Ҡушыу битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{Яҡшы мәҡәлә}}
[[Файл:Addition01.svg|справа|мини|120px|Дәреслектәрҙә йыш ҡына ҡушыуҙа [[алма]]лар һәм 3 + 2 = 5 тигеҙләмәһе менән аңлаталар{{sfn|Эндертон|1977|p=138|quote=…выберите два набора ''K'' и ''L'' с мощностью ''K'' = 2 и мощностью ''L'' = 3. Наборы из пальцев удобны; в учебниках предпочитают использовать наборы из яблок.}}]]

'''Ҡушыу''' (“+” плюс символы менән тамғалана) —– арифметик ғәмәл. <math>a</math> һәм <math>b</math> һандарын ҡушыу һөҙөмтәһе булып <math>a</math> һәм <math>b</math> һандарының (ҡушылыусыларының) суммаһы тип аталған һәм <math>a+b</math>{{sfn|Математический энциклопедический словарь|1988|с=546}} тип тамғаланған һан тора.

Ҡушыу-алыу, ҡабатлау һәм бүлеү ғәмәлдәре менән бер рәттән арифметиканың дүрт иң ябай математик ғәмәлдәренең береһе. Ике натураль һанды ҡушыу һөҙөмтәһе был дәүмәлдәрҙең уртаҡ суммаһы була. Мәҫәлән, һүрәттәге өс һәм ике алманан торған комбинация йәғни «3 плюс 2 тигеҙ 5–кә».
Емеш-еләкте иҫәпләүҙән тыш ҡушыу ғәмәлен башҡа физик обьекттарҙың комбинацияһы аша күҙалларға мөмкин. Дөйөмләштереү һөҙөмтәһендә ҡушыу ғәмәлен бөтөн һандар, рациональ һандар, ыссын һандар һәм комплекс һандар кеүек абстракт дәүмәлдәр өсөн һәм вектор, матрица кеүек абстракт обьекттар өсөн билдәләргә мөмкин. Арифметикала шулай уҡ кәсер һәм тиҫкәре һандарҙы ҡушыу өсөн махсус ҡағиҙәләр эшләнгән. Алгебрала ҡушыу ғәмәле абстрактлы өйрәнелә.

Дөйөм күренештә ҡушыу ғәмәленошолай яҙалар: <math>S(a, b)=c</math>, бында где <math>a \in A</math> и <math>b \in A</math> <math>(a,b)</math> һәм . Йәғни A күмәклегенән алынған һәр элементтары парына a һәм b-ның суммаһы тип аталған элементы ярашлы ҡуйыла. Ҡушыу ғәмәлен ике аргумент та бер үк элементтар күмәклегенә ингән осраҡта (бер үк типта булғанда) ғына башҡарып була.

Ҡушыу ғәмәленең бер-нисә мөһим үҙсәнлеге бар. Мәҫәлән, '''A''' – ыссын һандар күмәклеге өсөн:
: Коммутативлыҡ:<math>a+b=b+a,\quad\forall a, b \in\ A</math>{{переход|#Коммутативность|link|Коммутативность}}
: Ассоциативлыҡ:<math>(a+b)+c=a+(b+c),\quad\forall a, b, c \in\ A</math>{{переход|#Ассоциативность|link|Ассоциативность}}
: Дистрибутивлыҡ: <math>x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\quad\forall a, b \in\ A.</math>
: Нулдең йотолоу үҙсәнлеге: [[0 (число)|<math>0</math>]] һанына ҡушҡанда бирелгән һанға тигеҙ һан килеп сыға:<math>x+0=0+x=x,\quad\forall x\in A, \quad\exists 0\in A.</math>
 
Ҡушыу ғәмәле алыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәренә ҡағылған ҡағиҙәләргә лә буйһона. Ҡушыу – һандар менән иң ябай мәсьәләләрҙең береһе. Бик бәләкәй һандарҙы ҡушыу хатта балаларға ла аңлашыла. Иң ябай мәсьәлә: 1+1 биш айлыҡ бала, хатта ҡайһы бер хайуандар тарафынан да сиселергә мөмкин. Башланғыс мәктәптә унарлы иҫәпләү системаһында һанарға өйрәтәләр. Бәләкәй генә һандарҙы ҡушыуҙан башлап мәсьәлә ҡатмарлаша бара.Ҡушыу ғәмәлен башҡарыу өсөн төрлө ҡулайламалар: боронғо абактан башлап хәҙерге заман компьютерына тиклем бар. Ҡушыу ғәмәлен эффективлыраҡ ысул менән башҡарыу әлеге көндә лә актуаль булып ҡала.
Яҙыу ысулы һәм терминология
 
== Плюс символы ==
Ҡушыу ғәмәле ҡушылыусылар араһында “+” плюс символы ҡуйылып яҙыла. Бындай яҙыу формаһы инфиксная нотация тип атала. Һөҙөмтәне тигеҙлек билдәһе ҡулланып яҙалар. Мәҫәлән,
: <math>1 + 1 = 2 </math> («бер плюс бер тигеҙ икегә»)
: <math>2 + 2 = 4 </math>(«ике плюс ике тигеҙ дүрткә»)
: <math>3 + 3 = 6 </math> («өс плюс өс тигеҙ алтыға»)
: <math>5 + 4 + 2 = 11 </math> (ҡара. «ассоциативность» ниже)
: <math>3 + 3 + 3 + 3 = 12</math>(ҡара. «умножение» ниже)
[[Файл:AdditionVertical.svg|справа|мини|Бағаналап ҡушыу:<br />5 + 12 = 17]]

Ҡайһы бер осраҡта ҡушыу символы яҙылмай, ләкин ҡушыу ғәмәле башҡарыла тип күҙ уңында тотола.:
* Әгәр һандар бағаналап яҙылһа һәм һуңғы һандың аҫтына һыҙылһа, бағаналағы бөтә һандар ҙа ҡушыла, ә килеп сыҡҡан сумма һыҙыҡ аҫтына яҙыла тип иҫәпләнә.
* Әгәр яҙылышта кәсер алдында бөтөн һан торһа, был яҙыу ике ҡушылыусының – бөтөн һандың һәм кәсерҙең суммаһын аңлата, был һанды аралаш һан тип атайҙар. Мәҫәлән:
31/2 = 3 +1/2 = 3.5.
* Бындай яҙыу буталсыҡ тыуҙырырға мөмкин, сөнки күпселек осраҡта был яҙыу ҡушыуҙы түгел, ә ҡабатлауҙы аңлата.
* Бәйләнешле һандар рәтенең суммаһы сигма символы ҡулланып яҙыла Мәҫәлән,
 
Ҡушылыусылар — бер-береһенә ҡушылыусы һандар йәки объекттар.
Плюс символы «+» (Юникод:U+002B; ASCII: +) — “һәм” тигәнде аңлатыусы латин һүҙен «et» ябайлаштырыуҙан килеп сыҡҡан. Башлап был символ китаптарҙа 1489 йылдан алып осрай..[7]
Интерпретациялар
Ҡушыу бик күп физик процесстарҙы кәүҙәләндереү өсөн ҡулланыла. Хатта иң ябай натураль һандарҙы ҡушыуҙың да бик күп төрлө аңлатмаһы бар. ә күҙ алдына баҫтырыу ысулдары тағы ла күберәк.

== Йыйылмаларҙы берләштереү ==
 
Моғайын, ҡушыуҙы иң төп кәүҙәләндереү ысулы – йыйылмаларҙы берләштереү:
* Әгәр ике йәки унан күберәк киҫешмәүсе обьекттар йыйылмаһын бер йыйылмаға берләштерһәң, барлыҡҡа килгән йыйылмалағы обьекттар һаны тәүге йыйылмаларҙағы обьекттарҙың суммаһына тигеҙ.
Был кәүҙәләндереүҙе еңел күҙ алдына баҫтырырға мөмкин, шул уҡ ваҡытта ике төрлө аңлау ҡурҡынысы юҡ. Был шулай уҡ юғары математикала файҙалы; ҡушыуҙың ҡәтғи аңлатмаһы түбәндә бирелгән, см. Натуральные числа аҫта. Ләкин был аңлатма буйынса нисек кәсер һәм тиҫкәре һандарҙы ҡушыуҙы аңлатырға, аңлашылып етмәй[8].
Был аңлашылмаусанлыҡты хәл итеү өсөн еңел ваҡлап булған обьекттарға, мәҫәлән, бәлеш, ә тағы ла яҡшыраҡ –бүлкәттәре булған күсәргә мөрәжәғәт итергә кәрәк. Бүлкәттәр йыйылмаһын берләштереү урынына бүлкәттәрҙе бер-береһенә остары менән ялғарға мөмкин, был ҡушыу тураһында икенсе фекерҙе кәүҙәләндерә: күсәрҙәр ҡушылмай, ә уларҙың оҙонлоғо ҡушыла.
Оҙонлоҡ төшөнсәһен киңәйтеү 2 + 4 = 6 суммаһын һанлы тура һыҙыҡта һүрәтләү. 2 берәмеккә һәм тағы 4 берәмеккә күсеү – ул шул уҡ 6 берәмеккә күсеү.
 
2 + 4 = 6 суммаһын тура һыҙыҡта кәүҙәләндереүҙең тағы бер ысулы.4 берәмеккә күсеү – 1-әр берәмеккә 4 тапҡыр күсеү менән бер үк.
Ҡушыу ғәмәлен күҙаллауҙың икенсе ысулы тәүге оҙонлоҡто өҫтәлгән дәүмәл оҙонлоғона үҙгәртеү булып тора.
* Башланғыс оҙонлоҡ өҫтәлгән оҙонлоҡҡа киңәйгәндә табылған оҙонлоҡ тәүге оҙонлоҡтоң һәм уға өҫтәлгән оҙонлоҡтоң суммаһына тигеҙ[10]. a + b суммаһын a һәм b –ны алгебраик мәғәнәлә берләштереүсе бинар операция итеп ҡарарға ла, a. Һанына b берәмекте өҫтәү тип әйтергә лә мөмкин. Һуңғы кәүҙәләнештә a + b суммаһының компоненттары асимметрик роль уйнайҙар, һәм a + b ғәмәле a һанына +b[11] унар операцияһын ҡулланыу итеп ҡарала Бындай ҡараш алыу төшөнсәһенә күсергә мөмкинлек бирә, сөнки һәр унар ҡушыу ғәмәле өсөн кире унар алыуғәмәле бар һәм киреһенсә.

== Үҙсәнлектәре ==

=== Коммутативлыҡ ===

[[Файл:AdditionComm01.svg|справа|113px|мини| 4 + 2 = 2 + 4 тигеҙлеген блоктар ярҙамында күҙаллау]]
Ҡушыу коммутативлы: суммала ҡушылыусыларҙың урынлашыу тәртибен үҙгәртергә мөмкин, бынан һөҙөмтә үҙгәрмәй.Символлы яҙыуҙа:әгәр a и b — ниндәйҙер ике һан булһа, ул саҡта a + b = b + a.
Ҡушыу ғәмәленең коммутатив булыуы “ҡушыуҙың коммутатив законы” булараҡ билдәле. Был фраза коммутативлыҡтың икенсе закондары ла барлығын аңлата: мәҫәлән, ҡабатлауҙың коммутатив үҙәсәнлеге бар. Ләкин ҡайһы бер алыу һәм бүлеү кеүек бинар ғәмәлдәр коммутатив түгел, шуға күрә тик “коммутатив закон” тип кенә һөйләү хата булыр ине.

=== Ассоциативлыҡ ===

[[Файл:AdditionAsc.svg|слева|100px|мини| 2+(1+3) = (2+1)+3 тигеҙлеген бүлемле стержень ярҙамында һүрәтләү]]

Ҡушыу ассоциативлыҡ үҙсәнлегенә эйә: өс һәм унан күберәк һандарҙы ҡушҡанда һандарҙың урынлашыу тәртибе әһәмиәтле түгел.
Мәҫәлән, a + b + c суммаһы (a + b) + c йәки a + (b + c) суммаһын аңлата. Ҡушыуҙың ассоциативлыҡ үҙсәнлеге тәҡдим ителгән варианттарҙың ҡайһыһын һайлау әһәмиәтле түгел тигәнде аңлата.Теләһә ниндәй a, b, һәм c һандары өсөн (a + b) + c = a + (b + c) тигеҙлеге дөрөҫ. Мәҫәлән, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).

Ҡушыу ғәмәле башҡа ғәмәлдәр менән бергә ҡулланылғанда һандарҙың урынлашыу тәртибе мөһим. Ғәмәлдәрҙе башҡарыу тәртибендә ҡушыу дәрәжәгә күтәреү, тамыр алыу, ҡабатлау һәм бүлеү ғәмәлдәренән түбәнерәк, ә алыу ғәмәле менән тигеҙ өҫтөнлөктә.
=== Нейтраль элемент ===
[[Файл:AdditionZero.svg|справа|70px|мини| 5 + 0 = 5 тигеҙлеген нөктәләре булған сумка ярҙамында һүрәтләү]]
Әгәр ноль һанын теләһә ниндәй һанға ҡушһаң, был һандың ҡиммәте үҙгәрмәй; ноль — ул ҡушыу ғәмәле өсөн нейтраль элемент, аддитив берәмек[en] булараҡ та билдәле. Символик яҙыу: теләһә ниндәй a һаны өсөн, a + 0 = 0 + a = a.

Был закон беренсе тапҡыр 628 йылда Брахмагупта тарафынан яҙылған Брахманың төҙәтелгән трактатында[en] әйтеп бирелгән. Ул был законды өс айырым закон: тиҫкәре, ыңғай һәм a нуль һаны өсөн яҙған. Был закондарҙы яҙыу өсөн ул алгебраик символдар түгел, ә һүҙҙәр ҡулланған. Һуңғараҡ индия математиктәре[en] төшөнсәләргә асыҡлыҡ индергәндәр; 840 йылдар тирәһендә Махавира[en] «ноль, уға нимә өҫтәлһә, шулай булып китә » тип яҙа.Был 0 + a = a.тигеҙлегенә тап килә. 12 быуатта Бхаскара II : «Әгәр өҫтәргә лә, алырға ла бер нәмә лә булмаһа, ул саҡта ыңғай һәм тиҫкәре миҡдар, нисек булһа шул көйө ҡала» тип яҙа, был a + 0 = a[13] тигеҙлегенә тап килә.

=== Артабанғы һан ===

Бөтөн һандар өсөн берәмекте ҡушыу шулай уҡ мөһим әһәмиәткә эйә: теләһә ниндәй a бөтөн һаны өсөн (a + 1) бөтөн һаны — a –нан берәмеккә ҙурыраҡ булған иң бәләкәй һан, a[14] һаны артынан килеүсе артабанғы һан [en] тип тә әйтәләр. Мәҫәлән, 3 —2 артынан килеүсе һан, 7 — 6 артынан килеүсе һан. Ошо ҡараштан сығып, «a» + «b» һанын «а» артынан -сы булып килеүсе һан тип әйтергә мөмкин. Шулай итеп, ҡушыу ғәмәленэҙмә-эҙ рәүештә артабанғы һанды табыутип атарға була. Мәҫәлән, 6 + 2 = 8 була, сөнки 8, 6 артынан килеүсе 7 артынан килә, шулай итеп 8 — 6 артынан килеүсе икенсе һан.

=== Үлсәү берәмектәре ===

Физик дәүмәлдәрҙе ҡушыу өсөн уларҙы уртаҡ үлсәү берәмектәре[15] аша күрһәтергә кәрәк. Мәҫәлән, әгәр 50 миллилитрҙы һәм 150 миллилитрҙы ҡушһаң, 200 миллилитр килеп сыға. Ләкин, әгәр 5 футҡа 2 дюймды ҡушһаң, суммала 62 дюйм килеп сыға, Сөнки 60 дюйм ул шул уҡ 5 фут. Икенсе яҡтан, 3 метр һәм 4 квадрат метрҙы ҡушыуҙың мәғәнәһе юҡ, сөнки был үлсәү берәмектәре сағыштырғыһыҙ.Бындай фекерләү үлсәнеш анализында мөһим урын алып тора.
== Ҡушыуҙы башҡарыу ==
=== Тыумыштан һәләт ===
1980 йылдарҙа башланған математик һәләттәрҙең үҫеүен тикшереү ғәҙәтләнеү феноменын асҡан: яңы тыуған балалар үҙҙәре өсөн көтөлмәгән ситуацияларға оҙағыраҡ ҡарайҙар[16]. 1992 йылдағы Карен Винн[en] экспериментында Микки Маус ҡурсаҡтары ҡулланыла, улар менән шаршау артында төрлө хәйләле эш башҡаралар. Был эксперимент биш айлыҡ балаларҙың 1+1-ҙең 2 булыуын көтөүен, ә 1+1-ҙең 1 йәки 3 булған осрағында ғәжәпләнеүен асыҡлаған. Һуңғараҡ был һөҙөмтә башҡа лабораторияларҙа төрлө ысулдар[17] ҡулланып раҫланған. 1992 йылда өлкәнерәк, 18 айҙан алып 35 айға тиклемге балалар[en] менән үткәрелгән экспериментта, тартманан пинг-понг өсөн шариктар үрелеп алырға мөмкинлек биреүсе хәрәкәт функциялары үҫеше ҡулланыла; бәләкәйерәк балалар әҙерәк һандағы шариктәр менән яҡшы эш итә алған, өлкәнерәктәре 5[18] –кә тиклемге суммаларҙы иҫәпләргә өйрәнгән.
Хатта ҡайһы бер хайуандар ҙа, бигерәк тә приматтар ҡушыу һәләтенә эйә. 1995 йылғы эксперимент 1992 йылдағы Винн экспериментына оҡшаш була, тик ҡурсаҡтар урынына баклажандар ҡулланыла. Макака-резустар һәм эдипов тамариндар кеше балаларына оҡшаш һәләттәргә эйә булып сыҡҡан. Улай ғына түгел, бер шимпанзе, уны 0 –дән 4-кә тиклемге ғәрәп цифрҙарын айырырға һәм аңларға өйрәткәндән һуң, ике һандың суммаһын бер ниндәй әҙерлекһеҙ[19] иҫәпләй алған. Һуңғараҡ азия филдәре төп арифметик операцияларҙы[20] үҙләштерә алыуы асыҡланған.

=== Балаларҙың ҡушыу ғәмәлен үҙләштереүе ===

Ҡағиҙә булараҡ, тәүҙә балалар иҫәпләргә өйрәнәләр[en]. Ике йәки өс предметты берләштереү талап ителгән мәсьәлә бирелһә, бәләкәй балалар билдәле предметтарға мөрәжәғәт итәләр, мәҫәлән, бармаҡ менән йәки һүрәт ярҙамында. Тәжрибә туплаған һайын улар үҙҙәре өсөн "иҫәп-хисап" ысулы асалар: ике ҡушабыҙ өс (2+3) нисә булғанын иҫәпләргә кәрәк булһа, балалар өс һанынан һуң килгән ике һанды һанайҙар,(ғәҙәттә бармаҡтарын бөкләй барып)һөйләнәләр: "өс, дүрт, биш", һәм, һөҙөмтәлә биш һанын табалар. Был ысул универсаль тиерлек булып күренә; балалар уны тиңдәштәренән йәки уҡытыусыларҙан еңел отоп алалар[21]. Күп балалар үҙҙәре быға өлгәшәләр.Күпмелер тәжрибә туплағас, ҡушыуҙың коммутативлыҡ үҙсәнлеген ҡулланып, балалар тиҙерәк ҡушырға өйрәнәләр, һандарҙы суммалағы иң ҙур һандан башлап һанап, юғарыла әйтелгән осраҡтағы кеүек, өстән башлап "дүрт, биш" тип һанайҙар. Аҙаҡҡа табан балалар, тәжрибә юлы менән туплап, йәки хәтерҙә ҡалдырып, ҡушыу тураһында ниндәйҙер дәлилдәрҙе ҡуллана башлайҙар (яттан ҡушыу миҫалдары[en]»). Ҡайһы бер факттар хәтерҙә һеңеп ҡалһа, балалар билдәһеҙ факттарҙы билдәлеһенән сығара башлайҙар. Мәҫәлән, алтыға етене ҡушыусы бала, 6 + 6 = 12 булыуын белеүе мөмкин, һәм, шуға күрә 6 + 7 бер берәмеккә ҙурыраҡ, йәғни 13[22]. Был сығарыу ысулына бик йәһәт киләләр һәм башланғыс класс уҡыусыларының күпселеге хәтерҙәрендә ҡалдырғандарға һәм үҙҙәре сығара алғанға таяналар, һөҙөмтәлә был уларға ҡушыуҙы йәһәт башҡарырға мөмкинлек бирә[23].

Төрлө илдәрҙә бөтөн һандарҙы һәм арифметиканы төрлө йәштә башлайҙар, ҡушыуға башлыса мектәпкәсә белем биреү учреждениеләрендә өйрәтәләр[24]. Шулай ҙа бөтә донъяла башланғыс мәктәптең беренсе йылы аҙағына уҡыусылар ҡушырға өйрәнәләр[25].

==== Ҡушыу таблицаһы ====

Яҡшыраҡ иҫтә ҡалдырыу өсөн балаларға йыш ҡына 1-ҙән 10-ға тиклемге һандарҙың ҡушыу таблицаһын күрһәтәләр. Был таблицаны белеп, теләһә ниндәй ҡушыу ғәмәлен башҡарып була.
Ҡушыу таблицаһы:
{| class="standard"
|-
!1+||2+||3+||4+||5+||6+||7+||8+||9+||10+
|-
|1 + 0 = 1||2 + 0 = 2||3 + 0 = 3||4 + 0 = 4||5 + 0 = 5||6 + 0 = 6||7 + 0 = 7||8 + 0 = 8||9 + 0 = 9||10 + 0 = 10
|-
|1 + 1 = 2||2 + 1 = 3||3 + 1 = 4||4 + 1 = 5||5 + 1 = 6||6 + 1 = 7||7 + 1 = 8||8 + 1 = 9||9 + 1 = 10||10 + 1 = 11
|-
|1 + 2 = 3||2 + 2 = 4||3 + 2 = 5||4 + 2 = 6||5 + 2 = 7||6 + 2 = 8||7 + 2 = 9||8 + 2 = 10||9 + 2 = 11||10 + 2 = 12
|-
|1 + 3 = 4||2 + 3 = 5||3 + 3 = 6||4 + 3 = 7||5 + 3 = 8||6 + 3 = 9||7 + 3 = 10||8 + 3 = 11||9 + 3 = 12||10 + 3 = 13
|-
|1 + 4 = 5||2 + 4 = 6||3 + 4 = 7||4 + 4 = 8||5 + 4 = 9||6 + 4 = 10||7 + 4 = 11||8 + 4 = 12||9 + 4 = 13||10 + 4 = 14
|-
|1 + 5 = 6||2 + 5 = 7||3 + 5 = 8||4 + 5 = 9||5 + 5 = 10||6 + 5 = 11||7 + 5 = 12||8 + 5 = 13||9 + 5 = 14||10 + 5 = 15
|-
|1 + 6 = 7||2 + 6 = 8||3 + 6 = 9||4 + 6 = 10||5 + 6 = 11||6 + 6 = 12||7 + 6 = 13||8 + 6 = 14||9 + 6 = 15||10 + 6 = 16
|-
|1 + 7 = 8||2 + 7 = 9||3 + 7 = 10||4 + 7 = 11||5 + 7 = 12||6 + 7 = 13||7 + 7 = 14||8 + 7 = 15||9 + 7 = 16||10 + 7 = 17
|-
|1 + 8 = 9||2 + 8 = 10||3 + 8 = 11||4 + 8 = 12||5 + 8 = 13||6 + 8 = 14||7 + 8 = 15||8 + 8 = 16||9 + 8 = 17||10 + 8 = 18
|-
|1 + 9 = 10||2 + 9 = 11||3 + 9 = 12||4 + 9 = 13||5 + 9 = 14||6 + 9 = 15||7 + 9 = 16||8 + 9 = 17||9 + 9 = 18||10 + 9 = 19
|-
|1 + 10 = 11||2 + 10 = 12||3 + 10 = 13||4 + 10 = 14||5 + 10 = 15||6 + 10 = 16||7 + 10 = 17||8 + 10 = 18||9 + 10 = 19||10 + 10 = 20
|-
|}

=== Унарлы иҫәпләү системаһы ===

Унарлы иҫәпләү системаһында уңышлы иҫәпләү өсөн бер урынлы һандарҙың 100 «ҡушыу миҫалын» хәтерләргә йәки сығара белергә кәрәк.Кемдер бөтә был факттарҙы ятлап алып хәтерҙә ҡалдырырға мөмкин, ләкин ҡушыуҙы шаблондар ҡулланып өйрәнеү ысулы мәғлүмәтлерәк һәм күпселек өсөн нығыраҡ файҙалы:{{sfn|Фоснот и Долк|2001|с=99}}
* ''Коммутативлыҡ үҙсәнлеге'': шаблон ҡулланыу ''a + b = b + a'' хәтерләргә кәрәк булған «ҡушыу миҫалдарын» 100-ҙән 55-кә тиклем кәметергә мөмкинлек бирә.
* ''бергә йәки икегә ҙур'': 1-ҙе йәки 2-не ҡушыу — был төп мәсьәлә, һәм уны иҫәпләү юлы менән сығарырға мөмкин йәки интуицияға һылтанырға{{sfn|Фоснот и Долк|2001|с=99}}.
* ''Ноль'': ноль ҡушыу ғәмәле өсөн нейтраль элемент (аддитив берәмек) булғанлыҡтан, нолде ҡушыу бик ябай. Шулай булһа ла, арифметиканы өйрәнгәндә ҡайһы бер уҡыусыларға ҡушыу ғәмәле ваҡытында ҡушылыусы һәр ваҡыт ҙурайырға тейеш кеүек тойола {{нп5|һүҙ менән әйтеп биреүгә||word problem (mathematics education)}}мәсьәләләргә айырым иғтибар биреү нулдең «үҙенсәлекле булыуын» {{sfn|Фоснот и Долк|2001|с=99}} аүларға ярҙам итә.
* ''Икеләтеү'': һанды үҙ-үҙенә ҡушыу икеләтелгән (ҡабаттан) иҫәпләү һәм [[ҡабатлау]] мәсьәләһе менән бәйле. Икеләтеү тураһындағы факттар улар менән бәйле бик күп факттар өсөн нигеҙ булып тора, һәм уҡыусыларға уны аңлауы сағыштырмаса еңел{{sfn|Фоснот и Долк|2001|с=99}}.
* ''Икеләтеү тиерлек (икеләтеү ғәмәленә яҡын суммалар)'': 6 + 7 = 13 суммаһын 6 + 6 = 12 икеләтеү тураһындағы факттан һәм берҙе ҡушыуҙан, йәки 7 + 7 = 14 фактынан һәм берҙе алып табырға мөмкин{{sfn|Фоснот и Долк|2001|с=99}}.
* ''биш һәм ун'': 5 + {{mvar|x}} и 10 + {{mvar|x}} күренешендәге сумма ғәҙәттә иртә иҫтә ҡала һәм башҡа факттарҙы сығарғанда ҡулланылырға мөмкин. Мәҫәлән, 6 + 7 = 13 суммаһының һөҙөмтәһен 5 + 7 = 12 фактын ҡулланып һәм берәмекте өҫтәп табырға мөмкин{{sfn|Фоснот и Долк|2001|с=99}}.
* ''Тиҫтәне табыу (унға тиклем тултырыу)'': 8 һәм 9 ҡушылыусылары булғанда 10- аралағы һөҙөмтә сифатында ҡулланылған ысул бар; мәҫәлән, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14{{sfn|Фоснот и Долк|2001|с=99}}.
Ҙурайған һайын уҡыусылар күберәк факттарҙы иҫтә ҡалдыралар, һәм уларҙан тиҙ генә икенсе факттарҙы сығарырға өйрәнәләр. Күп уҡыусылар бҡтә факттарҙы ла хәтерләмәйҙәр, ләкин тиҙ генә кәрәклеһен сығара алалар{{sfn|Генри Валери Д.|2008|pp=153—183}}.

==== Күсереү ====
Күп урынлы һандарҙы ҡушыуҙың стандарт алгоритмында ҡушылыусы һандарҙың цифрҙары бер-береһенең аҫтында урынлаштырыла. Уң яҡтан башлап, цифрҙарҙы ҡушыу һәр бағанала айырым башҡарыла. Әгәр бағанала цифрҙар суммаһы 10-дан артһа, артыҡ цифр икенсе бағанаға «күсерелә». Мәҫәлән, 27 + 59 суммаһында:

   ¹
   27
 + 59
 ————
   86

7 + 9 = 16 һәм 1 цифры артабанғы бағанаға күсерелә. Альтернатив ҡушыу ысулында ҡушыуҙы һулдан мөһимерәк булған цифрҙан башлайҙар; был ысулда күсереү тупаҫыраҡ башҡарыла, ләкин яҡынса сумма тиҙерәк табыла. Күсереүҙең башҡа күп ысулдары бар.

==== Унарлы кәсерҙәрҙе ҡушыу ====

Унарлы кәсерҙәрҙе ҡушыу ысулы юғарыла һүрәтләнгән күп урынлы һандарҙы ҡушыуҙың ябай күсермәһе булып тора{{sfn|Вингард-Нельсон Р.|2014|с=21}}. Бағаналап ҡушҡанда кәсерҙәр, өтөрҙәр бер-береһенең аҫтына тап килерлек итеп урынлаштырыла. Кәрәк булһа ҡыҫҡараҡ кәсергә, уны оҙонораҡ кәсер менән бер тигеҙ оҙонлоҡта итеү өсөн, уңдан һәм һулдан нулдәр өҫтәп яҙырға мөмкин. (см. {{нп5|Арттағы ноль|арттағы ноль||Trailing zero)}} һәм [[алда барыусы нулдәр]]) Шулай итеп ҡушыу, үрҙә яҙылған күп урынлы һандарҙы ҡушыу ысулындағы кеүек башҡарыла, тик яуапта өтөр, ул ҡушылыусыларҙа ҡайҙа урынлашҡан, тап шул урында ҡуйыла. Мәҫәлән,
45.1 + 4.34 суммаһын ошолай иҫәпләргә була:
    4 5 . 1 0                                                                                  
 +  0 4 . 3 4
 ————————————
    4 9 . 4 4

==== Экспоненциаль яҙыу ====
Экспоненциаль яҙмала һандар <math>x=a\times10^{b}</math>, бында <math>a</math> — һандың мантиссаһы һәм <math>10^{b}</math> — характеристикаһы. Экспоненциаль формала яҙылған ике һанды ҡушыу өсөн уларҙың характеристикаһы бер үк булыуы талап ителә.
Мәҫәлән:
: <math>2.34\times10^{-5} + 5.67\times10^{-6} = 2.34\times10^{-5} + 0.567\times10^{-5} = 2.907\times10^{-5}</math>

=== Башҡа иҫәпләү системаларында ҡушыу ===
{{main|Икеле иҫәпләү системаһы}}

Икенсе иҫәпләү системаларында һандарҙы ҡушыу унарлы иҫәпләү системаһындағы һандарҙы ҡушыуға оҡшаш. Миҫал рәүешендә икеле иҫәпләү системаһында ҡушыуҙы ҡарарға була{{sfn|Дейл|2008|с=155}}. Күсереүҙе ҡулланып бер урынлы икеле һандарҙы ҡушыу ҡатмарлы түгел:
: 0 + 0 → 0
: 0 + 1 → 1
: 1 + 0 → 1
: 1 + 1 → 0, 1 күсерелә (сөнки 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2<sup>1</sup>))
Ике «1» тамғаһының суммаһы «0» тамғаһына тигеҙ, ә 1 артабанғы бағанаға ҡушылырға тейеш.Был ситуация, унарлы иҫәпләү системаһында бер урынлы һандарҙы ҡушҡанда осраған ситуацияға оҡшаш; әгәр һөҙөмтә иҫәпләү системаһының нигеҙенә тигеҙ йәки унан артып китһә(10), һулда цифрҙар арта:

: 5 + 5 → 0, 1 күсерелә (сөнки 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10<sup>1</sup>))
: 7 + 9 → 6, 1 күсерелә (сөнки 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10<sup>1</sup>))

Был ғәмәл «күсереү» булараҡ билдәле{{sfn|Ботман|1837|с=31}}. Ҡушыуҙың һөҙөмтәһе ҡиммәттәр диапазонын һәм разрядты үтеп китһә, был артыҡ һандың системаның нигеҙенә (йәғни унарлы иҫәпләү системаһында 10-ға) бүлендеген артабанғы разрядтың ҡиммәтенә ҡушып, һулға «күсерергә» кәрәк. Был шуның менән бәйле: <math>N</math>-иҫәпләү системаһында артабанғы разрядтың ҡиммәте ағымдағы разрядтың ҡиммәтенән <math>N</math> тапҡыр ҙур. Икеле иҫәпләү системаһында күсереү унарлы иҫәпләү системаһындағы кеүек эшләй:
   <span style="color:#800000">1 1 1 1 1    (күсереү)</span>
     0 1 1 0 1
 +   1 0 1 1 1
 —————————————
   1 0 0 1 0 0 = 36

Был миҫалда ике һан ҡушыла: 01101<sub>2</sub> (13<sub>10</sub>) һәм 10111<sub>2</sub> (23<sub>10</sub>). Өҫтәге юлда күсереү барлығы күрһәтелгән.Уңдағы бағананы ҡушыуҙан башлайыҡ: 1 + 1 = 10<sub>2</sub>. Бында 1 һулға күсерелә, ә 0 түбәндәге юлда яҙыла. Хәҙер уңдан икенсе бағаналағы һандар ҡушыла: 1 + 0 + 1 = 10<sub>2</sub>; 1 күсерелә, ә 0 аҫтағы юлда яҙыла. Өсөнсө бағана: 1 + 1 + 1 = 11<sub>2</sub>. Был осраҡта 1 аҫтағы юлда күсерелә. Һөҙөмтәлә табабыҙ: 100100<sub>2</sub> (йәки унарлы иҫәпләү системаһында 36).
=== Компьютерҙар ===
[[Файл:Opampsumming2.svg|справа|обрамить|инвертирләүсе сумматор ярҙамында ҡушыу [[:ru:Применение операционных усилителей#Инвертирующий суммирующий усилитель (инвертирующий сумматор)|инвертирләүсе сумматор]].]]
Аналоглы компьютерҙар туранан-тура физик дәүмәлдәр менән эш итәләр, шуға күрә ҡушыу механизмы ҡушылыусыларҙың төрөнә бәйле. Механик сумматор ике ҡушылыусыны үҙгәреүсән блоктар позицияһы рәүешендә күрһәтергә мөмкин, был осраҡта уларҙы урталыҡлаусы рычаг ярҙамында ҡушырға мөмкин. Әгәр ҡушылыусылар ике Шпиндель күсәрҙең әйләнеү тиҙлеге рәүешендә күрһәтелһә, уларҙы дифференциал ярҙамында ҡушырға мөмкин. Гидравлик сумматор, Ньютондың икенсе законын ҡулланып, поршендәр йыйылмаһына тәьҫир иткән көстө тигеҙләү өсөн, ике камералағы баҫымды ҡушырға мөмкин. Аналоглы компьютерҙы ҡулланыуҙың иң таралған осрағы - ергә тоташтырылғанға ҡарата ике электр көсөргәнешен ҡушыу; быны резисторлы электрон схема ярҙамында башҡарырға мөмкин, ә камиллаштырылған версияларында операцион көсәйткес ҡулланыла{{sfn|Трайт и Рождерс|1960|pp=41-49}}.
Ҡушыуҙы башҡарыу персональ компьютерҙа ла төп ғәмәл булып тора. Ҡушыу ғәмәлен башҡарыу тиҙлеге һәм, бигерәк тә, күсереү механизмы менән бәйле сикләүҙәр компьютерҙың дөйөм эшләү тиҙлегенә тәьҫир итәләр.
[[Файл:BabbageDifferenceEngine.jpg|слева|мини| Чарльз Бэббидждың айырмалы машинаһының ҡайһы берҙәренең ҡушыу һәм күсереү механизмы бар.]]

[[Абак]], иҫәпләү таҡтаһы тип тә йөрөтөлә - хәҙерге иҫәпләү системаһы индерелгәнгә тиклем бик күп быуаттар элек ҡулланылған иҫәпләү приборы, ул әле лә Азия, Африка һәм башҡа континенттарҙың сауҙагәрҙәре, купецтары, клерктары тарафынан киң ҡулланыла. Абак б.э. тиклем 2700-2300 йылдарҙа уйлап табылған тип иҫәпләнә, уны шумерҙар ҡулланған{{sfn|Джорджс|2001|с=11}}.
Блез Паскаль1642 йылда механик калькулятор уйлап тапҡан{{sfn|Маргун|1994|с=48}}{{sfn|Танон|1963|с=62}}; был тәүге ҡушыусы машина була. Был калькуляторҙа күсереү механизмы гравитация ярҙамында тормошҡа ашырыла. Был 17 быуаттағы берҙән-бер операцион калькулятор<ref>См. [[Паскалдың ҡушыу машинаһы|көнәркәшле конструкциялар]] Паскалдың ҡушыусы машинаһы тураһындағы статьяһында</ref> һәм иң беренсе автоматик цифрлы компьютер. [[Паскалдың ҡушыусы машинаһы]] тәгәрмәстәрҙе бер яҡҡа ғына әйләндерергә һәм, шул рәүешле, ҡушырға мөмкинлек биреүсе күсереү механизмы менән сикләнгән була. Алыу ғәмәлен башҡарғанда ҡулланыусы, һөҙөмтәне табыу өсөн, цифрҙарҙың икенсе йыйылмаһын һәм, үҙ эсенә ҡушҡандағы кеүек үк аҙымдар һанын индергән {{нп5|Методы дополнения|өҫтәмәләр методын|| Method of complements#Practical_uses}}ҡулланырға тейеш була . [[Джованни Полени]] 1709 йылда икенсе функциональ механик калькулятор эшләп, Паскалдың эшен дауам итә. Был калькуляторҙың цифрблаты ағастан була, ул ике һанды автоматик рәүештә ҡабатлай ала.
[[Файл:Full-adder.svg|мини|«[[Сумматор]]» логической схемы, который складывает два двоичных одноразрядных числа ''A'' и ''B'', на вход подаётся перенос ''C<sub>in</sub>'', на выходе бит суммы ''S'' и значение переноса ''C<sub>out</sub>''.]]
Электрон цифрлы иҫәпләү машиналарында сумматор бөтөн һандарҙы ҡушыуҙы ғәҙәттә икеле иҫәпләү системаһын ҡулланып башҡара.
Иң ябай структурала [[w:Adder (electronics)#Ripple-carry adder|тулҡынлы күсереү сумматоры]] ҡулланыла, был күп урынлы һандарҙы ҡушырға мөмкинлек бирә. Кеше интуицияһына оҡшаш рәүешле эшләүсе күсереүҙе төшөрөп ҡалдырыусы сумматорҙа|Carry bypass adder}} бер аҙ яҡшырыу күренә; ул 999 + 1 суммаһында бөтә күсереүҙәрҙе лә башҡармай, ул туғыҙҙар төркөмөн урап үтә һәм шунда уҡ яуапҡа күсә{{sfn|Флинн и Оверман|2001|pp=2—8}}.
Практикала ҡушыуҙы, түбәндә күрһәтелгәнсә, башҡа бит операциялары менән берлектә [[2 модуле буйынса ҡушыу]] һәм [[«И» бит операцияһы]] аша башҡарып була. Был ике операцияны, үҙ сиратында ҡатмарлыраҡ логик операцияларға берләшә алған сумматорҙар сынйырында еңел башҡарып була. Хәҙерге цифрлы компьютерҙарҙа бөтөн һандарҙы ҡушыу иң тиҙ башҡарылыусы операция, шул уҡ ваҡытта ул компьютерҙың дөйөм эшләү тиҙлегенә ҙур йоғонто яһай, сөнки бөтөн һандарҙы ҡушыу [[күсеп йөрөүсе өтөрлө һандар]] менән бөтә ғәмәлдәрҙең, шулай уҡ [[компьютерҙың хәтеренә]] ингәндә адрестарҙы генерациялау кеүек мәсьәләләрҙең, командалар йыйылмаһының билдәле бер тәртиптә башҡарылыу ваҡытында архитектураһын һайлауҙың нигеҙендә ята. Тиҙлекте арттырыу өсөн хәҙерге компьютерҙар разрядтарҙың ҡиммәтен параллель иҫәпләйҙәр; был схема күсереүҙе һайлау {{нп5|| Линг сумматорында ||Ling adder}} {{нп5||күсереүҙе алдан күреү||carry lookahead adder}} һәм псевдокүсереү тип атала . Күпселек осраҡта компьютерҙа ҡушыуҙы башҡарыу һуңғы өс конструкцияның гибриды булып тора{{sfn|Флинн и Оверман|2001|pp=1—9}}{{sfn|Санг-Су Йо|2010|с=194}}. Ҡағыҙҙа ҡушыуҙан айырмалы рәүештә, компьютерҙа ҡушыу йыш ҡына һандарҙы үҙгәртә. Боронғо абакта һәм ҡушыу өсөн таҡтала ҡушыуҙы башҡарған ваҡытта ике ҡушылыусы ла юйыла, сумма ғына тороп ҡала. Абактың математик фекерләүгә тәьҫире шундай ҙур була, боронғо латин текстарында йыш ҡына «һанды һанға» ҡушҡанда ике һан да юҡҡа сыға тип раҫлана{{sfn|Карпински|1925|pp=102—103}}. Хәҙерге осорға килгәндә, микропроцессорҙың ADD инструкцияһы беренсе ҡушылыусының ҡиммәтен сумма менән алмаштыра, икенсе ҡушылыусы үҙгәрешһеҙ ҡала{{sfn|Хоровец и Хилл|2009|с=679}}. Программалаштырыуҙың юғары кимәлдәге телендә ''a'' + ''b''-ны баһалау ''a''-ны ла, ''b''-ны ла үҙгәртмәй; әгәр сумманы ''a''-ға яҙыу маҡсаты ҡуйылһа, был ''a'' = ''a'' + ''b'' аңлатмаһы ярҙамында аныҡ күрһәтелергә тейеш. Программалаштырыуҙың [[Си|C]]йәки [[C++]] кеүек ҡайһы бер телдәрендә был яҙыу ''a'' += ''b'' тип ҡыҫҡартыла.

<syntaxhighlight lang="c">
// Iterative Algorithm 
int add(int x, int y){
    int carry = 0;  
    while (y != 0){        
       carry = AND(x, y);   // Logical AND 
       x     = XOR(x, y);   // Logical XOR
       y     = carry << 1;  // left bitshift carry by one  
   } 
   return x;   
}
// Recursive Algorithm
int add(int x, int y){
   return x if (y == 0) else add(XOR(x, y) , AND(x, y) << 1); 
}
</syntaxhighlight>

Компьютерҙа, әгәр ҡушыу һөҙөмтәһе һаҡлау өсөн үтә оҙон булһа, дөрөҫ булмаған яуапҡа килтереүсе [[арифметик артып китеү]] күҙәтелә. Көтөлмәгән арифметик артып китеү [[Баг|программа хаталарының]] киң таралған сәбәбе булып тора. Бындай артып китеү хаталарын асыҡлау һәм диагнозлау ауыр булыуы мөмкин, сөнки улар {{sfn|Блотч|2006|с=1}} тестарында йыш ҡулланылмаған бик күп бирелештәр йыйылмаһы индергәндә генә асыҡланырға мөмкин. Был төрҙәге билдәле хата булып [[2000 йыл проблемаһы]]тора, бында йылды билдәләү өсөн ике урынлы форматты ҡулланыу менән бәйле артып китеү хатаһы 2000 йылда һиҙелерлек проблемалар тыуҙырҙы.{{sfn|Хәүефтәр йыйынтығы|1987}}

== Һандарҙы ҡушыу ==
Ҡушыуҙың төп үҙсәнлектәрен күрһәтеү өсөн иң тәүҙә контекстҡа асыҡлыҡ индерергә кәрәк. Ҡушыу тәүҙә натураль һандар өсөн билдәләнә. Күмәклектәр теорияһында ҡушыу, натураль һандарҙы ла индереп, ҙурайғандан ҙурая барыусы күмәклектәр өсөн билдәләнә: бөтөн һандар, рациональ һандар, һәм ысын һандар{{sfn|Эндертон|1977|pp=4-5}}. Математиканы өйрәнгәндә||mathematics education}}{{sfn|Уҡытыу эҙмә-эҙлелеге|2002|с=4}} ыңғай кәсерҙәрҙе ҡушыу тиҫкәре һандарҙы ҡушыуға тиклем өйрәнелә{{sfn|Баез|2000|с=37|quote=Тиҫкәре алмаға ҡарағанда ярты алманы күҙ алдына килтереү еңелерәк булыуы күренеп тора !}}.)

=== Натураль һандар ===
Ике ''a'' һәм ''b'' натураль һандарының суммаһын билдәләү өсөн ике популяр ысул бар. Әгәр натураль һандар сикле һандағы элементлы күмәклек ҡеүәте аша билдәләнһә (күмәклек ҡеүәте — уның элементтары һаны), суммаға түбәндәге билдәләмәне биреү маҡсатҡа ярашлы:
* N(''S'') — ''S'' күмәклегенең ҡеүәте булһын. Ике киҫешмәүсе ''A'' һәм ''B'' күмәклектәрен алайыҡ, шуның менән бергә N(''A'') = ''a'' һәм N(''B'') = ''b''. Ул саҡта ''a'' + ''b'' суммаһын ошолай билдәләп була: <math> N(A \cup B)</math>{{sfn|Бегл|1975|с=49}}{{sfn|Джонсон|1975|с=120}}{{sfn|Девайн и соавторы|1991|с=75}}.
Бында, <math>(A \cup B)</math> — ''A'' һәм ''B'' күмәклектәре берекмәһе. Был билдәләмәнең альтернатив версияһында ''A'' һәм ''B'' күмәклектәре киҫешәләр һәм был осраҡта сумма сифатында уларҙың дизъюнктлы берекмәһе алына, был механизм уртаҡ элементтарҙы айырырға мөмкинлек бирә, һөҙөмтәлә был элементтар ике тапҡыр иҫәпкә алына.

Икенсе билдәләмә рекурсивлы:
* ''n'' <sup>+</sup> — ''n''-дан {{нп5|| һуң ||successor function}} килеүсе натураль һан, мәҫәлән 0<sup>+</sup>=1, 1<sup>+</sup>=2. ''a'' + 0 = ''a'' булһын, ти. Ул саҡта уртаҡ сумма рекурсивлы билдәләнә: ''a'' + (''b''<sup>+</sup>) = (''a'' + ''b'')<sup>+</sup>. Бынан 1 + 1 = 1 + 0<sup>+</sup> = (1 + 0)<sup>+</sup> = 1<sup>+</sup> = 2.

Әҙәбиәттә был билдәләмәнең төрлө варианттары бар. Рекурсион теоремала өлөшләтә тәртипкә килтерелгән күмәклектә '''N'''<sup>2</sup> тап юғарыла бирелгән билдәләмә ҡулланыла. {{sfn|Бергман|2015|p=100|quote=См. Бергмандың китабында  {{нп5|кәмей барыусы хәлдәр сынйырынан||Ascending chain condition}}торған теләһә ниндәй өлөшләтә тәртипкә һалынған күмәклеккә ҡулланылған версияһын ҡара.}}. Икенсе яҡтан, ҡайһы бер сығанаҡтарҙа тик натураль һандар күмәклегенә генә ҡулланылған сикләнгән Рекурсион теореманы ҡулланыуға өҫтөнлөк бирәләр. Берәүҙәр ваҡытлыса ''a''-ны теркәп торорға, рекурсияны ''b''-ға ҡулланырға, бының менән "''a'' + " функцияһын билдәләп, һәм был унарлы операцияны бөтә ''a'' өсөн ҡулланып, тулы бинар операцияны төҙөргә тәҡдим итәләр{{sfn|Эндертон|1977|p=79|quote= . Ләкин беҙгә бөтә был бәләкәй бер урынлы функциялар кәрәкмәй, ә бер бөртөк + бинар операцияһы кәрәк.}}.

Был ҡушыуҙың рекурсив билдәләмәһе Дедекинд тарафынан 1854 йылда уҡ бирелгән була, һәм ул уны артабанғы ун йыллыҡтарға киңәйтә
{{sfn|Ферриус|2013|с=223}}. [[Математик индукции]] ярҙамында Дедекинд ассоциативлыҡ һәм коммутативлыҡ үҙсәнлектәрен иҫбатлаған..

=== Бөтөн һандар ===
[[Файл:AdditionRules-2.svg|справа|мини|Ыңғай һәм тиҫкәре һандарҙы ҡушыу ҡағиҙәләрен иллюстрациялау.]]
[[Файл:Addition of integers using Grothendieck construction.svg|справа|мини| (−2) һәм 1 һандарын, тик ыңғай һандарҙы ғына ҡулланып ҡушырға: (2 − 4) + (3 − 2) = 5 − 6.]]
Бөтөн һандың төп концепцияһы шунда: бөтөн һан уның [[абсолют дәүмәленән]] һәм {{нп5| (математика)тамғанан||sign (mathematics)}}тора һәм, (ҡағиҙә булараҡ, [[ыңғай]] йәки [[тиҫкәре]]) һан. Ноль бөтөн һаны — айырым осраҡ: ноль ыңғай ҙа, тиҫкәре лә түгел. Ярашлы ҡушыу билдәләмәһе түбәндәге осраҡтарҙы иҫәпкә алырға тейеш:
* ''n'' — бөтөн һан булһын, ти һәм |''n''| - уның абсолют дәүмәле. ''a'' һәм ''b'' — бөтөн һандар. Әгәр ''a'' йәки ''b'' һандарының береһе нулгә тигеҙ булһа, был һанды нейтраль элемент тип һанайбыҙ (аддитив берәмек). Әгәр ''a'' һәм ''b'' икеһе лә ыңғай булһа, ул саҡта ''a'' + ''b'' = |''a''| + |''b''| тип иҫәпләйбеҙ. Әгәр ''a'' һәм ''b'' икеһе лә тиҫкәре булһа, ул саҡта ''a'' + ''b'' = −(|''a''|+|''b''|). Әгәр ''a'' һәм ''b'' төрлө тамғалы булһа, ул саҡта ''a'' + ''b'' — |''a''| һәм |''b''|араһындағы айырма, һәм айырма алдына ҙурыраҡ абсолют дәүмәлле ҡушылыусының алдында торған тамға ҡуйыла {{sfn|Смит К.|1980|с=234}}{{sfn|Спаркс|1979|с=66}}. Мәҫәлән, −6 + 4 = −2 суммаһын ҡарайыҡ: −6 һәм 4 һандарының тамғаһы төрлө булғас, уларҙың абсолют дәүмәлдәре алына, һәм тиҫкәре һандың абсолют дәүмәле ыңғай һандың абсолют дәүмәленән ҙурыраҡ булғас, яуап тиҫкәре була.

Был билдәләмә конкрет мәсьәләләр өсөн файҙалы булһа ла, ниндәйҙер дөйөм иҫбатлауҙар башҡарыу ауыр, сөнки бик күп осраҡтарҙы ҡарарға кәрәк.

Бөтөн һандарҙың иң уңайлы концепцияһы булып [[Гротендик группалары]] төҙөү тора. Төп идеяһы шунда: һәр бөтөн һан (бер генә ысул менән түгел) ике натураль һандың айырмаһы рәүешендә күрһәтелә ала, шуға күрә беҙ бөтөн һанды ике натураль һандың айырмаһы итеп ''билдәләй'' алабыҙ. Ул саҡта ҡушыу айырма аша түбәндәгесә билдәләнә ала:
* Ике бөтөн ''a'' − ''b'' һәм ''c'' − ''d'' һандары булһын, бында ''a'', ''b'', ''c'' һәм ''d'' — натураль һандар, ул саҡта (''a'' − ''b'') + (''c'' − ''d'') = (''a'' + ''c'') − (''b'' + ''d''){{sfn|Эндертон|1977|с=92}}.

=== Рациональ һандар ===

[[Рациональ һандарҙың]] суммаһы {{нп5||иң бәләкәй уртаҡ знаменатель||Lowest common denominator}} ярҙамында иҫәпләнергә мөмкин, ләкин рациональ һандарҙы ҡушыуҙың билдәләмәһе тик бөтөн һандарҙы ҡушыу һәм ҡабатлауҙы үҙ эсенә ала:
* Әйтәйек <math>\frac ab + \frac cd = \frac{ad+bc}{bd}.</math>

Мәҫәлән, <math>\frac 34 + \frac 18 = \frac{3 \times 8+4 \times 1}{4 \times 8} = \frac{24 + 4}{32} = \frac{28}{32} = \frac{7}{8}</math>.
[[(математика)|знаменателдәре]] бер төрлө кәсерҙәрҙе ҡушыу күпкә ябайыраҡ; был осраҡта знаменателдәрҙе шул килеш ҡалдырып, числителдәрҙе ҡушырға мөмкин: <math>\frac ac + \frac bc = \frac{a + b}{c}</math>, например <math>\frac 14 + \frac 24 = \frac{1 + 2}{4} = \frac 34</math>{{sfn|Ширлет|2013|с=43}}.

Рациональ һандарҙы ҡушыуҙың коммутативлыҡ һәм ассоциативлыҡ үҙсәнлектәре бөтөн һандар арифметикаһы закондарының эҙемтәһе булып тора{{sfn|Эндертон|1977|с=104}}. Ҡәтғиерәк һәм дөйөм билдәләмәне ''{{нп5||кәсерҙәр яланы||field of fractions}}'' статьяһында ҡара.

=== Ысын һандар </small> ===
[[Файл:AdditionRealDedekind.svg|справа|250px|мини|Дедекинд киҫелеше ҡулланып ҡушыу π<sup>2</sup>/6 и ''e'']]
Ысын һандарҙы төҙөүҙең дөйөм ысулы булып рациональ һандар күмәклеген Дедекинд алымы менән тулыландырыу тора. Ыссын һандар рациональ һандарҙың [[Дедекинд киҫелеше]] һымаҡ билдәләнәләр: аҫтан сикләнгән, {{нп5||иң ҙур элементы булмаған|Greatest element}}рациональ һандарҙың [[буш булмаған күмәклеге]]. ''a'' һәм ''b'' ысын һандарының суммаһы элемент буйынса билдәләнә:
* <math>a+b = \{q+r \mid q\in a, r\in b\}</math>{{sfn|Эндертон|1977|с=114}}.
Был билдәләмә башлап бер аҙ үҙгәртелгән күренештә Рихард Дедекинд тарафынан 1872 йылда баҫтырылды{{sfn|Ферриус|2013|с=135}}.
Ысын һандарҙы ҡушыуҙың коммутативлыҡ һәм ассоциативлыҡ үҙсәнлектәре яҡын; 0 ысын һанын тиҫкәре рациональ һандар күмәклегенең бер өлөшө итеп һанап, уны аддитив берәмек итеп ҡарарға мөмкин.Ҡушыуға ҡағылышлы был конструкцияның иң ҡатмарлы өлөшө булып, кире ҡушылыусыны билдәләү тора{{sfn|Эндертон|1977|p=117|quote=Һайланманың һәр элементын инвертирләү һәм уларҙың тултырыусыһын алыуҙан торған интуитив ҡараш тик иррациональ һандар өсөн генә эшләй.}}.

[[Файл:AdditionRealCauchy.svg|справа|250px|мини| π<sup>2</sup>/6 и ''e'' фундаменталь эҙмә-эҙлелекте ҡулланып ҡушыу]]
Ҡыҙғанысҡа күрә, Дедекинд киҫелештәрен ҡабатлау — тамғалары булған бөтөн һандарҙы ҡушыу кеүек ваҡытты алыусы процесс{{sfn|Шуберт|1995|с=255}}. Икенсе ҡараш ыссын һандарҙы [[метрик тулыландырыуҙан]] тора. Ыссын һандар — ул рациональ һандарҙың [[Коши эҙмә-эҙлелегенең]] сикләмәһе, Lim ''a''<sub>''n''</sub>. Ҡушыу быуын-быуынлап башҡарыла:
* Билдәләмә бирәбеҙ: <math>\lim_na_n+\lim_nb_n = \lim_n(a_n+b_n)</math>{{sfn|Буррил|1967|p=138|quote=Дәреслектәрҙә ғәҙәттә «lim» символы менән бик наҙланып тормайҙар; Коши эҙмә-эҙлелеге менән ҡушыуҙың йыйнағыраҡ һәм оҙонораҡ әйтелешен ҡара: Буррил  138 бит}}.
Был билдәләмә беренсе тапҡыр 1872 йылда [[Георг Кантор]] тарафынан баҫтырылды, ләкин уның формализмы бер аҙ икенсерәк ине{{sfn|Ферриус|2013|с=128}}.
Был ғәмәл Коши эҙмә-эҙлелеге менән ҡәтғи билдәләнгән (фундаменталь эҙмә-эҙлелек булып тора) тип иҫбат итергә кәрәк. Был мәсьәлә хәл ителеү менән ыссын һандарҙы ҡушыуҙың бөтә үҙсәнлектәре ыссын һандарҙың үҙсәнлектәренән килеп сыға. Бынан тыш, ҡабатлауҙы ла индереп, бүтән арифметик ғәмәлдәргә ябай, оҡшаш билдәләмәләр бирелә{{sfn|Буррил|1967|с=140}}.

=== Комплекслы һандар ===
[[Файл:Vector Addition.svg|200px|справа|мини|Ике комплекслы һанды ҡушыуҙы параллелограмм төҙөү аша геометрик ысул менән һүрәтләргә була.]]
Комплекслы һандарҙы ҡушыу бер-береһенә ысын һәм ысын булмаған өлөштәрен ҡушыу юлы менән башҡарыла{{sfn|Конвей|1986|с=107}}{{sfn|Джоши|1989|с=402}}. Был шуны аңлата:
: <math>(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.\ </math>
Комплекслы һандарҙы комплекслы яҫылыҡтың нөктәһе итеп күҙаллағанда, комплекслы һандарҙы ҡушыуға түбәндәге геометрик интерпретацияны бирергә була: комплекслы яҫылыҡта ''A'' и ''B'' нөктәләре менән күрһәтелгән комплекслы һандарҙың суммаһы булып, өс түбәһе ''O'', ''A'' һәм ''B'' нөктәләрендә булған параллелограмды төҙөү юлы менән табылған ''X''нөктәһе тора. Йәки былай тип әйтергә була: ''X'' — ул ''OAB'' һәм ''XBA'' өсмөйөштәре конгруэнт булғандағы нөктә.

== Дөйөмләштереү ==
Ысын һандарҙы ҡушыуҙы дөйөмләштереү һөҙөмтәһе итеп ҡарап була торған күп бинар ғәмәлдәр бар. Бындай дөйөмләштерелгән ғәмәлдәр дөйөм алгебраның төп өйрәнеү предметы булып торалар, шулай уҡ улар күмәклектәр теорияһында һәм категориялар теорияһында осрай.

=== Абстракт алгебрала ҡушыу ===

==== Векторҙарҙы ҡушыу ====
Векторлы пространство — ул шундай алгебраик структура, унда теләһә ниндәй ике {{нп5|Координаталар векторын||coordinate vector}} ҡушырға һәм теләһә ниндәй векторҙы һанға ҡабатларға була. Векторлы пространствоға ябай миҫал - бөтә тәртипкә һалынған ысын һандар парҙары күмәклеге; тәртипкә һалынған (''a'',''b'') пары, евклид яҫылығында координаталар башынан (''a'',''b'') нөктәһенә үткәрелгән вектор булып тора. Ике векторҙың суммаһы уларҙың ярашлы координаталарын ҡушыу юлы менән табыла:
: (''a'',''b'') + (''c'',''d'') = (''a''+''c'',''b''+''d'').
Был ҡушыу ғәмәле векторҙарҙы көстөң аналогы итеп ҡараусы классик механикала төп (үҙәк) ғәмәл булып тора.

==== Матрицаларҙы ҡушыу ====
{{main|Матрицаларҙы ҡушыу}}
Матрицаларҙы ҡушыу бер үк үлсәмдәге ике матрица өсөн билдәләнә. ''m'' × ''n'' үлсәмендәге ( «m -гә n» тип әйтелә) ике '''A''' һәм '''B'''матрицаларының суммаһы '''A''' + '''B''' рәүешендә яҙыла, һәм ''m'' × ''n''үлсәмендәге, ярашлы элементтарын ҡушыу юлы менән табылған матрица була{{sfn|Липсхатз|2001|с=201}}{{sfn|Рили|2006|с=253}}:

: <math>\begin{align}
\mathbf{A}+\mathbf{B} & = \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix} +

\begin{bmatrix}
 b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
 b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\
& = \begin{bmatrix}
 a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\
 a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\

\end{align}\,\!</math>

Например:

: <math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    1 & 0 \\
    1 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    7 & 5 \\
    2 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 \\
    1+7 & 0+5 \\
    1+2 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    8 & 5 \\
    3 & 3
  \end{bmatrix}
</math>

==== Ҡалдыҡтар арифметикаһы ====
{{main|Модуле буйынса сағыштырыу}}
12-гә бүлеүҙең ҡалдыҡтары күмәклеге унике элементтан тора; был күмәклек бөтөн һандарҙы ҡушыу ғәмәлен мираҫ итә. 2 модуле буйынса ҡалдыҡтар күмәклеге ике генә элементтан тора; унан мираҫ булған ҡушыу ғәмәле әйтеүҙәр логикаһында «[[юҡҡа сығарыусы йәки]]» ғәмәле булараҡ билдәле, . Геометрияла ике мөйөш үлсәменең суммаһы йыш ҡына 2π модуле буйынса ысын һандарҙың суммаһы булараҡ билдәләнә. Бындай билдәләмә әйләнәләге ҡушыу ғәмәленә тура килә, ул үҙ сиратында күп үлсәмле торҙа ҡушыу ғәмәленә тиклем дөйөмләштерелә.
==== Дөйөм ҡушыу ====
Абстракт алгебраның дөйөм теорияһында «ҡушыу» ғәмәле тип теләһә ниндәй ассоциативлы һәм коммутативлы ғәмәл атала ала.Шундай ҡушыу ғәмәле булған төп [[алгебраик системалар]] [[w:Monoid#Commutative monoid|коммутатив моноидтарҙы]] һәм [[абелев төркөмдәрен]] үҙ эсенә ала.

=== Күмәклектәр теорияһында һәм категориялар теорияһында ҡушыу ===
Натураль һандарҙы ҡушыуҙы дөйөмләштереү һөҙөмтәһе булып күмәклектәр теорияһында [[тәртип һандарын]] һәм [[кардиналь һандарҙы]] ҡушыу тора. Был ғәмәлдәр натураль һандарҙы ҡушыуҙы дөйөмләштереүҙең {{нп5||трансфинит осраҡҡа||transfinite number}} ике айырым осрағы.
Ҡушыу ғәмәленең күпселек төрҙәренән айырмалы рәүештә, тәртип һандарын ҡушыу коммутатив түгел.
Кардиналь һандарҙы ҡушыу, [[дизъюнктлы берләштереү]] ғәмәле менән тығыҙ бәйләнгән коммутативлы ғәмәл.

[[Категориялар теорияһында]] дизъюнктлы берләштереү [[коҡабатлау]] ғәмәленең айырым осрағы итеп ҡарала, һәм дөйөм коҡабатлау, моғайын, бөтә ҡушыу ғәмәлен дөйөмләштереүҙәрҙең иң абстрактлыһы булып торалыр. ''[[Тура сумма]]'' һәм ''{{нп5||ҡыйыҡ сумма||Wedge sum}}''кеүек ҡайһы бер коҡабатлауҙар, уларҙың ҡушыу ғәмәле менән бәйләнешен күрһәтеү өсөн шулай аталғандар.
== Ҡушыу менән бәйле ғәмәлдәр ==
Ҡушыу ғәмәле, алыу, ҡабатлау һәм бүлеү кеүек, төп ғәмәлдәрҙең береһе һанала һәм элементар арифметикала ҡулланыла.
=== Арифметика ===

[[Алыуҙы]] ҡушыу ғәмәленең айырым осрағы, исемләп әйткәндә, [[ҡапма-ҡаршы]] һанды ҡушыу итеп ҡарап була. Алыу ғәмәле үҙенә күрә ҡушыу ғәмәленә кире ғәмәл булып тора, йәғни ҡушыу {{mvar|x}} һәм алыу {{mvar|x}} үҙ ара [[кире функциялар]] булалар. Ҡушыу ғәмәле билдәләнгән һандар күмәклегендә һәр ваҡыт алыу ғәмәлен билдәләп булмай. Иң ябай миҫал булып натураль һандар күмәклеге тора. Икенсе яҡтан, алыу ғәмәле ҡушыу ғәмәлен һәм аддитив берәмекте аныҡ билдәләй{{sfn|Даммит и Фут|1999|с=48}}.

[[Ҡабатлауҙы]] бер нисә тапҡыр ҡабатланған ҡушыу|Multiplication and repeated addition}} тип ҡарап була. Әгәр терм {{mvar|x}} суммаға ''n'' тапҡыр инһә, был сумма ''n'' һәм {{mvar|x}}-дың ҡабатландығына тигеҙ. Әгәр ''n'' [[натураль һан]] булмаһа, ҡабатландыҡтың барыбер мәғәнәһе бар; мәҫәлән, [[-1]] һанына ҡабатлау [[ҡапма-ҡаршы]] һанды бирә.

[[Файл:Csl.JPG|слева|мини|Йоморо логарифмик линейка]]

Ысын һәм комплекслы һандарҙы ҡушыу һәм ҡабатлауҙы [[экспоненциаль функция]] ярҙамында үҙ-ара алмаштырырға була:
: ''e''<sup>''a'' + ''b''</sup> = ''e''<sup>''a''</sup> ''e''<sup>''b''</sup>{{sfn|Рудин|1976|с=178}}.

Был тождество [[логарифмдарҙың]] математик таблицаһын||Mathematical table}} ҡулланып ҡабатларға һәм ҡулдан ҡушырға, шулай уҡ [[логарифмик линейка]] ҡулланып ҡабатларға мөмкинлек бирә. Был формула шулай уҡ [[Ли группаһының]] киң контекстында беренсе тәртиптәге яҡшы яҡынлауы булып тора, ул бында Ли группаһының сикһеҙ бәләкәй элементтарын ҡабатлауҙы ярашлы [[Ли алгебраһында]] {{sfn|Ли Ж.|2013|с=526}} векторҙарҙы ҡушыу менән бәйләй.

Ҡабатлауҙа дөйөмләштереүҙәр ҡушыуҙағыға ҡарағанда ла күберәк{{sfn|Линдерхолм|1972|p=49}}. Ғөмүмән алғанда, ҡабатлау ғәмәле һәр саҡ ҡушыуға ҡарата [[дистрибутивлы]]. Был талап [[(балдаҡ математикаһында]] нығытылған. Бөтөн һандар кеүек ҡайһы бер осраҡта, ҡабатлауҙы аныҡ билдәләү өсөн, ҡабатлауҙың ҡушыуға ҡарата дистрибутивлы булыуы һәм мультипликатив берәмектең булыуы етә. Дистрибутивлыҡ үҙсәнлеге ҡушыуҙы ла характерләй; (1 + 1)(''a'' + ''b'') ҡабатландығында йәйәләрҙе ике ысул менән асып, ҡушыу коммутативлы булырға тейеш тигән һығымтаға киләбеҙ. Шул сәбәптән балдаҡта ҡушыу һәр саҡ коммутатив{{sfn|Даммит и Фут|1999|с=224|quote=Был үтәлһен өсөн ҡушыу ғәмәленең группалы операция булыуы һәм ҡабатлауға ҡарата нейтраль элементтың булыуы кәрәк.}}.

[[(математика)|Бүлеү]] — ҡушыу менән йыраҡ бәйләнеше булған арифметик операция. ''a''/''b'' = ''a''(''b''<sup>−1</sup>) булғанлыҡтан, бүлеү ҡушыуға ҡарата уңдан дистрибутивлы була: (''a'' + ''b'') / ''c'' = ''a'' / ''c'' + ''b'' / ''c''{{sfn|Лодей|2002|p=15|quote=Уңдан һәм һулдан дистрибутивлыҡ үҙсәнлеген Лодей статьяһында ҡара, бигерәк тә 15-се биттә}}. Ләкин бүлеү ҡушыуға ҡарата һулдан дистрибутивлы түгел; 1/ (2 + 2) 1/2 + 1/2-гә тигеҙ түгел.

=== Тәртипкә килтереү ===
[[Файл:Log-log plot.png|справа|мини|{{|Ике күсәр буйынса логарифмик масштабта график ||Log–log plot}} функций {{mvar|x}} + 1 и max ({{mvar|x}}, 1) для {{mvar|x}} от 0.001 до 1000{{sfn|Виро|2012|с=2}}]]
«max (''a'', ''b'')» максимумды табыу ғәмәле — ҡушыуға оҡшаған бинар операция ул. Ысынында, әгәр ике тиҫкәре булмаған ''a'' һәм ''b'' һандарының [[ҙурлыҡ тәртибе]] төрлө булһа, уларҙың суммаһы яҡынса уларҙың максимумына тигеҙ. Был яҡынлау математиканың ҡушымтаһында үтә саманан тыш файҙалы булып тора, мәҫәлән, [[Тейлора рәтен]] киҫкәндә. Шулай булыуға ҡарамаҫтан, был операция [[һанлы анализда]] һәр ваҡыт ҡыйынлыҡтарға килтерә, сөнки максимумды алыу ғәмәле кире ҡайтмалы түгел. Әгәр ''b'' ''a''-нан күпкә ҙурыраҡ булһа, (''a'' + ''b'') − ''b'' тигән ябай иҫәпләү ҡабул итә алмаҫлыҡ {{түңәрәкләү хаталары||Round-off error}}тупланыуға килтереүе мөмкин, нуль һөҙөмтәһе алырға мөмкин. Шулай уҡ ''{{|әһәмиәтен юғалтыу|||Loss of significance}}''.

Был яҡынлау сикһеҙ сикләмәгә күскәндә теүәл була башлай: әгәр ''a'' и ''b'' һандарының ҡайһылыр берәүһе [[кардиналь һан]] булһа, уларҙың кардиналь суммаһы теп-теүәл икеһенең ҙурырағына тигеҙ{{sfn|Эндертон|1977|quote=Эндертон был раҫлауҙы «Кардиналь һандар арифметикаһының йотоусы законы» тип атай; ул кардиналь һандарҙың сағыштырмалылығына һәм, шулай итеп, [[һайлау аксиомаһына]] бәйле.}} Ярашлы рәүештә, алыу ғәмәле сикһеҙ ҡеүәттәр күмәклектәре өсөн билдәләнмәгән{{sfn|Эндертон|1977|с=164}}.

Максимумды табыу, ҡушыу кеүек үк, коммутативлы һәм ассоциативлы ғәмәл. Бынан бигерәк, ҡушыу ысын һандарҙы тәртипкә килтереүҙе һаҡлағанлыҡтан, ҡушыу максимумды табыу функцияһына ҡарата, ҡабатлау ҡушыуға ҡарата булған кеүек үк дистрибутивлы:
: ''a'' + max (''b'', ''c'') = max (''a'' + ''b'', ''a'' + ''c'').
Шул сәбәпле [[тропик геометрияла]] ҡабатлау ҡушыуға алмаштырыла, ә ҡушыу максимумды табыуға. Был контекста ҡушыуҙы «тропик ҡабатлау» тип, максимумды табыуҙы — «тропик ҡушыу», ә тропик «аддитив берәмекте» — [[тиҫкәре сикһеҙлек]]{{sfn|Михалкин|2009|с=1}} тип атайҙар. Ҡайһы бер авторҙар ҡушыуҙы минималлаштырыу менән алмаштырыуға өҫтөнлөк бирәләр;был осраҡта аддитив берәмек ыңғай сикһеҙлек була{{sfn|Акян и соавторы|2006|с=4}}.

Был күҙәтеүҙәрҙе берләштерһәң, тропик ҡушыу яҡынса ғәҙәттәге логарифмдар ярҙамында ҡушыуға тап килә:
: log (''a'' + ''b'') ≈ max (log ''a'', log ''b''), был тигеҙлек логарифмдың нигеҙе ҙурая барған һайын теүәлерәк була{{sfn|Михалкин|2009|с=2}}. Әгәр [[квант механикаһындағы]]{{sfn|Литвинов|2005|с=3}} [[Планк һаны]] аналогияһы буйынса аталған ''h'' константаһын бүлеп алһаң, һәм ''h'' нулгә яҡынайғандағы «классик сикләмәне» алһаң:
: <math>\max(a,b) = \lim_{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).</math>
Был мәғәнәлә максимумды табыу ғәмәле ҡушыуҙың квантты юғалтыуы (деквантизация) була{{sfn|Виро|2012|с=4}}.

=== Ҡушыуҙың башҡа ысулдары ===
Инкременирләү, йәки [[Рекурсивная функция (теория вычислимости)|эйәреү функцияһын]] ҡулланыу — ул һанға [[1 (число)|1]-ҙе] ҡушыу.
[[Сумма (математика)|Суммалаштырыу]] — был, ғәҙәттә икенән күберәк, теләһә ниндәй күплектәге һандарҙы ҡушыу. Был төшөнсәнең айырым осраҡтары булып бер һанды суммалаштырыу (был суммалаштырыуҙың һөҙөмтәһе һандың үҙенә тигеҙ), шулай уҡ , [[0 (число)|нулгә]]{{sfn|Мартин|2011|с=49}} тигеҙ булған {{НП5|Пустая сумма|п сумма|буш сумма|Empty sum}} тора. Сикһеҙ суммалаштырыу — [[числовой ряд|һандар рәтенең]]{{sfn|Стеварт|2010|с=8}} суммаһын табыу булараҡ билдәле киң таралмаған процедура.
Сикле күмәклек буйынса берәмек функцияһын суммалаштырыу, был күмәклектең элементтары һанын {{НП5|Подсчёт|иҫәпләү||Counting}} кеүек үк һөҙөмтә бирә.
[[Интеграл|Интегралды табыу]] — был үҙенә күрә [[Континуум (теория множеств)|континуум]] буйынса, йәки, анығыраҡ һәм дөйөмөрәк әйткәндә, [[Гладкое многообразие|шыма күптөрлөлөк]] буйынса суммалаштырыу. Нуль үлсәмле күмәклек буйынса интегралды табыу суммалаштырыуға ҡайтып ҡала.
[[Линейная комбинация|Һыҙыҡлы комбинациялар]] ҡабатлау һәм суммалаштырыуҙы тап килтерә: был, һәр быуынының ҡабатлашыусыһы, ғәҙәттә [[Вещественное число|ысын]] йәки [[комплекслы һан]], булған сумма. Һыҙыҡлы комбинациялар, ябай ҡушыу ниндәйҙер нормалләштереү ҡағиҙәһен боҙған осраҡта, мәҫәлән, [[Теория игр|уйын теорияһында]] [[Стратегия (теория игр)|стратегияларҙы]] йәки [[Квантовая механика|квант механикаһында]] [[Квантовая суперпозиция|суперпозицияларҙы]] [[Квантовое состояние|тороштарын]] бутағанда, бигерәк тә файҙалы.
[[Свёртка (математический анализ)|Төргәкләү]] используется для сложения ике бәйләнешһеҙ, [[Распределение вероятностей|таралыу функцияларымен]]ән бирелгән [[Случайная величина|осраҡлы дәүмәлдәрҙе]] ҡушыу өсөн ҡулланыла. төргәкләүҙең стандарт билдәләмәһендә алыу,ҡабатлау һәм интегралды табыу ҡулланыла. Дөйөм алғанда, төргәкләүҙе «билдәләнеү өлкәһендә ҡушыу», ә векторлы ҡушыуҙы «ҡиммәттәр өлкәһендә ҡушыу» тип ҡарау урынлы.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Эйнштейн килешеүе]]
* [[Сумма (математика)|Сумма]]

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр|3}}

== Әҙәбиәт ==
* {{статья
 |автор         = Akian, Marianne; Bapat, Ravindra; Gaubert, Stephane.
 |заглавие      = Лидски-Вишик-Люстрениктың дөйөмләштерелгән теоремаһы һәм үҙ ҡиммәттәр сыуалышы теорияһында минус-плюс методтар 
 |оригинал      = Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem
 |год           = 2006
 |ссылка        = http://arxiv.org/abs/math/0112034
 |язык          = англ.
 |arxiv         = math.SP/0402090
 |ref           = Акян и соавторы
}}
* {{статья
 |автор         = Rob Austein.
 |заглавие      = Хәүефтәр йыйынтығы
 |оригинал      = The Risks Digest
 |ссылка        = http://catless.ncl.ac.uk/Risks/4.45.html
 |язык          = англ.
 |тип           = журнал
 |издательство  = Arpanet-BBoards archives
 |год           = 1987
 |том           = 4
 |выпуск        = 45
 |ref           = Хәүефтәр йыйынтығы
}}
* {{книга
 | автор         = Baez, J.; Dolan, J.
 | заглавие      = Сикһеҙ математика — 2001 һәм артабанғы йыл . Сикле күмәклектәрҙән фейнман диаграммаларына тиклем
 | оригинал      = Mathematics Unlimited — 2001 and Beyond. From Finite Sets to Feynman Diagrams
 | издательство  = Springer Berlin Heidelberg
 | год           = 2000
 | страниц       = 1236
 | isbn          = 3-540-66913-2
 | ref           = Баез
}}
* {{книга
 | автор         = Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa.
 | заглавие      = Арифметик төшөнсәләр һәм күнекмәләр үҫтереү
 | оригинал      = The Development of Arithmetic Concepts and Skills
 | издательство  = Routledge
 | год           = 2013
 | страниц       = 520
 | isbn          = 0-8058-3155-X
}}
* {{книга
 | автор         = Begle, Edward.
 | заглавие      = Башланғыс мәктәптә математика
 | оригинал      = The Mathematics of the Elementary School
 | издательство  = McGraw-Hill
 | год           = 1975
 | страниц       = 453
 | isbn          = 0-07-004325-6
 | ref           = Бегл
}}
* {{книга
 | автор         = Bergman, George.
 | заглавие      = Дөйөм адгебраға һәм универсаль ҡоролоштарға саҡырыу
 | оригинал      = An Invitation to General Algebra and Universal Constructions
 | издание       = 2-е изд
 | издательство  = Springer
 | год           = 2015
 | страниц       = 572
 | isbn          = 0-9655211-4-1
 | ref           = Бергман
}}* {{статья
 |автор         = Joshua Bloch.
 |заглавие      = Экстра, Экстра — Бының тураһында бөтәһен дә уҡырға: Бөтә бинар эҙләнеүҙәр тиерлек юҡҡа сыҡты
 |оригинал      = Extra, Extra - Read All About It: Nearly All Binary Searches and Mergesorts are Broken
 |ссылка        = http://googleresearch.blogspot.ru/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html
 |язык          = англ.
 |издание       = Official Google Research Blog
 |тип           = журнал
 |год           = 2006
 |ref           = Блотч
}}
* {{статья
 |автор         = Bogomolny, Alexander.
 |заглавие      = Нимә ул ғушыу?
 |оригинал      = What Is Addition?
 |ссылка        = http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml
 |язык          = англ.
}}
* {{книга
 | автор         = Bates Bothman.
 | заглавие      = Дөйөм мәктәп арифметикаһы
 | оригинал      = The common school arithmetic
 | издательство  = Prentice-Hall
 | год           = 1837
 | страниц       = 270
 | ref           = Ботман
}}
* {{книга
 | автор         = Bunt, Lucas N. H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D.
 | заглавие      = Элементар математиканың тарихи тамырҙары 
 | оригинал      = The Historical roots of Elementary Mathematics
 | издательство  = Prentice-Hall
 | год           = 2012
 | страниц       = 336
 | isbn          = 0-13-389015-5
}}
* {{книга
 | автор         = Burrill, Claude.
 | заглавие      = Ысын һандарҙың нигеҙҙәре
 | оригинал      = Foundations of Real Numbers
 | издательство  = McGraw-Hill
 | год           = 1967
 | страниц       = 163
 | ref           = Буррил
}}
* {{статья
 |автор         = Beckmann, S.
 |заглавие      = Математиканы башланғыс мәктәптә бөтөн һандарҙа өйрәнеү 
 |оригинал      = The twenty-third ICMI study: primary mathematics study on whole numbers
 |язык          = инглиз.
 |тип           = журнал
 |издательство  = International Journal of STEM Education
 |год           = 2014
 |ref           = Математиканы башланғыс мәктәптә бөтөн һандарҙа өйрәнеү
}}
* {{книга
 | автор         = Van de Walle, John.
 | заглавие      = Математика башланғыс һәм урта мәктәптә: үҫтереүсе уҡытыу
 | оригинал      = Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally
 | издание       = 5-е изд
 | издательство  = Pearson Education
 | год           = 2015
 | страниц       = 576
 | isbn          = 0-205-38689-X
 | ref           = Ван де Валле
}}
* {{книга
 | автор         = Weaver, J. Fred.
 | заглавие      = Ҡушыу һәм алыу: когнитив ҡараш. ҡушыу һәм алыуҙы символик күҙаллауҙар һәм ғәмәлдәр һанының интерпретациялары
 | оригинал      = Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction
 | издательство  = Taylor & Francis
 | год           = 2012
 | страницы      = 8
 | isbn          = 0-89859-171-6
}}
* {{книга
 | автор         = Williams, Michael.
 | заглавие      = Иҫәпләү техникаһы тарихы
 | оригинал      = A History of Computing Technology
 | издательство  = Prentice-Hall
 | год           = 1985
 | isbn          = 0-13-389917-9
}}
* {{книга
 | автор         = Rebecca Wingard-Nelson.
 | заглавие      = Унарлы һәм ябай кәсерҙәр: Был еңел
 | оригинал      = Decimals and Fractions: It's Easy
 | издательство  = Enslow Publishers
 | год           = 2014
 | страниц       = 64
 | isbn          = 0766042529
 | ref           = Вингард-Нельсон Р.
}}
* {{книга
 | автор         = Wynn, Karen.
 | заглавие      = Математик күнекмәләрҙе үҫтереү 
 | оригинал      = The Development of Mathematical Skills
 | издательство  = Taylor & Francis
 | год           = 1998
 | страниц       = 338
 | isbn          = 0-86377-816-X
 | ref           = Винн
}}
* {{книга
 | автор         = Viro, Oleg; Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan; Xambó-Descamps, Sebastià, eds.
 | заглавие      = Математиктарҙың Европа конгрессы: Барселона, Июль 10–14, 2000, Volume I
 | оригинал      = European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper
 | издательство  = Birkhäuser
 | год           = 2012
 | том           = 1
 | страниц       = 582
 | isbn          = 3-7643-6417-3
 | ref           = Виро
}}
* {{книга
 | автор         = Henry, Valerie J.; Brown, Richard S.
 | заглавие      = Беренсе класс уҡыусыларының төп факттарҙы өйрәнеүе
 | оригинал      = First-grade basic facts: An investigation into teaching and learning of an accelerated, high-demand memorization standard
 | издательство  = Heinemann
 | год           = 2008
 | ref           = Генри Валери Д.
}}
* {{книга
 | автор         = Dummit, D.; Foote, R.
 | заглавие      = Абстракт алгебра
 | оригинал      = Abstract Algebra
 | издательство  = Wiley
 | год           = 1999
 | страниц       = 912
 | ref           = Даммит и Фут
}}
* {{книга
 | автор         = Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda.
 | заглавие      = Математика: Тикшереүҙәр һәм ҡушымталар
 | оригинал      = Mathematics: Explorations & Applications
 | издательство  = Prentice Hall
 | isbn          = 0-13-435817-1
}}
* {{книга
 | автор         = Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra.
 | заглавие      = Электрон Цифрлы Системаларҙың нигеҙе
 | оригинал      = Electronic Digital System Fundamentals
 | издательство  = The Fairmont Press
 | год           = 2008
 | страниц       = 340
 | ref           = Дейл
}}
* {{книга
 | автор         = Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684.
 | заглавие      = Прибор-ара тоташтырыуҙа математиканы ҡулланыу принциптары 
 | оригинал      = Principles and Applications of Mathematics for Communications-electronics
 | издательство  = Headquarters, Department of the Army
 | год           = 1992
 | страницы      = раздел 5.1
 | страниц       = 268
 | ref           = АҠШ армияһы департаменты
}}
* {{книга
 | автор         = Devine, D.; Olson, J.; Olson, M.
 | заглавие      = Уҡытыусылар өсөн элементар математика 
 | оригинал      = Elementary Mathematics for Teachers
 | издательство  = Wiley
 | год           = 1991
 | ref           = Девайн һәм авторҙаштар
}}
* {{книга
 | автор         = Jackson, Albert.
 | заглавие      = Аналоглы иҫәпләүҙәр 
 | оригинал      = Analog Computation
 | издательство  = McGraw-Hill
 | год           = 1960
}}
* {{книга
 | автор         = Johnson, Paul.
 | заглавие      = Таяҡ һәм таштарҙан башлап: математикала шәхси мажаралар
 | оригинал      = From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics
 | издательство  = Science Research Associates
 | год           = 1975
 | страниц       = 552
 | isbn          = 0-574-19115-1
 | ref           = Джонсон
}}
* {{книга
 | автор         = Ifrah, Georges.
 | заглавие      = Иҫәпләү техникаһының дөйөм тарихы: абактан компьютерға тиклем
 | оригинал      = The universal history of computing: from the abacus to the quantum computer
 | издательство  = John Wiley
 | год           = 2001
 | страниц       = 410
 | ref           = Джорджс
}}
* {{книга
 | автор         = Joshi, Kapil D.
 | заглавие      = Дискрет математика нигеҙҙәре
 | оригинал      = Foundations of Discrete Mathematics
 | издательство  = New Age International
 | год           = 1989
 | страниц       = 748
 | isbn          = 978-0-470-21152-6
 | ref           = Джоши
}}
* {{книга
 | автор         = Dunham, William.
 | заглавие      = Математик Йыһан 
 | оригинал      = The Mathematical Universe
 | издательство  = Wiley & Sons
 | год           = 1994
 | страниц       = 314
 | isbn          = 0-471-53656-3
}}
* {{книга
 | автор         = Kaplan, Robert.
 | заглавие      = Бер ни ҙә нимә ул: Нулдең тәбиғи тарихы
 | оригинал      = The Nothing That Is: A Natural History of Zero 
 | издательство  = Oxford University Press
 | год           = 1999
 | страниц       = 240
 | isbn          = 0-19-512842-7
 | ref           = Каплан
}}
* {{книга
 | автор         = Florian Cajori.
 | заглавие      = Математик тамғалар тарихы
 | оригинал      = A History of Mathematical Notations
 | издательство  = The Open Court Company
 | год           = 1928
 | страниц       = 818
 | ref           = Каджори
}}
* {{книга
 | автор         = Carpenter, Thomas; Fennema, Elizabeth; Franke, Megan Loef; Levi, Linda; Empson, Susan.
 | заглавие      = Уйынлы балалар математикаһы
 | оригинал      = Children's Mathematics: Cognitively Guided Instruction
 | издательство  = Heinemann
 | год           = 2014
 | страниц       = 218
 | isbn          = 0325052875
 | ref           = Карпентер и др.
}}
* {{книга
 | автор         = Karpinski, Louis.
 | заглавие      = Арифметика тарихы
 | оригинал      = The history of arithmetic
 | издательство  = Russell & Russell
 | год           = 1925
 | страниц       = 200
 | ref           = Карпински
}}
* {{книга
 | автор         = Килпатрик Д.
 | заглавие      = Ҡушыу: математиканы өйрәнгәндә балаларға ярҙам
 | оригинал      = Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics
 | издательство  = [[w:en:National Academy Press|National Academy Press]]
 | год           = 2001
 | страниц       = 454
 | isbn          = 0-309-06995-5
 | ссылка        = http://www.nap.edu/books/0309069955/html/index.html
 | ref           = Килпатрик
}}
* {{книга
 | автор         = Conway, John B.
 | заглавие      = Бер комплекслы үҙгәреүсән функцияһы
 | оригинал      = Functions of One Complex Variable I
 | издательство  = Springer Science
 | год           = 1986
 | страниц       = 322
 | isbn          = 0-387-90328-3
 | ref           = Конвей
}}
* {{книга
 | автор         = Lee, John.
 | заглавие      = Шыма күптөрлөлөккә инеш һүҙ
 | оригинал      = Introduction to Smooth Manifolds
 | издательство  = Springer
 | год           = 2013
 | страниц       = 631
 | isbn          = 0-387-95448-1
 | ref           = Ли Ж.
}}
* {{книга
 | автор         = Li, Y., & Lappan, G.
 | заглавие      = Мәктәптә математическа уҡытыу курсы 
 | оригинал      = Mathematics Curriculum in School Education
 | издательство  = Springer
 | год           = 2013
 | страниц       = 663
 | isbn          = 9400775601
 | ref           = Ли Я.
}}
* {{книга
 | автор         = Linderholm, Carl.
 | заглавие      = Математика ҡыйынһындыра
 | оригинал      = Mathematics Made Difficult
 | издательство  = World Pub
 | год           = 1972
 | страниц       = 207
 | isbn          = 0-7234-0415-1
 | ref           = Линдерхолм
}}
* {{книга
 | автор         = Lipschutz, S., & Lipson, M.
 | заглавие      = Һыҙыҡлы алгебра проблемалары һәм теорияһының  Шаумс схемаһы
 | оригинал      = Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra
 | издательство  = Erlangga
 | год           = 2001
 | страниц       = 424
 | isbn          = 9797815714
 | ref           = Липсхатз
}}
* {{книга
 | автор         = Litvinov, Grigory; Maslov, Victor; Sobolevskii, Andreii.
 | заглавие      = Иденпотент математика һәм интервал анализы
 | оригинал      = Idempotent mathematics and interval analysis
 | издательство  = American Mathematical Soc
 | год           = 2005
 | страниц       = 370
 | isbn          = 0821835386
 | ref           = Литвинов
}}
* {{статья
 |автор         = Jean-Louis Loday.
 |заглавие      = Аритметр
 |оригинал      = Arithmetree
 |ссылка        = http://arxiv.org/abs/math/0112034
 |язык          = англ.
 |издание       = Journal of Algebra 
 |тип           = журнал
 |год           = 2002
 |месяц         = декабрь
 |число         = 22
 |номер         = 258
 |doi           = 10.1016/S0021-8693(02)00510-0
 |arxiv         = math/0112034
 | ref          = Лодей
}}
* {{книга
 | автор         = Mazur, Joseph.
 | заглавие      = Фәһемле тамғалар: Математик тамғаларҙың һәм уларҙың йәшерен көсөнөң ҡыҫҡаса тарихы
 | оригинал      = Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers
 | издательство  = Princeton University Press
 | год           = 2014
 | страниц       = 321
 | isbn          = 1400850118
 | ref           = Мазур
}}
* {{книга
 | автор         = Williams, Michael.
 | заглавие      = Иҫәпләү техникаһы тарихы
 | оригинал      = A History of Computing Technology
 | издание       = 2
 | издательство  = IEEE Computer Society Press
 | год           = 1997
 | страниц       = 426
 | isbn          = 0-13-389917-9
}}
* {{книга
 | автор         = Marguin, Jean.
 | заглавие      = Иҫәпләү машиналары төҙөлөшөнөң тарихы
 | оригинал      = Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642-1942
 | издательство  = Hermann.
 | год           = 1994
 | страниц       = 206
 | isbn          = 978-2-7056-6166-3
 | ref           = Маргун
}}
* {{книга
 | автор         = Mikhalkin, Grigory; Sanz-Solé, Marta, ed.
 | заглавие      = Тропик геометрия һәм уның ҡушымталары
 | оригинал      = Tropical Geometry and its Applications
 | издание       = 2-е изд
 | место         = Мадрин, Испания
 | издательство  = Springer Science & Business Media
 | год           = 2009
 | страниц       = 104
 | isbn          = 978-3-03719-022-7
 | ref           = Михалкин
}}
* {{книга
 | автор         = Martin, John.
 | заглавие      = Иҫәпләү теорияһы һәм телдәренә инеш һүҙ
 | оригинал      = Introduction to Languages and the Theory of Computation
 | издание       = 3
 | издательство  = McGraw-Hill
 | год           = 2011
 | страниц       = 436
 | isbn          = 0-07-232200-4
 | ref           = Мартин
}}
* {{книга
 | автор         = Mosley, F.
 | заглавие      = 5-8 йәшлек балалар менән цифрлы һыҙыҡтарҙы ҡулланыу
 | оригинал      = Using Number Lines with 5-8 Year Olds
 | издательство  = Nelson Thornes
 | год           = 2001
 | страниц       = 8
 | isbn          = 1874099952
 | ref           = Мосли
}}
* {{книга
 | заглавие      = Инглиз теленең оксфорд һүҙлеге  
 | оригинал      = Oxford English Dictionary
 | издательство  = Oxford University Press
 | год           = 2005
 | ref           = Инглиз теленең оксфорд һүҙлеге 
}}
* {{статья
 |заглавие      = Ғәмәлдәрҙе башҡарыу тәртибе
 |оригинал      = Order of Operations Lessons
 |ссылка        = http://www.algebrahelp.com/lessons/simplifying/oops/
 |язык          = англ.
 |издание       = Algebrahelp
 |тип           = журнал
 |год           = 2012
 |ref           = Ғәмәлдәрҙе башҡарыу тәртибе 
}}
* {{книга
 | автор         = Прохоров Ю.В.
 | заглавие      = [[Математик энциклопедия һүҙлеге]]
 | издательство  = Советская энциклопедия
 | год           = 1988
 | страниц       = 847
 | ref           = Математик энциклопедия һүҙлеге 
}}
* {{статья
 |автор         = James Randerson.
 |заглавие      = Филдәрҙең фигуралар төшөрөргә етерлек аҡылы бар
 |оригинал      = Elephants have a head for figures
 |ссылка        = http://www.theguardian.com/science/2008/aug/21/elephants.arithmetic
 |язык          = англ.
 |тип           = журнал
 |издательство  = Theguardian
 |год           = 2008
 |месяц         = Август
 |число         = 21
 |ref           = Филдәрҙең фигуралар төшөрөргә етерлек аҡылы бар
}}
* {{книга
 | автор         = Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J.
 | заглавие      = Физикала һәм инженерияла математик ысулдар: тулы етәкселек
 | оригинал      = Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide
 | издательство  = Cambridge University Press
 | год           = 2006
 | страниц       = 437
 | isbn          = 978-0-521-86153-3
 | ref           = Рили
}}
* {{книга
 | автор         = Rudin, Walter.
 | заглавие      = Математик анализ нигеҙҙәре
 | оригинал      = Principles of Mathematical Analysis
 | издание       = 3
 | издательство  = McGraw-Hill
 | год           = 1976
 | страниц       = 342
 | isbn          = 0-07-054235-X
 | ref           = Рудин
}}
* {{книга
 | автор         = Yeo, Sang-Soo, et al., eds.
 | заглавие      = Параллель эшкәртеү өсөн алгоритмдар һәм архитектуралар 
 | оригинал      = Algorithms and Architectures for Parallel Processing
 | издательство  = Springer
 | год           = 2010
 | страниц       = 574
 | isbn          = 3642131182
 | ref           = Санг-Су Йо
}}
* {{cite web|url=http://feb-web.ru/feb/mas/mas-abc/0encyc.htm|title= 4 томда урыҫ теле һүҙлеге|description=[[Фундаментальная электронная библиотека]] «Русская литература и фольклор»|lang=ru|archiveurl=http://www.webcitation.org/67Dr49kTU|archivedate=2012-04-27|ref=Словарь русского языка}} {{проверено|16|1|2016}}
* {{книга
 | автор         = Smith, Karl.
 | заглавие      = Хәҙерге заман математикаһының нигеҙҙәре
 | оригинал      = The Nature of Modern Mathematics
 | издание       = 3-е изд
 | издательство  = Brooks/Cole Pub. Co.
 | год           = 1980
 | страниц       = 620
 | isbn          = 0-8185-0352-1
 | ref           = Смит К.
}}
* {{книга
 | автор         = Smith, Frank.
 | заглавие      = Быяла стена: ни өсөн математика ҡыйын булып күренергә мөмкин
 | оригинал      = The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult
 | издательство  = Teachers College Press
 | год           = 2002
 | страниц       = 163
 | isbn          = 0-8077-4242-2
 | ref           = Смит Ф.
}}
* {{книга
 | автор         = Sparks, F.; Rees C.
 | заглавие      = Төп математиканы тикшереү
 | оригинал      = A Survey of Basic Mathematics
 | издание       = 4
 | издательство  = McGraw-Hill
 | год           = 1979
 | страниц       = 543
 | isbn          = 0-07-059902-5
 | ref           = Спаркс
}}
* {{книга
 | автор         = Stewart, James.
 | заглавие      = Иҫәпләмә: алдан трансцендирләү
 | оригинал      = Calculus: Early Transcendentals
 | издание       = 4
 | издательство  = Brooks/Cole
 | год           = 2010
 | страниц       = 1344
 | isbn          = 0-534-36298-2
 | ref           = Стеварт
}}
* {{книга
 | автор         = Taton, René.
 | заглавие      = Иҫәпләү механикаһы. Мин нимә беләм?
 | оригинал      = Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367
 | издательство  = Presses universitaires de France
 | год           = 1963
 |ref            = Танон
}}
* {{книга
 | автор         = Truitt, T.; Rogers, A.
 | заглавие      = Аналоглы компьютерҙар нигеҙҙәре
 | оригинал      = Basics of Analog Computers
 | издательство  = John F. Rider
 | год           = 1960
 | страниц       = 378
 | ref           = Трайт и Рождерс
}}
* {{книга
 | автор         = Ferreirós, José.
 | заглавие      = Аҡыл лабиринттары : Күмәклек теорияһы тарихы һәм уның хәҙерге математикала урыны
 | оригинал      = Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics
 | издательство  = Birkhäuser
 | год           = 2013
 | страниц       = 440
 | isbn          = 0-8176-5749-5
 | ref           = Ферриус
}}
* {{книга
 | автор         = R. Fierro.
 | заглавие      = Башланғыс мәктәп уҡытыусылары өсөн математика 
 | оригинал      = Mathematics for Elementary School Teachers
 | издательство  = Cengage Learning
 | год           = 2012
 | страниц       = 976
 | isbn          = 0538493631
 |ref            = Фиерро
}}
* {{книга
 | автор         = Flynn, M.; Oberman, S.
 | заглавие      = Алдынғы компьютер арифметик ҡоролмалар
 | оригинал      = Advanced Computer Arithmetic Design
 | издательство  = Wiley
 | год           = 2001
 | страниц       = 325
 | isbn          = 0-471-41209-0
 | ref           = Флинн и Оверман
}}
* {{книга
 | автор         = Fosnot, Catherine T.; Dolk, Maarten.
 | заглавие      = Йәш математиктар эшһеҙ тормай: ҡушыу, алыу, һан тойғоһон конструкциялау
 | оригинал      = Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction
 | издательство  = Heinemann
 | год           = 2001
 | страниц       = 193
 | isbn          = 0-325-00353-X
 | ref           = Фоснот и Долк
}}
* {{книга
 | автор         = Hempel, C. G.
 | заглавие      = Карл Г. Хемптел  философияһы: фән өлкәһендә тикшеренеүҙәр, аңлатмалар һәм рационаллек.
 | оригинал      = The philosophy of Carl G. Hempel: studies in science, explanation, and rationality
 | издательство  = Oxford University Press
 | год           = 2000
 | страниц       = 464
 | isbn          = 0195343875
 | ref           = Хемпел
}}
* {{книга
 | автор         = Horowitz, P.; Hill, W.
 | заглавие      = Схемотехника сәнғәте
 | оригинал      = The Art of Electronics
 | издание       = 2
 | издательство  = Бином
 | год           = 2009
 | страниц       = 704
 | isbn          = 0-521-37095-7
 | ref           = Хоровец и Хилл
}}
* {{книга
 | автор         = Schwartzman, Steven.
 | заглавие      = Математик һүҙҙәр: Инглиз телендә ҡулланылған математик терминдәрҙең  ҡыҫҡа Этимологик һүҙлеге
 | оригинал      = The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English
 | издательство  = MAA
 | год           = 1994
 | страниц       = 261
 | isbn          = 0-88385-511-9
}}
* {{статья
 |автор         = Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L.
 |заглавие      = Уҡытыу эҙмә-эҙлелеге
 |оригинал      = A coherent curriculum
 |язык          = англ.
 |тип           = журнал
 |издательство  = American educator
 |год           = 2002
 |ref           =  Уҡытыу эҙмә-эҙлелеге
}}
* {{книга
 | автор         = Schyrlet Cameron, Carolyn Craig.
 | заглавие      = 5 — 8 йәштә кәсерҙәрҙе ҡушыу һәм алыу
 | оригинал      = Adding and Subtracting Fractions, Grades 5 - 8
 | издательство  = Carson-Dellosa 
 | год           = 2013
 | страниц       = 64
 | isbn          = 162223006X
 | ref           = Ширлет
}}
* {{книга
 | автор         = Schubert, E. Thomas; Phillip J. Windley; James Alves-Foss.
 | заглавие      = Юғарыраҡ тәртиптәге логика теоремаларын иҫбатлау һәм уларҙың ҡулланыу: 8-се халыҡ-ара фестиваль эше
 | оригинал      = Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop
 | издательство  = Springer
 | год           = 1995
 | страниц       = 400
 | ref           = Шуберт
}}
* {{книга
 | автор         = Enderton, Herbert.
 | заглавие      = Күмәклек теорияһы элементтары
 | оригинал      = Elements of Set Theory
 | издательство  = Gulf Professional Publishing
 | год           = 1977
 | страниц       = 279
 | isbn          = 0-12-238440-7
 | ref           = Эндертон
}}

== Һылтанмалар ==
{{Навигация
 |Викисловарь  = Ҡушыу
 |Викитека     = МЭСБЕ/Ҡушыу
}}

{{Математик тамғалар}}

[[Категория:Элементар математика]]
[[Категория:Арифметик ғәмәлдәр]]