Ҡабатлау битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{Ук}}
[[Файл:Aples.svg|мини|5 алманы 3-кә ҡабатлау 15 алманы бирә|317x317пкс]]
'''Ҡабатлау''' — төп бинар математик ғәмәлдәрҙең береһе. (Ике аргументтың ('''''ҡабатлашыусыларҙың'''''<ref group="К">Ҡайһы берҙә беренсе аргументты '''''ҡабатланыусы''''', ә икенсеһен '''''ҡабатлаусы''''' тип, шуның менән бергә ике аргументты ла '''''ҡабатлашыусы''''' тип  атайҙар.</ref>) арифметик ғәмәле, һөҙөмтәлә яңы һан ('''''ҡабатландыҡ''''') килеп сыға. Мәҫәлән, натураль һандар өсөн: <math>c=a \cdot b = \underbrace{ a+a+\cdots+a }_{b}= a_1 + a_2 + \ldots + a_b = {\displaystyle\sum_{i=1}^b a_i}</math>.

Дөйөм күренештә ошолай яҙырға мөмкин: <math>\Pi(a, b)=c</math>. Йәғни һәр <math>(a,b)</math> элементтар парына <math>a</math> һәм <math>b</math>-ның ҡабатландығы тип аталған <math>c=a \cdot b</math> элементы ярашлы ҡуйыла.

Яҙмала ғәҙәттә «<math>\cdot , \times , *</math>» — ҡабатлау тамғаларының береһе менән тамғалана, мәҫәлән: <math>a \cdot b=c.</math> Ҡабатлау рациональ һандар, ысын һандар, комплекслы һандар һәм башҡа математик, физик һәм абстракт дәүмәлдәр өсөн дә билдәләнергә мөмкин.

Ҡабатлау ғәмәленең бер нисә мөһим үҙсәнлеге бар:
: Коммутативлыҡ <math>a\cdot b=b\cdot a;</math>
: Ассоциативлыҡ: <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c);</math>
: Дистрибутивлыҡ: <math>x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\quad\forall a, b \in\ A;</math>
: Нулгә (нуль элементҡа) ҡабатлау нулгә тигеҙ булған һанды бирә: <math>x\cdot 0=0;</math>
: Бергә (нейтраль элементҡа) ҡабатлау бирелгән һанға тигеҙ булған һанды бирә: <math>x\cdot 1=x.</math>
Һүрәттә ҡабатлау ғәмәле аша алмаларҙы иҫәпләү күрһәтелгән, 5-шәр алманан өс төркөм, һөҙөмтәлә 15 алма килеп сыға: <math>5 \cdot 3= 15.</math>

Ысын һандар күмәклегендә ҡабатлау функцияһының ҡиммәттәр күмәклеге графикта координаталар башы аша үткән һәм ике яҡтан парабола рәүешендә бөгөлгән йөҙ күренешендә.

== Яҙыу формалары һәм терминология ==
Ҡабатлау аргументтар араһында «<math>\cdot , \times , *</math>» ҡабатлау тамғаларын ҡулланып яҙыла, яҙыуҙың был формаһы инфикслы нотация тип атала. Был контекста ҡабатлау тамғаһы бинар {{comment|оператор|Оператор (математика)}} була. Ҡабатлау тамғаһының, «плюс» тип аталған ҡушыу тамғаһы кеүек махсус исеме юҡ.

: Ҡулланылған символдарҙың иң боронғоһо — диагональ крестик (×). Беренсе тапҡыр уны 1631 йылда Уильям Отред үҙенең «Clavis Mathematicae» исемле хеҙмәтендә ҡуллана.
: Немец математигы Готфрид Вильгельм Лейбниц өҫкәрәк күтәрелгән нөктә тамғаһын (∙) хуп күргән. Был символды ул яҙыуҙа 1698 йылда ҡуллана.
: Йоханн Ран ҡабатлау тамғаһы сифатында йондоҙсоҡ тамғаһын (∗) индерә, был тамға уның «Teutsche Algebra» китабында 1659 йылда ҡулланыла.

Рәсәйҙең математика дәреслектәрендә нигеҙҙә өҫкәрәк күтәрелгән нөктә тамғаһы (∙) ҡулланыла. Йондоҙсоҡ (∗) компьютер нотацияһында ҡулланыла. Һөҙөмтә тигеҙлек тамғаһы «<math>=</math>» ҡулланып яҙыла, мәҫәлән:
: <math>a \cdot b = c </math> ;
: <math>6 \cdot 3 = 18 </math> («алты ҡабатланған өскә тигеҙ була ун һигеҙ» йәки «өс алтың ун һигеҙ»).
Йыш ҡына математик аңлатмаларҙа ҡабатлау тамғаһы төшөрөп ҡалдырыла. Мәҫәлән, <math>y = 6 \cdot x + 3 \cdot z </math> урынына <math>y = 6x + 3z </math> тип яҙыла. Символды яңылыш аңлау (идентификациялау) булмаһын өсөн, аңлатманы иғтибар менән тикшерергә кәрәк.

== Үҙсәнлектәре ==

<math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> һандар күмәклектәрендә ҡабатлау ғәмәле түбәндәге үҙсәнлектәргә эйә:

* Ҡабатлау коммутатив — ҡабатлашыусыларҙың урынын алмаштырыуҙан ҡабатландыҡ үҙгәрмәй, шулай уҡ, ''ҡабатлауҙың урын алмаштырыу законы'' булараҡ билдәле:
: Коммутативлыҡ: <math>a \cdot b=b \cdot a;</math>
* Ҡабатлау ассоциатив — өс һәм унан күберәк һандарҙы ҡабатлағанда ғәмәлдәрҙе башҡарыу тәртибенең әһәмиәте юҡ, шулай уҡ ''ҡабатлауҙың төркөмләү законы'' булараҡ билдәле:
: Ассоциативлыҡ: <math>(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c);</math>
* Ҡабатлау дистрибутив, был — бер үк күмәклектә бирелгән ике бинар ғәмәлдең ярашыусанлығы, шулай уҡ ''таратыу законы'' булараҡ билдәле<ref>Так эти свойства называются в учебниках для младших классов</ref> .
: Дистрибутивлыҡ: <math>x\cdot (a+b)=(x \cdot a)+(x \cdot b),\quad\forall a, b \in\ A;</math>
* <math>A</math> күмәклегендә ҡабатлауға ҡарата берҙән-бер нейтраль элемент бар — [[1 (һан)|<math>1</math>]] («бер» [[һан]]ы), теләһә ниндәй һанды [[1 (һан)|<math>1</math>]]-гә (нейтраль элементҡа) ҡабатлау бирелгән һанға тигеҙ булған һанды бирә:
: Нейтраль элемент: <math>x \cdot 1=1 \cdot x=x, \quad\exists !1\in A;</math>
* <math>1</math>-гә ҡабатлау идемпотентлы — объектҡа ғәмәлде ҡабат ҡулланыу, бер тапҡыр ҡулланғандағы кеүек, шул уҡ һөҙөмтәне бирә:
: Идемпотентлыҡ: <math>x = x \cdot 1 = (x \cdot 1) \cdot 1 = ((x \cdot 1) \cdot 1) \cdot ... \cdot 1,\quad\forall x\in A, \quad\exists !1 \in A;</math>
* <math>0</math>-гә (нуль элементҡа) ҡабатлау <math>0</math>-де (нуль) бирә:
: нуль элемент: <math>x \cdot 0=0 \cdot x=0, \quad\exists !0\in A.</math>

<math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math> күмәклектәрендә бирелгән һандарҙы ҡабатлау шул уҡ күмәклеккә ингән һанды (ҡабатландыҡ) бирә, тимәк ҡабатлау ғәмәле йомоҡ ғәмәлдәргә инә (һөҙөмтәне был һандар күмәклегенән сығармаған ғәмәлдәргә), йәғни <math>\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math> һандар күмәклектәре ҡабатлау ғәмәленә ҡарата {{comment|ҡулса|кольцо (алгебра)}} төҙөй.

Дөйөм алгебра телендә юғарыла һанап кителгән ҡабатлау үҙсәнлектәр <math>\mathbb{Z}_{-0}, \mathbb{Q}_{-0}, \mathbb{R}_{-0}</math> ҡабатлау ғәмәленә ҡарата {{comment|абелев төркөмдәр|Абелева группа}} булыуы тураһында һөйләй.

Математик аңлатмаларҙа ҡабатлау ғәмәле ҡушыу һәм алыу ғәмәлдәренә ҡарата юғарыраҡ өҫтөнлөккә эйә, йәғни уларҙан алдараҡ башҡарыла.

== Ҡабатлау ғәмәлен башҡарыу ==
Ҡабатлау ғәмәлен ингән урында ҡабатланыусы һәм ҡабатлаусы һәм бер сыҡҡан урыны — ҡабатландыҡ булған ниндәйҙер «ҡара йәшник» итеп күҙ алдына килтерергә мөмкин:

[[Файл:Чёрный ящик.jpg|none|thumb]]

Ике һанды ҡабатлау ғәмәлен практик башҡарғанда уны ябайыраҡ ғәмәлдәр эҙмә-эҙлелегенә ҡайтарып ҡалдырырға кәрә: «ябай ҡабатлау», ҡушыу, сағыштырыу һ.б. Бының өсөн төрлө ҡабатлау ысулдары эшләнгән, мәҫәлән һандар, кәсерҙәр, векторҙар һ.б.. Натураль һандар күмәклегендә хәҙерге ваҡытта разрядлап ҡабатлау алгоритмы ҡулланыла. Шуның менән бергә ҡабатлауҙы {{comment|процедура|Математическая процедура}} итеп ҡарарға кәрәк (ғәмәлдән айырмалы рәүештә).

<div class="NavFrame collapsed">
  <div class="NavHead">Ике һанды разрядлап ҡабатлау процедураһының өлгө алгоритмы</div>
  <div class="NavContent">[[Файл:Алгоритм умножения.svg|без|мини|1174x1174пкс]]</div>
</div>
 
Күренеүенсә, процедура ҡатмарлы ғына, сағыштырмаса күп һандағы аҙымдарҙан тора һәм ҙур һандарҙы ҡабатлау оҙаҡ ваҡыт алырға мөмкин.
[[Файл:Диаграмма12.svg|мини|319x319пкс|Һандар тура һыҙығында 3 * 3 = 9 ҡабатлауҙы аҙымлап башҡарыу миҫалы.]]
«Ябай ҡабатлау» — был контекста бер үк разрядлы һандарҙы ҡабатлау ғәмәлен аңлата, ул еңел генә ҡушыу ғәмәленә ҡайтарып ҡалдырылырға мөмкин. Ҡушыу ғәмәленең [[гипероператор]]ы булып тора:

<math>a \cdot b = \operatorname{hyper2} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 2, b) = a ^ {(2)} b.</math>

<math> a {^{(2)}} b = a \cdot b = \underbrace{a + a + \dots + a}_{b}.</math>

бында: <math>a + a + \dots + a</math> — <math>b</math> элементты эҙмә-эҙлекле ҡушыу.

Ҡабатлау процессын ябайлаштырыу һәм тиҙләтеү өсөн «ябай ҡабатлауҙың» таблица ысулын ҡулланалар, бының өсөн для этого заранее вычисляют все комбинации произведений чисел от 0-дән 9-ға тиклемге һандарҙың бөтә ҡабатландыҡтар комбинацияларын алдан иҫәпләйҙәр һәм был {{comment|таблицанан|Таблица умножения}} әҙер һөҙөмтәне алалар{{sfn|Истомина|2005|с=165}}:

<div class="NavFrame collapsed">
  <div class="NavHead">унарлы иҫәпләү системаһында ҡабатлау өсөн таблица</div>
  <div class="NavContent">
{| class="wikitable standard" style="text-align:center" width="75%"
|-
!*||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9
|-
!0
|0||0||0||0||0||0||0||0||0||0
|-
!1
|0||1||2||3||4||5||6||7||8||9
|-
!2
|0||2||4||6||8||10||12||14||16||18
|-
!3
|0||3||6||9||12||15||18||21||24||27
|-
!4
|0||4||8||12||16||20||24||28||32||36
|-
!5
|0||5||10||15||20||25||30||35||40||45
|-
!6
|0||6||12||18||24||30||36||42||48||54
|-
!7
|0||7||14||21||28||35||42||49||56||63
|-
!8
|0||8||16||24||32||40||48||56||64||72
|-
!9
|0||9||18||27||36||45||54||63||72||81
|-
|}
  </div>
</div>

Был процедура натураль һәм бөтөн һандарҙы (тамғаһын иҫәпкә алып) ҡабатлауға ҡулланыла. Башҡа һандар өсөн ҡатмарлыраҡ алгоритмдар ҡулланыла.

== Һандарҙы ҡабатлау ==

=== Натураль һандар ===

Натураль һандарҙың сикле күмәклектәрҙең эквивалентлылыҡ класы булараҡ билдәләмәһен файҙаланабыҙ <math>\mathbb{N}</math>. [[Биекция]]лар барлыҡҡа килтергән <math>C, A, B</math> сикле күмәклектәренең эквивалентлылыҡ кластарын йәйәләр ярҙамында тамғалайбыҙ: <math>[C], [A], [B]</math>. Ул саҡта «ҡабатлау» арифметик ғәмәле түбәндәгесә билдәләнә:
<center><math>[C]=[A] \cdot [B] = [A \times B];</math></center>
бында: <math>A \times B=\{(a,b) \mid a \in A , b \in B \}</math> күмәклектәрҙе тура ҡабатлау — <math>C</math> — элементтары булып бөтә мөмкин булған <math>a \in A , b \in B</math> өсөн <math>(a,b)</math> тәртипкә һалынған парҙар торған күмәклек. Был ғәмәл кластарҙа корректлы индерелгән, йәғни кластарҙың элементтарын һайлап алыуға бәйле түгел, һәм индуктив билдәләмә менән тап килә.

<math> A </math> сикле күмәклеген <math> N_a </math> киҫегенә сағылдырыуҙы <math> A: \quad A \sim N_a </math> күмәклегенең элементтарын нумерлау тип аңлап була. Был нумерлау процессын «ИҪӘП» тип атайҙар. Шулай итеп, «иҫәп» — ул натураль һандар рәте күмәклеге һәм киҫеге элементтары араһында үҙ-ара бер мәғәнәле ярашлылыҡ урынлаштырыу ул.

Һандарҙы тамғалауҙың позицион систмаһында натураль һандарҙы ҡабатлау өсөн разрядтар буйынса ҡабатлау алгоритмы ҡулланыла. Әгәр ике шундай <math>a</math> һәм <math>b</math> натураль һандары бирелһә:
<center><math>a=a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0, \quad b=b_{n-1} b_{n-2}\dots b_0, \quad \forall a_{k},b_{k} \in \{P \}, \quad \forall a_{n-1}, b_{n-1} \ne 0, \quad\exists 0\in \N;</math></center>
бында <math> a_{0 \dots n-1}=a_k P^k, \quad b_{0 \dots n-1}=b_k P^k </math>; <math>n</math> — <math>n \in \{1, 2, \dots ,n \}</math> һанының цифрҙары һаны; <math>k</math> — разрядтың (позицияның) тәртип номеры, <math>k \in \{0, 1, \dots ,n-1 \}</math>; <math>P</math> — иҫәпләү системаһының нигеҙе; <math> \{P \}</math> конкрет иҫәпләү системаһының һан тамғалары (цифрҙары) күмәклеге: <math>\{P_2 \}= \{0,1 \}</math>, <math>\{P_{10} \}= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}</math>, <math>\{P_{16} \}= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F \}</math>; ул саҡта:
<center><math>c=a \sdot b; \quad c_{n-1} c_{n-2}\dots c_0=a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0 \sdot b_{n-1} b_{n-2}\dots b_0;</math></center>
разрядтар буйынса ҡабатлап, <math>n</math> аралағы һөҙөмтәләрҙе табабыҙ:

* <math>t_{n-1,~0} = mod(a_{n-1} \cdot b_0 + r_{n-1},P), \quad r_{n}=div(a_{n-1} \cdot b_0 + r_{n-1},P)~,~~ t_0 \sdot~ P^k;</math>
* <math>t_{n-1,~1} = mod(a_{n-1} \cdot b_1 + r_{n-1},P), \quad r_{n}=div(a_{n-1} \cdot b_1 + r_{n-1},P)~,~~ t_1 \sdot~ P^k;</math>
* <math>... \qquad \qquad... \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad... \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad...</math>
* <math>t_{n-1,~k} = mod(a_{n-1} \cdot b_{k} + r_{n-1},P), \quad r_{n}=div(a_{n-1} \cdot b_{k} + r_{n-1},P)~,~~ t_{k} \sdot~ P^k;</math>

бында: r — күсереү ҡиммәте, mod() — бүлгәндән ҡалдыҡты табыу функцияһы, div() — тулы булмаған бүлендекте табыу функцияһы.

Шунан табылған <math>n</math> аралағы һөҙөмтәләрҙе ҡушабыҙ: <math>c=t_0+t_1+...+t_{k}.</math>

Шулай итеп ҡабатлау ғәмәле <math>a_{k}\sdot b_{k}</math> бер разрядлы һандарҙы, кәрәк булғанда күсереүҙе эшләп, эҙмә-эҙ ябай ҡабатлау процедураһына ҡайтып ҡала, ул таблица методы йәки эҙмә-эҙ ҡушыу юлы менән башҡарыла. Һәм артабан ҡушыуға.

Теләһә ниндәй позицион иҫәпләү системаһында һандар өҫтөндә арифметик ғәмәлдәр шул уҡ унарлы системалағы ҡағиҙәләр буйынса башҡарыла, сөнки улар бөтәһе лә ярашлы күпбыуындар өҫтөндә ғәмәлдәр башҡарыу ҡағиҙәләренә нигеҙләнгән. Шуның менән бергә бирелгән <math>P</math> иҫәпләү системаһы нигеҙенә ярашлы ҡабатлау таблицаһын файҙаланырға кәрәк.

Икеле, унарлы һәм ун алтылы иҫәпләү системаларында ҡабатлау миҫалы, уңайлы булһын өсөн һандар бер-береһенең аҫтына разрядтарына ярашлы яҙылған, күсеү өҫтән яҙыла:

<center><math>\begin{array}{ccccccccccc}
& & & & & & & & &  \\
& & & &1&1&0&1&1&0 \\
& & &*& & &1&1&0&1 \\
\hline
& & & &1&1&0&1&1&0 \\
& & &0&0&0&0&0&0&{\color{Gray}0} \\
& &1&1&0&1&1&0&{\color{Gray}0} &{\color{Gray}0} \\
+&1&1&0&1&1&0&{\color{Gray}0} &{\color{Gray}0} &{\color{Gray}0} \\
\hline
1&0&1&0&1&1&1&1&1&0
\end{array}; \quad \quad
\begin{array}{cccccccccc}
& & & &_2&_2&_3&_3& \\
& & & &_1&_2&_2&_2& \\
& & & &8&4&5&6&7 \\
& & &*& & &5&4&1 \\
\hline
& & &0&8&4&5&6&7 \\
& &3&3&8&2&6&8&{\color{Gray}0} \\
+&4&2&2&8&3&5&{\color{Gray}0}&{\color{Gray}0} \\
\hline
&4&5&7&5&0&7&4&7
\end{array}; \quad \quad

\begin{array}{ccccccccc}
&&&&_8&_8&_2 \\
&&&&_D&_D&_3 \\
&&&&6&D&E&4 \\
&&&{*}&&A&1&F \\
\hline
&&&6&7&0&5&C \\
&&0&6&D&E&4&{\color{Gray}0} \\
+&4&4&A&E&8&{\color{Gray}0}&{\color{Gray}0} \\
\hline
&4&5&8&3&6&9&C
\end{array}~~.</math></center>

=== Бөтөн һандар ===
Бөтөн һандар күмәклеге — натураль һандар күмәклеген <math>\mathbb{N}</math> <math>-n</math> күренешендәге тиҫкәре һандарҙы өҫтәп табылған киңәйеүе {{sfn|Выгодский|2003|стр.=116-117}}. Бөтөн һандар күмәклеге <math>\mathbb{Z}.</math> тип тамғалана. Бөтөн һандар өҫтөндә арифметик ғәмәлдәр натураль һандар өҫтөндәге ярашлы ғәмәлдәрҙең өҙлөкһөҙ дауамы һымаҡ билдәләнә.
[[Файл:Диаграмма4.svg|мини|252x252px|Һанлы тура һыҙыҡта ыңғай һәм тиҫкәре һан.]]
Натураль һандарҙан айырмаһы шунда, һанлы тура һыҙыҡта тиҫкәре һандар ҡапма-ҡаршы яҡҡа йүнәлгән, был ҡабатлау процедураһын бер аҙ үҙгәртә. Һандарҙың үҙ-ара йүнәлешен иҫәпкә алырға кәрәк, бында бер нисә осраҡ булырға мөмкин:
* Әгәр ике аргумент та ыңғай булһа, ул саҡта: <math>c = a \sdot b;</math>
* Әгәр аргументтарҙың береһе тиҫкәре булһа, ул саҡта: <math>c= -a \sdot b = -(a \sdot b),</math> йәки <math>c= a \sdot (-b) = -(a \sdot b);</math>
* Әгәр ике аргумент та тиҫкәре булһа, ул саҡта: <math>c = (-a) \sdot (-b) = a \sdot b.</math>

Бында һәм артабан шулай уҡ разрядтар буйынса ҡабатлау алгоритмы ҡулланыла. Мәҫәлән, <math>-6 \sdot 4=-24</math> аңлатмаһын ҡарайыҡ; <math>-6</math> һәм <math>4</math> һандарының тамғаһы төрлө булғанлыҡтан, минус тамғаһын йәйә тышына сығарабыҙ: <math>-6 \sdot 4=-(6 \sdot 4)</math>, артабан иҫәпләп яуапты табабыҙ: <math>-24</math>.

=== Рациональ һандар ===
Рациональ һандар күмәклеге <math>\mathbb{Q}</math> менән тамғалана ({{lang-en|quotient}} «бүлендек» һүҙенән) һәм ошо күренештә яҙылырға мөмкин:
: <math>\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}.</math>

<math>\pm \frac{m}{n}</math> ғәҙәттәге (йәки ябай) кәсерҙәр күренешендәге рациональ һандарҙы ҡабатлау өсөн, кәсерҙең числителдәрен һәм знаменателдәрен бер-береһенә ҡабатларға кәрәк.

Әгәр ике шундай <math>a</math> һәм <math>b</math> рациональ һандары бирелһә, бында: <math>a=\frac{m_a}{n_a}, b=\frac{m_b}{n_b} \quad\forall m_a, n_a, m_b, n_b \in \mathbb{N} \quad\forall {n_a},{n_b} \ne 0 </math> (кәсерҙәр ҡыҫҡармай торған), ул саҡта {{sfn|Гусев|1988|с=20}}:
: <math> c=a \cdot b = \frac{m_a}{n_a} \cdot \frac{m_b}{n_b} = \frac{m_a \cdot m_b}{n_a \cdot n_b}.</math>

Ҡабатлауға миҫал:
: <math> \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15}; \quad \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{6} = \frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 6} = \frac{12}{42} = \frac{6}{21}.</math>
Рациональ һандар өҫтөндә «ҡабатлау» арифметик ғәмәле йомоҡ ғәмәлдәргә инә.

=== Ысын һандар ===

Сикһеҙ унарлы кәсер рәүешендә күрһәтелгән ысын һандар өҫтөндә арифметик ғәмәлдәр рациональ һандар өҫтөндәге ярашлы ғәмәлдәрҙең ''өҙлөкһөҙ дауамы'' һымаҡ билдәләнә<ref>Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида <math>\{x: \alpha < x < \beta\}</math></ref>.

Әгәр ярашлы рәүештә рациональ һандарҙың Коши шартын ҡәнәғәтләндереүсе фундаменталь эҙмә-эҙлектәре менән билдәләнгән, сикһеҙ унарлы кәсер рәүешендә күрһәтелгән, <math>\alpha = [a_n]</math> һәм <math>\beta = [b_n]</math> тип тамғаланған ике ысын һан бирелһә:
: <math> \alpha = \pm a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots = \{a_n\},</math>
: <math> \beta = \pm b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots = \{b_n\},</math>,
ул саҡта уларҙың ҡабатландығы тип <math>\{a_n\}</math> һәм <math>\{b_n\}</math> эҙмә-эҙлектәренең ҡабатландығы менән билдәләнгән <math>\gamma = [c_n]</math> һаны атала:
: <math>\gamma = \alpha \cdot \beta \overset{\text{def}}{=} [a_n] \cdot [b_n] = [a_n \times b_n];</math>
ысын һан <math>\gamma = \alpha \cdot \beta</math>, түбәндәге шартты ҡәнәғәтләндерә:
: <math>
\forall a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q}; ~~~~ (a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \land (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow (a' \cdot b' \leqslant \alpha \times \beta \leqslant a'' \cdot b'') \Rightarrow (a' \cdot b' \leqslant \gamma \leqslant a'' \cdot b'').
</math>
Шулай итеп ике <math>\alpha</math> һәм <math>\beta</math> ысын һандарының ҡабатландығы булып, бер яҡтан бөтә <math>a' \cdot b'</math> күренешендәге ҡабатландыҡтар һәм икенсе яҡтан бөтә <math>a'' \cdot b''</math> күренешендәге ҡабатландыҡтар араһында тороусы <math>\gamma</math> ысын һаны тора {{sfn|Ильин|1985|с=46|quote=}}.

Практикала, ике <math>\alpha</math> һәм <math>\beta</math> һандарын ҡабатлау өсөн, уларҙы талап ителгән аныҡлыҡ менән алынған яҡыса рациональ һандар <math>a</math> һәм <math>b</math> менән алмаштырырға кәрәк. Һандарҙың ҡабатландығының яҡынса ҡиммәте <math>\alpha \cdot \beta</math> итеп күрһәтелгән рациональ һандарҙың ҡабатландығы алына <math>a \cdot b</math>. Шуның менән бергә, алынған рациональ һандар <math>\alpha</math> һәм <math>\beta</math> һандарына ҡайһы яҡтан (кәме менән йәки артығы менән) яҡынайыуы мөһим түгел. Ҡабатлау разряды буйынса ҡабатлау алгоритмы буйынса башҡарыла.

Яҡынса һандар ҡабатландығының абсолют хатаһы: <math>\Delta (a \cdot b)=|b| \cdot \Delta a+ |a| \cdot \Delta b + \Delta a \cdot \Delta b \approx |b| \cdot \Delta a+ |a| \cdot \Delta b</math>, һандың абсолют хатаһы был һандың һуңғы тамғаһының яртыһына тигеҙ итеп алына. Ҡабатландыҡтың сағыштырма хатаһы аргументтарҙың сағыштырма хаталары суммаһына тигеҙ: <math>\delta (a \cdot b)=\delta a+\delta b</math>. Табылған һөҙөмтәне беренсе дөрөҫ мәғәнәле цифрға тиклем түңәрәкләйҙәр, яҡынса һандың мәғәнәле цифры, әгәр һандың абсолют хатаһы был цифрға ярашлы разряд берәмегенең яртыһынан артмаһа, дөрөҫ цифр була.

Өтөрҙән һуң өсөнсө тамғаға тиклем аныҡлыҡ менән ҡабатлауға <math>\gamma=\pi \cdot e</math> миҫал:
* Бирелгән һандарҙы өтөрҙән һуң 4-се тамғаға тиклем түңәрәкләйбеҙ (иҫәпләү аныҡлығын арттырыу өсөн);
* Табабыҙ: <math>\pi\approx 3.1416,\ e \approx 2.7183</math>;
* Разрядтары буйынса ҡабатлайбыҙ: <math>\gamma = \pi \cdot e \approx  3.1416 \cdot 2.7183 \approx 8.5398</math>;
* Өтөрҙән һуң 3-сө тамғаға тиклем түңәрәкләйбеҙ: <math>\gamma\approx 8.540</math>.

=== График ===
Ысын һандар <math>\mathbb{R}</math> күмәклегендә ҡабатлау функцияһының ҡиммәттәре өлкәһе графикта координаталар башы аша үтеүсе һәм ике яҡтан өҫкә һәм аҫҡа парабола рәүешендә бөгөлгән йөҙ рәүешендә.
[[Файл:Add11.jpg|центр|мини|284x284пкс|f(c)=a*b функцияһының графигы]]
<math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math> булғанлыҡтан, ҡабатлау функцияһының ҡиммәттәре өлкәһе был күмәклектәр өсөн дә ошо яҫылыҡта ятасаҡ.

=== Комплекслы һандар ===
[[Файл:Диаграмма14.svg|мини|238x238px|Комплекслы һан]]
Комплекслы һандар күмәклеге арифметик ғәмәлдәр менән ялан булып тора һәм ғәҙәттә <math>\mathbb{C}</math> символы менән тамғалана.

Алгебраик күренештә яҙылған ике комплекслы һандың ҡабатландығы тип түбәндәге комплекслы һан атала:
: <math>c+fi=(a+di) \cdot (b+ei) = (a \cdot b - d \cdot e)+(a \cdot e + b \cdot d)i, </math>
бында: <math>c, a, b, d, e, f \in \R</math>, <math>i</math> — уйланма берәмек.

Тригонометрик күренештә яҙылған ике комплекслы һанды ҡабатлау өсөн, уларҙың модулдәрен ҡабатларға, ә аргументтарҙы ҡушырға кәрәк:

<math>c=a \cdot b=r_1 (Cos \varphi _1+ iSin \varphi _1) ~\cdot~ r_2 (Cos \varphi _2+ iSin\varphi _2) =r_1 \cdot r_2 (Cos (\varphi _1+\varphi _2)+ iSin(\varphi _1+\varphi _2)),</math>
[[Файл:Диаграмма15.svg|мини|236x236пкс|Комплекслы яҫылыҡта комплекслы һандарҙы ҡабатлау.]]
бында: <math>r=|z|=|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2};~~~\varphi = Arg(z)=arctg \biggl( \frac{b}{a} \biggr),</math> комплекслы һандың модуле һәм аргументы.

Күрһәтмә күренештәге <math>a = r_1 e^ {i\varphi _1}</math> комплекслы һанын <math>b = r_2 e^ {i\varphi _2}</math> комплекслы һанына ҡабатлау, <math>a</math> һанына ярашлы  вектоҙы <math>Arg(b)</math> мөйөшөнә бороуға һәм уның оҙонлоғон <math>|b|</math> тапҡыр үҙгәртеүгә ҡайтып ҡала. Күрһәтмә күренештәге комплекслы һандарҙың ҡабатландығы өсөн түбәндәге тигеҙлек дөрөҫ:

<math>c=re^ {i\varphi}=a \cdot b = r_1 e^ {i\varphi _1} \cdot r_2 e^ {i\varphi _2}= r_1\cdot r_2\cdot e^ {i(\varphi _1+\varphi _2)},</math>

бында: <math>e=2,718281828...</math> — e һаны.

=== Экспоненциаль яҙыу ===

Экспоненциаль яҙыуҙа һандар <math>a= \pm x \cdot P^{ \pm n}</math> күренешендә яҙылалар, бында <math>x</math> — һандың мантиссаһы, <math>P^{n}</math> — характеристикаһы, <math>P</math> — иҫәпләү системаһының нигеҙе, <math>n \in \Z</math>. Экспоненциаль күренештә яҙылған ике һанды ҡабатлау өсөн уларҙың мантиссаларын һәм характеристикаларын ҡабатларға кәрәк: <math> (a \cdot P^{n}) \cdot (b \cdot P^{k}) = (a \cdot b) \cdot P^{n} \cdot P^{k}= ab \cdot P^{n+k}.</math>

Мәҫәлән:
: <math>2,34 \cdot 10^{-5} \cdot~ 5,67 \cdot 10^{6} = 2,34 \cdot~ 5,67 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{6} \approx 13,27 \cdot 10^{(-5+6)} \approx 13,27 \cdot 10^{1} \approx 1,33 \cdot 10^{2}.</math>

=== Ирекле һандарҙы ҡабатлау ===

Төрлө күмәклектәргә ингән һандарҙы ҡабатлағанда ҡабатлаусы һәм ҡабатланыусы бик үк тиң хоҡуҡлы булмағанын иҫәпкә алырға кәрәк: мәҫәлән <math>1,5 (\in\Q)\cdot 5 (\in\N)=7,5 (\in\Q)</math> — рациональ һан биш тапҡыр алына, бөтәһе лә яҡшы. Был осраҡта һандың төрөн үҙгәртеүҙе башҡарырға кәрәк (әгәр конкрет мәсьәләлә бындай мөмкинлек булһа). Бының өсөн бәләкәйерәк ҡеүәтле күмәклектән алынған һан ҙурыраҡ ҡеүәтле күмәклектән алынған һан яғына киңәйтелә. Йәғни натураль һандар рациональ һандарҙың аҫкүмәклеге булыуы мнән файҙаланып, расширяем <math>5</math> натураль һанын рациональ һанға тиклем киңәйтәбеҙ <math>5,0</math> һәм ике рациональ һанды ҡабатлайбыҙ: <math>5,0 (\in\Q) \cdot 1,5 (\in\Q)= 7,5 (\in\Q)</math>. Ошоға оҡшаш рәүештә, <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{H}</math> булыуынан файҙаланып, төрлө күмәклектән булған һандарҙы бер береһенә ҡабатларға мөмкин.

== Физик дәүмәлдәрҙе ҡабатлау ==
Физик дәүмәлдәрҙең үлсәү берәмектәренең билдәле атамалары бар: (L) оҙонлоҡ өсөн — [[метр]] (м), (T) ваҡыт өсөн — [[секунд]] (с), (M) масса өсөн — [[грамм]] (г) һ.б. Шуға күрә теге йәки был дәүмәлдәрҙең ҡабатландығы ябай ғына һан түгел, ә исемле һан<ref>{{Cite web|url=http://brestschool7.iatp.by/volinsky_1.htm|title=Интегрированный урок по физике и математике, Измерение физических величин и их единицы, СШ 7 г. Бреста|author=Волинская Н. И.|publisher=brestschool7.iatp.by|accessdate=2016-04-18}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160807101705/http://brestschool7.iatp.by/volinsky_1.htm |date=2016-08-07 }}</ref>. Исем, ҡабатлау операцияһында тиң хоҡуҡлы ҡатнашыусы, үҙаллы объект. Физик дәүмәлдәр өҫтөндә ҡабатлау ғәмәлен башҡарғанда, һан өлөштәре кеүек уларҙың исемдәре лә ҡабатлана.
Үлсәмле физик дәүмәлдәрҙән тыш үлсәмһеҙ (миҡдарлы) дәүмәлдәр ҙә бар, улар формаль рәүештә һанлы күсәрҙең элементтары булып торалар, йәғни билдәле бер физик күренештәргә бәйләнмәгән һандар («штуктарҙа», «тапҡырҙарҙа» һ.б. үлсәнәләр). При умножении чисел представляющих собой Физик дәүмәлде күрһәтеүсе һандарҙы үлсәмһеҙ дәүмәлгә ҡабатлағанда, ҡабатланыусы һан дәүмәле буйынса ҡабатлаусы тапҡыр арта һәм үлсәү берәмеген һаҡлай. Мәҫәлән, әгәр 5-метрлыҡ рейкаларҙы 3 штук миҡдарында алһаҡ, ҡабатлау һөҙөмтәһендә рейкаларҙың дөйөм оҙонлоғо 15 метр булыуын табабыҙ:

: 5 м · 3 = 15 м.

Төрлө төрҙәге физик дәүмәлдәрҙе ҡабатлауҙы, беҙ ҡабатлаған дәүмәлдәрҙән принципиаль рәүештә айырылып торған, яңы физик дәүмәлдәрҙе табыу тип ҡарарға кәрәк. Әгәр ундай ҡабатландыҡты булдырыу физик мөмкин булһа, мәҫәлән, эште, [[тиҙлек]]те йәки башҡа дәүмәлдәрҙе тапҡанда, был дәүмәл баштағы дәүмәлдәрҙән айырмалы күмәклек төҙөй. Был осраҡта дәүмәлдәрҙең композицияһына яңы тамғалау бирелә (яңы термин), мәҫәлән: [[тығыҙлыҡ]], [[тиҙләнеш]], [[ҡеүәт]] һәм башҡалар<ref>{{Cite web|url=http://lithology.ru/node/943|title=О «размерности» физических величин|author=Макаров Владимир Петрович|publisher=lithology.ru, Литология.РФ|accessdate=2016-04-18}}</ref>.

Мәҫәлән, әгәр бер физик процессҡа тап килгән ''V'' = 4 м/с тиҙлекте ''T'' = 2 с ваҡытҡа ҡабатлаһаҡ, ошо уҡ физик процессҡа тап килеүсе исемле һан (физик дәүмәл) килеп сыға, ул «оҙонлоҡ» тип атала һәм метрҙарҙа үлсәнә: ''L'' = 8 м.

: ''L'' = ''V'' · ''T'' = 4 м/с · 2 с = 8 (м/с) · с = 8 м.

Физик процесстарҙы математик саралар менән һүрәтләгәндә бер төрлөлөк төшөнсәһе бик мөһим роль уйнай, был мәҫәлән «1 кг он» һәм «1 кг баҡыр» ярашлы рәүештә төрлө {он} һәм {баҡыр} күмәклектәренә инеүен аңлата. Шулай уҡ бер төрлөлөк төшөнсәһе ҡабатланыусы дәүмәлдәрҙең бер физик процессҡа ҡарауын күҙ уңында тота.

== Шулай уҡ ҡара ==
* [[Сумма]]
* [[Ҡушыу]]
* [[Алыу]]
* [[Бүлеү]]
* [[Дәрәжәгә күтәреү]]
* [[Тамыр]]

== Комментарийҙар ==
 <references group="К"/>

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==
<!--
Хорошо бы добавить про историю определения умножения в учебниках, в том числе о неравноправии множителя и множимого в учебниках. Можно начать со следующего источника:
<ref>{{Книга|автор=Дм. Галанин|часть=Эволюциiя въ понятiи дѣйствія умноженія въ XVIII вѣкѣ въ Россіи|заглавие=Доклады, читанные на Всероссийском съезде преподавателей математики в Москве|ссылка=https://books.google.com/books?id=O0AoBwAAQBAJ&pg=PA117#|ответственный=|издание=|место=М.|издательство=|год=1915|страницы=117-124|страниц=322|isbn=9785445827450|isbn2=}}</ref>
напомнить Alexei Kopylov
-->
* {{книга
 |автор         = Ильин В.А. и др.
 |заглавие      = Математический анализ. Начальный курс.
 |оригинал      = 
 |год           = 1985
 |страниц       = 662
 |том           = 1
 |ссылка        = http://edu.alnam.ru/book_man_b.php?id=11
 |язык          = русский
 |тип           = книга
 |издательство  = МГУ
 |arxiv         = 
 |isbn          = 
 |ref           = Ильин
}}
* {{книга
 |автор         = Эндертон Г.
 |заглавие      = Элементы теории множеств
 |оригинал      = Elements of Set Theory
 |издательство  = Gulf Professional Publishing
 |год           = 1977
 |страниц       = 279
 |isbn          = 0-12-238440-7
 |ref           = Эндертон
}}
* {{книга
 |автор         = Барсуков А.Н.
 |заглавие      = Алгебра. Учебник для 6-8 классов.
 |оригинал      = 
 |год           = 1966
 |страниц       = 296
 |том           = 
 |ссылка        = http://edu.alnam.ru/book_b_alg.php?id=14
 |язык          = русский
 |тип           = книга
 |издательство  = Просвещение
 |arxiv         = 
 |isbn          = 
 |ref           = Барсуков
}}
* {{книга
 |автор         = Гусев В.А., Мордкович А.Г.
 |заглавие      = Математика. Справочные материалы, книга для учащихся.
 |оригинал      = 
 |год           = 1988
 |страниц       = 416
 |том           = 
 |ссылка        = http://edu.alnam.ru/book_dmath.php?id=12
 |язык          = русский
 |тип           = книга
 |издательство  = Просвещение
 |arxiv         = 
 |isbn          = 
 |ref           = Гусев
}}
* {{книга
 |автор         = Истомина Н.Б.
 |заглавие      = Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение.
 |оригинал      = 
 |год           = 2005
 |страниц       = 272
 |том           = 
 |ссылка        = http://www.minuspk.ru/resource/resource1422507032.pdf
 |язык          = русский
 |тип           = книга
 |издательство  = Ассоциация XXI век
 |arxiv         = 
 |isbn          = 5-89308-193-5
 |ref           = Истомина
}}
* {{книга
 |автор         = [[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]]
 |заглавие      = Справочник по элементарной математике
 |место         = М.
 |язык          = русский
 |издательство  = АСТ
 |тип           = книга
 |год           = 2003
 |isbn          = 5-17-009554-6
 |страниц       = 
 |ref           = Выгодский
}}
* {{статья
 |автор         = В.И. Игошин
 |заглавие      = КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА
 |оригинал      = 
 |год           = 2010
 |страниц       = 
 |том           = 
 |ссылка        = http://www.unn.ru/math/no/8/_nom8_002_igoshin.pdf
 |язык          = русский
 |тип           = статья
 |издательство  = Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
 |arxiv         = 
 |isbn          = 
 |ref           = Игошин
}}
* {{книга
 |автор         = Кононюк А.Е.
 |заглавие      = Обобщенная теория моделирования.
 |оригинал      = 
 |год           = 2012
 |страниц       = 548
 |том           = 2
 |ссылка        = http://ecat.diit.edu.ua:81/ft/GTM4.pdf
 |язык          = русский
 |тип           = книга
 |издательство  = Освіта України
 |arxiv         = 
 |isbn          = 978-966-7599-50-8
 |ref           = Кононюк
}}
* {{публикация|книга
 |часть ссылка     = http://www.artlebedev.ru/kovodstvo/97/
 |часть            = Тире, минус и дефис, или Черты русской типографики
 |заглавие         = [[Ководство]]
 |основной автор   = [[Лебедев, Артемий Андреевич|Артемий Лебедев]]
 |раздел           = § 97
 |год              = 15 января 2003 г
 |часть архив      = http://www.webcitation.org/61BGqwQ2N
 |часть архив дата = 2011-08-24
 |ref              = Лебедев
}}

== Һылтанмалар ==
* [http://www.bbc.com/russian/features-42640615 Умножение: по-японски, по-итальянски и методом майя]

[[Категория:Бинар операциялар]]
[[Категория:Элементар математика]]
[[Категория:Арифметик ғәмәлдәр]]
[[Категория:Математик операциялар]]