Ябай һан битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

[[Файл:Primencomposite0100.png|thumb|Нулдән йөҙгә тиклем бөтөн һандар. Ябай һандар ҡыҙыл төҫтә.]]
[[Файл:Prime Factorization of 42 (Second Example).png|мини|42 һанын ябай ҡабатлашыусыларға тарҡатыу: <math>42=2\times 3 \times7</math>]]
'''Ябай һан''' — ике генә [[Бүленеүсәнлек|бүлеүсеһе]] — {{num1|1|берәмек}} һәм үҙе булған [[Натураль һан|натураль]] (ыңғай бөтөн) һан<ref name=":6">{{книга |часть=Простое число |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |ref=Математическая энциклопедия !! |том=4 |год=1977 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t4.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>. Икенсе төрлө әйткәндә, әгәр <math>x</math> һаны <math>1</math>-ҙән ҙур һәм тик <math>1</math>-гә һәм <math>x</math>-ҡа ғына ҡалдыҡһыҙ бүленһә, ул ябай һан була. Миҫалға, <math>5</math> — ябай һан, ә <math>6</math> ябай һан түгел, сөнки <math>1</math>-ҙән һәм <math>6</math>-нан башҡа, ул <math>2</math>-гә һәм <math>3</math>-кә бүленә.

[[Арифметиканың төп теоремаһы]] ябай һандарҙың [[һандар теорияһы]]нда үҙәк ролен билдәләй: <math>1</math>-ҙән ҙур булған теләһә ниндәй [[бөтөн һан]], йә ябай һан була, йә ябай һандарҙың ҡабатландығы итеп күрһәтелә ала, һәм ул ҡабатлашыусыларҙың тәртибенә тиклем аныҡлыҡ менән берҙән бер. Ошо теоремала тап берҙән-берлекте тәьмин итеү өсөн, берәмек ябай һан булып иҫәпләнмәй (кире осраҡта теләһә ниндәй тарҡатмаға ирекле һанда күп итеп берәмекте индерергә мөмкин<ref name=":7" />, мәҫәлән, <math>3 = 1 \cdot 3 = 1\cdot 1\cdot 3</math> һәм башҡа шулай).

Берҙән ҙур һәм ябай булмаған натураль һандар [[ҡушма һан|ҡушма]] тип аталалар. Шулай итеп, бөтә натураль һандар өс класҡа бүленә: берәмеккә (бер генә натураль бүлеүсеһе булған), ябай һандарға (ике натураль бүлеүсеһе булған) һәм ҡушма һандарға (икенән күберәк натураль бүлеүсеһе булған)<ref name=":6" />. Ябай һандарҙың үҙсәнлектәрен өйрәнеү менән [[һандар теориһы]] шөғөлләнә. Ябай һандар ҙа, ҡушма һандар ҙа сикһеҙ күп.

Ябай һандар эҙмә-эҙлелеге ошолай башлана:
: <!—1 һаны ябай түгел! -->[[2 (һан)|2]], [[3 (һан)|3]], [[5 (һан)|5]], [[7 (һан)|7]], [[11 (һан)|11]], [[13 (һан)|13]], [[17 (һан)|17]], [[19 (һан)|19]], [[23 (һан)|23]], [[29 (һан)|29]], [[31 (һан)|31]], [[37 (һан)|37]], [[41 (һан)|41]], [[43 (һан)|43]], [[47 (һан)|47]], [[53 (һан)|53]], [[59 (һан)|59]], [[61 (һан)|61]], [[67 (һан)|67]], [[71 (һан)|71]], [[73 (һан)|73]], [[79 (һан)|79]], [[83 (һан)|83]], [[89 (һан)|89]], [[97 (һан)|97]], [[101 (һан)|101]], [[103 (һан)|103]], [[107 (һан)|107]], [[109 (һан)|109]], [[113 (һан)|113]], [[127 (һан)|127]], [[131 (һан)|131]], [[137 (һан)|137]], [[139 (һан)|139]], [[149 (һан)|149]], [[151 (һан)|151]], [[157 (һан)|157]], [[163 (һан)|163]], [[167 (һан)|167]], [[173 (һан)|173]], [[179 (һан)|179]], [[181 (һан)|181]], [[191 (һан)|191]], [[193 (һан)|193]], [[197 (һан)|197]], [[199 (һан)|199]]…<ref>{{OEIS long|A000040}}, смотри также [[список простых чисел]]</ref>

Һандың ябай булыу үҙсәнлеге ябайлыҡ тип атала. Бирелгән n һанының ябайлығын тикшереүҙең ябай, ләкин яй ысулы [[бүлеүселәрҙе берәмтекләп ҡарау]]; файҙалыраҡ алгоритмдар [[#Ябайлыҡ тесы|аҫтараҡ]] һүрәтләнгән.

Ябай һандарға ҡағылышлы күп проблемалар асыҡ ҡалалар, [[#Асыҡ мәсьәләләр|түбәндә]] ҡарағыҙ.

Ябай һандар математикала һәм яҡын фәндәрҙә киң ҡулланылалар. Мәҫәлән, [[асыҡ асҡыслы криптосистема]] кеүек бик күп [[мәғлүмәт технологиялары]] алгоритмдарында. Ул һандарҙы [[ябай ҡабатлашыусы]]ларға [[Бөтөн һандарҙы факторизациялау|тарҡатыуҙың]] ҡатмарлылығы кеүек үҙсәнлектәрҙе файҙалана<ref>{{книга |автор=[[Гарднер, Мартин]] |часть=<!-- уточнить --> |заглавие=От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам |оригинал=Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers |ответственный=пер. с англ. Ю. А. Данилова |место=М. |издательство=[[Мир (издательство)|]] |год=1993 |страницы=<!-- уточнить --> |страниц=416 |isbn=5-03-001991-X |тираж=10000 |ref=Гарднер}}</ref>.

Ирекле [[Ҡулса (математика)|ҡулсалар]] һәм башҡа алгебраик структуралар өсөн ябай һан төшөнсәһен дөйөмләштереүҙәр бар, [[#Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр|түбәндә]] ҡарағыҙ.

== Тарихы ==
Ябай һан төшөнсәһе ҡасан индерелеүе билдәһеҙ, әммә ундай һандарҙы аңлау тураһында дәлилдәр һуңғы палеолитҡа ҡарай, быны [[Ишанго төймәһе]] раҫлай<ref>{{ref-fr}} ''[http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/IMG/pdf/Keller_prehistoire_geometrie.pdf Préhistoire de la géométrie : le problème des sources (PDF)]{{Недоступная ссылка|date=Март 2018|bot=InternetArchiveBot}}''. Site de l’IREM de La Réunion. Voir aussi [http://bibnum.education.fr/math%C3%A9matiques/alg%C3%A9bre/l%E2%80%99os-d%E2%80%99ishango « Les fables d’Ishango, ou l’irrésistible tentation de la mathématique-fiction»], analyse par O. Keller sur Bibnum</ref>.

[[Боронғо Мысырҙа математика|Боронғо мысырлыларҙың]] һаҡланып ҡалған яҙмаларында уларҙың ябай һандар тураһында ҡайһы бер мәғлүмәттәргә эйә булыуына ишара бар: мәҫәлән, беҙҙең эраға тиклем II  меңйыллыҡҡа ҡараған [[Ахмес папирусы|Райнд папирусында]] 2/n күренешендәге кәсерҙәрҙе числителдәре бергә тигеҙ булған һәм төрлө знаменателле ике, өс йәки дүрт [[Мысыр кәсерҙәре|кәсерҙең]] суммаһы рәүешендә күрһәтеүсе таблицалар бар. Кәсерҙәрҙең знаменателдәренең уртаҡ бүлеүсеһе булған тарҡалмалары,  мысырлыларҙың  ябай һан менән ҡушма һан араһындағы айырманы белеүҙәрен күрһәтә<ref>{{Статья|автор=|заглавие=Egyptian Unit Fractions|ссылка=http://mathpages.com/home/kmath340/kmath340.htm издание=Mathpages |страницы=|issn=}}</ref>.

[[Файл:P. Oxy. I 29.jpg|слева|мини| [[Оксиринх]]та табылған Евклидтың "Башланғыстар"ының фрагменты]]
Ләкин ябай һандар тураһында һаҡланған иң иртә тикшеренеүҙәр [[Боронғо Грецияла математика|боронғо гректарҙан]] алынған. [[Евклид]]тың [[«Башланғыстар» (Евклид)|«Башланғыстар»ында]] (б. э. т. 300 йылдар тирәһе.), ябай һандарҙың сикһеҙлеген, [[Евклид леммаһы]]н һәм [[арифметиканың төп теоремаһы]]н да индереп, ябай һандар тураһында мөһим теоремалар бар<ref name=":8">{{Статья|автор=Рыбников К. |заглавие=Русские издания «Начал» Евклида |ссылка=http://www.mathnet.ru/links/c2d03cc30a7e6f4b3c40bd7a0d6175ca/rm8809.pdf |издание=[[Успехи математических наук]] |год=1941 |номер=9 |страницы=318—321 |issn= |язык=ru |издательство=[[Математический институт имени В. А. Стеклова РАН|Российская академия наук]]}}</ref>. Боронғо Грецияла шулай уҡ [[Эратосфен иләге]] — 1-ҙән алып n-ға тиклем бөтә ябай һандарҙы табыуҙың ябай алгоритмы уйлап табылған.

[[Файл:Pierre de Fermat.jpg|мини|[[Пьер Ферма]]]]
Гректарҙан һуң XVII быуатҡа тиклем ябай һандарҙы өйрәнеүҙә ҙур яңылыҡтар булмай<ref>{{Cite web|url=http://www.mathnet.ru/links/c2d03cc30a7e6f4b3c40bd7a0d6175ca/rm8809.pdf|title=Prime numbers|author=John J. O'Connor, Edmund F. Robertson|website=MacTutor|date=|publisher=|lang=en}}</ref>. 1640 йылда [[Ферма, Пьер|Пьер де Ферма]] (иҫбатламайынса) [[Ферманың бәләкәй теоремаһы]]н (уны аҙағыраҡ [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбниц]] һәм [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] иҫбатлай) һәм [[Ферма — Эйлер теоремаһы|ике квадраттың суммаһы тураһында теореманы]] әйтеп бирә. Ферма шулай уҡ <math>2^{2^n}</math>+ 1 күренешендәге бөтә һандар — ябай (улар [[Ферма һандары]] тип аталалар) тигән фараз әйтә һәм уны n = 4-кә тиклем (йәғни <math>2^{16}</math>+ 1) иҫбат итә. Ләкин Эйлер n = 5 булғандағы артабанғы Ферма һаны (йәғни <math>2^{32}</math> + 1) ҡушма һан булыуын күрһәтә (641-гә бүленә). Бөгөнгө көндә ябай булған башҡа билдәле Ферма һандары юҡ. Шул уҡ ваҡытта француз монахы Марен Мерсенн 2<sup>p</sup> — 1, бында ''p'' — ябай һан, күренешендәге ябай һандарға иғтибар итә (бындай күренештәге бөтә һандар ҙа ябай түгел)<ref>{{Cite web|url=http://www.mersenne.org/primes/|title=List of Known Mersenne Prime Numbers|author=|website=Great Internet Mersenne Prime Search|date=|publisher=|accessdate=}}</ref>. Уларҙы Мерсенн хөрмәтенә Мерсендың ябай һандары тип атайҙар.

Эйлерҙың һандар теорияһындағы хеҙмәтенә ябай һандар тураһында бик күп мәғлүмәт ингән. Ул 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + … сикһеҙ [[Һандар рәте|рәт]] таралыусан булыуын күрһәтә. Шулай уҡ 1747 йылда ул йоп [[камил һан]]дар —<math>2^{p-1}(2^p -1)</math> күренешендәге бөтөн һандар икәнен күрһәтә, бында икенсе ҡабатлашыусы Мерсенндың ябай һаны булып тора. Эйлерҙың [[Гольдбах, Христиан|Христиан Гольдбах]] менән үҙ-ара яҙышҡан хаттарында Гольдбах билдәле [[Гольдбах гипотезаһы]]н әйтеп бирә. Гипотеза 4-тән башлап теләһә ниндәй йоп һанды ике ябай һандың суммаһы рәүешендә күрһәтергә мөмкин тип раҫлай, һәм ул әлегә тиклем иҫбат ителмәгән<ref name=":2">{{Книга|автор=Apostol, Tom M.|заглавие=Introduction to analytic number theory|ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/1859863|место=New York|издательство=Springer-Verlag|год=1976|страниц=xii, 338 pages|isbn=0387901639}}</ref>.

[[XIX быуат]] башынан күп математиктар иғтибарын ябай һандарҙың асимптотик таралыуын өйрәнеүгә йүнәлтә<ref name=":2" />. [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандр]] һәм [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]], бер-береһенә бәйһеҙ рәүештә, ябай һандарҙың тығыҙлығы уртаса [[натураль логарифм]]ға кире пропорциональ дәүмәлгә яҡын тигән фараз әйтәләр<ref name=":3">{{Книга|автор=Du Sautoy, Marcus.|заглавие=L'enigma dei numeri primi|ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/799339321|место=Milano|издательство=Rizzoli|год=2005|страниц=606 p.|isbn=8817008435}}</ref>.

Оҙаҡ ваҡыт ябай һан [[саф математика]]нан ситтә әҙ ҡулланыла тип иҫәпләнә. Хәл 1970-се йылдарҙа, асыҡ асҡыслы криптография концепцияһы барлыҡҡа килгәс үҙгәрә, унда ябай һандар [[RSA]] шифрлау алгоритмы кеүек тәүге алгоритмдарҙың нигеҙен тәшкил итә<ref name=":4">{{Книга|автор=Menezes, A. J. (Alfred J.), 1965-|заглавие=Handbook of applied cryptography|ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/35292671|место=Boca Raton|издательство=CRC Press|год=1997|страниц=xxviii, 780 pages|isbn=9780849385230}}</ref>.

== Натураль һандарҙы ябай һандар ҡабатландығына тарҡатыу ==
{{main|Факторизация целых чисел}}
Натураль һандарҙы ябай һандар ҡабатландығы рәүешендә күрһәтеү ''ябай ҡабатлашыусыларға тарҡатыу'' йәки [[Бөтөн һандарҙы факторизациялау|һандарҙы ''факторизациялау'']] тип атала. Хәҙерге ваҡытта һандарҙы факторизациялауҙың [[полиномиаль алгоритм]]дары билдәле түгел, ундай алгоритмдарҙың юҡ икәнлеге лә иҫбатланмаған. Фараз ителгән ҙур иҫәпләү ҡатмарлылығында факторизациялау мәсьәләләре [[RSA]] һәм ҡайһы бер башҡа криптосистемаларға нигеҙләнә. Полиномиаль ҡатмарлыҡтағы факторизациялау теоретик квантлы компьютерҙа Шор алгоритмы ярҙамында мөмкин<ref name=":0">{{Статья|автор=Ишмухаметов Ш. Т. |заглавие=Методы факторизации натуральных чисел: учебное пособие |язык= |издание=Казань: Казанский университет |год=2011 |страницы=190 |issn=}}</ref>.

=== Арифметиканың төп теоремаһы ===
{{Main|Основная теорема арифметики}}
Арифметиканың төп теоремаһы, берәмектән ҙурыраҡ булған һәр [[натураль һан]], ябай һандарҙың ҡабатландығы рәүешендә күрһәтелә ала, шуның менән бергә ҡабатлашыусыларҙың урынлашыу тәртибенә тиклем аныҡлыҡ менән берҙән-бер ысул менән тип раҫлай<ref>{{Citation | last1=Dudley| first1=Underwood | title=Elementary number theory | publisher=W. H. Freeman and Co. | edition=2nd | isbn=978-0-7167-0076-0 | year=1978}}, Section 2, Theorem 2{{ref-en}}</ref>. Шулай итеп, ябай һандар натураль һандарҙың элементар «төҙөүсе блоктары» булып торалар. Мәҫәлән:
: {|
|-
|<math>23244</math>||<math>= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 149</math>
|-
|||<math> = 2^2 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 149</math>. (<math>2^2</math> <math>2</math>-нең [[Квадрат (алгебра)|квадратын]] йәки икенсе дәрәжәһен аңлата.)
|}
Был миҫалда күрһәтелгәнсә, бер үк ябай бүлеүсе бер нисә тапҡыр ҡабатланырға мөмкин.
: {{math|''n''}} һанының (сикле һандағы) {{math|''p''<sub>1</sub>}}, {{math|''p''<sub>2</sub>}}, … ,{{math|''p''<sub>''t''</sub>}} ябай ҡабатлашыусыларына тарҡалмаһы {{math|1=''n'' = ''p''<sub>1</sub> • ''p''<sub>2</sub> • ... • ''p''<sub>''t''</sub>}} {{math|''n''}} һанын ''ябай ҡабатлашыусыларға тарҡатыу'' тип атала. Арифметиканың төп теоремаһын ошолай итеп үҙгәртеп әйтергә мөмкин: ябай һандарға теләһә ниндәй тарҡалма [[Бүленеүсәнлек|бүлеүселәр]] тәртибенә тиклем аныҡлыҡ менән тождестволы була. Практикала күпселек һандар өсөн ябай ҡабатлашыусыларға тарҡатыуҙың күп ябай алгоритмдары бар, улар бөтәһе лә бер үк һөҙөмтәне бирә<ref name=":0" />.

== Берәмектең ябайлығы ==
Боронғо гректарҙың күпселеге <math>1</math>-ҙе һан тип иҫәпләмәгән, шуға күрә улар уны ябай тип иҫәпләй алмаған<ref>См, например, David E. Joyce’s комментарий на [[Начала (Евклид)]], [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII/defVII1.html Книга VII, определения 1 и 2].</ref>. Урта быуаттарҙа һәм Яңырыу дәүерендә күп математиктар <math>1</math>-ҙе беренсе ябай һан сифатында индерәләр<ref name=faq>[https://primes.utm.edu/notes/faq/one.html Why is the number one not prime? (from the Prime Pages' list of frequently asked questions) by Chris K. Caldwell.]{{ref-en}}</ref>. XVIII быуат уртаһында [[Гольдбах, Христиан|Христиан Гольдбах]] үҙенең [[Эйлер, Леонард|Леонардом Эйлером]] менән данлыҡлы  хатлашыуында <math>1</math>-ҙе беренсе ябай һан сифатында теҙмәгә индерә; әммә Эйлер үҙе <math>1</math>-ҙе ябай һан тип иҫәпләмәй<ref>See for instance: L. Euler. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 160—188. Variae observationes circa series infinitas,
[http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E072.pdf Theorema 19, p.187.]{{ref-en}}</ref>. XIX быуатта күп математиктар элеккесә <math>1</math> һанын ябай һан тип иҫәпләй. Мәҫәлән, Деррик Норман Лемерҙың 1956 йылда ҡабатлап баҫылған <math>10006721</math>-гә тиклем ябай һандар теҙмәһе беренсе ябай һан сифатында <math>1</math>-ҙән башланған. Анри Лебег <math>1</math>-ҙе ябай һан тип атаған һуңғы математик тип әйтәләр<ref>{{Citation |last1=Derbyshire |first1=John  |title=Prime  Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest  Unsolved Problem in  Mathematics  |year=2003  |publisher=Joseph Henry Press |location=Washington,  D.C.  |isbn=978-0-309-08549-6 |oclc=249210614  |page=33  |chapter=The  Prime Number Theorem }}{{ref-en}}</ref>. XX быуат башына математиктар <math>1</math> ябай һан түгел, ә үҙенең махсус категорияһын — «берәмек»те булдыра тигән ypmaҡ фекергә килә башлайҙар<ref name=faq />.

Әгәр <math>1</math>-ҙе ябай һан тип иҫәпләгәндә, Евклидтың арифметика тураһында төп теоремаһы (юғарыла телгә алынған) үтәлмәйәсәк. Мәҫәлән, <math>15</math> һаны {{math|3 • 5 һәм 1 • 3 • 5}} тип тарҡатыла аласаҡ. Әгәр <math>1</math> ябай һан булһа, был ике вариант <math>15</math> һанының төрлө факторизацияһы тип иҫәпләнер ине, ошонан сығып был теореманың раҫлауын үҙгәртергә тура килер ине<ref name="faq" />. Тап шулай уҡ, әгәр <math>1</math> ябай һан тип иҫәпләнһә, [[Эратосфен иләге]] дөрөҫ эшләмәҫ ине: иләктең <math>1</math>  ябай һан тип фараз иткән модификацияланған версияһы, <math>1</math>-гә тапҡырлы булған бөтә ҡабатлашыусыларҙы (йәғни бөтә башҡа һандарҙы) төшөрөп ҡалдыра һәм һөҙөмтәлә бер генә ябай һанды — <math>1</math>-ҙе бирә. Бынан тыш, ябай һандар <math>1</math> һанына хас булмаған, һандың уның ярашлы ҡиммәтенә сағыштырмаһы (Эйлер функцияһы) йәки суммаһы (бүлеүселәр функцияһы) кеүек бер нисә үҙсәнлеккә эйә<ref name=":7">"[http://primefan.tripod.com/Prime1ProCon.html «Arguments for and against the primality of 1]».{{ref-en}}</ref>.

== Ябай һандарҙы эҙләү һәм таныу алгоритмдары ==
[[Файл:Eratosthenes.jpg|thumb|150px|[[Эратосфен|Эратосфен Киренский]]]]
Ниндәйҙер ҡиммәткә тиклем ябай һандарҙың башланғыс теҙмәһен табыуҙың ябай ысулдары [[Эратосфен иләге]], [[Сундарам иләге]] һәм [[Аткин иләге]]<ref>{{Книга|автор=David Gries, Jayadev Misra.|заглавие=A Linear Sieve Algorithm for Finding Prime Numbers|ответственный=|издание=|место=|издательство=|год=1978|страницы=|страниц=|isbn=|isbn2=}}</ref>.

Әммә, практикала ябай һандар теҙмәһен табыу урынына, йыш ҡына бирелгән һан ябай һанмы икәнен тикшереү талап ителә. Был мәсьәләне хәл итеүсе алгоритмдар [[ябайлыҡ тесы]] (|тест простоты) тип аталалар. Бик күп полиномиаль ябайлыҡ тестары бар, ләкин уларҙың күпселеге ихтималлыҡ алгоритмы (мәҫәлән, [[Миллер — Рабин тесы]]) һәм [[криптография]] ихтыяжы өсөн ҡулланылалар<ref>{{Книга|автор=Knuth, Donald Ervin, 1938-|заглавие=The art of computer programming|ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/823849|место=Reading, Mass.|издательство=Addison-Wesley Pub. Co|год=©1973-©1981|страниц=4 volumes|isbn=0201896842}}</ref>. [[2002 йыл]]да ябайлыҡҡа тикшереү мәсьәләһе дөйөм күренештә полиномиаль хәл итерлек икәне иҫбат ителә, ләкин тәҡдим ителгән аныҡлаусы [[Агравал — Каял — Саксена тесы]] ҙур иҫәпләү ҡатмарлылығы тыуҙыра, был уның практик ҡулланылышын ҡыйынлаштыра<ref name=":9">{{Книга|автор=Vasilenko, O. N. (Oleg Nikolaevich)|заглавие=Teoretiko-chislovye algoritmy v kriptografii|ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/85690769|место=Moskva|издательство=MT︠S︡NMO. Moskovskiĭ t︠s︡entr nepreryvnogo matematicheskogo obrazovanii︠a︡|год=2006|страниц=333 pages|isbn=5940571034}}</ref>.

Ҡайһы бер һандар кластары өсөн махсуслаштырылған һөҙөмтәле ябайлыҡ тестары бар (түбәндә ҡарағыҙ).

=== Ябайлыҡ тесы ===
'''Ябайлыҡ тесы''' (йәки ябайлыҡты тикшереү) тип, индерелгән һандың [[Ҡушма һан|ҡушма]] булыуы тураһында фаразды дөрөҫләмәҫкә, йәки уның ябай булыуын аныҡ раҫларға мөмкинлек биреүсе [[алгоритм]] атала. Икенсе осраҡта ул ысын ябайлыҡ тесы тип атала. Ябайлыҡ тесы мәсьәләһе P ҡатмарлылыҡ класына ҡарай, йәғни уны хәл итеү алгоритмының эш ваҡыты, [[2002 йыл]]да иҫбат ителгәнсә, индереү мәғлүмәттәренең күләменә бәйле<ref name="SHN_Cr">{{книга|автор=Б. Шнайер|заглавие=Прикладная криптография|страницы=296—300}}</ref>. Полиномиаль алгоритмдың барлыҡҡа килеүе полиномиаль ябайлыҡ сертификаттарының булыуы менән, һәм, һөҙөмтә булараҡ, һанды ябайлыҡҡа тикшереү мәсьәләһе бер үк ваҡытта [[Класс NP|NP]] һәм [[Класс co-NP|co-NP]] кластарына ҡарауы сәбәпле  прогнозланған.

Ғәмәлдә булған һанды ябайлыҡҡа тикшереү алгоритмдарын ике категорияға бүлергә мөмкин: ысын ябайлыҡ тесы һәм ихтималлыҡ тестары. Ысын ябайлыҡ тестарының һөҙөмтәһе булып һәр ваҡыт һандың ябай йәки ҡушма булыу факты тора. Ихтималлыҡ тесы һандың ябай булыуын ниндәйҙер ихтималлыҡ менән күрһәтә. Ябайлыҡтың ихтималлыҡ тесын ҡәнәғәтләндереүсе, ләкин ҡушма һандар ялған ябай һандар тип аталалар<ref>{{Книга|автор=Кормен Т., Лейзер Ч.|заглавие=Алгоритмы. Построение и анализ|ответственный=|издание=|место=М.|издательство=МЦНМО|год=2002|страницы=765—772|страниц=|isbn=|isbn2=}}</ref>. Одним из примеров таких чисел являются [[числа Кармайкла]]<ref>{{Книга|автор=Crandall R., Pomerance C.|заглавие=Prime Numbers: A Computational Perspective|ответственный=|издание=|место=|издательство=Springer|год=2005|страницы=|страниц=|isbn=|isbn2=}}</ref>.

Мерсенн һандары өсөн Люк-Лемер тесы ысын ябайлыҡ тестары миҫалдарының береһе булып тора. Очевидный недостаток Был тестың төп етешһеҙлеге уның билдәле бер төрҙәге һандарға ғына ҡулланылышында. Башҡа миҫалдар араһынан Ферманың бәләкәй теоремаһына нигеҙләнгәндәрен килтерергә мөмкин<ref>{{Книга|заглавие=Introduction to algorithms|ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/46792720|издание=2nd ed|место=Cambridge, Mass.|издательство=MIT Press|год=2001|страниц=xxi, 1180 pages|isbn=0262032937}}</ref>
* Ферма һандары өсөн Пепин тесы
* Прот һандары өсөн Прот теоремаһы
* Агравал — Каял — Саксена тесы, тәүге универсаль, полиномиаль, билдәләүсе һәм шартһыҙ ябайлыҡ тесы.
* Люк — Лемер — Ризель тесы
Шулай уҡ:
* Бүлеүселәрҙе эҙләү ысулы
* [[Вильсон Теоремаһы]]
* Поклингтон критерийы
* Миллер тесы (һандар теорияһы)
* Адлеман — Померанс — Румель тесы, Коэн һәм Ленстра Арьен тарафынан камиллаштырылған<ref name=":10">{{Книга|автор=Нестеренко Ю. В.|заглавие=Введение в криптографию|ответственный=|издание=|место=|издательство=Питер|год=2001|страницы=|страниц=288|isbn=|isbn2=}}</ref>
* Эллиптик кәкреләрҙе ҡулланып ябайлыҡ тесы.
Ихтималлыҡ тестарына ҡарайҙар:
* Ферма тесы
* Миллер — Рабин тесы 
* Соловей — Штрассен тесы
* Бейль — Померанц — Селфридж — Уогстафф тесы

=== Ҙур ябай һандар ===
Күп быуаттар дауамында «ҙур» ябай һандарҙы эҙләү математиктарҙа ҡыҙыҡһыныу уята. Һуңғы тиҫтә йылдарҙа бындай һандарҙы [[RSA]] кеүек шифрлауҙың ҡайһы бер алгоритмдарында ҡулланыу арҡаһында был тикшеренеүҙәр ғәмәли ҡиммәткә эйә була<ref name=":4" />.

XVII быуатта Марен Мерсенн, тик ''n'' 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257 һандарына тигеҙ булған осраҡтарҙа ғына (''n'' ≤ 257 булғанда) <math>2^n - 1</math> күренешендәге һандар ябай була тип фараз итә<ref name=":3" /> Фараздың дөрөҫлөгөн тикшереү ул осорҙоң мөмкинлегенән күпкә юғары була. Тик XX быуатта ғына гипотеза яңылыш булыуы, һәм, моғайын, «һуҡырҙарса» эшләнеүе асыҡлана, сөнки Мерсенн өс осраҡты иҫәпкә алмай (''n'' = 61, 89 һәм 107 өсөн); бынан тыш, ''n'' = 67 һәм ''n'' = 257 ярашлы һандар — ҡушма булып сыҡҡан<ref name=":3" />.

1876 йылда Люка Франсуа Эдуард Анатоль ''M ''<sub>127</sub> һаны (39-урынлы һан) — ябай булыуын иҫбат иткән, ул 1951 йылда <math>\frac{2^{148} + 1}{17}</math> (44 цифр) һәм, бер аҙ һуңғараҡ, <math>180 * (2^{127} - 1)^2 + 1</math> (79 цифрҙан тора) һандары — электрон калькулятор ярҙамында табылған һуңғы ябай һан, табылғанға тиклем,  иң ҙур билдәле ябай һан булып ҡала. Ул ваҡыттарҙан һуң артабанғы ябай һандар компьютер ярҙамында асыҡланалар: 1952 йылдан ([[SWAC]] ''M ''<sub>521</sub> ябай һан булыуын күрһәтә), 1996 йылға тиклем улар [[суперкомпьютер]] тарафынан табылалар, һәм улар бөтәһе лә, 1989 һәм 1992 йылдар араһында рекорд булған <math>391581 * 2^{216193} - 1</math> һанынан башҡа, Мерсенн ябай һандары булалар (Люк-Лемер тесын, бындай һандар өсөн махсус алгоритмды ҡулланып табылған)<ref>{{Cite web|url=http://primes.utm.edu/notes/by_year.html|title=The Largest Known Prime by Year: A Brief History|author=Chris Caldwell|website=The Prime Pages|date=|publisher=|lang=en}}</ref>.

=== Ябай һандарҙы табыу алгоритмдары ===
Математиканың факторизация ҡулланыусы ҡайһы бер мәсьәләләре осраҡлы рәүештә һайлап алынған бер нисә бик ҙур ябай һанды талап итәләр. Уларҙы табыу алгоритмы Бертран постулатына нигеҙләнгән (Натураль ''n'' ≥ 2 өсөн ''n'' < ''p'' < 2''n'' интервалында ''p'' ябай һаны табыла.)<ref>{{Статья|автор=Jitsuro Nagura|заглавие=On the interval containing at least one prime number|ссылка=https://projecteuclid.org/euclid.pja/1195570997|язык=EN|издание=Proceedings of the Japan Academy|год=1952|том=28|выпуск=4|страницы=177—181|issn=0021-4280|doi=10.3792/pja/1195570997}}</ref>:
{| class="standard" style="margin-left: 1em"
|'''Алгоритм:'''
# '''Индереү''': <math>N</math> натураль һаны
# '''Сисеү''' (P осраҡлы ябай һанды эҙләү)
## <math>P \gets </math> <math>[N,2N]</math> киҫегендә ирекле натураль һанды генерациялау '''функцияһы'''
## '''Әгәр''' <math>P</math> ҡушма булһа, '''ул саҡта'''
### <math>P \leftarrow\,P+1</math>
### '''Әгәр''' <math>P=2N</math> булһа '''ул саҡта'''
#### <math>P \leftarrow\,N</math>
## '''Ҡайтыу''' «<math>P</math> — осраҡлы ябай һан»
|}
Был алгоритм менән мәсьәләне хәл итеү ваҡыты билдәһеҙ, ләкин етерлек ябай һандар булғанда һәм улар әҙме-күпме тигеҙ таратылған хәлдә, ул һәр саҡ ҙур ихтималлыҡ менән полиномиаль. Осраҡлы ябай һандар өсөн был шарттар үтәлә<ref name=":9" />.

Ябай һандарҙы төҙөүҙең иң һөҙөмтәле ысулы булып бер аҙ үҙгәртелгән Ферманың бәләкәй теоремаһы тора<ref name=":10" />.

''N, S — таҡ натураль һандар булһын, ти. N-1 = S*R, шуның менән бергә S һанының һәр ябай q бүлеүсеһе өсөн шундай '' <math>a</math>'' бөтөн һаны бар, бында''

<math>a^{N-1} = 1\pmod{N}</math>, <math>\gcd(a^{\frac{N-1}{q} - 1}, n) = 1</math>

''Ул саҡта N һанының һәр p ябай бүлеүсеһе түбәндәге сағыштырыуҙы ҡәнәғәтләндерә''

 <math>p = 1\pmod{2S}</math>

Эҙемтә. ''Әгәр Ферма теоремаһының шарттары үтәлһә һәм'' <math>R \leqslant 4S + 2</math>'' булһа, ул саҡта N — ябай һан.''<ref name=":10" />

Хәҙер һуңғы раҫлау ярҙамында, ҙур <math>S</math> ябай һаны булғанда, нисек итеп һиҙелерлек ҙурыраҡ <math>N</math> ябай һанын төҙөргә мөмкин булыуын күрһәтәйек. Бының өсөн <math>R \leqslant 4S + 2</math> аралығында осраҡлы рәүештә <math>R</math> йоп һанын һайлап алабыҙ һәм әйтәйек <math>N = SR + 1</math>. Артабан <math>N</math> һанының бәләкәй ябай бүлеүселәре юҡлығын тикшерәйек, бының өсөн уны бәләкәй ябай һандарға бүлеп ҡарайбыҙ; <math>N</math> һанын Рабин алгоритмы ярҙамында бер нисә тапҡыр һанап ҡарайбыҙ. Әгәр был ваҡытта <math>N</math> — ҡушма һан булыуы асыҡланһа, <math>R</math>-ҙың яңы ҡиммәтен һайлап алырға кәрәк һәм яңынан иҫәпләүҙәрҙе ҡабатларға кәрәк. Быны Рабин алгоритмы һынауын күп тапҡыр үткән N һаны табылғанға тиклем башҡарырға кәрәк. Был осраҡта <math>N</math> — ябай һан булыуына өмөт барлыҡҡа килә, һәм уның ябайлығын ябайлыҡ тестары ярҙамында иҫбатларға тырышырға кәрәк<ref name=":10" />.

== Ябай һандар күмәклегенең сикһеҙлеге ==
{{main|Теорема Евклида}}
Ябай һандар сикһеҙ күп. Был раҫлау боронғо грек математигы [[Евклид]] хөрмәтенә [[Евклид теоремаһы]] булараҡ иҫкә алына, сөнки был раҫлауҙың беренсе билдәле иҫбатланыуы уға ҡарай. Ябай һандарҙың сикһеҙлегенең тағы ла күп иҫбатлауҙары билдәле, шул иҫәптән [[Эйлер, Леонард|Эйлерҙың]] [[Анализ (математика бүлеге)|аналитик]] иҫбатлауы, [[Гольдбах Христиан|Гольдбахтың]] [[Ферма һандары]] нигеҙендә иҫбатлауы<ref>[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0722.pdf Letter] in [[Латынь]] from Goldbach to Euler, July 1730.</ref>, Фурстенбергтың дөйөм топология ҡулланып иҫбатлауы һәм [[Куммер Эрнст Эдуард|Куммерҙың]] элегант иҫбатлауы.

== Билдәле иң ҙур ябай һан ==
{{main|Наибольшее известное простое число}}

Электән шул осорға билдәле иң ҙур ябай һандарҙы билдәләүсе яҙыуҙар алып барыла<ref>[http://primes.utm.edu/notes/by_year.html Рекорды простых чисел по годам]</ref>. Үҙ ваҡытында [[Эйлер Леонард|Эйлер]], s|1=power|2|31 − 1 = {{num|2147483647}} ябай һанын табып, рекордтарҙың береһен ҡуя.

[[Билдәле иң ҙур ябай һан]] 2019 йылдың ғинуарына ҡарата Мерсенн һаны M<sub>{{num|82589933}}</sub> = s|1=power|2|{{num|82589933 − 1. Ул {{num|24 862 048}} унарлы цифрҙан тора; был һан яҙылған китапта туғыҙ мең самаһы бит булыр ине. Уны 2018 йылдың 7 декабрендә, Мерсенн ябай һандарын таратылған эҙләү буйынса проект [[GIMPS]] сиктәрендә, табалар. Алдағы билдәле булған, 2017 йылдың декабрендә асылған иң ҙур ябай һан {{num|1612623}} тамғаға бәләкәйерәк була<ref>{{Cite news|title=The Largest Prime Number to Date Has Been Discovered And It's Hurting Our Brains|first=Michelle|last=Starr|url=https://sciencealert.com/record-breaking-mersenne-prime-number-23-million-digits-m77232917|work=ScienceAlert|accessdate=2018-01-06|language=en}}</ref>.

Мерсенн һандары ҡалғандарынан һөҙөмтәле ябайлыҡ тесы: Люк — Лемер тесы булыуы менән айырылып торалар. Шуның арҡаһында Мерсенн ябай һандары күптән билдәле иң ҙур ябай һандар булараҡ рекорд ҡуялар.

100 000 000 һәм 1 000 000 000-дан күберәк унарлы цифрҙан торған ябай һандарҙы тапҡан өсөн [[Electronic Frontier Foundation|EFF]]<ref>[https://www.eff.org/awards/coop EFF Cooperative Computing Awards]{{ref-en}}</ref> ярашлы рәүештә 150 000 һәм 250 000 АҠШ долларына тигеҙ аҡсалата премия тәғәйенләй<ref>{{cite web|url=https://www.vesti.ru/doc.html?id=1026600&tid=108323|title=Профессор из США определил самое большое простое число|author=Юлия Рудый|date=2013-02-07|publisher=Вести.Ru|accessdate=2018-02-25}}</ref>. Алдараҡ EFF 1 000 000 һәм 10 000 000 унарлы цифрҙан торған ябай һандарҙы тапҡан өсөн приздар тапшырған була.

== Махсус күренештәге ябай һандар ==
Ябайлығы махсуслаштырылған алгоритмдар ҡулланып һөҙөмтәле асыҡланырға мөмкин булған күп кенә һандар бар.

* [[Мерсенн һаны|Мерсенн һандары]] — <math>M_n=2^n-1</math> күренешендәге һандар, бында ''n'' — натураль һан<ref name=":15">{{OEIS long|1348}}</ref>. Шуның менән бергә Мерсенн һаны тик ''n'' — ябай һан булғанда ғына ябай булырға мөмкин. Юғарыла билдәләп киткәнсә, Люк — Лемер тесы һөҙөмтәле ябайлыҡ тесы булып тора<ref>{{OEIS long|668|ru=простые числа Мерсенна}}</ref>.
* [[Ферма һандары]] — <math>F_n=2^{2^n}+1</math> күренешендәге һандар, бында ''n'' — тиҫкәре булмаған бөтөн һан<ref>{{OEIS long|215}}</ref>. Пепин тесы һөҙөмтәле ябайлыҡ тесы булып тора. 2015 йылдың февраленә ҡарата тик 5 Ферма ябай һаны билдәле (''n'' = 0, 1, 2, 3, 4 өсөн), артабанғы егерме һигеҙ Ферма һаны (<math>F_{32}</math>-ны ла индереп, <math>F_{32}</math>-гә тиклем) ҡушма һан булып сыға<ref>{{Citation |first=Wilfrid |last=Keller |url=http://www.prothsearch.net/fermat.html#Summary |title=Prime Factors of Fermat Numbers |work=ProthSearch.net |date=February 15, 2015 |accessdate=March 1, 2016 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160210152415/http://www.prothsearch.net/fermat.html#Summary |archivedate=2016-02-10 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160210152415/http://www.prothsearch.net/fermat.html#Summary |date=February 10, 2016 }}</ref>, ләкин башҡа ябай Ферма һандары булмауы иҫбат ителмәгән<ref>{{книга |автор=Виолант-и-Хольц, Альберт. |заглавие=Загадка Ферма. Трёхвековой вызов математике |место=М. |издательство=Де Агостини |год=2014 |страниц=151 |isbn=978-5-9774-0625-3 |серия=Мир математики: в 45 томах, том 9 |страницы=78}}</ref>.
* [[Вудал һаны|Вудал һандары]] — <math>W_n=n \cdot 2^n-1</math> күренешендәге һандар<ref>{{OEIS long|A003261}}</ref>. Люк — Лемер — Ризель тесы һөҙөмтәле ябайлыҡ тесы булып тора<ref>{{OEIS long|A050918|ru=простые числа Вудала}}</ref>.
* [[Каллен һандары]] — <math>C_n=n \cdot 2^n+1</math> күренешендәге һандар<ref>{{OEIS long|A002064}}</ref><ref>{{OEIS long|A050920|ru=простые числа Каллена}}</ref>.
* [[Прот һаны|Прот һандары]] — <math>P=k \cdot 2^n+1</math> күренешендәге һандар, шуның менән бергә ''k'' таҡ һәм <math>2^n>k</math><ref>{{OEIS long|A080075}}</ref>. Прот һандары өсөн Бриллхарт — Лемер — Селфридж тесы ({{lang-en|Brillhart–Lehmer–Selfridge test}} һөҙөмтәле ябайлыҡ тесы булып тора)<ref>{{статья |заглавие=New Primality Criteria and Factorizations of 2^m ± 1 |издание={{Нп3|Mathematics of Computation}} |том=29 |страницы=620—647 |doi=10.1090/S0025-5718-1975-0384673-1 |ссылка=http://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-130/S0025-5718-1975-0384673-1/S0025-5718-1975-0384673-1.pdf |язык=en |тип=journal |автор=[[John Brillhart]]; [[Derrick Henry Lehmer]]; [[John Selfridge]] |месяц=4 |год=1975}}</ref>. Числа Каллена и числа Ферма являются частным случаем чисел Прота (соответственно при ''k'' = ''n'' и при ''k'' = 1, <math>n=2^m</math>)<ref>{{OEIS long|A080076|ru=простые числа Прота}}</ref>.
* [[Миллс константаһы|Миллс һандары]] — <math>P_n = [ A^{3^n} ] </math> күренешендәге һандар, бында <math>A</math> — [[Миллс константаһы]]<ref>{{citation|last1=Caldwell|first1=Chris K.|last2=Cheng|first2=Yuanyou|title=Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem|journal=Journal of Integer Sequences|volume=8|year=2005|issue=5.4.1|url=http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Caldwell/caldwell78.html}}</ref>.

Әлеге ваҡытта билдәләнгән типтарҙағы ябай һандарҙы табыу өсөн [[GIMPS]], [[PrimeGrid]], [[Ramsey@Home]], [[Seventeen or Bust]], [[Riesel Sieve]], [[Wieferich@Home]] бүленгән иҫәпләү проекттары ҡулланыла.

== Ҡайһы бер үҙсәнлектәре ==
* Әгәр {{mvar|p}} — ябай булһа, һәм {{mvar|ab}} {{mvar|p}}-ға бүленһә, ул саҡта {{mvar|a}} йәки {{mvar|b}} {{mvar|p}}-ға бүленә. Был фактты Евклид иҫбатлай һәм ул [[Евклид леммаһы]] булараҡ билдәле<ref name=":8" /><ref>{{Citation | last1=Dudley| first1=Underwood | title=Elementary number theory | publisher=W. H. Freeman and Co. | edition=2nd | isbn=978-0-7167-0076-0 | year=1978}}, Section 2, Lemma 5{{ref-en}}</ref>. Ул [[Арифметиканың төп теоремаһы]]н иҫбатлағанда ҡулланыла.
* [[Алынмалар ҡулсаһы]] <math>\mathbb{Z}_n</math> <math>n</math> — ябай булғанда һәм тик шул саҡта ғына [[Ялан (алгебра)|ялан]] була<ref name="Stepanov">{{книга|автор=Степанов С. А.|часть=|заглавие=Сравнения|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/numtheory.htm|ответственный=|издание=|место=М.|издательство=«Знание»|год=1975|страницы=|страниц=64|isbn=|isbn2=}}</ref>.
* Һәр яландың характеристикаһы — ноль йәки ябай һан<ref name="Stepanov" />.
* Әгәр <math>p</math> — ябай, ә <math>a</math> — натураль һан булһа, ул саҡта <math>a^p-a</math> <math>p</math>-ға бүленә ([[Ферманың бәләкәй теоремаһы]]){{sfn|Винберг|2008|с=43}}.
* Әгәр <math>G</math> — тәртибе <math>|G|</math> <math>p</math>-ға бүленгән сикле төркөм булһа, ул саҡта <math>G</math> төркөмөнөң <math>p</math> тәртибендәге элементы бар ([[Коши теоремаһы (төркөмдәр теорияһы)|Коши теоремаһы]])<ref name=":11">''[[Курош, Александр Геннадиевич|Курош А. Г.]]'' Теория групп. 3-е изд., М.: Наука, 1967.</ref>.
* Әгәр <math>G</math> — сикле төркөм, һәм <math>p^n</math> — <math>p</math>-ның <math>|G|</math> бүленгән максималь дәрәжәһе булһа, ул саҡта <math>G</math> төркөмөнөң <math>p^n</math> тәртибендәге аҫтөркөмө бар, ул Силов аҫтөркөмө тип атала, етмәһә, Силов аҫтөркөмдәре һаны ниндәйҙер бөтөн <math>k</math> өсөн <math>pk+1</math>-гә тигеҙ ([[Силов теоремаһы]])<ref>А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.</ref>.
* Натураль <math>p > 1</math> һаны, әгәр <math>(p-1)! + 1</math> <math>p</math>-ға бүленһә, шул саҡта һәм бары шул саҡта ғына ябай була ([[Вильсон теоремаһы]])<ref name=":12">{{книга|автор=Виноградов И. М.|заглавие=Основы теории чисел|ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/vinogradov.htm|издание=5 изд.|место=М.-Л.|издательство=Гостехиздат|год=1952}}</ref>.
* Әгәр <math>n > 1</math> — натураль һан булһа, шундай <math>p</math> ябай һаны бар, <math>n < p < 2 n</math> ([[Бертран постулаты]])<ref>Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=BertrandsPostulate ''Bertrand’s postulate''] at [[Prime Pages]] glossary.</ref>.
* [[Ябай һандарға кире һандар рәте]] таралыусан<ref name=":2" />. Етмәһә, <math>x\to\infty</math> өсөн
*: <math>\sum_{p<x} \frac{1}{p}\ \sim\ \ln \ln x.</math>
* <math> a, a + q, a + 2 q, a + 3 q, ... </math> күренешендәге теләһә ниндәй [[арифметик прогрессия]]ла, бында <math> a, q > 1</math> — бөтөн [[үҙ-ара ябай һандар]], сикһеҙ күп ябай һандар бар ([[Арифметик прогрессияла ябай һандар тураһында Дирихле теоремаһы]]){{sfn|Энциклопедический словарь юного математика|1985}}.
* 3-тән ҙурыраҡ теләһә ниндәй ябай һан <math>6k+1</math> йәки <math>6k-1</math> күренешендә күрһәтелә ала, бында <math>k</math> — ниндәйҙер натураль һан. Бынан сығып, әгәр бер нисә эҙмә-эҙ килгән ябай һандарҙың айырмаһы (k>1 булғанда) бер төрлө булһа, ул һис шикһеҙ 6-ға бүленә — мәҫәлән: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
* Әгәр <math>p > 3</math> — ябай булһа, ул саҡта <math>p^2-1</math> 24-кә бүленә (шулай уҡ 3-кә бүленмәгән бөтә таҡ һандар өсөн дөрөҫ)<ref>{{razr|Доказательство}}. 3-кә бүленмәгән ''p'' таҡ һаны, равно 1 или 2 по модулю 3 и равно 1, 3, 5 или 7 по модулю 8. При возведении в квадрат это даёт 1 по модулю 3 и 1 по модулю 8. Вычитая 1, получаем 0 по модулю 3 и 0 по модулю 8. Следовательно, <math>p^2-1</math> кратно 3 и кратно 8; следовательно, оно кратно 24</ref>.
* [[Грин-Тао теоремаһы]]. Теләһә ниндәй оҙонлоҡтағы ябай һандарҙан торған арифметик прогрессиялар бар<ref>{{MathWorld3|Green-Tao Theorem}}</ref>.
* Бер ниндәй ҙә ябай һан <math>n^k-1</math> күренешендә була алмай, бында ''n''>2, ''k''>1. Икенсе төрлө әйткәндә, ябай һандан һуң килгән һан нигеҙе 2-нән ҙур булған [[квадрат (һан)|квадрат]] йәки юғары дәрәжә була алмай. Бынан шулай уҡ, ябай һан <math>2^k-1</math> күренешендә булһа, ул саҡта ''k'' — ябай һан булыуы килеп сыға (ҡарағыҙ. [[Мерсенн һандары]])<ref name=":15" />.
* Бер ниндәй ҙә ябай һан <math>n^{2k+1}+1</math> күренешендә була алмай, бында ''n''>1, ''k''>0. Икенсе төрлө әйткәндә, ябай һандың алдынан килгән һан нигеҙе 1-ҙән ҙур булған [[куб (алгебра)|куб]] йәки юғарыраҡ таҡ күрһәткесле дәрәжә була алмай<ref>Эти 2 свойства непосредственно следуют из [[формулы сокращённого умножения многочленов|формул разложения суммы и разности степеней]]</ref>.
* Һәр ябай һанды (8n-1 күренешендәге һандарҙан башҡа) өс квадрат суммаһы рәүешендә күрһәтеп була{{sfn|Энциклопедический словарь юного математика|1985|с=332}}.

== Ҡулланылышы ==
Ябай һандар [[математика]]ның күп өлкәләрендә фундаменталь компоненттар булып торалар.

=== Арифметик функциялар ===
[[Арифметик функция]]лар, атап әйткәндә натураль һандар күмәклегендә билдәләнгән һәм комплекслы һандар күмәклегенән ҡиммәттәр ҡабул иткән функциялар, һандар теорияһында ҙур роль уйнайҙар. Айырым алғанда, улар араһында мультипликатив функциялар, йәғни түбәндәге үҙсәнлектәргә эйә булған <math>f</math>'','' функциялары иң мөһим булып торалар: әгәр <math>(a,b)</math> пары үҙ-ара ябай һандарҙан торһа, ошо тигеҙлек дөрөҫ<ref name=":13">{{Книга|автор=Graham, Ronald L. (1935- ).|заглавие=Konkretnaâ matematika : osnovanie informatiki|ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/1014108083|место=Moskva|издательство=Izdatelʹstvo "Mir"|год=1998|страниц=703, [1] s.|isbn=5030017933}}</ref>

<math>f(ab) = f(a)f(b)</math>

Мультипликатив функцияларҙың миҫалы булып [[Эйлер функцияһы]] <math>\phi</math> тора, ул <math>n</math> һанына количество натуральных чисел, меньших n-дан бәләкәй һәм уның менән үҙ-ара ябай натураль һандар күмәклеген һәм ''n'' һанының бүлеүселәре һанын ярашлы ҡуя<ref>{{Книга|автор=Sandifer, Charles Edward, 1951-|заглавие=The early mathematics of Leonhard Euler|ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/82370957|место=Washington, D.C.|издательство=Mathematical Association of America|год=2007|страниц=xix, 391 pages|isbn=0883855593}}</ref>. Был функцияның ябай һан дәрәжәһенән ҡиммәттәре:
* [[Эйлер функцияһы|<math>\phi</math> Эйлер Функцияһы]]:
<math>\phi(p^m) = p^m - p^{m-1}</math>
* Бүлеүсе Функцияһы:
<math>\sigma(p^m) = m + 1</math>

Арифметик функцияларҙы, улар ябай һандар дәрәжәһе өсөн ҡабул иткән ҡиммәттәрҙе белгәндә, еңел иҫәпләп була<ref name=":13" />. Ысынлап та n натураль һанының ҡабатлашыусыларға тарҡалмаһынан

<math>n = p_1^{q_1}\cdot...\cdot p_a^{q_a}</math>

<math>f(n) = f(p_1^{q_1})\cdot...\cdot f(p_a^{q_a})</math> булыуын табабыҙ.

һәм ошонан сығып, <math>f(n)</math>-ды иҫәпләү мәсьәләһенә ҡайтҡанда, <math>f</math>-ты һәр ябай бүлеүсеһе дәрәжәһенән иҫәпләү  <math>f</math>-ты дөйөм формула буйынса иҫәпләгәндән күпкә ябайыраҡ килеп сыға.<ref>{{Книга|автор=Bach, Eric.|заглавие=Algorithmic number theory|ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/33164327|место=Cambridge, Mass.|издательство=MIT Press|год=©1996-|страниц=volumes <1>|isbn=0262024055}}</ref>

Мәҫәлән, Эйлер <math>\phi</math> функцияһының ''n'' = 450 = 2 × 3 <sup>2</sup> × 5 <sup>2</sup> өсөн ҡиммәтен табыу өсөн,

<math>\phi(450) = \phi(2)\cdot\phi(3^2)\cdot\phi(5^2) = (2-1)\cdot(9-3)\cdot(25-5) = 120</math>-ды иҫәпләү етә

=== Модулле арифметика ===
[[Модуле буйынса сағыштырыу|Модулле арифметикала]] ябай һандар ҙур роль уйнайҙар: <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> алынмалар ҡулсаһы, ''n'' ябай һан булғанда һәм тик шул саҡта ғына [[Ялан (алгебра)|ялан]] була<ref name="Stepanov" />. Шулай уҡ <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> [[Алынма тамыр (һандар теорияһы)|ҡулсаһының алынма тамырының]] булыуы ябай һандарға бәйле: ул ''n'' — ябай һан булғанда ғына бар, 1, 2, 4 йәки <math>p^n\circ2p^n</math> формаһындағы һан, бында ''p'' таҡ.

Модулле арифметиканың мөһим теоремаларының береһе булып [[Ферманың бәләкәй теоремаһы]] тора<ref name=":12" />. Был теорема, теләһә ниндәй ''р'' ябай һаны һәм теләһә ниндәй натураль ''a'' һаны өсөн:

<math>a^p \equiv a \pmod{p}</math> тип раҫлай

йәки теләһә ниндәй ''р'' ябай һаны һәм ''р''-ға бүленмәгән теләһә ниндәй [[Натураль һан|натураль]] а өсөн:

<math>a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}</math> дөрөҫ.

Был үҙсәнлекте һан ябай ''түгел'' икәнен тикшереү өсөн ҡулланырға мөмкин. Ысынлап та, әгәр ''n'' ниндәйҙер натураль ''а'' өсөн:

<math>a^n \not\equiv a \pmod{n}</math> булһа,

ул саҡта ''n'' ябай була алмай<ref name=":12" />. Ләкин был үҙсәнлек һанды ябайлыҡҡа тикшереү өсөн ҡулланыла алмай: [[Кармайкл һандары]] тип аталған шундай һандар бар (иң бәләкәйе — 561), улар өсөн был дөрөҫ түгел. Кармайкл һаны тип n менән үҙ-ара ябай булған һәр b нигеҙе буйынса ялған ябай һан булған [[Ҡушма һан|ҡушма]] һан атала. 1994 йылда Уильям Роберт Альфорд, Эндрю Гранвиль һәм Померанс Карл бындай һандарҙың сикһеҙ күп булыуын күрһәтәләр<ref>{{Статья|автор=W. R. Alford, Andrew Granville, Carl Pomerance|заглавие=There are Infinitely Many Carmichael Numbers|ссылка=http://www.jstor.org/stable/2118576|издание=Annals of Mathematics|год=1994|том=139|выпуск=3|страницы=703—722|doi=10.2307/2118576}}</ref>.

=== Төркөмдәр теорияһы ===
Ябай һандар шулай уҡ [[алгебра]]ла төп ролде уйнайҙар. [[Төркөмдәр теорияһы]]нда һәр элементы ''р'' ябай һанының дәрәжәһе булған төркөм ''P-төркөм'' тип атала<ref>{{Статья|автор=Charles C. Sims|заглавие=Enumerating p-Groups|ссылка=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1112/plms/s3-15.1.151/abstract|язык=en|издание=Proceedings of the London Mathematical Society|год=1965-01-01|том=s3—15|выпуск=1|страницы=151—166|issn=1460-244X|doi=10.1112/plms/s3-15.1.151}}</ref>. P-төркөм, [[төркөмдөң тәртибе]] (уның элементтарының һаны) р-ның дәрәжәһе булғанда һәм бары шул саҡта ғына [[Сикле төркөм|сикле]] була. '''[[Квазицикллы төркөм|Прюферҙың ''p''-төркөмө]]''' сикһеҙ р-төркөмдөң миҫалы булып тора<ref>{{Книга|автор=Jacobson, Nathan, 1910-1999. |заглавие=Basic algebra |ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/294885194 |издание=2nd ed., Dover ed |место=Mineola, N.Y. |издательство=Dover Publications |год=2009 |страниц=2 volumes |isbn=9780486471877}}</ref>. ''p-''төркөмө тривиаль булмаған [[Төркөмдөң үҙәге|үҙәккә]] эйә булыуы билдәле, тимәк, ябай була алмайҙар (''p'' элементтары булған төркөмдән башҡа); әгәр төркөм сикле булһа, бынан тыш, бөтә нормаль аҫтөркөмдәр үҙәкте тривиаль булмаған рәүештә киҫәләр.
Ябай һандың [[Модуле буйынса сағыштырыу|модуле]] буйынса ҡабатлауҙың [[Цикллы төркөм|цикллы]] төркөмө бындай төркөмдәрҙең миҫалы булып тора<ref>{{Книга|автор=Сагалович Ю.Л.|заглавие=Введение в алгебраические коды|ссылка=http://iitp.ru/upload/content/790/algebcodes.pdf|ответственный=|издание=|место=|издательство=|год=2011|страницы=|страниц=302|isbn=|isbn2=}}</ref>.

p тәртибендәге бөтә төркөмдәр [[Цикллы төркөм|цикллы]] булалар һәм шуға күрә [[Абель төркөмө]] булалар; шулай уҡ һәр ''p'' <sup>2</sup> тәртибендәге төркөм [[Абель төркөмө]] була. Бынан тыш, һәр сикле  [[Абель төркөмө]] сикле һандағы цикллы р-төркөмдәрҙең тура ҡабатландығына [[Изоморфлы төркөмдәр|изоморфлы]].

[[Коши теоремаһы (төркөмдәр теорияһы)|Коши теоремаһында]], что әгәр [[Сикле төркөм|сикле]] G [[Төркөм (математика)|төркөмөнөң]] [[Төркөмдөң тәртибе|тәртибе]] p ябай һанына бүленһә, G төркөмөнә p [[Элемент тәртибе|тәртибендәге]] элементтар инә. Был теорема [[Силов теоремалары]]нда дөйөмләштерелә<ref name=":11"/>.

=== Асыҡ асҡыслы криптосистема ===
{{Основная статья|Криптосистема с открытым ключом}}
Асыҡ асҡыслы криптосистемаларҙың [[RSA]] һәм [[Диффи — Хеллман протоколы|Диффи-Хеллман асҡыстары менән алмашыныу]] кеүек ҡайһы бер алгоритмдары, ҙур ябай һандарға (ғәҙәттә 1024—2048 бит) нигеҙләнгәндәр. RSA, ике (ҙур) ''x'' һәм ''y'' һандарын ҡабатлауҙы башҡарыу, әгәр уларҙың <math>x\cdot y</math> ҡабатландығы ғына билдәле булһа, ''x'' һәм ''y'' үҙ-ара ябай һандарын иҫәпләүгә ҡарағанда күпкә ябайыраҡ (йәғни һөҙөмтәле) тигән фаразға таяна. [[Диффи — Хеллман протоколы|Диффи-Хеллман асҡыстары менән алмашыныу]] модуле буйынса дәрәжәгә күтәреүҙең һөҙөмтәле алгоритмдары булыуына таяна, ә кире операция — [[Дискретлы логарифмлау]] ҡатмарлы тип һанала<ref>{{Книга|автор=Ferguson, Niels.|заглавие=Practical cryptography|ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/51568066|место=New York|издательство=Wiley|год=2003|страниц=xx, 410 pages|isbn=0471223573}}</ref><ref>{{Статья|автор=W. Diffie, M. Hellman|заглавие=New directions in cryptography|ссылка=http://ieeexplore.ieee.org/document/1055638/|издание=IEEE Transactions on Information Theory|год=November 1976|том=22|выпуск=6|страницы=644—654|issn=0018-9448|doi=10.1109/tit.1976.1055638}}</ref>.

==== RSA ====
Ҙур һандарҙы факторизациялау беренсе һөҙөмтәле [[RSA]] — [[Асыҡ асҡыслы криптосистема|асыҡ асҡыслы криптография]] ысулын эшләүгә килтерә{{Sfn|Bakhtiari, Maarof|2012|p=175}}. Был криптографик системала, шифрланған хәбәр алырға тейеш булған кеше, асҡыс генерирлай: бирелгән үлсәмдәге (ғәҙәттә, 1024- йәки 2048-[[бит]]лы һандар ҡулланыла) төрлө ике <math>p</math> һәм <math>q</math> [[осраҡлы ябай һан]]дары һайлап алына. Артабан уларҙың ''модуль'' тип аталған <math>n = p * q</math> ҡабатландығы иҫәпләнә. [[Эйлер функцияһы]]ның <math>n</math> һанынан ҡиммәте иҫәпләнә: <math>\phi(n) = (p - 1)(q - 1)</math>. <math>\phi(n)</math> функцияһының ҡиммәте менән үҙ-ара ябай <math>e</math> (<math>1 < e < \phi(n)</math>) бөтөн һаны һайлап алына. Ғәҙәттә <math>e</math> сифатында ҙур булмаған ябай һанды алалар (мәҫәлән, ябай [[Ферма һандары]]). <math>e</math> һаны ''асыҡ экспонента''([[Инглиз теле|ингл.]] ''public exponent'') тип атала. Серле экспонента тип аталған, e һанына <math>\phi(n)</math> модуле буйынса мультипликатив кире <math>d</math> һанын иҫәпләйҙәр. ''RSA-ның асыҡ асҡысы'' ([[Инглиз теле|ингл.]] ''RSA public key'') сифатында <math>\{e, n\}</math> һандар пары яҙыла. <math>\{d, \phi(n)\}</math> пары ''RSA-ның бикле асҡысы'' ([[Инглиз теле|ингл.]] ''RSA private key'') ролен уйнай һәм сер итеп һаҡлана<ref name=":4" />.

Теоретик бикле асҡысты асыҡтан-асыҡ булған мәғлүмәттән алырға мөмкин: хәҙерге ваҡытта бының өсөн <math>n</math> һанын факторизациялау талап ителә, әгәр ябай һандар билдәле шарттарҙы ҡәнәғәтләндерһәләр һәм «етерлек ҙур» булһалар, был һаҡланыусы хәбәрҙе ебәреүҙе хәүефһеҙ итә. Хәбәрҙең шифрын сисеү өсөн <math>n</math> һанын факторизациялауға тура атака менән бәйле булмаған һөҙөмтәле ысулдар бармы икәне әлегә билдәһеҙ, ләкин асыҡ асҡысты насар һайлау бындай атакалар өсөн системаны йомшаҡ (ныҡлы түгел) итә.{{Source-ref|Q27210308|pages=|volume=|issue=}}

1991 йылда [[RSA Security]] ярым ябай һандар теҙмәһен баҫтырып сығара, ысулдың хәүефһеҙлеген раҫлау һәм был өлкәлә тикшеренеүҙәрҙе дәртләндереү маҡсатында, уларҙың ҡайһы берҙәрен ҡабатлашыусыларға тарҡатыу өсөн аҡсалата приз тәҡдим итә: инициатива [[Challenge RSA Factoring]] тип атала.<ref name=":5">RSA Laboratories, [http://www.rsa.com/rsalabs/node.asp?id=2092 The RSA Factoring Challenge] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130507091636/http://www.rsa.com/rsalabs/node.asp?id=2092|data=7 мая 2013}}. Опубликовано 18 мая 2007.</ref> Күп йылдар дауамында был һандарҙың ҡайһы берҙәре   ҡабатлашыусыларға тарҡатыла,ә ҡалғандары өсөн факторизация проблемаһы асыҡ ҡала; ләкин конкурс 2007 йылда тамамлана<ref name=":5" />.

== Ябай һандарҙы табыу өсөн формулалар ==
Төрлө ваҡыттарҙа, уға ингән үҙгәреүсәндәрҙең төрлө ҡиммәттәрендә, ҡиммәте ябай һан булған аңлатма табырға маташыуҙар була{{sfn|Энциклопедический словарь юного математика|1985}}.
Л. Эйлер, {{s|{{mvar|n}} {{=}} 0, 1, 2, …, 40}} булғанда ябай ҡиммәттәр ҡабул иткән, <math>\textstyle n^2-n+41</math> күпбыуынын тәҡдим итә. Ләкин {{s|{{mvar|n}} {{=}} 41}} булғанда күпбыуындың ҡиммәте ҡушма һан була. {{mvar|n}}-дың бөтә бөтөн ҡиммәттәрендә лә ҡиммәте ябай һан булған бер {{mvar|n}} үҙгәреүсәнле күпбыуын булмауын иҫбат итергә мөмкин {{sfn|Энциклопедический словарь юного математика|1985}}.
П. Ферма бөтә [[Ферма һандары|{{s|{{power|2|2|{{mvar|k}}}} + 1}}]] күренешендәге һандар]] ябай тип фараз итә; ләкин Эйлер был гипотезаны кире ҡаға, ул {{s|{{power|2|2|5}} + 1 {{=}} {{num|4294967297}}}} һаны — ҡушма булыуын иҫбатлай{{sfn|Энциклопедический словарь юного математика|1985}}.

Шулай булыуға ҡарамаҫтан, үҙгәреүсәндәрҙең тиҫкәре булмаған ҡиммәттәрендә ыңғай ҡиммәттәре күмәклеге ябай һандар күмәклеге менән тап килгән күмәклектәр бар. 26 үҙгәреүсәндән торған һәм 25 дәрәжәләге күпбыуын шулаҙың бер миҫалы булып тора
: <math>\begin{align}
\bigl(k+2\bigr) \bigl\{1 
  & - \bigl[wz + h + j - q\bigr]^2 - \bigl[(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z\bigr]^2 - \bigl[2n + p + q + z - e\bigr]^2 \\
  & - \bigl[16(k + 1)^3(k + 2)(n + 1)^2 + 1 - f^2\bigr]^2 - \bigl[e^3(e + 2)(a + 1)^2 + 1 - o^2\bigr]^2 - \bigl[(a^2 - 1)y^2 + 1 - x^2\bigr]^2 \\
  & - \bigl[16r^2y^4(a^2 - 1) + 1 - u^2\bigr]^2 - \bigl[((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy)^2 + 1 - (x + cu)^2\bigr]^2 - \bigl[n + l + v - y\bigr]^2 \\
  & - \bigl[(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2\bigr]^2 - \bigl[ai + k + 1 - l - i\bigr]^2 - \bigl[p + l(a - n - 1) + b(2an + 2a - n^2 - 2n - 2) - m\bigr]^2 \\
  & - \bigl[q + y(a - p - 1) + s(2ap + 2a - p^2 - 2p - 2) - x\bigr]^2 - \bigl[z + pl(a - p) + t(2ap - p^2 - 1) - pm\bigr]^2\bigr\}
\end{align}</math>
Шундай типтағы 42 үҙгәреүсәнле күпбыуындарҙың иң бәләкәй дәрәжәһе — 5; дәрәжәһе яҡынса 1,6•10<sup>45</sup> булғанда үҙгәреүсәндәрҙең иң бәләкәй һаны — 10<ref>{{статья
|заглавие=Diophantine representation of the set of prime numbers
|издание=[[American Mathematical Monthly|Amer. Math. Mon.]]
|том=83
|номер=6
|страницы=449—464
|ссылка=http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/JonesSatoWadaWiens.pdf
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20100331232439/http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/JonesSatoWadaWiens.pdf
|archivedate=2010-03-31
|deadlink=404
|язык=en
|тип=journal
|автор=Jones J. P.,
Sato D., Wada H., Wiens D.
|год=1976
}}</ref><ref>Yuri Matiyasevich, [http://www.inf.unisi.ch/guest-lectures/matiyas/Lugano_public1_print.pdf Diophantine Equations in the XX Century]{{Недоступная ссылка|date=Май 2019 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>. Был һөҙөмтә Матиясевич Юрий Владимирович [[Гильберттың унынсы проблемаһы|иҫбатлаған]] теләһә ниндәй һанап сыҡмалы күмәклектең диофантлы булыуының айырым осрағы булып тора.

Шуныһы ҡыҙыҡ, юғарыла килтерелгән ябай һандарҙы тыуҙырыусы күпбыуын үҙе ҡабатлашыусыларға тарҡала. Был күпбыуындың икенсе ҡабатлашыусыһы (фигуралы йәйә эсендә) бер минус квадраттар суммаһы күренешендә. Шулай итеп күпбыуын, (ыңғай <math>k</math> булғанда) квадраттарҙың һәр береһе (йәғни квадрат йәйәләрҙәге һәр күпбыуын) нулгә тигеҙ булғанда ғына ыңғай ҡиммәттәр ҡабул итә ала. Был осраҡта фигуралы йәйәләрҙәге аңлатма 1-гә тигеҙ була<ref>[http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=MatijasevicPoly Matijasevic’s polynomial]. The Prime Glossary.</ref>.

== Асыҡ мәсьәләләр ==
{{main|Открытые проблемы в теории чисел}}

[[Файл:Dp txt2.png|thumb|Ябай һандарҙың бүленеше ''p''<sub>''n''</sub> = ''f'' (Δ''s''<sub>''n''</sub>); Δ''s''<sub>''n''</sub> = ''p''<sub>''n''+1</sub>² — ''p''<sub>''n''</sub>². Δ''p''<sub>''n''</sub> = ''p''<sub>''n''+1</sub> — ''p''<sub>''n''</sub>; Δ''p''<sub>''n''</sub> = 2, 4, 6, … .]]

Ошоға тиклем ябай һандарға ҡарата күп [[гипотеза|асыҡ мәсьәләләр]] бар, уларҙың иң билдәлеләрен Ландау Эдмунд 1912 йылда Бишенсе [[Халыҡ-ара математик конгресс|Халыҡ-ара математик конгреста]] һынап китә<ref>{{MathWorld3|Landau's Problems}}</ref>:

# [[Гольдбах проблемаһы]] (''беренсе Ландау проблемаһы''): икенән ҙур булған һәр йоп һанды ике ябай һандың суммаһы рәүешендә күрһәтеп була тип әйтеү дөрөҫмө?
# ''Ландауҙың икенсе проблемаһы'': «ябай игеҙәктәр» — айырмаһы икегә тигеҙ булған ябай һандар парҙары күмәклеге сикһеҙме{{sfn|Энциклопедический словарь юного математика|1985}}? 2013 йылда Нью-Гэмпшира университеты математигы [[Чжан Итан]]<ref>[http://habrahabr.ru/post/180259/ Неизвестный математик совершил прорыв в теории простых чисел-близнецов]</ref><ref>[http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/05/bounded_gaps_between_primes.html Bounded Gaps Between Primes]</ref>, араларындағы алыҫлығы 70 миллиондан артмаған сикһеҙ ҙур һандағы ябай һандар парҙары бар икәнен иҫбатлай. Һуңғараҡ, Мейнард Джеймс һөҙөмтәне 600-гә тиклем яҡшырта. 2014 йылда Тао Теренс етәкселегендә {{iw|Polymath|||Polymath Project}} проекты, алыҫлыҡ баһаһын 246-ға алмаштырып, һуңғы ысулды бер аҙ яҡшырталар.
# ''[[Лежандр Адриен Мари|Лежандр гипотезаһы]]'' (''Ландауҙың өсөнсө проблемаһы''): һәр натураль <math>n</math> һаны өсөн <math>n^2</math> һәм <math>(n+1)^2</math> араһында һәр ваҡытта ябай һан табыла тип раҫлау дөрөҫмө<ref>{{mathworld|urlname=LegendresConjecture|title=Гитотеза Лежандра}}</ref>?
# ''Ландауҙың дүртенсе проблемаһы'': <math>n^2+1</math> күренешендәге ябай һандар күмәклеге сикһеҙме, бында <math>n</math> — натураль һан{{sfn|Энциклопедический словарь юного математика|1985}}?

Шулай уҡ күп бөтөн һанлы эҙмә-эҙлектәрҙә, [[Мерсенн һандары]]н, [[Фибоначчи һандары]]н, [[Ферма һандары]]н һәм башҡаларҙы ла индереп, сикһеҙ һандағы ябай һандарҙың булыуы ла асыҡ проблема булып ҡала{{sfn|Энциклопедический словарь юного математика|1985}}.

== Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр ==

=== Килтереп булмай торған һәм ябай элементтар ===
{{main|Неприводимый элемент|Простой элемент}}
Мәҡәләнең башында ябай һан билдәләмәһе бирелгәйне: ике генә бүлеүсеһе — берәмек һәм һан үҙе булған натураль һан ябай һан тип атала. Оҡшаш төшөнсәләрҙе башҡа алгебраик структураларҙа ла индерергә мөмкин; йышыраҡ нулдең бүлеүселәренән башҡа [[коммутатив ҡулса]]лар ҡаралалар (бөтөнлөк өлкәләре)<ref>Обобщение на произвольные [[Полугруппа|полугруппы]] см. в книге Куроша.</ref>{{sfn |Ван дер Варден|2004|с=75}}. Ләкин бындай ҡулсаларҙың [[Төркөм (математика)|мультипликатив төркөм]] төҙөүсе [[Әйләндерелмәле элемент|берәмектең бүлеүселәре]] булырға мөмкин. Мәҫәлән, [[бөтөн һан]]дар ҡулсаһында берәмектең ике бүлеүсеһе бар: <math>+1</math> һәм <math>-1.</math> Шуға күрә берәмектең бүлеүселәренән башҡа бөтә бөтөн һандарҙыңике түгел, ә кәмендә дүрт бүлеүсеһе була; мәҫәлән, 7 һанының бүлеүселәре <math>1; 7; -1; -7.</math> Был дөйөмләштерелгән ябай һан төшөнсәһе уның икенсе үҙсәнлектәренә нигеҙләнергә тейеш булыуын аңлата.

Бөтөнлөк өлкәһе өсөн [[килтереп булмай торған элемент]] ябай һандың аналогы булып тора, ул ошолай билдәләнә{{sfn |Курош|1973|с=82—83|name=KUR82}}.
{{рамка}}
Бөтөнлөк өлкәһенең нулдән айырмалы <math>p</math> элементы, әгәр ул берәмектең бүлеүсеһе булмаһа һәм <math>p=ab</math> тигеҙлегенән <math>a</math> йәки <math>b</math> берәмектең бүлеүсеһе була икәне килеп сыҡһа, ''килтереп булмай торған'' (ҡайһы берҙә ''тарҡатып булмай торған'') тип атала.
|}
Был билдәләмә бөтөн һандар өсөн ябай натураль һандар, шулай уҡ уларға ҡапма-ҡаршы һандар килтереп булмай торған элементтар булыуын аңлата.

Билдәләмәнән, килтереп булмай торған <math>p</math> элементының бүлеүселәре күмәклеге ике өлөштән: берәмектең бөтә бүлеүселәренән һәм <math>p</math>-ның берәмектең бөтә бүлеүселәренә ҡабатландыҡтарынан (был ҡабатландыҡтар <math>p</math> злементтар менән ''ассоциирлаштырылған'' тип аталалар) тороуы килеп сыға. Йәғни, килтереп булмай торған <math>p</math>-ның бүлеүселәре һаны, әгәр ул сикле булһа, ҡулсала берәмектең бүлеүселәре һанынан ике тапҡыр күп.

[[Арифметиканың төп теоремаһы]] аналогы ҙур әһәмиәткә эйә, ул дөйөмләштерелгән рәүештә ошолай әйтелә{{sfn |Ленг|1967|с=89}}:
{{рамка}}
Ҡулса, әгәр унда берәмектең бүлеүсеһе булмаған һәр нулдән айырмалы элемент килтереп булмай торған элементтарҙың ҡабатландығы рәүешендә күрһәтелә алһа, шуның менән бергә был күрһәтеү ҡабатлашыусыларҙың алмаштырмаһына һәм уларҙың ассоциирлаштырылғанына (берәмектең бүлеүселәренә ҡабатландығына) тиклем аныҡлыҡ менән берҙән-бер булһа, [[Факториаль ҡулса|факториаль]] тип атала.
|}
Теләһә ниндәй бөтөнлөк өлкәһе лә факториаль түгел, ҡарағыҙ. [[Арифметиканың төп теоремаһы#ҡулсала тарҡатыуҙың берҙән бер булмауы|контрмиҫал]]. [[Евклид ҡулсаһы]] һәр ваҡыт факториаль{{sfn |Ван дер Варден|2004|с=77—78}}.

Ябай һан төшөнсәһенең башҡа, [[ябай элемент]] тип аталған тарыраҡ дөйөмләштереүе бар<ref name=KUR82/>.
{{рамка}}
Бөтөнлөк өлкәһенең нулдән айырмалы <math>p</math> элементы, әгәр ул  берәмектең бүлеүсеһе булмаһа һәм <math>ab</math> ҡабатландығы <math>p</math>-ға, <math>a</math> йәки <math>b</math> элементтарының береһе генә булһа ла <math>p</math>-ға бүленгән осраҡта ғына бүленә алһа, ''ябай'' тип атала.
|}
Ябай элемент һәр ваҡыт килтереп булмай торған. Ысынлап та, әгәр <math>p</math> элементы ябай һәм <math>p=ab</math> булһа, ябай элемент билдәләмәһе буйынса ҡабатлашыусыларҙың береһе, <math>a</math> булһын әйҙә, <math>p</math>-ға бүленә, йәғни <math>a=pq.</math> Ул саҡта <math>p=ab=pqb</math> йәки, <math>p</math>-ға ҡыҫҡартып (бөтөнлөк өлкәһендә нулдән айырмалы ҡабатлашыусыны ҡыҫҡартыу һәр саҡ мөмкин): <math>1=qb,</math> йәғни <math>b</math> берәмектең бүлеүсеһе була. {{шииһ}}

Киреһе, дөйөм алғанда, дөрөҫ түгел, килтереп булмай торған элемент, әгәр ҡулса факториаль булмаһа, ябай була алмай. Миҫал<ref>''William W. Adams, Larry Joel Goldstein'' (1976), Introduction to Number Theory, p. 250, Prentice-Hall, Inc., {{ISBN|0-13-491282-9}}</ref>: <math>a+b\sqrt{5}i</math> күренешендәге һандар ҡулсаһын ҡарайыҡ, бында <math>a,b</math> — бөтөн һандар. 3 һаны унда килтереп булмай торған һан, сөнки уның тик 4 бүлеүсеһе бар: <math>3, 1, -3, -1</math>. Ләкин ул ябай элемент түгел, быға ошо тигеҙлек ышандыра:
: <math>\left(2 + \sqrt{5}i\right)\left(2 - \sqrt{5}i\right)=9</math>
Тигеҙлектең уң яғы 3-кә бүленә, ләкин бер ҡабатлашыусы ла 3-кә бүленмәй. Был факттан ҡаралған ҡулсаның факториаль булмауы тураһында һығымта яһап була; ысынлап та, <math>6 = 2\cdot 3 = (1 - i \sqrt{5}) (1 + i \sqrt{5})</math> тигеҙлеге был ҡулсала килтереп булмай торған ҡабатлашыусыларға тарҡатыу берҙән бер түгел булыуын күрһәтә.

=== Миҫалдар ===
[[Бөтөн һан]]дар ҡулсаһы факториаль. Унда, юғарыла телгә алынғанса, берәмектең ике бүлеүсеһе.

==== Гаусс бөтөн һандары ====
[[Гаусс бөтөн һандары|Гаусс һандары]] ҡулсаһы <math>a+bi</math> күренешендәге, бында <math>a,b</math> — бөтөн һандар, [[комплекслы һан]]дарҙан тора. Берәмектең бүлеүселәре дүртәү: <math>1; -1; i; -i.</math> Был ҡулса факториаль, ғәҙәттәге ябай һандарҙың бер өлөшө һәм «ябай гаусс һандары» килтереп булмай торған элементтар булып торалар (мәҫәлән, <math>1+i</math>). Ҡарағыҙ. [[Гаусс бөтөн һандары#Гаусс критерийы|Гаусс һандары ябайлығы критерийы]].

Гаусс һандары ҡулсаһында ябай булмаған 2 һаны өсөн ҡабатлашыусыларға тарҡатыу миҫалы: <math>2=(1+i)(1-i)=i(1-i) (1-i)</math> — бында тарҡатыу берҙән бер түгел һымаҡ күренә генә, сөнки <math>1-i=(-i)(1+i)</math> тигеҙлегенә ярашлы, <math>1-i</math> <math>1+i</math> менән ассоциациялана.

==== Эйзенштейндың бөтөн һандары ====
[[Эйзенштейндың бөтөн һандары]] ҡулсаһы <math>\Z[\omega]</math> түбәндәге күренештәге комплекслы һандарҙан тора<ref name=":14">[http://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html Eisenstein Integer--from MathWorld]</ref>:

: <math>z = a + b\omega,</math> бында <math>a,b</math> — бөтөн һандар, <math>\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}</math> (берәмектең куб тамыры),

Был ҡулсала берәмектең алты бүлеүсеһе бар: (±1, ±ω, ±ω<sup>2</sup>), ул Евклид ҡулсаһы һәм шуға күрә факториаль. Ҡулсаның килтереп булмай торған элементтары (улар шулай уҡ ябай элементтар) Эйзенштейндың ябай һандары тип аталалар.

'''Ябайлыҡ критерийы''': Эйзенштейндың бөтөн һаны <math>z = a + b\omega</math>, түбәндәге бер-береһен кире ҡағыусы шарттарҙың береһе үтәлгәндә һәм шул саҡта ғына Эйзенштейндың ябай һаны була:
# <math>z</math> <math>3n-1</math> күренешендәге натураль ябай һан менән ассоциацияланғанда
# <math>|z|^2 = a^2 - ab + b^2</math> (<math>z</math>-тың нормаһы) <math>3n</math> йәки <math>3n+1</math> күренешендәге натураль ябай һан булһа.
Бынан Эйзенштейндың теләһә ниндәй бөтөн һанының нормаһы йә ябай натураль һан, йә ябай натураль һандың квадраты була икәне килеп сыға<ref name=":14" />.

Эйзенштейндың ябай һандары менән ассоциацияланған йәки комплекслы-эйәртеүле һандар, шулай уҡ Эйзенштейндың ябай һандары булалар.

==== Күпбыуындар ҡулсаһы ====
Алгебрала ниндәйҙер <math>K</math> ҡулсаһынан алынған коэффициентлы [[күпбыуындар]]ҙан торған <math>K[x]</math> [[күпбыуындар ҡулсаһы]] ҙур әһәмиәткә эйә. Бында берәмектең бүлеүселәре булып нулдән айырмалы константалар (нуленсе дәрәжә күпбыуындар булараҡ) торалар. Күпбыуындар ҡулсаһы евклидово һәм шуға күрә факториаль. Әгәр <math>K</math> сифатында [[ысын һан]]дар яланын алғанда, бөтә 1-се дәрәжә күпбыуындар һәм ысын тамырҙары булмаған 2-се дәрәжә күпбыуындар (йәғни уларҙың [[дискриминант]]ы тиҫкәре), килтереп булмай торған күпбыуындар булалар<ref>{{книга |автор=Винберг Э. Б. |заглавие=Алгебра многочленов |место=М. |издательство=Просвещение |год=1980 |страниц=176 |страницы=122—124}}</ref>.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Незаконное простое число]]
* [[Суперпростое число]]
* [[Полупростое число]]
* [[Примориал]]
* [[Простые числа, отличающиеся на шесть]]
* [[Случайное простое число]]
* [[Составное число]]
* [[Список простых чисел]]
* [[Уникальное простое]]

== Иҫкәрмәләр ==
{{примечания|30em}}

== Әҙәбиәт ==
* {{книга |автор=[[Ван дер Варден, Бартель Леендерт|Ван дер Варден]].
 |ref=Ван дер Варден
 |заглавие=Алгебра. Определения, теоремы, формулы
 |место=СПб.
 |издательство=Лань
 |год=2004
 |страниц=624
 |isbn=5-8114-0552-9
}}
* {{книга |автор=Василенко О. Н. |заглавие=Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии |место=М. |издательство=[[МЦНМО]] |год=2003 |страниц=328 |isbn=5-94057-103-4 |ссылка=http://www.ict.edu.ru/ft/002416/book.pdf}} {{Wayback|url=http://www.ict.edu.ru/ft/002416/book.pdf |date=20070127053816 }}
* {{source|Q21789820|ref=Винберг}}
* {{статья |автор=Гальперин Г. |заглавие=Просто о простых числах |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |номер=4 |year=1987 |страницы=9—14,38 |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1987/04/prosto_o_prostyh_chislah.htm}}
* {{книга |автор = Генри С. Уоррен, мл. |заглавие = Алгоритмические трюки для программистов |часть = Глава 16. Формулы для простых чисел |оригинал = Hacker's Delight |ссылка = |isbn = 0-201-91465-4 |страниц = 288 |год = 2007 |место =  М. |издательство = «Вильямс»}}
* {{статья |ссылка=http://www.nkj.ru/archive/articles/17984/ |автор=Карпушина Н. |заглавие=Палиндромы и «перевёртыши» среди простых чисел |издание=[[Наука и жизнь]] |номер=5 |год=2010 |язык=ru}}
* {{книга |автор=[[Кордемский, Борис Анастасьевич|Кордемский Б. А.]] |заглавие=Математическая смекалка |место=М. |издательство=ГИФМЛ |год=1958 |страниц=576 |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/smekalka.htm}}
* {{Книга|автор=Кормен Т., Лейзер Ч.|часть=Глава 33.8. Проверка чисел на простоту|заглавие=Алгоритмы. Построение и анализ|ссылка=http://www.proklondike.com/books/thalg/kormen_leiser_algorith.html|место=М.|издательство=МЦНМО|год=2002| страницы=765—772|isbn=5-900916-37-5}}
* {{книга |автор= [[Крэндалл, Ричард|Крэндалл Р.]], [[Померанс, Карл|Померанс К.]] |часть= |ссылка часть= |заглавие=Простые числа. Криптографические и вычислительные аспекты |оригинал=Prime Numbers: A Computational Perspective |ссылка= |викитека= |ответственный= |издание= |место=М. |издательство=[[Эдиториал УРСС|УРСС]], Либроком |год=2011 |том= |страницы= |страниц=664 |серия= |isbn=978-5-397-02060-2 |тираж=}}
* {{книга |автор=Курош А. Г. .
 |заглавие=Лекции по общей алгебре
 |издание=2-е изд.
 |место=
 |издательство=Наука
 |год=1973
 |ref=Курош
}}
* {{книга |автор=Ленг С. |заглавие=Алгебра |место=М. |издательство=Мир |год=1967 |ref=Ленг}}
* {{статья |автор=[[Матиясевич, Юрий Владимирович|Матиясевич Ю.]]. |заглавие=Формулы для простых чисел |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |год=1975 |номер=5 |страницы=5—13 |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1975/05/formuly_dlya_prostyh_chisel.htm}}
* {{книга |автор=[[Нестеренко, Юрий Валентинович|Нестеренко Ю. В.]] |часть=Алгоритмические проблемы теории чисел |заглавие=Введение в криптографию |ответственный=Под редакцией В. В. Ященко |год=2001 |издательство=Питер |isbn=5-318-00443-1 |страниц=288 |ссылка=http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1157083&uri=book.html|ссылка часть=http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1157083&uri=node28.html }}
* {{книга |ответственный = Сост. А. П. Савин |заглавие = Энциклопедический словарь юного математика |место = М. |издательство = [[Педагогика (издательство)|Педагогика]] |год = 1985 |страниц = 352 |часть = Простое число |страницы * {{статья |автор=Цагер Д. |заглавие=Первые 50 миллионов простых чисел |издание=[[Успехи математических наук]] |том=39 |номер=6(240) |год=1984 |страницы=175—190 |ссылка=http://mi.mathnet.ru/umn2506 |язык=ru |издательство=[[Математический институт имени В. А. Стеклова РАН|Российская академия наук]]}}
* {{книга|автор=Черёмушкин А. В. |заглавие=Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии |место=М. |издательство=[[МЦНМО]] |год=2002 |страниц=104 |isbn=5-94057-060-7 |ссылка=http://www.ict.edu.ru/ft/002419/cherem.pdf |тираж=2000 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130531134702/http://www.ict.edu.ru/ft/002419/cherem.pdf |archivedate=2013-05-31 |url=http://www.ict.edu.ru/ft/002419/cherem.pdf}}.
= 262—263 |ref = Энциклопедический словарь юного математика}}
* {{книга |автор = Энрике Грасиан  |заглавие = Простые числа. Долгая дорога к бесконечности |серия = Мир математики |том = 3 |издательство = Де Агостини |страниц = 148 |год = 2014 |isbn = 978-5-9774-0682-6 |isbn2 = 978-5-9774-0637-6}}
* {{source|Q27209155|ref=Bakhtiari, Maarof|ref-year=2012}}
* {{Книга|автор=Crandall R., Pomerance C.|часть=Глава 3. «Recognizing Primes and Composites». Глава 4. «Primality Proving»|страницы=117—224|заглавие=Prime Numbers: A Computational Perspective|ссылка=http://thales.doa.fmph.uniba.sk/macaj/skola/teoriapoli/primes.pdf|издательство=Springer|год=2005|isbn=0-387-25282-7}}

== Һылтанмалар ==
* ''Кноп К.'' [https://web.archive.org/web/20080319163127/http://www.geocities.com/CapeCanaveral/4344/211.html В погоне за простотой].
* [http://primes.utm.edu/ The Prime Pages]{{ref-en}} — база данных наибольших известных простых чисел{{ref-en}}.
* [http://www.polprimos.com Геометрия простых и совершенных чисел]{{ref-es}}.
* [http://www.jasondavies.com/primos/ Скрипт визуализации]
* [https://www.mersenneforum.org/ Форум искателей простых чисел]{{ref-en}}.

{{Библиоинформация}}
{{Числа}}
{{Числа по характеристикам делимости}}

[[Категория:Һандар теорияһы]]
[[Категория:Бөтөн һандар эҙмә-элелектәре]]
[[Категория:Ябай һандар теорияһы|*]]