Фурье анализы битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{Ук}}
[[Файл:Bass Guitar Time Signal of open string A note (55 Hz).png|thumb|400 px| A нотаһын уйнаған бас гитараның ҡылы сигналы («Ля» — 55 Гц).]]
[[Файл:Fourier Transform of bass guitar time signal.png|thumb|400 px|A асыҡ ҡылы өсөн бас гитара тауышының ваҡытлы сигналының Фурье бүленеше (55 Гц). Фурье анализы сигналдарҙың һәм функцияларҙың тирбәлеү компоненттарын асыҡларға мөмкинлек бирә.]]

'''Фурье анализы''' —анализда дөйөм математик функцияларҙың нисек күрһәтелеүен йәки ябайыраҡ тригонометрик функциялар суммаһы аша яҡынайыуын өйрәнгән йүнәлеш. Фурье анализы [[Фурье рәте|Фурье рәттәре]] үҙсәнлектәрен өйрәнгәндә барлыҡҡа килә, һәм [[Жозеф Фурье]] хөрмәтенә аталған, ул функцияны тригонометрик функциялар суммаһы рәүешендә күрһәтеү йылылыҡ алмашыныу процесын өйрәнеүҙе күпкә еңеләйтә икәнлеген күрһәтә.
Фурье анализының өйрәнеү предметы булып математик мәсьәләләрҙең киң спектры тора. Фәндә һәм техникала функцияны тирбәлеүсе компоненттарға тарҡатыуҙы йыш ҡына Фурье анализы тип атайҙар, функцияны бындай өлөштәрҙән тергеҙеү һәм шуларға таянып эш итеү Фурье синтезы булараҡ билдәле.

Мәҫәлән, музыкаль нотала йышлыҡтарҙың ниндәй компоненттары бар икәнен асыҡлағанда, һайланған музыка нотаһының Фурье үҙгәртеүе иҫәпләүҙәрен ҡулланалар. Бынан һуң шул уҡ тауышты, Фурье алализында асыҡлаған йышлыҡ компоненттарын ҡулланып, яңынан синтезларға мөмкин. Математикала йыш ҡына был ике операцияны ла Фурье анализы тип атайҙар.
Тарҡатыу процесы [[Фурье үҙгәртеүе]] тип атала.

== Ҡулланыу ==
Фурье анализы фәндә —физикала, айырым сығарылмалы дифференциаль тигеҙләмәләрҙә, һандар теорияһында, комбинаторикала, сигналдарҙы эшкәрткәндә, цифрлы һүрәттәрҙе эшкәрткәндә, ихтималлыҡ теорияһында, статистикала, суд экспертизаһында, криптографияла, һанлы анализда, акустикала, океанографияла, геометрияла, аҡһымдарҙың структуралы анализында һәм башҡа өлкәләрҙә күп ҡулланыла.
Бындай киң ҡулланыусанлығы үҙгәртеүҙең күп файҙалы үҙсәнлектәре менән бәйле:

Үҙгәртеү һыҙыҡлы сағылыш, тейешле нормалләштергәндә шулай уҡ унитар сағылыш булып тора (был үҙсәнлек [[Парсеваль теоремаһы]] йәки, дөйөмөрәк осраҡта, [[Планхерель теоремаһы]] булараҡ, һәм ғөмүмән алғанда [[Понтрягин ике төрлөлөгө]] төшөнсәһе арҡаһында билдәле){{sfn|Rudin|1990}}.
* Үҙгәртеү, ҡағиҙә булараҡ, әйләндермәле.
* Күрһәткесле функциялар дифференциаллау операциялары өсөн үҙ функциялар булып торалар, был, бындай күрһәтеүҙәр даими коэффициентлы һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмәләрҙе ғәҙәттәге алгебраик тигеҙләмәләргә әйләндерә икәнде аңлата {{harv|Evans|1998}}. Шулай итеп, һыҙыҡлы стационар системаларҙың тәртибен һәр йышлыҡ өсөн бәйһеҙ анализларға мөмкин.
* [[Төрөлмә (математик анализ)|Төрөлмә тураһында теорема]] арҡаһында Фурье үҙгәртеүҙәре ҡатмарлы төрөлөү операцияһын ябай ҡабатлауға әйләндерәләр, был шуны аңлата, бындай үҙгәртеүҙәр төрөлмәләр нигеҙендә операцияла иҫәпләүҙәрҙе күпбыуындарҙы ҡабатлау, ҙур һандарҙы ҡабатлау кеүек операциялар ярҙамында, йәғни эффектив ысул менән, башҡарырға мөмкинлек бирә{{sfn|Knuth|1997}}.
* [[Фурьеның дискрет үҙгәртеүе|Фурье үҙгәртеүенең дискрет версияһы]] [[Фурьеның тиҙ үҙгәртеү]] алгоритмдарын ҡулланып компьютерҙарҙа тиҙ иҫәпләнергә мөмкин (FFT){{sfn|Conte, de Boor|1980}}.

Суд экспертизаһында лаборатор инфраҡыҙыл спектрофотометрҙарҙы ҡулланғанда, материал инфраҡыҙыл спектрҙы йотҡандағы яҡтылыҡ тулҡыны оҙонлоғон үлсәү өсөн Фурье үҙгәртеүе анализын ҡулланалар. Фурье үҙгәртеүе ысулы үлсәнгән сигналдарҙы кодлау һәм тулҡын оҙонлоғо тураһында мәғлүмәтте яҙыу өсөн ҡулланыла. Ә компьютер ҡулланғанда бындай иҫәпләүҙәр тиҙ башҡарылалар, шуға күрә бындай компьютер-идара итеү ҡоролмаһы йотолған инфраҡыҙыл нурланыш спектрын һанаулы секунд эсендә бирергә мөмкин<ref>{{книга |заглавие=Criminalistics: An Introduction to Forensic Science |ref=Saferstein |язык=en |автор=Saferstein, Richard |год=2013}}</ref>.

Фурье үҙгәртеүен шулай уҡ сигналды компактлы күрһәтеү өсөн ҡулланалар. Мәҫәлән, цифрлы һүрәттең ҙур булмаған квадрат фрагменттары өсөн [[JPEG]] ҡыҫыу алгоритмы Фурье үҙгәртеүе модификацияһын ҡуллана (дискрет косинуслы үҙгәртеү). Һәр квадраттың Фурье компоненттары иң бәләкәй арифметик теүәллеккә тиклем түңәрәкләнә, ә әһәмиәтһеҙ компоненттарҙы иҫәпкә алмайҙар, шуға күрә ҡалған компоненттарҙы бик компактлы һаҡларға була. Һүрәтте тергеҙгәндә, һәр квадрат Фурье үҙгәртеүенең һаҡланған яҡынайтылған компоненттарынан элекке хәленә ҡайтарыла, улар аҙаҡ яҡынса яңыртылған тәүге һүрәткә әүереләләр.

== Фурье анализы варианттары ==

=== (Өҙлөкһөҙ) Фурье үҙгәртеүе ===
{{main|Преобразование Фурье}}

Йышыраҡ, асыҡлыҡ индерелмәһә, Фурье үҙгәртеүе ысын аргументлы өҙлөкһөҙ функцияларҙы үҙгәртеүгә ҡулланыуҙы аңлата, уның һөҙөмтәһе булып, йышлыҡ бүленеше булараҡ, йышлыҡтың өҙлөкһөҙ функцияһы тора. Бер функция икенсеһенә күсә, ә операция үҙе әйләнмәле булып тора. Тәүге функцияның билдәләнеү өлкәһе ваҡыт ({{mvar|t}}), ә килеп сыҡҡан (финаль) функцияның билдәләнеү өлкәһе йышлыҡ булһа, функцияны үҙгәртеү {{math|''s''(''t'')}} {{mvar|f}} йышлығында түбәндәгесә бирелә:

: <math>S(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \cdot e^{- 2 i\pi f t} \, dt.</math>

{{mvar|f}}-тың бөтә ҡиммәттәрендә был дәүмәлде иҫәпләү йышлыҡ өлкәһендә функцияны барлыҡҡа килтерә. Ул саҡта {{math|''s''(''t'')}}-ны бөтә мөмкин булған йышлыҡтар өсөн комплекслы экспоненталарҙың яңы комбинацияһы итеп ҡараға мөкин:

: <math>s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} S(f) \cdot e^{2 i\pi f t} \, df,</math>

Был кире комплекслы һан өсөн формула булып тора, {{math|''S''(&thinsp;''f''&thinsp;)}}, унда бер үк ваҡытта {{mvar|f}} йышлығының амплитудаһы һәм фазаһы инә.

=== Фурье рәте ===
{{main|Ряд Фурье }}

Периоды {{mvar|P}} булған периодлы {{math|''s''<sub>''P''</sub>(''t'')}} функцияһының Фурье үҙгәртеүе, Дирак тарағы булған, комплекслы коэффициенттар эҙмә-эҙлелеге менән модуляцияланған функция булып китә:

: {{mvar|k}} бөтөн ҡиммәттәре өсөн, <math>S[k] = \frac{1}{P}\int_{P} s_P(t)\cdot e^{-2 i\pi \frac{k}{P} t}\, dt</math>, һәм бында {{math|''∫<sub>P</sub>''}} ''P'' оҙонлоғондағы интервал өлкәһендә интеграл булып тора.

Фурье рәте булараҡ билдәле булған кире үҙгәртеү, сикһеҙ һандағы гармониялы бәйләнгән синусоидаларҙың йәки комплекслы экспоненциаль функцияларҙың суммаһы терминдарында {{math|''s''<sub>''P''</sub>(''t'')}} күренешендә, уларҙың һәр береһенең түбәндәге коэффициенттарҙың береһе менән бирелгән амплитудаһы һәм фазаһы бар:

: <math>s_P(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty S[k]\cdot e^{2 i\pi \frac{k}{P} t} \quad\stackrel{\displaystyle \mathcal{F}}{\Longleftrightarrow}\quad \sum_{k=-\infty}^{+\infty} S[k]\, \delta \left(f-\frac{k}{P}\right).</math>

Әгәр {{math|''s''<sub>''P''</sub>(''t'')}} икенсе {{math|''s''(''t'')}} функцияһының периодик суммаһы булараҡ бирелһә:

: <math>s_P(t) \,\stackrel{\text{def}}{=}\, \sum_{m=-\infty}^\infty s(t-mP),</math>

коэффициенттар ''P'' дискрет интервалдары өсөн {{math|''S''(&thinsp;''f''&thinsp;)}} элементтарына пропорциональ:

: <math>S[k] =\frac{1}{P}\cdot S\left(\frac{k}{P}\right).</math>

: <math>\int_{P} \left(\sum_{m=-\infty}^{\infty} s(t-mP)\right) \cdot e^{-2 i\pi \frac{k}{P} t} \,dt = \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} s(t) \cdot e^{-2 i\pi \frac{k}{P} t} \,dt}_{\stackrel{\mathrm{def}}{=}\, S\left(\frac{k}{P}\right)}</math>

Тик был элементтарҙан (йәғни Фурье рәтенән) {{math|''s''(''t'')}}-ны (һәм шулай итеп {{math|''S''(&thinsp;''f''&thinsp;)}}-ты) тергеҙеү өсөн, нулдән айырмалы {{math|''s''(''t'')}} иҫәпләү башының {{mvar|P}} оҙонлоғондағы билдәле интервал менән сикләнеүе, [[Котельников теоремаһы|Найквист-Шеннондың иҫәпләү башы теоремаһы]]на ярашлы йышлыҡ өлкәһенең икеләтелеүе етерлек шарт булып тора.

<!-- == Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Оконное преобразование Фурье]]
* [[Дискретное преобразование Фурье]]
* [[Дискретное преобразование Фурье над конечным полем]]
 -->

== Иҫкәрмәләр ==
{{ Иҫкәрмәләр }}

== Әҙәбиәт ==
* {{книга |заглавие=Elementary Numerical Analysis |издание=Third |место=New York |издательство=McGraw Hill, Inc. |isbn=0-07-066228-2 |год=1980 |ref=Conte, de Boor |язык=en |автор=Conte, S. D.; de Boor, Carl}}
* {{книга |заглавие=Partial Differential Equations |издательство=American Mathematical Society |год=1998 |isbn=3-540-76124-1 |ref=Evans |язык=en |автор=Evans, L.}}
* {{книга |заглавие=Principles of Fourier Analysis |издательство=[[CRC Press]] |isbn=978-0-8493-8275-8 |ref=Howell |язык=en |автор=Howell, Kenneth B. |год=2001}}
* {{книга |заглавие=Fundamentals of Signals and Systems Using the Web and Matlab |издательство=Prentiss-Hall |издание=2 |isbn=0-13-017293-6 |ref=Kamen |язык=en |автор=Kamen, E. W.; Heck, B. S. |день=2 |месяц=3 |год=2000}}
* {{книга |заглавие=[[Искусство программирования|The Art of Computer Programming]] Volume 2: Seminumerical Algorithms |издание=3rd |год=1997 |издательство=[[Addison-Wesley|Addison-Wesley Professional]] |isbn=0-201-89684-2 |страницы=Section 4.3.3.C: Discrete Fourier transforms, pg.305 |ref=Knuth |язык=en |автор=Knuth, Donald E.}}
* {{книга |заглавие=The Fourier Transform in a Nutshell |ссылка=https://www.audiolabs-erlangen.de/content/05-fau/professor/00-mueller/04-bookFMP/2015_Mueller_FundamentalsMusicProcessing_Springer_Section2-1_SamplePages.pdf |издательство=Springer |страницы=In [http://www.music—processing.de Fundamentals of Music Processing], Section 2.1, p. 40—56 |год=2015 |doi=10.1007/978-3-319-21945-5 |isbn=978-3-319-21944-8 |ref=Müller |язык=en |автор=Müller, Meinard}}
* {{книга |заглавие=Handbook of Integral Equations |издательство=[[CRC Press]] |место=Boca Raton |isbn=0-8493-2876-4 |ref=Polyanin |язык=en |автор=Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. |год=1998}}
* {{книга |заглавие=Fourier Analysis on Groups |издательство=[[John Wiley & Sons|Wiley-Interscience]] |год=1990 |isbn=0-471-52364-X |ref=Rudin |язык=en |автор=Rudin, Walter}}
* {{книга |ссылка=http://www.dspguide.com/pdfbook.htm |заглавие=The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing |издание=Second |место=San Diego |издательство=California Technical Publishing |год=1999 |isbn=0-9660176-3-3 |ref=Smith |язык=en |автор=Smith, Steven W.}}
* {{книга |заглавие=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces |издательство=[[Princeton University Press]] |isbn=0-691-08078-X |ref=Stein |язык=en |автор=Stein, E. M.; Weiss, G. |год=1971}}

== Һылтанмалар ==
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm Tables of Integral Transforms] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [https://web.archive.org/web/20060210112754/http://cns-alumni.bu.edu/~slehar/fourier/fourier.html An Intuitive Explanation of Fourier Theory] by Steven Lehar.
* [https://archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lecture 6 is on the 1- and 2-D Fourier Transform. Lectures 7-15 make use of it.], by Alan Peters
* {{cite web|last=Moriarty|first=Philip|title=∑ Summation (and Fourier Analysis) |url=http://www.sixtysymbols.com/videos/summation.htm |work=Sixty Symbols|publisher=[[Brady Haran]] for the [[University of Nottingham]] |last2=Bowley |first2=Roger |year=2009}}


{{Внешние ссылки}}
[[Категория:Фурье үҙгәртеүе]]