Фибоначчи һандары битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{Ук}}
[[Файл:34*21-FibonacciBlocks.png|ссылка=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/34%2A21-FibonacciBlocks.png/220px-34 %2A21-FibonacciBlocks.png|мини| Квадраттар менән черепица, яҡтарының оҙонлоғо эҙмә-эҙлекле Фибоначчи һандары: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 һәм 21]]
[[Файл:FibonacciRabbit.svg|ссылка=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/FibonacciRabbit.svg/220px-FibonacciRabbit.svg.png|справа|мини|Ҡуяндар пары Фибоначчи эҙмә-эҙлелеген барлыҡҡа килтерә]]
'''Фибоначчи һандары''' (яҙылыш варианттары — '''Фибоначи'''<ref>См., например, {{Китап|автор=Т. В. Кропотова, В. Г. Подольский, П. Е. Кашаргин|заглавие=Введение в высшую математику|издательство=Казанский федеральный университет институт физики}}</ref>) — 

: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, … ({{OEIS|A000045}}) һандар эҙмә-эҙлелегенең элементтары, унда тәүге ике һан 0 һәм 1-гә тигеҙ, ә һәр артабанғы һан алдағы ике һандың суммаһына тигеҙ{{Sfn|Lucas|1891|p=3}}. [[Урта быуаттар|Урта быуат]] математикгы Леонардо Пизано хөрмәтенә атала ([[Фибоначчи]] ҡушаматы менән билдәле).

Дөрөҫ, ҡайһы бер китаптарҙа, бигерәк тә иҫке китаптарҙа, нулгә тигеҙ булған <math>F_0</math> быуыны төшөп ҡала — шул саҡта Фибоначчи эҙмә-эҙлеге башлана <math>F_1 = F_2 = 1</math> [5]{{Sfn|Bóna|2011}}.

Формаль рәүештә әйткәндә, Фибоначчи <math>\{F_n\}</math> һандарының эҙмә-эҙлелеге [[һыҙыҡлы рекуррент нисбәт]] менән бирелә:

: <math>F_0 = 0,\quad F_1 = 1,\quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2}</math>,
: бында <math>\ n \geqslant 2,\ n \in \Z</math>.

Ҡайһы берҙә Фибоначчи һандары <math>n</math>-дың тиҫкәре ҡиммәттәре өсөн дә, шул үк рекуррент нисбәтте ҡәнәғәтләндереүсе ике яҡлы сикһеҙ эҙмә-эҙлелек булараҡ та ҡарала. Ярашлы рәүештә, тиҫкәре индекслы быуындарҙы «артҡа» эквивалентлы формула ярҙамында еңел табып була: <math>F_n = F_{n+2} - F_{n+1}</math>:
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
! ''n''
| … || −10 || −9 || −8 || −7 || −6 || −5 || −4 || −3 || −2 || −1 || 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || …
|-
! <math>F_n</math>
| … || −55 || 34 || −21 ||13 || −8 || 5 || −3 || 2|| −1 || 1 || 0 || 1 || 1 || 2 || 3 || 5 || 8 || 13 || 21 || 34 || 55 || …
|}

Күренеүенсә, <math>F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n</math>.

== Барлыҡҡа килеүе ==
[[Файл:Liber_abbaci_magliab_f124r.jpg|ссылка=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/Liber_abbaci_magliab_f124r.jpg/300px-Liber_abbaci_magliab_f124r.jpg|справа|мини|458x458пкс|''Фибоначчиҙең Китап абак'' ({{Lang-la|Liber abaci}}) бите Флоренцияның Милли үҙәк китапханаһынан. Уң блокта Фибоначчиҙең эҙмә-эҙлелеге күрһәтелә. нулдән 12-гә тиклемге позициялар ҡара рим цифрҙары менән, ә ҡиммәттәре ҡыҙыл төҫ менән һинд-ғәрәп цифрҙары менән билдәләнгән.]]
[[Файл:Fibbonachi's_numbers.jpg|ссылка=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Fibbonachi%27s_numbers.jpg/170px-Fibbonachi%27s_numbers.jpg|мини|170x170пкс|Ломоносов проспекты метро станцияһы интерьерында Фибоначчи һандары]]
Фибоначчи эҙмә-эҙлелеге [[Һиндостан тарихы|боронғо Һиндостанда]] яҡшы билдәле булған<ref name="HistoriaMathematica" />.<ref name="GlobalScience">{{Citation|first1=Susantha|page=126}}</ref><ref name="Donald Knuth 2006 50">{{Citation|first1=Donald|contribution=Donald Knuth|page=50}}</ref> Ул метрик фәндәрҙә (просодияларҙа, икенсе һүҙҙәр менән әйткәндә, шиғыр төҙөлөшөндә) Европала билдәле булғанға ҡарағанда күпкә алдараҡ ҡулланылған<ref name="HistoriaMathematica">{{Citation|first1=Parmanand|journal=3|pages=229—244}}</ref><ref name="knuth-v1">{{Citation|first1=Donald|contribution=Donald Knuth|page=100}}</ref>{{Sfn|Livio|2003}}.

''n'' оҙонлоғондағы өлгөнө '''''n'' − 2''' оҙонлоғондағы өлгөгә ''S''-ты, йә булмаһа '''''n'' − 2''' оҙонлоғондағы өлгөгә — ''L''-ды өҫтәү юлы менән төҙөргә мөмкин, һәм просодицистар, ''n'' оҙонлоҡтағы өлгөләре һаны эҙмә-эҙлеклелектә алдағы ике һандың суммаһы булыуын күрһәтә<ref name="Donald Knuth 2006 50">{{Citation|first1=Donald|contribution=Donald Knuth|page=50}}</ref>. Дональд Кнут был эффектты «Искусство программирование» китабында күрһәтә.

Көнбайышта был эҙмә-эҙлелек Леонардо Пизано, Фибоначчи булараҡ билдәле, тарафынан «Книга абака» хеҙмәтендә өйрәнелә (1202). Йорт ҡуяндарының идеаллаштырылған (биологик яҡтан ысынбарлыҡҡа тап килмәгән) популяцияһы үҫешен күҙ уңында тота. тыуғандан һуң икенсе айҙан ҡуяндар парлашып, яңы бер пар ҡуян тыуҙыра, өҫтәүенә, ай һайын; ҡуян бер касан ла үлмәй<ref>{{Китап|заглавие=Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science|ссылка=https://archive.org/details/divineproportion0000heme|год=2005|издательство=Sterling|место=New York|isbn=1-4027-3522-7|страницы=[https://archive.org/details/divineproportion0000heme/page/20 20]—21|автор=Hemenway, Priya}}</ref>, — ә эҙләнгән һан бер йылдан ҡуян парҙары булып тора.

* Беренсе ай башында яңы тыуған пар берәү генә , пар '''(1)'''.
* Беренсе ай аҙағына элккесә бер пар, ләкин улар уҙаҡлашҡан (1).
* Икенсе ай аҙағында беренсе пар тағы бер пар тыуҙыра һәм уҙаҡлаша, (2).
* Өсөнсө ай аҙағында беренсе пар яңы пар тыуҙыра, икенсе пар яңы уҙаҡлаша (3).
* Дүртенсе ай аҙағында беренсе тағы яңы пар тыуҙыра һәм уҙаҡлаша, икенсе пар тыуҙыра һәм уҙаҡлаша, өсөнсө пар яңы ғына уҙаҡлаша (5).

n -сы ай аҙағында ҡуян парҙары һаны алдағы айҙағы парҙар һанына һәм яңы тыуған парҙар һанына тигеҙ буласаҡ, был ике ай элек парҙар нисек булһа, ул пар шул тиклем буласаҡ, йәғни, <math>F_n = F_{n-2} + F_{n-1}</math><ref>{{Cite web|last=Knott|first=Ron|title=Fibonacci's Rabbits|url=http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#Rabbits|publisher=[[University of Surrey]] Faculty of Engineering and Physical Sciences}}</ref>.
Бәлки, был мәсьәлә лә популяцияның беренсе, экспоненциаль үҫешен моделләштереүсе булып торалыр.

«Фибоначчи эҙмә-эҙлеге» атамаһы беренсе тапҡыр XIX быуат теоретигы Эдуард Люк тарафынан ҡулланыла<ref>{{Citation|first=Martin|last=Gardner|author-link=Martin Gardner|title=Mathematical Circus|publisher=The Mathematical Association of America|year=1996|isbn=978-0-88385-506-5|page=153}}</ref>.

== Бине формулаһы ==
'''Бине формулаһы''' ''<math>F_n</math> ҡиммәтен асыҡтан-асыҡ n функцияһы итеп күрһәтә'':

: <math>F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{\varphi - (-\varphi )^{-1}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{2\varphi - 1},</math>

бында <math>\varphi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> — [[алтын киҫелеш]] һәм <math>\varphi</math> һәм <math>(-\varphi )^{-1}=1-\varphi</math>  
<math>x^2-x-1=0</math> характерлы тигеҙләмәнең тамырҙары булып торалар.
Ғөмүмән, оҡшаш формула Фибоначчи эҙмә-эҙлелеге хеҙмәт иткән һәр һыҙыҡлы рекуррент эҙмә-эҙлелек өсөн бар.

=== Нигеҙләү ===
<ref>{{Cite web|url=https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Binet%27s_Formula|title=Art of Problem Solving|website=artofproblemsolving.com|access-date=2021-05-09}}</ref>

<math>x^2-x-1=0</math> характерлы тигеҙләмәне <math>x^2=x+1</math> күренешендә яҙабыҙ, уның ике яғын да <math>x</math>-ҡа ҡабатлайбыҙ: <math>x^3=x^2+x</math> — һәм характерлы тигеҙләмәнән сығып, был суммала <math>x^2</math>-ты <math>x+1</math> суммаһы менән алмаштырабыҙ. Табабыҙ: <math>x^3=x^2+x=(x+1)+x=2x+1.</math> Шулай артабан <math>x</math>-ҡа ҡабатлауҙы һәм <math>x^2</math>-ты <math>x+1</math> суммаһы менән алмаштырыуҙы дауам итәбеҙ:

<math>\begin{align} x^4 & = 2x^2+x=2(x+1)+x= \\ & = 3x+2, \\
x^5 & = 3x^2+2x = 3(x+1)+2x=\\&=5x+3,\\
x^6 & = 5x^2+3x = 5(x+1)+3x=\\&=8x+5,\\
x^7 & = 8x^2+5x = 8(x+1)+5x=\\&=13x+8,\\
&\cdots\end{align}</math>

Шулай итеп, дөйөм тигеҙләмә барлыҡҡа : <math>x^n=F_nx+F_{n-1}.</math> Был тигеҙләмәне дөрөҫ тигеҙлеккә әйләндереү һәм шуның менән Фибоначчи һандарын    
үҙҙәрен сағылдырыу өсөн <math>\varphi</math> һәм <math>-\varphi^{-1}\colon</math> тамырҙарҙы ҡуйырға кәрәк:

<math>\begin{cases} \varphi^n=F_n\varphi+F_{n-1}, \\ (-\varphi)^{-n}=-F_n\varphi^{-1}+F_{n-1}, \end{cases}</math>

<math>\varphi^n-(-\varphi)^{-n}=F_n[\varphi-(-\varphi)^{-1}],\qquad\varphi^n+(-\varphi)^{-n}\cdot\varphi^2=F_{n-1}(1+\varphi^2),</math>

<math>\color{Black}\tfrac1\sqrt5\left((\tfrac{1+\sqrt5}2)^n-(\tfrac{1-\sqrt5}2)^{n}\right)=F_n,\qquad\tfrac1\sqrt5\left((\tfrac{1+\sqrt5}2)^{n-1}-(\tfrac{1-\sqrt5}2)^{n-1}\right)=F_{n-1}.</math>

=== Эҙемтә һәм дөйөмләштереү ===
Бине формулаһынан сығып, <math>n\geqslant 0</math> бөтә һандар өсөн <math>F_n</math> һаны <math>\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}},</math>түңәрәкләү була, йәғни <math>F_n = \left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil.</math>
Атап әйткәндә, <math>n\to\infty</math> эргәһендә <math>F_n\sim \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}.</math> ғәҙел асимптотика

Бине формулаһы ошолай аналитик дауамлы булыуы мөмкин:

: <math>F_z = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^z - \frac{\cos{\pi z}}{\varphi^z} \right).</math>

Шул уҡ ваҡытта <math> F_{z+2} = F_{z+1} + F_z </math> нисбәте һәр  ''z'' [[комплекслы һан]]ы өсөн үтәлә.

== Тождестволар ==
[[Файл:FibonacciBlocks.svg|ссылка=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/FibonacciBlocks.svg/220px-FibonacciBlocks.svg.png|мини|Беренсе n Фибоначчи һандары квадраттары суммаһына формула иллюстрацияһы<ref>{{Китап|ответственный=Сост. Савин А. П.|часть=Фибоначчи числа|заглавие=[[Энциклопедический словарь (Педагогика)|Энциклопедический словарь]] юного математика|издание=2-е изд|место={{М}}|год=1989|издательство=[[Педагогика (издательство)|Педагогика]]|страницы=312—314|страниц=352|isbn=5715502187}}</ref>]]

* <math>F_1 + F_2 + F_3 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1.</math><ref name=":0">{{Cite web|url=https://www.researchgate.net/profile/Marcin-Krzywkowski/publication/267072760_New_proofs_of_some_Fibonacci_identities/links/565420f108ae1ef929765de7/New-proofs-of-some-Fibonacci-identities.pdf|title=Теорема изложена в данном файле}}</ref>

* <math>F_1 + F_3 + F_5 + \dots + F_{2n-1} = F_{2n}.</math>

* <math>F_2 + F_4 + F_6 + \dots + F_{2n} = F_{2n+1} - 1.</math><ref name=":0">{{Cite web|url=https://www.researchgate.net/profile/Marcin-Krzywkowski/publication/267072760_New_proofs_of_some_Fibonacci_identities/links/565420f108ae1ef929765de7/New-proofs-of-some-Fibonacci-identities.pdf|title=Теорема изложена в данном файле}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html|title=Пункт 24}}</ref>

: Был тождествоны беренсеһен икенсеһенән алыу юлы менән иҫбатларға мөмкин:<math>\begin{alignat}{2} (F_1 + F_2 + \dots + F_{{\color{Red}2}n})-(F_1+F_3+\dots+F_{2n-1}) &= F_{{\color{Red}2}n+2} - 1-F_{2n}, \\
F_2+F_4+\dots+F_{2n} & = F_{2n+1}-1. \\ \end{alignat}
</math>

* <math>F_{n+1} F_{n+2} - F_n F_{n+3} = (-1)^n.</math><ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html|title=Следствие из пункта 36}}</ref>
* <math>F_1^2 + F_2^2 + F_3^2 + \dots + F_n^2 = F_n F_{n+1}</math> (ҡара. дөгө.).
* <math>F_n^2 + F_{n+1}^2 = F_{2n+1}.</math><ref name=":0">{{Cite web|url=https://www.researchgate.net/profile/Marcin-Krzywkowski/publication/267072760_New_proofs_of_some_Fibonacci_identities/links/565420f108ae1ef929765de7/New-proofs-of-some-Fibonacci-identities.pdf|title=Теорема изложена в данном файле}}</ref>
* <math>F_{2n} = F_{n+1}^2 - F_{n-1}^2.</math><ref name=":0" />
* <math>F_{3n} = F_{n+1}^3 + F_n^3 - F_{n-1}^3.</math><ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html|title=Пункт 30}}</ref>
* <math>F_{5n} = 25 F_n^5 + 25(-1)^n F_n^3 + 5 F_n.</math>
* <math>F_{n+1} = C^0_n + C^1_{n-1} + C^2_{n-2} + \dots</math><ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html|title=64}}</ref> бында <math>C_n^k</math> — биномиаль коэффициент.

Дөйөм формулалар:

* <math>F_{n+m} = F_{n-1} F_m + F_n F_{m+1} = F_{n+1} F_{m+1} - F_{n-1} F_{m-1}.</math>
* <math>F_{(k+1)n} = F_{n-1} F_{kn} + F_n F_{kn+1}.</math>
* <math>F_n = F_l F_{n-l+1} + F_{l-1} F_{n-l}.</math>
* Фибоначчи һандары берәмектәр йыйылмаһында континуант ҡиммәттәрҙән тора:: <math>F_{n+1} = K_n(1, \dots, 1),</math> йәғни
*: <math>F_{n+1} =
\det \begin{pmatrix} 
 1   & 1   & 0   & \cdots & 0 \\
-1   & 1   & 1   & \ddots & \vdots\\
 0   & -1   & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 
 0   & \cdots & 0   & -1   & 1
\end{pmatrix}</math> шулай уҡ <math>\ F_{n+1} =
\det \begin{pmatrix} 
1   & i   & 0   & \cdots & 0 \\
i   & 1   & i   & \ddots & \vdots\\
0   & i   & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & i \\ 
0   & \cdots & 0   & i   & 1
\end{pmatrix},</math>

: бында матрица <math>n \times n</math> размерына эйә һәм унда ''i'' — уйҙырма берәмек.

* Фибоначчи һандарын Чебышёв күпбыуындары аша билдәләргә мөмкин :
*: <math>F_{n+1} = (-i)^n U_n\left(\frac{-i}{2}\right),</math>
*: <math>F_{2n+2} = U_n\left(\frac{3}{2}\right).</math>
* теләһә ниндәй ''n'' ғәҙел
*: <math>\begin{pmatrix}
 1 & 1 \\
 1 & 0
\end{pmatrix}^n =
\begin{pmatrix}
 F_{n+1} & F_n \\
 F_n   & F_{n-1}
\end{pmatrix}.</math>
* Тикшереү итеп, билдәләүселәрҙе иҫәпләү Кассини тождествоһын бирә.

:: <math>(-1)^n = F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2.</math>

* <math>F_n^2 - F_{n-r}F_{n+r} = (-1)^{n-r}F_r^2.</math>

* <math>F_{n+1} = \frac{F_n + \sqrt{5 F_n^2 + 4(-1)^n}}{2}.</math><br><br><br>Был раҫлау Фибоначчи һандарының төп нисбәте ярҙамында Кассини тиңләшеүенән сығарыла:<br><math>(-1)^n = F_{n+1}(F_{n+1}-F_n) - F_n^2</math> <math>\Longleftrightarrow</math> <math>0 = {\color{Red}F_{n+1}}^2-{\color{Red}F_{n+1}}F_n - (F_n^2 + (-1)^n).</math>

== Башҡа өлкәләрҙә ==
[[Файл:Fibonacci orchid.jpg|мини|справа|Фибоначчи һаны эҙмә-эҙлелегендә фалаэнопсис орхидея таждары ]]
[[Файл:FibonacciChamomile.PNG|ссылка=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/FibonacciChamomile.PNG/170px-FibonacciChamomile.PNG|мини|21 (күк) һәм 13 (аква) спираль урынлашҡанлығын күрһәткән һары ромашкалы баш. Фибоначчи эҙмә-эҙлекле һанын үҙ эсенә алған бындай схемалар төрлө үҫемлектәрҙә осрай]]
[[Файл:X_chromosome_ancestral_line_Fibonacci_sequence.svg|ссылка=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/X_chromosome_ancestral_line_Fibonacci_sequence.svg/170px-X_chromosome_ancestral_line_Fibonacci_sequence.svg.png|слева|мини| Ата-бабаларҙың билдәле бер быуынында X хромосомаһының мираҫы буйынса мөмкин булған ата-бабалар һаны Фибоначчи эҙмә-эҙлелегенән һуң килә (Хатчисон Л. Үҫеп килеүсе ғаилә ағасы: Ғаилә мөнәсәбәттәрен тергеҙеүҙә ДНК көсө)<ref name="xcs">{{Мәҡәлә|заглавие=Growing the Family Tree: The Power of DNA in Reconstructing Family Relationships|ссылка=http://fhtw.byu.edu/static/conf/2005/hutchison-growing-fhtw2005.pdf|издание=Proceedings of the First Symposium on Bioinformatics and Biotechnology (BIOT-04)|язык=en|тип=journal|автор=Hutchison, Luke|год=2004}}</ref>]]
[[Файл:SunflowerModel.svg|ссылка=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/SunflowerModel.svg/170px-SunflowerModel.svg.png|мини| Фогель моделе иллюстрацияһы {{math|''n'' {{=}} 1 ... 500}} өсөн ]]
Фибоначчи һандарын тәбиғи һәм тарихи күренештәрҙә тапҡан бөтә раҫлауҙар ҙа дөрөҫ түгел тигән фекер бар — был киң таралған миф, йыш ҡына кәрәкле һөҙөмтәгә яраҡлы түгел булып сыға.<ref>[https://web.archive.org/web/20070523075937/http://www.maa.org/devlin/devlin_05_07.html The Myth That Will Not Go Away]{{ref-en}}.</ref>.

=== Тәбиғәттә ===
* Әгәр япраҡтар (бөрөләр) бер йыллыҡ үҫентеле (үренде, һабаҡ) спираль рәүешле булһа, үҫемлектәрҙең филлотаксисы (япраҡтарҙың урынлашыуы) Фибоначчи эҙмә-эҙлелеге менән тасуирлана. Шул уҡ ваҡытта эҙмә-эҙлекле урынлашҡан япраҡтар (бөрөләр) һаны спираль буйлап плюс бер, шулай уҡ бер йыллыҡ үҫеш күсәре (үҫенте, һабаҡ) тирәләй спираль тулы әйләнештәге спираль һаны ғәҙәттә Фибоначчи тәүге һандары менән сағылдырыла.
* [[Көнбағыш]] орлоҡтары, ҡарағай тубырсыҡтары, сәскә таждары, ананас күҙәнәктәре шулай уҡ Фибоначчи эҙмә-эҙлелегенә ярашлы урынлаша<ref name="Золотое сечение в природе">[http://himekoscho.ucoz.ru/load/16-1-0-92 Золотое сечение в природе].</ref><ref>[http://elementy.ru/trefil/21136 Числа Фибоначчи].</ref><ref>[http://www.diary.ru/~Organon/p19280903.htm Числа Фибоначчи].</ref><ref>{{Китап|автор={{nobr|Акимов О. Е.}}|заглавие=Конец науки|ссылка=http://sceptic-ratio.narod.ru/rep/kn15.htm#kn15g}}</ref>.

=== Сәнғәттә ===
Шиғриәттә Бине формулаһы аша Фибоначчи һандары менән бәйле «[[алтын киҫелеш]]» (алтын пропорция) нисбәте йышыраҡ табыла. Мәҫәлән, [[Шота Руставели|Ш. Руставелиҙың]] «[[Юлбарыҫ тиреһе ябынған батыр]]» поэмаһында һәм рәссамдарҙың картинаһында<ref>''Волошинов А. В.'' Математика и искусство. Москва: Просвещение, 2000. 400 с. ISBN 5-09-008033-X </ref>.

Ләкин Фибоначчи һандары туранан-тура шиғриәттә һәм музыкала осрай<ref>[https://kino.rambler.ru/other/44109466-matematika-v-stihah-i-muzyke/?updated Математика в стихах и музыке] </ref>

=== Кодлауҙа ===
Кодлау теорияһында тотороҡло «Фибоначчи кодтары» тәҡдим ителә.<ref>''Стахов А., Слученкова А., Щербаков И.'' Код да Винчи и ряды Фибоначчи. СПБ. Издательство: Питер, 2006. 320 с. ISBN 5-469-01369-3</ref> өҫтәүенә, был кодтарҙың [[позицион иҫәпләү системаһы]] — иррациональ һан.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
{{колонки|2}}
* Фибоначчи ағасы
* Фибоначчи һуңлау ысулы менән
* Фибоначчи экстремаль эҙләү ысулы
* [[Фибоначчи]]
* Фибоначчи иҫәпләү системаһы
* Бине һандары
* Леонардо һандары
* Витхофф таблицаһы
* Нараяна һыйырҙар эҙмә-эҙлелеге
* [[Алтын киҫелеш]]
* Пропорционаллек
{{конец|колонки}}

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр|2}}

== Әҙәбиәт ==
* {{Китап|автор=Н. Н. Воробьёв.|заглавие=Числа Фибоначчи|серия=[[Популярные лекции по математике]]|издательство=Наука|том=39|год=1978|ссылка=http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a06.htm}}
* {{Китап|автор=А. И. Маркушевич.|заглавие=Возвратные последовательности|серия=[[Популярные лекции по математике]]|издательство=Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы|том=1|год=1950|ссылка=http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a01.htm}}
* {{Мәҡәлә|автор=А. Н. Рудаков|заглавие=Числа Фибоначчи и простота числа 2<sup>127</sup> − 1|издание=[[Математическое Просвещение]], третья серия|том=4|год=2000|ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/matpros5.html}}
* {{Китап|автор=[[Кнут, Дональд Эрвин|Дональд Кнут]]|заглавие=Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы|оригинал=The Art of Computer Programming, vol. 1. Fundamental Algorithms|ссылка=|издание=3-е изд|место=М.|издательство=[[Вильямс (издательство)|«Вильямс»]]|год=2006|страницы=720|isbn=0-201-89683-4}}
* {{Китап|заглавие=[[Конкретная математика|Конкретная математика. Основание информатики]]|оригинал=Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science|автор=[[Кнут, Дональд Эрвин|Дональд Кнут]], [[Роналд Грэхем]], [[Орен Паташник]]|isbn=5-94774-560-7|год=2006|страницы=703|место=М.|издательство=[[Мир (издательство)|Мир]]; [[Бином. Лаборатория знаний]]}}
* ''Грант'' ''Аракелян.'' Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014. — С. 404. — ISBN 978-5-98704-663-0.
* {{Citation|first1=Miklós|author=Miklós Bóna}}.
* {{Китап|заглавие=The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number|ссылка=https://books.google.com/books?id=bUARfgWRH14C|издание=First trade paperback|год=2003|издательство={{Нп3|Broadway Books}}|место=New York City|isbn=0-7679-0816-3|ref=Livio|автор=[[Mario Livio|Livio, Mario]]}}

== Һылтанмалар ==
[[Категория:Математика тарихы]]
[[Категория:Бөтөн һанлы эҙмә-эҙлелектәр]]