Фурье рәте битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

[[Файл:Synthesis square.gif|thumb|350px|right|Өҙөклө киҫәкле-даими функцияны {{comment|аппроксимациялағанда|бер объекттарҙы уларға яҡын икенселәре менән алмаштырғанда}} Фурье рәте быуындарын өҫтәү нәтижәһе. Алғы яҡтағы сығынтылар Фурье рәтенең өҙөклөк нөктәләрендә [[Тигеҙ сходимость|тигеҙ булмаған йыйылыусанлығы]] менән бәйле.]]

'''[[Фурье, Жан Батист Жозеф|Фурье́]] [[Рәт (математика)|рәте]]''' — <math>f</math> функцияһын <math>\tau</math> периоды менән рәт күренешендә күрһәтеү.

: <math> f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{+\infty} A_k\cos\left(k\frac{2\pi}{\tau}x+\theta_k\right)</math>

Был рәт шулай уҡ ошондай күренештә яҙылырға мөмкин

: <math>f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ik \frac{2\pi}{\tau}x},</math>

бында
: <math>A_k</math> — <math>k</math>-сы гармоник тирбәлеү амплитудаһы,
: <math> k\frac{2\pi}{\tau} = k\omega</math> — гармоник тирбәлеүҙең түңәрәк йышлығы,
: <math>\theta_k</math> — <math>k</math>-сы тирбәлеүҙең башланғыс фазаһы,
: <math>\hat{f}_k</math> — <math>k</math>-сы [[комплекслы амплитуда]]

Дөйөм күренештә, ниндәйҙер функциялар арауығы элементының Фурье рәте тип, был элементтың [[ортонормалаштырылған функциялар|ортонормалаштырылған функцияларҙың]] тулы системаһы буйынса, йәки, икенсе төрлө әйткәндә, [[ортогональ функциялар|ортогональ функцияларҙан]] торған [[Ортогональ базис|базис]] буйынса тарҡалмаһы атала. Ҡулланылған интеграллау төрөнә бәйле рәүештә [[Риман интегралы|Фурье — Риман]], [[Лебег интегралы|Фурье — Лебег]] һәм башҡа рәттәр тураһында һөйләнелә.<ref name="МЭС">{{книга
|часть =
|заглавие = Математический энциклопедический словарь
|оригинал =|автор =|ссылка =|isbn = 
|страницы = 619
|год = 1988
|место =  М.
|издательство = [[Большая Российская энциклопедия (издательство)|«Сов. энциклопедия »]]
}}</ref>

[[Ортогональ күпбыуындар|Ортогональ күпбыуындарҙың]] һәм башҡа ортогональ функцияларҙың күп системалары бар (мәҫәлән, [[Хаар функциялары|Хаар]], [[Уолш функциялары|Уолш]] һәм Котельников функциялары), улар буйынса функцияларҙы Фурье рәтенә тарҡатыу башҡарылырға мөмкин.

Функцияны Фурье рәтенә тарҡатыу күп төрлө мәсьәләләрҙе сығарғанда ҡеүәтле инструмент булып тора, сөнки Фурье рәте [[Функция сығарылмаһы|дифференциаллауҙа]], [[интеграллау|интеграллауҙа]], функцияның аргумент буйынса күсешендә һәм функциялар [[Урама (математик анализ)|урамаһында]] үҙен асыҡ, аңлайышлы тота.

Фурье рәттәренең математиканың төрлө бүлектәрендә күп һандағы дөйөмләштереүҙәре бар. Мәҫәлән, теләһә ниндәй функцияны сикле төркөмдә, был төркөмдөң килтереп булмай торған матрицалы элементтары буйынса, Фурье рәтенә оҡшаш рәткә тарҡатырға мөмкин ([[тулылыҡ теоремаһы]]).

== Тригонометрик Фурье рәте ==
{{Основная статья|Тригонометрик Фурье рәте}}

<math>f\in {\mathcal L}([-\pi,\pi])</math> функцияһының (йәғни, <math>([-\pi,\pi])</math> аралығында [[Лебега интегралы|суммаланыусы]] функцияның, йәки уның ысын тура һыҙыҡҡа периодик дауамының) ''тригонометрик Фурье рәте'' тип түбәндәге күренештәге [[функциональ рәт]] атала

: <math>f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx),</math> (1)

бында

: <math>a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,</math>

: <math>a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,</math>

: <math>b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx,</math>
<math>a_0</math>, <math>a_n</math> һәм <math>b_n</math> (<math>n = 1, 2, \ldots</math>) һандары ''<math>f</math> функцияһының Фурье коэффициенттары'' тип атала. Улар өсөн формулаларҙы ошолай аңлатырға була. <math>f\in\mathcal{L}([-\pi,\pi])</math> функцияһын (1) күренештәге рәт итеп күрһәтергә теләйбеҙ һәм беҙгә билдәһеҙ <math>a_0</math>, <math>a_n</math> һәм <math>b_n</math> коэффициенттарын табырға кәрәк икән ти. Әгәр (1) тигеҙлектең уң яғын <math>\cos(kx)</math>-ҡа ҡабатлаһаҡ һәм <math>[-\pi,\pi]</math> аралығы буйынса интеграллаһаҡ, уң яҡтағы бөтә ҡушылыусылар, синустар һәм косинустарҙың был аралыҡта ортогональ булыуы арҡаһында, берәүһенән башҡа нулгә әйләнәләр. Килеп сыҡҡан тигеҙлектән <math>a_k</math> коэффициенты еңел табыла. Оҡшаш рәүештә <math>b_k</math> өсөн.

[[Lp арауыҡ#ПL² арауыҡ|<math>\mathcal{L}_2([-\pi,\pi])</math> арауығының]] <math>f</math> функцияһы өсөн (1) рәт был арауыҡта [[Эҙмә-эҙлелек сикләнмәһе|йыйылыусан]]. Икенсе төрлө әйткәндә, әгәр <math>S_k(x)</math> аша (1) рәттең өлөшләтә суммаларын тамғалаһаҡ:

: <math>S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</math>,

ул саҡта уларҙың <math>f</math> функцияһынан [[урта квадратик тайпылышы]] нулгә ынтыласаҡ:

: <math>\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0</math>.

Урта квадратик йыйылыусанлыҡҡа ҡарамай, функцияның Фурье рәте, ғөмүмән әйткәндә, уға нөктәләр буйынса йыйылырға бурыслы түгел.

Фурье рәттәре менән эшләгәндә йыш ҡына базис сифатында синустар һәм косинустар урынына уйланма аргументтың экспонентаһын алыу уңайлы була. Беҙ комплекслы ҡиммәтле функцияларҙың [[скаляр ҡабатландыҡ|скаляр ҡабатландығы]] менән [[Lp арауыҡ#L² арауыҡ|<math>\mathcal{L}^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math> арауығын]] ҡарайбыҙ
: <math>\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx</math>.

Беҙ шулай уҡ

:: <math>\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}</math> функциялар системаһын ҡарайбыҙ.

Элеккесә, был функциялар пар-пар ортогональ булалар һәм тулы система барлыҡҡа килтерәләр, һәм, шулай итеп, теләһә ниндәй <math>f\in \mathcal{L}^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math> функцияһы улар буйынса Фурье рәтенә тарҡатылырға мөмкин:

: <math>f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}</math>,

бында уң яҡтағы рәт <math>L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math> нормаһы буйынса <math>f</math> функцияһына йыйыла. Бында

: <math>\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx</math>.

<math>\hat{f}_k</math> коэффициенттары Фурье классик коэффициентары менән артабанғы бәйләнеш менән бәйләнгәндәр:
: <math>\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0</math>
: <math>\hat{f}_0 = a_0/2</math>
: <math>\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0</math>
: <math>a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0</math>
: <math>b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0</math>

Ысын ҡиммәтле функциялар өсөн <math>\hat{f}_k</math> һәм <math>\hat{f}_{-k}</math> коэффициенттары комплекслы эйәртеүле.

== Дөйөмләштереүҙәр ==

=== Гильберт арауығында Фурье рәттәре ===
Юғарыла тасуирланған конструкцияны тригонометрик система менән [[Lp арауыҡ#L² арауыҡ|<math>L^2[-\pi,\pi]</math> арауығы]] осрағынан ирекле Гильберт арауығына дөйөмләштерергә мөмкин. <math>H</math> [[Гильберт арауығы]]нда <math>\{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}</math> [[ортогональ система]] бирелһен һәм <math>f</math> — <math>H</math>-тан ирекле элемент булһын ти. <math>f</math>-ты <math>\{\varphi_k\}</math> элементтарының (сикһеҙ) һыҙыҡлы комбинацияһы күренешендә күрһәтергә теләйбеҙ икән ти:
: <math>f = \sum^{\infin}_{n=1}c_n\varphi_n.</math>
Был аңлатманы <math>\varphi_k</math>-ға ҡабатлайбыҙ. <math>\{\varphi_k\}</math> функциялар системаһының ортогональ булыуын иҫәпкә алып, <math>n=k</math> булғандағы ҡушылыусынан башҡа, рәттең бөтә ҡушылыусылары нулгә әйләнә:
: <math>   (f, \varphi_k) = c_k\|\varphi_k\|^2.   </math>
: <math>c_k =\frac{(f, \varphi_k)}{\|\varphi_k\|^2}</math> һандары <math>f</math> элементының <math>\{\varphi_k\}</math> системаһы буйынса ''координаталары'', йәки ''Фурье коэффициенттары'' тип аталалар, ә
: <math>\sum_k c_k \varphi_k</math> рәте <math>f</math> элементының <math>\{\varphi_k\}</math> ортогональ системаһы буйынса '''Фурье рәте''' тип атала.

Теләһә ниндәй <math>f</math> элементының теләһә ниндәй ортогональ система буйынса Фурье рәте <math>H</math> арауығында йыйыла, ләкин уның суммаһы <math>f</math>-кә мотлаҡ тигеҙ түгел. [[Сепарабель арауыҡ|Сепарабель]] Гильберт арауығында <math>{\varphi_k}</math> [[ортонормалаштырылған система]] өсөн артабанғы шарттар эквивалентлы:

* система [[базис]] була, йәғни теләһә ниндәй элементтың Фурье рәте суммаһы был элементҡа тигеҙ.
* система ''тулы'' була, йәғни <math>H</math>-та нулдән айырмалы булған, бөтә <math>\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...</math> элементтарына бер юлы ортогональ булған элемент юҡ.
* система ''йомоҡ'', йәғни теләһә ниндәй <math>f\in H</math> өсөн [[Парсеваль тигеҙлеге]] үтәлә
:: <math>\sum_{k=1}^\infty |c_k|^2 = \|f\|^2</math>.
* <math>\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...</math> элементтарының һыҙыҡлы комбинациялары <math>H</math> арауығында [[бәтә ерҙә тығыҙ күмәклек|тығыҙ]].

Әгәр был шарттар үтәлмәһә, <math>f</math> элементының Фурье рәте суммаһы, уның <math>\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...</math> элементтары [[һыҙыҡлы көплөк|һыҙыҡлы көплөгөнөң]] [[Замыкание (алгебра)|замыканиеһына]] [[ортогональ проекция|ортогональ проекцияһына]] тигеҙ. Был осраҡта Парсеваль тигеҙлеге урынына ''Бессель тигеҙһеҙлеге'' дөрөҫ:
: <math>\sum_{k=1}^\infty c_k^2 \leqslant \|f\|^2.</math>

{{Hider|
  title = Миҫалдар |
  content =  <math>\sin(kx)</math>, <math>\cos(kx)</math> тригонометрик функциялары <math>L_2[-\pi,\pi]</math> Гильберт арауығының базисын төҙөй. Әгәр беҙ йә тик косинустарҙы йә тик синустарҙы ғына ҡараһаҡ, ул саҡта бындай система артабан тулы булмай. <math>\cos(kx)</math> функцияларының һыҙыҡлы көплөгөнөң замыканиеһы — ул <math>L_2</math>-нән бөтә йоп функциялар, ә <math>\sin(kx)</math>> функцияларының һыҙыҡлы көплөгөнөң замыканиеһы - бөтә таҡ функциялар. Результатом разложенияи <math>f</math> функцияһының Фурье рәттәренә был системалар буйынса тарҡатыү нәтижәһе булып <math>f</math> функцияһының ярашлы рәүештә йоп һәм таҡ өлөштәре торалар: 
:<math>\sum\limits_0^n a_k \cos(kx) = \frac{f(x)+f(-x)}{2},</math>
:<math>\sum\limits_1^n b_k \sin(kx) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}.</math>

Тағы ла ҡыҙығыраҡ хәл <math>\{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty}</math> системаһын ҡарағанда тыуа. Был система яңынан тулы булмай. Уның  һыҙыҡлы көплөгөнөң замыканиеһы — <math>H_2</math> Харди арауығы. Был арауыҡтың элементтары -- <math>f(t)=g(e^{it})</math> күренешендә булған һәм  бары тик шул <math>f\in L_2</math> функциялары, бында <math>g</math> — <math>|z|<1.</math>| түңәрәгендә аналитик булған ниндәйҙер функцияларҙың сикле ҡиммәттәре.
  frame-style = border: 1px solid Plum; |
  title-style = color: black; background-color: lavender; font-weight: bold; | 
  content-style = color: black; background-color: ghostwhite; text-align: left; |
  hidden=1
}}

=== Понтрягиндың ҡаршылыҡлы булыуы ===
{{main|Двойственность Понтрягина}}

Фурье рәттәре теорияһын Гильберт арауығы осрағына дөйөмләштергәндә, Фурье рәттәренең [[урама (математик анализ)|урама]] менән бәйләнешен күрһәтеүсе аңлатмаларҙың үҙсәнлектәре юғала — функциялар урамаһының Фурье коэффициенттары уларҙың Фурье коэффициенттарының быуын-быуынлап ҡабатландығы була, һәм киреһенсә, ҡабатландыҡтың Фурье коэффициенттары ҡабатлашыусыларҙың Фурье коэффициенттарының урамаһы була. Фурье теорияһын [[дифференциаль тигеҙләмә|дифференциаль]], [[интеграль тигеҙләмә|интеграль]] һәм башҡа функциональ тигеҙләмәләрҙе сығарыуҙа ҡулланыу өсөн был үҙсәнлектәр бик мөһим булып торалар. Шуға күрә Фурье рәттәренең был үҙсәнлектәрҙе һаҡлаусы дөйөмләштерелеүҙәре ҙур ҡыҙыҡһыныу тыуҙыра. Шундай дөйөмләштереү булып Понтрягиндың ҡапма-ҡаршылыҡлы теорияһы тора. Ул [[Локаль компактлыҡ|локаль-компактлы]] [[Абель төркөмө|Абель]] [[Төркөм (математика)|төркөмдәрендә]] бирелгән функцияларҙы ҡарай. Бындай функцияның Фурье рәте аналогы булып ҡаршылыҡлы төркөмдә бирелгән функция тора.

== Фурье рәтенең йыйылыусанлығы ==
[[Файл:Periodic identity function.gif|thumb|400px|Фурье рәтенең йыйылыусанлығы]]

=== Фурье рәтенең йыйылыусанлығы һөҙөмтәләрен күҙәтеү ===
<math>f(x)</math> функцияһының Фурье рәтенең өлөшләтә суммаларын <math>S_N(f,x)</math> аша тамғалайыҡ:
: <math>S_N(f,x):=\sum\limits_{k=-N}^N\hat{f}_ke^{ikx}</math>.
Артабан <math>S_N(f,x)</math> функциялары [[эҙмә-эҙлелек сикләнмәһе|эҙмә-эҙлелектәренең]] <math>f(x)</math> функцияһына төрлө мәғәнәләрҙә йыйылыусанлығы тикшерелә. <math>f</math> функцияһы <math>2\pi</math>-периодлы тип уйланыла (әгәр ул тик <math>[-\pi,\pi]</math> аралығында ғына бирелһә, уны периодик дауам итергә мөмкин).

* Әгәр <math>f\in L_2([-\pi,\pi])</math> булһа, ул саҡта <math>S_N(f,x)</math>эҙмә-эҙлелеге <math>f(x)</math> функцияһына [[L2-лә йыйылыусанлыҡ|<math>L_2</math> мәғәнәһендә]] йыйыла. Бынан тыш, <math>S_N(f,x)</math> (<math>L_2</math>-лә алыҫлыҡ мәғәнәһендә) <math>f</math> функцияһының <math>N</math>-дан юғары булмаған дәрәжәләге [[Тригонометрик полином|тригонометрик күпбыуын]] менән иң яҡшы яҡынайыуы булалар.
* Фурье рәтенең бирелгән <math>x_0</math> нөктәһендә йыйылыусанлығы — локаль үҙсәнлек, йәғни, әгәр <math>f</math> һәм <math>g</math> функциялары <math>x_0</math> нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында тап килһәләр, ул саҡта <math>S_N(f,x_0)</math> һәм <math>S_N(g,x_0)</math> эҙмә-эҙлелектәре йә бер үк ваҡытта таралалар, йә бер үк ваҡытта йыйылалар, һәм был осраҡта уларҙың сикләнмәләре тап килә. (Локалләштереү принцибы).
* Әгәр <math>f</math> функцияһы <math>x_0</math> нөктәһендә дифференциалланыусы булһа, ул саҡта уның Фурье рәте был нөктәлә <math>f(x_0)</math>-ға йыйыла. Теүәлерәк етерлек шарттар <math>f</math> функцияһының шымалығы терминдарында [[Дини билдәһе]] менән бирелә.
* <math>x_0</math> нөктәһендә өҙлөкһөҙ функцияның унда таралыусан Фурье рәте булырға мөмкин. Ләкин, әгәр ул таралһа, ул саҡта һис шикһеҙ <math>f(x_0)</math>-ға. Был <math>x_0</math> нөктәһендә өҙлөкһөҙ <math>f</math> функцияһы өсөн <math>S_N(f,x_0)</math> эҙмә-эҙлелеге [[Чезаро буйынса йыйылыусанлыҡ|Чезаро буйынса]] <math>f(x_0)</math>-ға йыйылыуынан килеп сыға.
* Әгәр <math>f</math> функцияһы <math>x_0</math> нөктәһендә өҙөклө булһа, ләкин был нөктәлә уңдан һәм һулдан <math>f(x_0+0)\neq f(x_0-0)</math> сикләнмәләре булһа, ул саҡта ҡайһы бер өҫтәлмә шарттар үтәлгәндә <math>S_N(f,x_0)</math> <math>(f(x_0+0)+f(x_0-0))/2</math>-ға йыйылалар. Ентеклерәк ҡарағыҙ. [[Дини билдәһе|модифицирләнгән Дини билдәһе]].
* ''Карлесон теоремаһы:'' әгәр <math>f\in L_2([-\pi,\pi])</math> булһа, ул саҡта уның Фурье рәте [[һәр ерҙә тиерлек йыйылыусанлыҡ|һәр ерҙә тиерлек]] уға йыйыла. Был <math>f\in L_p([-\pi,\pi]), p>1</math> булғанда дөрөҫ. Әммә, <math>L_1([-\pi,\pi])</math>-дан шундай функциялар бар, уларҙың Фурье рәттәре бөтә нөктәләрҙә лә таралалар (шундай функцияның миҫалы [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров]] тарафынан төҙөлгән<ref>[http://www.mathnet.ru/links/5e740e99be052aabb4e379e829466873/mp21.pdf ''В. М. Тихомиров, В. В. Успенский''. Пеpвые филдсовские лауpеаты и советская математика 30-х годов. I. — Матем. просв., сер. 3, 2, МЦНМО, М., 1998, 21-40.]</ref>).
* <math>x_0\in(-\pi,\pi)</math> нөктәһен билдәләйек. Ул саҡта Фурье рәттәре был нөктәлә йыйылған бөтә өҙлөкһөҙ функциялар күмәклеге [[өҙлөкһөҙ функциялар арауығы|<math>C([-\pi,\pi])</math> арауығында]] [[Бэр категорияһы|беренсе категория]] күмәклек була. Ниндәйҙер мәғәнәлә был «типик» өҙлөкһөҙ функцияның таралыусан Фурье рәте бар тигәнде аңлата.

=== Фурье коэффициенттарының кәмеүе һәм функцияларҙың аналитиклығы ===
Функцияның аналитиклығы һәм Фурье коэффициенттарының кәмеү тиҙлеге араһында фундаменталь бәйләнеш бар. Функция ни тиклем «яҡшыраҡ», шул тиклем уның коэффициенттары тиҙерәк нулгә ынтыла, һәм киреһенсә. Фурье коэффициенттарының дәрәжәле кәмеүе <math>C^{(k)}</math> класындағы функцияларға хас, ә экспоненциаль кәмеүе — [[аналитик функция|аналитик функцияларға]] хас. Шундай төрҙәге бәйләнеш миҫалдары:
* Теләһә ниндәй [[интеграл|интегралланыусы]] функцияның Фурье коэффициенттары нулгә ынтылалар ({{нп5|Риман — Лебег леммаһы|||Riemann–Lebesgue_lemma}}).
* Әгәр <math>f</math> функцияһы <math>C^{(k)}([-\pi,\pi])</math> класына инһә, йәғни <math>k</math> тапҡыр дифференциалланыусы һәм уның <math>k</math>-сы сығарылмаһы өҙлөкһөҙ булһа, ул саҡта <math>\hat{f}_n=o\left(\frac{1}{n^k}\right)</math>
* Әгәр <math>\sum n^{\alpha}\hat{f}_n</math> рәте [[абсолют  йыйылыусанлыҡ|абсолют  йыйылһа]], ул саҡта <math>f</math> — <math>C^{(k)}([-\pi,\pi])</math> класынан функция менән бөтә <math>k<\alpha</math> өсөн [[һәр ерҙә тиерлек]] тап килә.
* Әгәр  функция [[Гельдер шарты|Гёльдер класына]] <math>\alpha>1/2</math> күрһәткесе менән инһә, ул саҡта <math>\sum \hat{f}_n</math> рәте абсолют йыйыла ([[Бернштейн теоремаһы]]).
* Әгәр <math>\hat{f}_n=O(a^n),0<a<1</math>, ул саҡта тригонометрик Фурье рәте [[аналитик функция|аналитик функцияға]] йыйыла.{{нет АИ|1|12|2009}}

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Фурье үҙгәртеүе]]
* [[Фурьеның тиҙ үҙгәртеүе]]
* [[Тригонометрик рәт]]
* [[Жордано билдәһе]]
* [[Дини билдәһе]]
* [[Һанлы рәт]]
* [[АТС теорема]]
* [[Тауыштарҙың гармоник рәте]]
* {{iw|Гиббс күренеше||en|Gibbs phenomenon}}

== Иҫкәрмәләр ==
{{Иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==
* {{книга
|автор = Жук В.В., Натансон Г.И.
|заглавие = Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации
|издательство = Изд-во Ленингр. ун-та
|место = Л.
|год = 1983
|страниц = 188
}}
* {{книга
|автор = Рудин У.
|заглавие = Основы математического анализа
|год = 1976
}}
* {{книга
|автор = [[Пискунов, Николай Семёнович|Пискунов Н. С.]]
|заглавие = Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов
|том = 2
|место = М.
|издательство = «Наука»
|год = 1964
}}
* {{книга
|автор = Зигмунд А.
|заглавие = Тригонометрические ряды
|том = 1
|место = М.
|издательство = «Мир»
|год = 1965
}}

== Һылтанмалар ==
{{cite web| url        =http://ru.dsplib.org/content/fourier_series/fourier_series.html| title        =Представление периодических сигналов. Ряд Фурье }}

{{cite web| url        =http://ru.dsplib.org/content/fourier_series_prop/fourier_series_prop.html| title        =Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье  }}

{{Последовательности и ряды}}

[[Категория:Фурье үҙгәртеүе]]
[[Категория:Рәттәр]]
[[Категория:Гармоник анализ]]