\begin{align} n!! & =  {\color{Gray}\underbrace{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n}_{\color{Black}\tfrac{n}{2}}} = {\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{n}{2}}} \; \cdot \; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n \;}{\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{n}{2}}} =
\\ & =  {2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n}{2} \right )} = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )! \end{align}</math>
|}
: Юғарылағы формуланы сығарғанда ҡулланылғанды иллюстрациялаусы '''Миҫал''':
: <math>\begin{align} 14!! & = 2^{\frac{14}{2}} \cdot \left ( \frac{14}{2} \right )! = 2^7 \cdot 7! = 
\\ & = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7) = 
\\ & = (2 \cdot 1) (2 \cdot 2) (2 \cdot 3) (2 \cdot 4) (2 \cdot 5) (2 \cdot 6) (2 \cdot 7) = 
\\ & = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14 = 645120 \end{align}</math>

* '''Таҡ {{math|''n''}} өсөн формула:'''
: <math>n!! = \frac{n!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}</math>
{| class="wikitable"
|-
|
: '''Формуланы сығарыу:'''
: <math>\begin{align}n!! & = {\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot n}}_{\color{Black}\frac{n+1}{2}}} 
= \frac{{\color{Gray}\overbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}^{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} \cdot {\color{Gray}\overbrace{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot n}^{\color{Black}\frac{n+1}{2}}}}
{\color{Gray}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} =
\\ & = \frac{\color{Gray}\overbrace{\color{Black}1 \cdot {\color{OliveGreen}2} \cdot 3 \cdot {\color{OliveGreen}4} \cdot 5 \cdot {\color{OliveGreen}6} \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot {\color{OliveGreen}(n-1)} \cdot n}^{\color{Black}n}} {\color{Gray}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}}
= \frac{n!}{\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{(n-1)!!} \end{align}</math>
: Шулай итеп, тиҫкәре булмаған бөтөн ике йәнәш торған һандарҙың икеләтә факториалы араһындағы бәйләнеште берәүһенең ябай факториалы аша күрһәтеп була. Артабан таҡ {{math|''n''}}-дың икеләтә факториалы өсөн формула сығарыуҙы дауам итәбеҙ . Бер аҙымға кире әйләнеп ҡайтабыҙ (асыҡтан-асыҡ {{math|(''n''-1)!!}} килеп сыҡҡанға тиклем) һәм знаменатель өҫтөндә ҡайһы бер  тождестволы алгебраик үҙгәртеүҙәр башҡарабыҙ:
: <math>\begin{align}& {\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} = {\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{n-1}{2}}} \; \cdot \; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1) \;}{\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{n-1}{2}}} =
\\ & = {2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{2} \right )} = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )! \end{align}</math>
: Знаменатель өсөн килеп сыҡҡан аңлатманы <math>n!!</math> өсөн формулаға киренән ҡуябыҙ:
: <math>n!! = \frac{n!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}</math>
|}
Юғарылағы формуланы сығарғанда ҡулланылғанды иллюстрациялаусы '''Миҫал''':
: <math>\begin{align} 15!! & = \frac{15!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{15-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{15-1}{2} \right )!} 
= \frac{15!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\! 7}} \cdot 7!} =
\\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7)}}} =
\\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{(2 \cdot 1) (2 \cdot 2) (2 \cdot 3) (2 \cdot 4) (2 \cdot 5) (2 \cdot 6) (2 \cdot 7)}}} =
\\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}\frac{1 \cdot {\color{OliveGreen}2} \cdot 3 \cdot {\color{OliveGreen}4} \cdot 5 \cdot {\color{OliveGreen}6} \cdot 7 \cdot {\color{OliveGreen}8} \cdot 9 \cdot {\color{OliveGreen}10} \cdot 11 \cdot {\color{OliveGreen}12} \cdot 13 \cdot {\color{OliveGreen}14} \cdot 15}{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14}}} =
\\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15}} = 2027025 \end{align}</math>
{{Конец скрытого блока}}

<math>n=2k</math> йоп {{math|''n''}} һәм <math>n=2k+1</math> таҡ {{math|''n''}} өсөн ярашлы рәүештә алмаштырып ҡуйыуҙы башҡарып, бында <math>k</math> — бөтөн тиҫкәре булмаған һан, табабыҙ:

* йоп һан өсөн:
: <math>(2k)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2k =\prod_{i=1}^{k} 2i = 2^k\cdot k!</math>

* таҡ һан өсөн:
: <math>(2k+1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k+1) = \prod_{i=0}^{k} (2i+1) = \frac{(2k+1)!}{2^k\cdot k!}</math>

Килешеү буйынса: <math>0!! = 1</math>. Был тигеҙлек шулай уҡ тәбиғи рәүештә үтәлә:
: <math>0!! = 2^0 \cdot 0! = 1 \cdot 1 = 1</math>
{{Конец скрытого блока}}

Икеләтә факториал, ябай факториал кеүек үк, бөтөн тиҫкәре булмаған һандар өсөн генә билдәләнгән.

{{math|''n''!!}}-дың ҡиммәттәренең эҙмә-эҙлелеге ошолай башлана<ref>{{OEIS long|A006882}}</ref>:
: 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, {{formatnum:10395}}, {{formatnum:46080}}, {{formatnum:135135}}, {{formatnum:645120}}, {{formatnum:2027025}}, {{formatnum:10321920}}, {{formatnum:34459425}}, {{formatnum:185794560}}, {{formatnum:654729075}}, {{formatnum:3715891200}}, {{formatnum:13749310575}}, {{formatnum:81749606400}}, {{formatnum:316234143225}}, {{formatnum:1961990553600}}, {{formatnum:7905853580625}}, {{formatnum:51011754393600}}, …

=== Тапҡыр факториал ===
{{math|''n''}} һанының '''{{math|''m''}}-тапҡыр факториалы''' <math>\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m</math> тип тамғалана һәм ошолай билдәләнә. {{math|''n''}} һанын <math>n=mk-r,</math> күренешендә күрһәтеп булһын, ти; бында <math>k \in \mathbb{Z},</math> <math>r \in \{0,1,\ldots ,m-1\}.</math> Ул саҡта<ref name="avantaplus">«Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.</ref>
: <math>n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^k (mi-r)</math>
Ғәҙәттәге һәм икеләтә факториалдар  {{math|''m''}}-тапҡыр факториалдың ярашлы рәүештә {{math|''m'' {{=}} 1}} һәм {{math|''m'' {{=}} 2}} булғандағы айырым осраҡтары.
Тапҡыр факториал гамма-функция менән түбәндәге  нисбәт ярҙамында бәйләнгән<ref name="prooflink">[http://www.wolframalpha.com/input/?i=product+%28m*i-r%29%2C+i%3D1..k wolframalpha.com].</ref>:
: <math>n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^{k} (mi-r)=m^k \cdot \frac {\Gamma \left (k-\frac {r} {m} +1 \right )} {\Gamma \left ( 1- \frac {r} {m} \right)}.</math>

=== Тулы булмаған факториал ===

==== Кәмеүсе факториал ====
'''Кәмеүсе факториал''' тип 
: <math>(n)_k = n^{\underline{k}} = n^{[k]}= n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} = \prod_{i=n-k+1}^n i</math> аңлатмаһы атала.
Мәҫәлән:
: {{math|''n''}} = 7; {{math|''k''}} = 4,
: ({{math|''n'' − ''k''}}) + 1 = 4,
: n<sup><u>k</u></sup> = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.
Кәмеүсе факториал {{math|''n''}} элементтан {{math|''k''}}-шар элементлы урынлаштырмалар һанын бирә.

==== Үҫә барыусы факториал ====
'''Үҫә барыусы факториал''' тип 
: <math>n^{(k)} = n^{\overline{k}} = n\cdot (n+1)\cdot \ldots\cdot (n+k-1) = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}=\prod_{i=n}^{(n+k)-1} i.</math> аңлатмаһы атала

=== Праймориал йәки примориал ===

{{math|''n''}} һанының '''Праймориалы''' йәки '''примориалы''' ({{lang-en|primorial}}) {{math|''p<sub>n</sub>''#}} тип тамғалана һәм тәүге {{math|''n''}} ябай һандың ҡабатландығы тип билдәләнә. Мәҫәлән,
: <math>p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310</math>.
Ҡайһы берҙә праймориал тип <math>n\#</math> һанын атайҙар, ул {{mvar|n}}-дан ҙур булмаған бөтә ябай һандарҙың ҡабатландығы булараҡ билдәләнә.

Праймориалдар эҙмә-эҙлелеге  (<math>{\textstyle{1\# \equiv 1}}</math> ла индереп) ошолай башлана<ref>{{OEIS long|A002110}}</ref>:
: {{ч|1}}, {{ч|2}}, {{ч|6}}, {{ч|30}}, {{ч|210}}, {{ч|2310}}, {{formatnum:30030}}, {{formatnum:510510}}, {{formatnum:9699690}}, {{formatnum:223092870}}, {{formatnum:6469693230}}, {{formatnum:200560490130}}, {{formatnum:7420738134810}}, {{formatnum:304250263527210}}, {{formatnum:13082761331670030}}, {{formatnum:614889782588491410}}, {{formatnum:32589158477190044730}}, {{formatnum:1922760350154212639070}}, …

=== Суперфакториалдар ===
Нейл Слоан һәм Симон Плуффэ 1995 йылда '''суперфакториалға''' тәүге {{math|''n''}} факториалдың ҡабатландығы булараҡ билдәләмә бирҙеләр. Был билдәләмәгә ярашлы, дүрт һанының суперфакториалы 
: <math> \operatorname{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288</math> -гә тигеҙ.
(нығынған тамғалау булмағанлыҡтан, функциональ тамғалау ҡулланыла).
Дөйөм алғанда,
: <math>
  \operatorname{sf}(n)
  =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
  =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.
 </math>

<math>n \geqslant 0</math> Һандарының суперфакториалдары эҙмә-эҙлелеге ошолай башлана<ref>{{OEIS long|A000178}}</ref>:
: 1, 1, 2, 12, 288, {{formatnum:34560}}, {{formatnum:24883200}}, {{formatnum:125411328000}}, {{formatnum:5056584744960000}}, {{formatnum:1834933472251084800000}}, {{formatnum:6658606584104736522240000000}}, {{formatnum:265790267296391946810949632000000000}}, {{formatnum:127313963299399416749559771247411200000000000}}, …

Идея 2000 йылда Генри Боттомли тарафынан дөйөмләштерелә, был '''гиперфакториалдарға''' килтерә ({{lang-en|Superduperfactorial}}), ул тәүге {{math|''n''}} суперфакториалдың ҡабатландығы булып тора. <math>n \geqslant 0</math> һандарының гиперфакториалдарының эҙмә-эҙлелеге ошолай башлана<ref>{{OEIS long|A055462}}</ref>:

: 1, 1, 2, 24, 6912, {{formatnum:238878720}}, {{formatnum:5944066965504000}}, {{formatnum:745453331864786829312000000}}, {{formatnum:3769447945987085350501386572267520000000000}}, {{formatnum:6916686207999802072984424331678589933649915805696000000000000000}}, …

Рекуррент рәүештә дауам итеп, '''тапҡыр кимәлдә факториал''', йәки {{math|''n''}} һанының {{math|''m''}}-кимәлле факториалы билдәләнә, ул 1-ҙән алып {{math|''n''}}-ға тиклем һандарҙың ({{math|''m''}} − 1)-кимәлдәге  факториалдарының ҡабатландығы булараҡ билдәләнә, йәғни
: <math>\operatorname{mf}(n,m) = \operatorname{mf}(n-1,m)\operatorname{mf}(n,m-1)=\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k}, </math>
бында <math>n>0</math>өсөн <math>\operatorname{mf}(n,0)=n</math> һәм <math>\operatorname{mf}(0,m)=1.</math>

=== Субфакториал ===

'''Субфакториал''' !{{math|''n''}}  {{math|''n''}} тәртибендәге тәртипһеҙлектәр һаны итеп билдәләнә, йәғни  {{math|''n''}}-элементлы күмәклектең хәрәкәтһеҙ нөктәләрҙән башҡа перестановкалары.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
{{wiktionary|факториал}}
{{викиучебник|Язык Си в примерах/Факториал|Реализация факториала на языке Си}}
{{викиучебник|Примеры реализации функции факториал|Примеры реализации функции факториал}}
* [[Факторион]]

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр}}

[[Категория:Бөтөн һанлы эҙмә-эҙлелектәр]]
[[Категория:Һандар теорияһы]]
[[Категория:Комбинаторика]]