Ябай һандарҙың таралыуы тураһында теорема битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

'''Ябай һандарҙың таралыуы тураһында теорема''' ({{lang-ru|Теорема о распределении простых чисел}}) — [[Һандарҙың аналитик теорияһы|һандарҙың аналитик теорияһының]] [[ябай һан|ябай һандарҙың]] таралыуының асимптотикаһын тасуирлаусы теоремаһы, ул [[ябай һандарҙың таралыу функцияһы]] <math>\pi(n)</math> (<math>[1;n]</math> киҫегендәге ябай һандар һаны) <math>n</math> ҙурайыу менән <math>\frac{n}{\ln n}</math> кеүек арта тип раҫлай, йәғни:
: <math> n\to \infty</math> <math> \frac{\pi(n)}{n/\ln n} \to 1</math>.

Тупаҫ итеп әйткәндә, был, 1-ҙән <math>n</math>-ға тиклем осраҡлы ғына һайланған һандың ябай һан булыу ихтималлығы яҡынса <math>\frac{1}{\ln n}</math>-ға тигеҙ тигәнде аңлата.
Шулай уҡ был теорема <math>k</math>-сы <math>p_k</math> ябай һанын һүрәтләү өсөн эквивалентлы рәүештә әйтеп бирелергә мөмкин: ул
: <math> p_k \sim k\ln k, \quad k\to\infty </math> тип раҫлай
(бында һәм артабан <math>f\sim g</math> яҙыуы функцияларҙың аргументы сикһеҙлеккә ынтылғанда <math>f/g \to 1</math> тигәнде аңлата).

Ябай һандарҙың таралыуын [[интеграль логарифм]] функцияһы анығыраҡ һүрәтләй. [[Риман гипотезаһы]] үтәлгәндә дөрөҫ<ref>[https://dx.doi.org/10.4213/book231 Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11. — с. 30-31]</ref>
: <math>\pi(n)=\operatorname{Li}(n)+O(\sqrt{n}\ln n)</math> <math>x\rightarrow\infty</math> саҡта.

== Тарихы ==
Ябай һандарҙың урынлашыуында статистик законлылыҡты беренсе булып [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] абайлай. Ул Энке Иоганн Францҡа хатында (1849), 1792 йәки 1793 йылда уҡ, «тик эмпирик яҡтан, ябай һандарҙың тығыҙлығы «яҡынса логарифмға кире пропорциональ дәүмәлгә яҡын» булыуын күрҙем», тип хәбәр итә{{sfn |Дербишир|2010|с=178—179. }}. Был ваҡытҡа тиклем, Фелкель һәм Георг Вега төҙөгән ябай һандар таблийаһына нигеҙләнеп, Адриен Мари Лежандр (1796 йылда) [[ябай һандарҙың таралыу функцияһы]] <math>\pi(x)</math> (''x''-тан ҙур булмаған ябай һандар һаны) :
: <math>\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)-B}</math> аңлатмаһы менән яҡынайыуы мөмкин, тип фаразлайЮ
бында <math>B \approx 1{,}08366.</math> Гаусс телгә алынған хатында Лежандр формулаһын тәнҡитләй һәм, эвристик фекерләү ҡулланып, икенсе яҡынса функцияны — [[интеграль логарифм]]ды тәҡдим итә:
: <math>\mathrm{Li}(x)=\int_2^x \frac{1}{\ln x} \, dx</math>
Ләкин Гаусс был гипотезаһын бер ерҙә лә баҫтырып сығармай. Ике яҡынлау ҙа, Лежандрҙың да, шулай уҡ Гаустың да, <math>\pi(x)</math> һәм <math>x / \ln(x)</math> функцияларының, юғарыла күрһәтелгән, бер үк күҙалланған асимптотик эквивалентлығына килтерә, шулай ҙа Гаусс яҡынлауы, әгәр хатаны баһалағанда функциялар сағыштырмаһы урынына уларҙың айырмаһын ҡарағанда, яҡшыраҡ булып сыға.

[[Чебышёв, Пафнутий Львович|Чебышёв]] үҙенең ике хеҙмәтендә, [[1848]] һәм [[1850 йыл]]дарҙа<ref>''Ахиезер Н. И.'' П. Л. Чебышёв и его научное наследие.</ref>,
: {{EF|:|<math>\frac{\pi(x)}{x/\ln x} \qquad</math> |ref=1 }} сағыштырмаһының [[өҫкө сикләнмә|өҫкө]] M һәм [[аҫҡы сикләнмә|аҫҡы]] m сикләнмәләре
<math>0{,}92129 \leqslant m \leqslant M \leqslant 1{,}10555</math> сиктәре эсендә, шулай уҡ, ''әгәр'' (1) сағыштырмаһының сикләнмәһе булһа, ул 1-гә тигеҙ тип иҫбатлай. <!-- Сказать ли, что он также показывает, что единственной точной до x/ln² x формулой может быть формула с1 ? --> Аҙағыраҡ (1881) [[Сильвестр, Джеймс Джозеф|Дж. Дж. Сильвестр]] сикләнмә өсөн рөхсәт ителгән интервалды 10 %-тан 4 %-ҡа тиклем тарайта.

[[1859 йыл]]да Бернхард Римандың, (Леонард Эйлер ысын аргумент функцияһы булараҡ индергән) [[Римандың дзета-функцияһы|'''ζ'''-функцияһын]] комплекслы өлкәлә ҡараусы, һәм уны ябай һандарҙың таралыуы менән бәйләүсе хеҙмәте барлыҡҡа килә. Был хеҙмәттең идеяһын үҫтереп, [[1896 йыл]]да Жак Адамар һәм де ла Валле Пуссен бер үк ваҡытта һәм бер-береһенә бәйһеҙ ябай һандарҙың таралыуы тураһында теореманы иҫбат итәләр.

Ахыр килеп, [[1949 йыл]]да комплекслы анализды ҡулланмаған Эрдеш—Сельберг иҫбатлауы барлыҡҡа килә.

== И5батлау барышы ==

=== Чебышёвтың пси-функцияһын терминдарын үҙгәртеп формулировкалау ===
Фекерләүҙең дөйөм башланғыс этабы булып ябай һандарҙың таралыу законын,
: <math>
\psi(x)=\sum_{p^k \le x} \log p,   \qquad \qquad (*)
</math> тип билдәләнгән Чебышёвтың пси-функцияһы терминдарында үҙгәртеп формулировкалау тора,
икенсе төрлө әйткәндә, Чебышёвтың пси-функцияһы ул [[Мангольдт функцияһы]] [[Арифметик функция|суммаһы]]:
: <math>
\psi(x)=\sum_{n\le x} \Lambda(n), \qquad
\Lambda(n)=
\begin{cases} 
\log p, & n=p^k, \, k\ge 1, \quad p \,\text{is a prime} \\
0, & \text{otherwise}.
\end{cases} 
</math>

Тап ошонан сығып ҡарағанда, ябай һандарҙың таралыуының асимптотик законы
{{рамка}}
: <math>
\psi(x)\sim x, \quad x\to \infty.
</math>
{{конец рамки}} тиң булып сыға.

Был шунан килеп сыға, логарифм <math>[1,n]</math> киҫегенең ҙур өлөшөндә «даими тиерлек», ә квадраттарҙың, кубтарҙың, һәм башҡаларҙың (*) суммаһына өлөшө иҫәпкә алмаҫлыҡ бәләкәй; шуға күрә бөтә ҡушылыусы логарифмдар <math>\ln p</math> яҡынса <math>\ln x</math>-ҡа тигеҙ, һәм <math>\psi(x)</math> функцияһы асимптотик үҙен <math>\pi(x) \cdot \ln x</math> функцияһы кеүек тота.

=== Классик фекерләүҙәр: Римандың дзета-функцияһына күсеү ===
[[Эйлер тождествоһы|Эйлерр тождествоһынан]] күренеүенсә,
: <math>
\zeta(s)=\prod_p \frac{1}{1-p^{-s}},
</math>
Мангольдт функцияһына ярашлы [[Дирихле рәте]] («сығарыусы функция»), дзета-функцияның минус логарифмик сығарылмаһына тигеҙ:
: <math>
\sum_n \Lambda(n) n^{-s} = - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}.
</math>

Бынан тыш, <math>a^s/s</math> функцияһынан 0-дән уңда урынлашҡан вертикаль тура һыҙыҡ буйлап интеграл <math>a>1</math> булғанда <math>2\pi i</math>-гә тигеҙ һәм <math>0<a<1</math> булғанда 0-гә тигеҙ. Шуға күрә, уң һәм һул яғын <math>\frac{1}{2\pi i} x^s/s</math>-ға ҡабатлағанда һәм (ыҡсым — үҙ булмаған интегралдар шартлы ғына йыйыла!) <math>ds</math> вертикаль тура һыҙығы буйынса интегрираллау һул яғында <math>n\leqslant x</math> менән теүәл <math>\Lambda(n)</math> суммаһын ҡалдыра. Икенсенән, [[вычет тураһында төп теорема|вычет тураһында теоремаларҙы]] ҡулланыу һул яғын вычеттар суммаһы күренешендә яҙырға мөмкинлек бирә; дзета-функцияның һәр нуленә 1-гә тигеҙ булған вычеты менән уның логарифмик сығарылмаһының беренсе тәртиптәге полюсы ярашлы, ә <math>s=1</math> нөктәһендә беренсе тәртиптәге полюсҡа — <math>(-1)</math>-гә тигеҙ булған вычеты менән беренсе тәртиптәге полюс ярашлы.

Был программаны ҡәтғи тормошҡа ашырыу<ref>{{Cite web |url=http://people.reed.edu/~jerry/361/lectures/rvm.pdf |title=Sketch of the Riemann--von Mangoldt explicit formula |access-date=2009-11-15 |archive-date=2010-07-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100707114227/http://people.reed.edu/~jerry/361/lectures/rvm.pdf |deadlink=no }}</ref> Римандың асыҡ формулаһын<ref>{{MathWorld|urlname=ExplicitFormula|title=Explicit Formula}}</ref> табырға мөмкинлек бирә:
: <math>
\psi(x) =x-\sum_{{\rho: \, \zeta(\rho)=0, \atop 0<\operatorname{Re}(\rho)<1}}\frac{x^\rho}{\rho} - \log(2\pi) -\frac{1}{2}\log(1-x^{-2}). \qquad \qquad (**)
</math>
Бында ҡушыу <math>\rho</math> дзета-функцияһының <math>0<\operatorname{Re}(s)<1</math> [[кризис һыҙат]]ында ятҡан нулдәре буйынса алып барыла, <math>-\log(2\pi)=-\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}</math> ҡушылыусыһы нулдә <math>\frac{x^s}{s}</math> полюсына, ә <math>-\log(1-x^{-2})/2</math> ҡушылыусыһы — дзета-функцияның «тривиаль» тип аталған <math>s=-2,-4,-6,\dots</math> нулдәренә яуап бирә.

Дзета-функцияның кризис һыҙатынан ситтә тривиаль булмаған нулдәренең булмауы эҙләнгән раҫлауға килтерә <math>\psi(x)\sim x</math> 
 
((**) формулаһында сумма <math>x</math>-ҡа ҡарағанда яйыраҡ үҫәсәк). Бынан тыш, [[Риман гипотезаһы]] <math>\psi(x)</math>-тың <math>x</math>-тан, һәм, ярашлы рәүештә, <math>\pi(x)</math>-тың <math>x/\ln x</math>-тан мөмкин булған тайпылыуҙарына «оптималь» баһа биреүгә килтерә.

=== Элементар иҫбатлау: Эрдеш-Сельбергтың тамамлауы ===
Логарифмлағандан һуң түбәндәге күренештә яҙылыусы [[арифметиканың төп теоремаһы]]
: <math>
\ln n = \sum_{p,k: \, p^k|n} \ln p
</math>
шул рәүешле [[арифметик функция|арифметик функциялар]] һәм [[Дирихле төргәге]] терминдарында түбәндәгесә  формулировкалана
: <math>
\ln = \Lambda * \mathbf{1},
</math>
бында <math>\ln</math> һәм <math>\mathbf{1}</math> — ярашлы рәүештә арифметик функциялар, аргумент  логарифмы һәм тождестволы берәмек.

[[Мёбиус функцияһы#Мёбиус әйләндереүе|Мёбиус әйләндереүҙәре]] формулаһы <math>\mathbf{1}</math>-ҙе уң яҡҡа күсерергә мөмкинлек бирә:
: <math>
\Lambda= {\ln} * \mu, \qquad \qquad (**)
</math>
бында <math>\mu</math> — Мёбиус  функцияһы.

(**) һул яғының [[Арифметик функция суммаһы|суммаһы]]  — эҙләнгән <math>\psi</math>  функцияһы. Уң яғында Дирихле  гиперболаһы  формулаһын ҡулланыу төргәк суммаһын <math>\sum\limits_k L\left(\frac{n}{k}\right) \mu(k)</math> суммаһына ҡайтарып ҡалдырырға  мөмкинлек бирә, бында <math>L</math> — логарифм суммаһы. [[Эйлер-Маклорен формулаһы|Эйлер-Маклорен формулаһын]] ҡулланыу <math>L(n)</math>-ды түбәндәгесә яҙырға мөмкинлек бирә
: <math>L(n)=n\ln n - n + \frac{1}{2} \ln n + \gamma + o(1),</math>
бында <math>\gamma</math> — [[Эйлер даимиһы]]. Ҡулайлы һайлап алынған ''F'' функцияһы өсөн (атап әйткәндә, <math>F(x)=x-\gamma-1</math>) был аңлатманан <math>\sum\limits_k F\left(\frac{n}{k}\right)</math> күренешендәге ҡушылыусыларҙы айырып алып, һәм ҡалдыҡты ''R'' аша тамғалап, Мёбиус  әйләндереүе арҡаһында табабыҙ
: <math>\Lambda = F + \sum\limits_k R\left(\frac{n}{k}\right) \mu(k).</math>
 
<math>F(x)\sim x</math> булғанлыҡтан, икенсе ҡушылыусы <math>o(x)</math> күренешендә булыуын тикшерергә ҡала. [[Аскер леммаһы|Аскер леммаһын]] ҡулланыу был мәсьәләне <math>M(x)=o(x)</math> раҫлауын тикшереүгә ҡайтарып ҡалдырырға мөмкинлек бирә, бында <math>M(x)=\sum\limits_{n\leqslant x} \mu(n)</math> — [[Мертенс функцияһы]], Мёбиус функцияһы суммаһы.

Аҫ эҙмә-эҙлелектә Мёбиус функцияһы суммаларының бәләкәйлеге <math>1/n</math>  функцияһына ҡулланылған әйләндереү формулаһынан килеп сыға.

Артабан, арифметик функциялар  алгебраһында  Мёбиус  функцияһы (мультипликатив операция-төргәк менән) беренсе тәртиптәге «дифференциаль тигеҙләмә»не ҡәнәғәтләндерә
: <math>\mu'=-\mu*\Lambda,</math>
бында <math>f'(n)=f(n)\cdot \ln n</math> — был алгебрала дифференциаллау (Дирихле рәттәренә күсеү уны ғәҙәттәге функцияны  дифференциаллауға әйләндерә). Шуға күрә ул икенсе тәртиптәге тигеҙләмәләрҙе лә ҡәнәғәтләндерә
: <math>\mu''= \mu*(\Lambda*\Lambda - \Lambda').</math>
Был тигеҙләмәне «урталаштырыу» һәм, <math>\Lambda_2=\Lambda*\Lambda+\Lambda</math> функцияһының суммаһы  асимптотикаһы <math>\Lambda</math> суммаларының асимптотикаһынан яҡшыраҡ баһаланыуы, <math>\frac{M(x)}{x}</math> сағыштырмаһын был сағыштырманың урта ҡиммәттәре аша баһаларға мөмкинлек бирә. Бындай баһа «аҫ эҙмә-эҙлелек буйынса бәләкәй» булыу менән бергә эҙләнгән <math>M(x)=o(x)</math>  баһаһын алырға мөмкинлек бирә.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Дзета-функция Римана]]
* [[Постулат Бертрана]]
<!-- * [[Теорема Тао об арифметических прогрессиях простых]] — наверное, всё же далековато… -->

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==

=== Классик хеҙмәттәр ===
* ''Jacques Hadamard''. [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1896__24_/BSMF_1896__24__199_1/BSMF_1896__24__199_1.pdf Sur la distribution des zéros de la fonction <math>\zeta(s)</math> et ses conséquences arithmétiques]. ''Bull. Soc. Math. France'', № 24 (1896), 199—220.
* ''Charles de la Vallée Poussin''. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. ''Ann. Soc. Sci. Bruxells'', 1897.
* ''Чебышёв П. Л.'' Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины, 1848.
* ''Чебышёв П. Л.'' О простых числах, 1850.
* {{Статья | автор=Bernhard Riemann. |заглавие=Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse | ссылка=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/ | год=1859 | издание=Monatsberichte der Berliner Akademie }}

=== Хәҙерге заман әҙәбиәте ===
* {{книга|автор=Дербишир, Джон.
  |заглавие=Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике 
  |издательство=Астрель |год=2010 |страниц=464 |isbn=978-5-271-25422-2 |ref=Дербишир }}
* ''Диамонд Г.'' [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=4716&option_lang=rus Элементарные методы в изучении распределения простых чисел], [[УМН]], 45:2(272) (1990), 79-114.
* ''Постников А. Г., Романов Н. П.'' [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=8019&option_lang=rus Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел], [[УМН]], 10:4(66) (1955), с. 75-87
* ''Erdős, P.'' Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
* ''Selberg, A.'' An Elementary Proof of the Prime Number Theorem, Ann. Math. 50, 305—313, 1949.

== Һылтанмалар ==
* {{MathWorld|urlname=PrimeNumberTheorem|title=Prime Number Theorem}}

{{Внешние ссылки}}
[[Категория:Һандар теорияһы]]
[[Категория:Логарифмдар]]
[[Категория:Ябай һандар тураһында теоремалар]]
[[Категория:Карл Фридрих Гаусс]]