Элементар алгебра битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

'''Элемента́р а́лгебра''' —  [[Ысын һан|ысын]] һәм [[Комплекслы һан|комплекслы һандар]] өҫтөндә [[Алгебраик аңлатма|алгебраик аңлатмалар]] һәм [[Тигеҙләмә|тигеҙләмәләрҙе]] өйрәнеүсе, [[алгебра|алгебраның]] иң боронғо бүлеге.

== Төп төшөнсәләр ==
Алгебрала, конкрет һандарҙы хәрефле символдарға алмаштырып, математик аңлатмаларҙы ([[Математик формула|формулаларҙы]]) дөйөм күренештә яҙыу ҡабул ителгән, шуның арҡаһында бер типтағы мәсьәләләрҙе сискәндә максималь дөйөм һөҙөмтәгә өлгәшеп була. Алгебраның төп йөкмәткеһе булып, тигеҙләмәләрҙе сығарыу, бәйлелектәрҙе анализлау, өйрәнелеүсе системаларҙы һәм башҡа практик мәсьәләләрҙе оптималләштереү өсөн кәрәк булған, формулаларҙы '''тождестволы үҙгәртеүҙәр''' ҡағиҙәләре тора{{sfn |Элементарная математика|1976|с=70. }}.

Хәрефтәр һәм һандарҙан тыш, элементар алгебра формулаларында арифметик ғәмәлдәр: ([[ҡушыу]], [[алыу]], [[ҡабатлау]], [[Бүлеү (математика)|бүлеү]], [[дәрәжәгә күтәреү]], [[Тамыр (математика)|тамыр алыу]]) һәм [[элементар функциялар]] ([[логарифм]], [[тригонометрик функциялар]]) ҡулланыла. Тигеҙлек тамғаһы менән тоташтырылған ике формула [[тигеҙләмә]] тип атала.

Әгәр ике аңлатма араһында ғәмәл символы күрһәтелмәһә, ҡабатлау ғәмәле тип иҫәпләнелә:
: <math>ab = a \cdot b; \;1{,}2\ x=1{,}2\cdot x; \; \pi(a^2+b^2)= \pi\cdot (a^2+b^2)</math>
Формулаға миҫал: [[өсмөйөштөң майҙаны]] <math>S</math> яҡтарының береһенең оҙонлоғо <math>a</math> һәм <math>a</math> яғына төшөрөлгән бейеклеге <math>h</math> аша түбәндәгесә күрһәтелә:
: <math>S = {1 \over 2} a h</math>

Иң ябай алгебраик аңлатма — ул бер йәки күберәк хәрефле символға ҡабатланған һанлы ҡабатлашыусынан торған [[бербыуын]],{{sfn |Элементарная математика|1976|с=73. }}. Миҫалдар:
: <math>1{,}2\ x; \; \sqrt{2}abc^2; \; x^2w</math>
Бербыуындарҙың алгебраик суммаһы (йәғни сумма һәм/йәки айырмаһы) [[күпбыуын]]дар тип атала. Бер күпбыуынды икенсеһенә бүлеүҙән килеп сыҡҡан бүлендек күренешендәге аңлатмалар '''алгебраик кәсер''' тип аталалар. Алгебраик кәсерҙәр менән ғәмәлдәр [[ябай кәсер|ябай кәсерҙәр]] менән ғәмәлдәргә оҡшаш — числителен һәм знаменателен ҡабатлашыусыларға тарҡатыу, бер нисә кәсерҙе уртаҡ знаменателгә килтереү, числителен һәм знаменателен ҡыҫҡартыу һ. б. ш.

== Элементар алгебра закондары ==

=== Аңлатманың ҡиммәтен табыу ===
Ғәмәлдәрҙе башҡарыу тәртибе [[Йәйәләр|йәйәләр]] менән күрһәтелә. Әгәр йәйәләр булмаһа, кәмей барыу тәртибендә өҫтөнлөк түбәндәгесә.
# Дәрәжәгә күтәреү.
# Функцияны иҫәпләү.
# Ҡабатлау һәм бүлеү.
# Ҡушыу һәм алыу.

Миҫалдар:
* <math>a^{b^{c}} = a^{(b^{c})}</math>
* <math>\sin x^2 = \sin (x^2)</math>
* <math>\sin a + b = (\sin a) + b</math>

Аңлатманың ҡиммәтен иҫәпләгәндә хәрефле  символдар урынына, конкрет мәсьәләгә ярашлы, уларҙың һан ҡиммәттәрен ҡуялар. Аңлатманың мәғәнәһе булғандағы һан ҡиммәттәре күмәклеге, был аңлатманың '''мөмкин булған ҡиммәттәр өлкәһе''' тип атала{{sfn |Элементарная математика|1976|с=71. }}. Миҫал: <math>\frac{a+b}{a-b}</math> аңлатмаһы өсөн мөмкин булған ҡиммәттәр өлкәһе — <math>a \ne b</math> булған бөтә <math>a, b</math> парҙары.

=== Ғәмәлдәр үҙсәнлектәре ===
* [[Ҡушыу (математика)|Ҡушыуҙың]] [[коммутативлыҡ|коммутативлығы]] (урын алмаштырыу үҙсәнлеге) :
:: <math>a + b = b + a. \ </math>
:* [[Алыу]] [[Ҡушыу (математика)|ҡушыуға]] кире ғәмәл.
:* ''b'' һанын алыу, ''b''-ға ҡапма-ҡаршы һанды ҡушыу менән бер:
::: <math> a - b = a + (-b). \ </math>
* [[Ҡабатлау]]ҙың [[коммутативлығы]] (урын алмаштырыу үҙсәнлеге) :
:: <math> a \cdot b = b \cdot a \ </math>
:* [[Бүлеү (математика)|Бүлеү]] [[Ҡабатлау|ҡабатлауға]] кире ғәмәл.
:* Нулгә бүлергә ярамай.
:* ''b'' һанына бүлеү ''b''-ға [[Кире һан|кире]] һанға ҡабатлауға тиң:
::: <math> {a \over b} = a \left( {1 \over b} \right). </math>
* [[Дәрәжәгә күтәреү]] коммутатив түгел. Шуға күрә уның ике кире ғәмәле бар: [[тамыр алыу]] һәм [[Логарифм|логарифмлау]].
** Миҫал: әгәр <math>3^x = 10</math>, ул саҡта <math>x = \log_3 10 .</math> Әгәр <math>x^{2} = 10</math>, ул саҡта <math>x=\sqrt{10}.</math>
* Тиҫкәре һандан йоп дәрәжәле тамыр юҡ (ысын һандар араһында). Ҡара [[комплекслы һандар]].
* Ҡушыу ғәмәленең [[Ассоциативлыҡ (математика)|ассоциативлыҡ]] (төркөмләү) үҙсәнлеге: <math>(a + b) + c = a + (b + c).</math>
* Ҡабатлау ғәмәленең [[Ассоциативлыҡ (математика)|ассоциативлыҡ]] (төркөмләү) үҙсәнлеге: <math>(ab)c = a(bc).</math>
* Ҡабатлау ғәмәленең [[Дистрибутивлыҡ|дистрибутивлыҡ]] (таратыу) үҙсәнлеге: <math>c(a + b) = ca + cb.</math>
* Дәрәжәгә күтәреү өсөн [[Дистрибутивлыҡ|дистрибутивлыҡ]] (таратыу) үҙсәнлеге: <math>(a b)^c = a^c b^c .</math>
* Дәрәжә күрһәткестәрен ҡушыу: <math> a^b a^c = a^{b+c} .</math>
* Дәрәжә күрһәткестәрен ҡабатлау: <math> (a^b)^c = a^{bc} .</math>

=== Тигеҙлек үҙсәнлектәре ===
* Әгәр <math>a = b</math> һәм <math>b = c</math> булһа, ул саҡта <math>a = c</math> (тигеҙлектең [[транзитивлығы]]).
* <math>a = a</math> ([[рефлексивлыҡ]]).
* Әгәр <math>a = b</math> булһа, ул саҡта <math>b = a</math> ([[Симметрик бәйләнеш|симметриялыҡ]]).

=== Башҡа закондар ===
* Әгәр <math>a = b</math> һәм <math>c = d</math> булһа, ул саҡта <math>a + c = b + d.</math> (тигеҙлектең [[аддитивлығы]])
** Әгәр <math>a = b</math> булһа, ул саҡта теләһә ниндәй ''c'' өсөн <math>a + c = b + c</math>
* Әгәр <math>a = b</math> һәм <math>c = d</math> булһа, ул саҡта <math>ac</math> = <math>bd.</math> (тигеҙлектең [[мультипликатив]]лығы)
** Әгәр <math>a = b</math> булһа, ул саҡта теләһә ниндәй ''c'' өсөн <math>ac = bc.</math>
* Әгәр ике символдың ҡиммәттәре тап килһә, ул саҡта береһе урынына икенсеһен ҡуйырға мөмкин (урынына ҡуйыу принцибы).
* Әгәр <math>a > b</math> һәм <math>b > c</math> булһа, ул саҡта <math>a > c</math> (тәртиптең [[транзитив]]лығы).
* Әгәр <math>a > b</math> булһа, ул саҡта теләһә ниндәй ''c'' өсөн <math>a + c > b + c</math>.
* Әгәр <math>a > b</math> һәм <math>c > 0</math> булһа, ул саҡта <math>ac > bc.</math>
* Әгәр <math>a > b</math> һәм <math>c < 0</math> булһа, ул саҡта <math>ac < bc.</math>

=== Ҡайһы бер алгебраик тождестволар ===
{{seealso|Бином Ньютона}}
: <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>
: <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2; \; (a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>
: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3; \; (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3</math>
: <math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2); \; a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</math>

== Тигеҙләмәләрҙе сығарыу ==
{{main|Уравнения}}

[[Тигеҙләмә]] — ул:
: <math>f(x_1, x_2 \dots) = g(x_1, x_2 \dots)</math> күренешендәге [[Тигеҙлек (математика)|тигеҙлек]].
[[Тигеҙләмәне сығарыу]] — аргументтың, был тигеҙлек дөрөҫ булғандағы, ҡиммәттәрен табыу мәсьәләһе ул. Аргументтарҙың мөмкин булған ҡиммәттәренә өҫтәлмә шарттар ҡуйылыуы мөмкин (бөтөн һан, ысын һан булыуы һәм башҡалар). Тигеҙләмәләрҙе сығарыу — алгебраның һәм ғөмүмән алғанда математиканың төп мәсьәләләренең береһе, фәндең тарихи үҫеше барышында был мәсьәләнең төрлө төрҙәре өсөн бик күп ысулдар ([[алгоритм]]дар) эшләнгән.

== Тарихи очерк ==
Ҡарағыҙ [Алгебра]] фәненең атамаһы килеп сығыу тарихы.

Һандарҙың дөйөм үҙсәнлектәрен һәм иҫәпләү алгоритмдарын махсус символик [[метател]]дә яҙыу идеяһы күптән барлыҡҡа килә, әммә башта хәрефле символдар менән [[Тигеҙләмә|тигеҙләмәләрҙә]] тик ҡиммәттәрен табырға кәрәк булған билдәһеҙ дәүмәлдәрҙе генә тамғалағандар, ә тигеҙләмәнең башҡа быуындары өсөн тик конкрет һан ҡиммәттәрен генә яҙғандар. Билдәле дәүмәлдәрҙе лә ([[коэффициент]]тарҙы) шулай уҡ дөйөмлөк өсөн символдар менән тамғалау уңайлы булыр ине тигән уй үҙенә юлды бик яй яра.

Беҙгә килеп еткән яҙмалар буйынса фекер йөрөткәндә, беренсе булып үҫешкән алгебраик система [[Диофант Александрийский|Диофанттың]] «Арифметика»һында ([[IV быуат]]) күренә. Уның да, [[Евклид]]тың, [[Архимед]]тың  һәм башҡаларҙың кеүек элгәрҙәре булғанмылыр, әммә беҙгә, был һоҡланғыс алгебраист таянырға мөмкин булған кешеләр тураһында ла, хеҙмәттәр тураһында ла бер нимә лә билдәле түгел. [[XV быуат]]ҡа тиклем уның эйәреүселәре лә булмаған. Хәйер, Европала «Арифметика»ның тәржемәһе менән тик [[XVI быуат]]та ғына танышалар, һәм Диофанттың ысулдары [[Виет, Франсуа|Виетҡа]] һәм [[Ферма, Пьер|Фермаға]] бик ҙур тәьҫир яһай.

«Арифметика»ның төп проблематикаһы — рациональ коэффициентлы билдәһеҙ тигеҙләмәләрҙең (ирекле дәрәжәле күпбыуындарҙың)  рациональ сығарылыштарын табыу. Диофант хәрефле символика ҡуллана, дөрөҫ, элеккесә тик билдәһеҙҙәр өсөн генә. «Арифметика»ға инеш өлөштә Диофант түбәндәге тамғалауҙарҙы индерә: билдәһеҙҙе ул «һан» тип атай һәм ξ хәрефе менән тамғалай, билдәһеҙҙең квадратын — <math>\delta ^ \nu</math> символы менән һәм башҡа шулай. Тиҫкәре дәрәжәләрҙе, тигеҙлек тамғаһын һәм хатта тиҫкәре һандарҙы махсус символдар менән тамғалайҙар (хатта тамғалар ҡағиҙәһе бар: минусҡа минус плюсты бирә). Ҡалған бөтәһе лә һүҙ менән әйтелә. Беҙгә ғәҙәти булған бик күп алгебра ҡағиҙәләре әйтеп бирелгән: тигеҙләмәнең икенсе яғына сығарғанда тамға үҙгәреүе,  уртаҡ быуындарҙың ҡыҫҡарыуы һәм башҡалар.

[[Һиндостанда математика тарихы|Урта быуаттарҙа Һиндостан математиктары]] шулай уҡ алгебрала бик ныҡ алға китәләр; уларҙың символикаһы, ҙур күләмлерәк булһа ла (күп һүҙҙәр ҡулланыла), Диофанттыҡынан байыраҡ.

Европала, [[Иордан Неморарий]]ҙың ваҡыты еткәнсе геометриянан айырылмаған «Арифметика» һәм «О данных числах» ([[XIII быуат]]) китаптарында, символик алгебра башланғыстары күренә. Унда, шулай уҡ [[Фибоначчи]]ҙә «''a'' ат ''f'' көн эсендә ''e'' үлсәм һоло ашайҙар» тигәнерәк һүҙбәйләнештәр осрай. Әммә уларҙа символизм телмәрҙең дөйөм концепцияһына инмәй әле.

[[XV быуат]]тың иң мәшһүр алгебраисы [[Лука Пачоли]] алгебраик символикала үҙенең, әлегә бик дөйөм һәм бик уңайлы булмаған, аналогын индерә.

[[XVI быуат]] аҙағында [[Виет, Франсуа|Франсуа Виет]], профессияһы буйынса адвокат, һәләтлеге буйынса математик, алгебраик телдең концептуаль реформаһын индерә һәм тамырынан яҡшырта. Ул һуңғы маҡсатын асыҡ күҙ алдына килтерә — дөйөмләштерелгән арифметиканың «яңы иҫәпләмә»һен эшләү. Виет бөтә [[коэффициент]]тарҙы хәрефтәр менән тамғалай (әйткәндәй, был терминды тап Виет уйлап сығара). Бөтә мәсьәләләр дөйөм күренештә сығарыла, һәм тик аҙаҡ ҡына һанлы миҫалдар килтерелә. Виет ирекле рәүештә алгебраик үҙгәртеүҙәрҙе, үҙгәреүсәндәрҙе алмаштырып ҡуйыуҙы һәм башҡа алгебраик алымдарҙы ҡуллана.

Виет системаһы дөйөм һоҡланыу тыуҙыра. Ул арифметика  закондарын һәм алгоритмдарҙы элек уйлап та булмаҫлыҡ дөйөмлөк һәм компактлыҡ менән һүрәтләү мөмкинлеген бирә, дөйөм һан закондарын өйрәнеүҙе еңелләштерә һәм тәрәнәйтә. Әммә Виет  символикаһы хәҙергегә оҡшамаған, урыны менән күләмле, һәм төрлө илдәрҙең ғалимдары уны камиллаштырыуға керешә.

Инглиз [[Хэрриот, Томас|Томас Хэрриот]] үҙе үлгәндән һуң баҫылған ([[1631]]) хеҙмәтендә хәҙерге символикаға бик ныҡ яҡыная: ул үҙгәреүсәндәрҙе, Виет кеүек баш хәрефтәр менән түгел, ә бәләкәй хәрефтәр менән тамғалай, тигеҙлек тамғаһын, шулай уҡ үҙе уйлап сығарған сағыштырыу символдарын «>» һәм «<» ҡуллана.

Алгебраик символикаға хәҙерге күренеште [[Декарт, Рене|Рене Декарт]] бирә ([[XVII быуат]] уртаһы, «Геометрия» трактаты). Был процестың һөҙөмтәһе һәм аҙағы булып [[Ньютон, Исаак|Ньютондың]] «Универсальная арифметика»һы тора. Ҡайһы бер тороп ҡалған нескәлектәрҙе [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] теүәлләй.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Дөйөм алгебра]]
* [[Алгебра]]
* [[Ғәмәл тамғалары]]
* [[История математических обозначений]]

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]]
  |заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике
  |место = М. |издательство=АСТ |год=2003 |isbn=5-17-009554-6}}
* {{книга |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., [[Сканави, Марк Иванович|Сканави М. И.]]
  |заглавие=Элементарная математика. Повторительный курс |издание=Издание третье, стереотипное
  |издательство=Наука |место=М. |год=1976 |страниц=591 |ref=Элементарная математика}}
* {{книга |автор=Глейзер Г. И. |заглавие=История математики в школе
  |ссылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm
  |издательство=Просвещение |место=М. |год=1964 |страниц=376}}

{{Разделы математики}}

[[Категория:Алгебра]]
[[Категория:Элементар математика]]
[[Категория:Элементар алгебра]]