Һыҙыҡлы алгебра битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{Ук}}
[[Рәсем:Linear subspaces with shading.svg|thumb|250px|right|Өс үлсәмле [[Евклид арауығы]] '''R'''<sup>3</sup> – вектор арауығы, уның аша үткән [[һыҙыҡ]]тар һәм  [[яҫылыҡ]]тар – кәмерәк үлсәмле арауыҡтар]]
'''Һыҙыҡлы алгебра''' – [[алгебра|алгебраның]] ''һыҙыҡлы тәбиғәтле'' объекттарҙы: [[векторлы арауыҡ|векторлы]] (йәки һыҙыҡлы), арауыҡтарҙы, [[һыҙыҡлы сағылыш|һыҙыҡлы сағылыштарҙы]] һәм [[Һыҙыҡлы алгебраик тигеҙләмәләр системаһы|һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһы]]н өйрәнеүсе өлөшө. Һыҙыҡлы алгебрала ҡулланылған төп инструменттар араһында — [[Билдәләүсе|билдәләүселәр]], [[Матрица (математика)|матрицалар]], [[Эйәртеүле арауыҡ|эйәртеү]]. {{Нп5|Инварианттар теорияһы||en|Invariant theory}} һәм [[тензорлы иҫәпләмә]] ғәҙәттә (тулыһынса йәки өлөшләтә) шулай уҡ һыҙыҡлы алгебраның составында булған бүлектәр тип иҫәпләнәләр<ref name="БСЭ">{{БСЭ3|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров]]|Линейная алгебра}}</ref>.  [[Квадратик форма|Квадратик]] һәм [[Биһыҙыҡлы форма|биһыҙыҡлы]] формалар{{Переход|#Квадратичные и билинейные формы}}, [[тензор]]ҙар{{Переход|#Тензоры}} кеүек объекттар һәм [[тензорлы ҡабатландыҡ]] кеүек ғәмәлдәр туранан-тура һыҙыҡлы арауыҡтарҙы өйрәнеүҙән килеп сығалар, ләкин [[полиһыҙыҡлы алгебра|полиһыҙыҡлы алгебраға]] ҡарайҙар.

Һыҙыҡлы алгебра [[Дөйөм алгебра|дөйөм алгебра]] ысулдары менән дөйөмләштерелгән, атап әйткәндә, һыҙыҡлы (векторлы) арауыҡтың{{Переход|#Векторные пространства}} хәҙерге билдәләмәһе фәҡәт абстракт структураларға нигеҙләнә, ә һыҙыҡлы алгебраның күп һөҙөмтәләре ирекле [[Ҡулса өҫтөндә модуль|ҡулса өҫтөндә модулдәргә]] дөйөмләштерелгән. Улай ғына түгел, һыҙыҡлы алгебра алымдары дөйөм алгебраның башҡа бүлектәрендә лә киң ҡулланылалар, атап әйткәндә, йыш ҡына ошондай алым ҡулланыла, абстракт структуралар һыҙыҡлы структураларға ҡайтарып ҡалдырыла һәм улар һыҙыҡлы алгебраның сағыштырмаса ябай һәм яҡшы ентекләп өйрәнелгән саралары менән өйрәнелә. Шулай, мәҫәлән, [[күрһәтмәләр теорияһы|төркөмдәрҙең күрһәтмәләр теорияһында]] тормошҡа ашырыла{{Переход|#Теория представлений}}. [[Функциональ анализ]] [[Математик анализ|математик анализ]] һәм һыҙыҡлы алгебра ысулдарын сикһеҙ  һыҙыҡлы арауыҡтарға ҡулланыу булараҡ барлыҡҡа килгән, һәм үҙенең артабанғы дөйөмләштерелеүҙәрендә лә башлыса һыҙыҡлы алгебра ысулдарына нигеҙләнә. Һыҙыҡлы алгебра шулай уҡ күп һандағы [[Ғәмәли математика|ҡушымталарҙа]] (шул иҫәптән, [[Һыҙыҡлы программалау|һыҙыҡлы программалауҙа]]{{Переход|#Линейное программирование}}, [[Эконометрика|эконометрикала]]{{переход|#Эконометрика}}) һәм [[Тәбиғәт фәндәре|тәбиғәт фәндәрендә]] (мәҫәлән, [[Квант механикаһы|квант механикаһында]]{{Переход|#Квантовая механика}}) киң ҡулланыу таба.

== Тарихы ==
Һыҙыҡлы алгебраның тәүге элементтары [[Һыҙыҡлы тигеҙләмә|һыҙыҡлы тигеҙләмәләрҙе]] сығарыу өсөн практик иҫәпләү мәсьәләләренән килеп сыға, атап әйткәндә, {{нп5|өслө ҡағиҙә||en|Rule of three (mathematics)}} һәм {{нп5|ялған фекер ҡағиҙәһе||en|False position method}} кеүек арифметик ысулдар боронғо заманда уҡ әйтеп бирелгән. [[Евклид Башланғыстары|Евклид "Башланғыстары"нда]] «һыҙыҡлы» характерҙағы ике теория: дәүмәл теорияһы һәм бөтөн һандар теорияһы бар. Һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһын сығарыуға хәҙерге заман матрицалы ысулына яҡын ҡараш [[Боронғо Вавилон|вавилонсыларҙа]] (ике үҙгәреүсәнле ике тигеҙләмәләр системаһын сығарыуҙа) һәм [[Боронғо Ҡытай|боронғо ҡытайлыларҙа]] ("[[Туғыҙ китапта математика]]"ла, өс үҙгәреүсәнле өс тигеҙләмәләр системаһына тиклем сығарыуҙа) күренә{{Sfn|Клейнер|2007|p=79|loc=About 4000 years ago the Babylonians knew how to solve a system of two linear equations in two unknowns (a 2 × 2 system). In their famous Nine Chapters of the Mathematical Art the Chinese solved 3 × 3 systems by working solely with their (numerical) coefficients. These were prototypes of matrix methods, not unlike the “elimination methods” introduced by Gauss and others}}. Әммә [[Һыҙыҡлы алгебраик тигеҙләмәләр системаһы|һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһы]] сығарылыштарын табыуҙың төп мәсьәләләре буйынса билдәлелеккә өлгәшкәс, бүлек артабан үҫеш алмай, һәм хатта XVIII быуат аҙағы — XIX быуат башында, беренсе дәрәжә тигеҙләмәләргә ҡағылышлы проблемалар башҡа юҡ тип иҫәпләнә, шуның менән бергә, үҙгәреүсәндәр һаны тигеҙләмәләр һанынан айырмалы булған йәки һул яғында һыҙыҡлы-бәйләнешле коэффициенттар булған һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһы. дөрөҫөн әйткәндә, мәғәнәһеҙ тип иҫәпләнә{{Sfn|Бурбаки|1963|с=74}}.

Һыҙыҡлы алгебраны математиканың үҙаллы тармағы иткән ысулдар тамырҙары менән икенсе бүлектәргә ҡарай. 1630-сы йылдарҙа [[Ферма, Пьер|Ферма]], яҫы кәкре һыҙыҡтарҙы классификациялап, математикаға (һыҙыҡлы алгебра өсөн мөһим) үлсәмлек принцыбын индерә һәм аналитик геометрия мәсьәләләрен билдәһеҙҙәр һаны буйынса бүлә (бер үҙгәреүсәнле — [[Нөктә (геометрия)|нөктәне]] табыу, ике үҙгәреүсәнле — [[кәкре]]не йәки яҫылыҡта [[Нөктәләрҙең геометрик урыны|геометрик урынды]] табыу, өс үҙгәреүсәнле — [[Йөҙ|йөҙҙө]] табыу). [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] координаталарҙы үҙгәртеү һыҙыҡлы характерҙа булыуына иғтибар итеп, кәкреләрҙе тәртибе буйынса классификациялау булдыра һәм [[аффинналы үҙгәртеү]] төшөнсәһен (һәм «аффинналыҡ» һүҙен үҙен) индерә{{Sfn|Бурбаки|1963|с=75}}.

Һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһын сығарыу маҡсатында [[билдәләүсе]] төшөнсәһен беренсе индереүсе тип [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбницты]] ([[1678 йыл|1678]]{{Sfn|Прасолов|1996|с=9}} йәки [[1693 йыл]]{{Sfn|Клейнер|2007|p=80}}) иҫәпләйҙәр, ләкин был хеҙмәттәр баҫылып сыҡмай. Шулай уҡ билдәләүсе төшөнсәһе [[Сэки Такакадза]]ның [[1683 йыл|1683 йылдағы]] хеҙмәттәрендә күренә, уларҙа Сэки Такакадза Боронғо Ҡытайҙың «Туғыҙ китапта математика»һындағы <math>n</math> үҙгәреүсәнле <math>n</math>-ға тиклемге тигеҙләмәнән торған һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһын сығарыу ысулдарын дөйөмләштерә{{Sfn|Прасолов|1996|с=10}}. [[Маклорен, Колин|Маклорен]], ысынбарлыҡта [[1748 йыл]]да сыҡҡан трактатында иң ябай билдәләүселәр ҡулланып ике үҙгәреүсәнле ике тигеҙләмәләр системаһын һәм өс үҙгәреүсәнле өс тигеҙләмәләр системаһын сығарыуҙы күрһәтә{{Sfn|Клейнер|2007|p=81|loc=The first publication to contain some elementary information on determinants was Maclaurin’s Treatise of Algebra, in which they were used to solve 2 × 2 and 3 × 3 systems}}. [[Крамер, Габриэль|Крамер]] һәм [[Безу, Этьенн|Безу]] бирелгән нөктә аша үткән яҫы кәкре һыҙыҡты эҙләү проблемаһы буйынса хеҙмәттәрендә был төшөнсәне ([[1750 йыл]]да әйтеп бирелгән [[Крамер ҡағиҙәһе]]н) яңынан төҙөйҙәр, [[Вандермонд, Александр Теофил|Вандермонд]] һәм [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранж]] <math>n>3</math> осрағы өсөн индуктив билдәләмә бирәләр{{Sfn|Даан-Дальмедико|1986|c=394}}, ә билдәләүсенең тулы билдәләмәһен һәм тулыһынса үҙсәнлектәрен [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] ([[1815 йыл|1815]]) һәм [[Якоби, Карл Густав Якоб|Якоби]] (1840-се йылдар){{Sfn|Бурбаки|1963|с=74}} бирәләр. [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] иҫәбенә был мәсьәләләрҙе сығарыу өсөн, уның исеме аҫтында билдәле булған, [[Гаусс ысулы|үҙгәреүсәндәрҙе эҙмә-эҙ төшөрөп ҡалдырыу ысулын]] әйтеп биреү инә{{Sfn|Клейнер|2007|p=79}} (ысынбарлыҡта борондан һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһын сығарыу өсөн тап ошо ысул ҡулланылған да инде{{Sfn|Бурбаки|1963|с=75}}).

[[Д’Аламбер, Жан Лерон|Д’Аламбер]], [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранж]] һәм [[Эйлер, Леонард|Эйлер]], [[Дифференциаль тигеҙләмә|дифференциаль тигеҙләмәләр]] теорияһы өҫтөндә эшләп, теге йәки был күренештә [[Даими коэффициентлы һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмә#Тиң тигеҙләмә|тиң һыҙыҡлы тигеҙләмәләр]] класын айыралар һәм <math>n</math>-сы тәртиптәге бындай тигеҙләмәнең дөйөм сығарылышы <math>n</math> айырым сығарылыштың [[Һыҙыҡлы комбинация|һыҙыҡлы комбинацияһы]] була тигән фактты асыҡлағандар (әммә, шул уҡ ваҡытта сығарылыштарҙың һыҙыҡлы бәйләнештә булыу кәрәклеген билдәләп китмәгәндәр){{Sfn|Бурбаки|1963|с=75—76}}. <math>f(x, y)</math> бөтөн ҡиммәтле функцияның ҡиммәттәре күмәклеге <math>x</math> һәм <math>y</math> өҫтөндә һыҙыҡлы алмаштырыу башҡарғанда (бөтөн коэффициентлы һәм билдәләүсеһе 1-гә тигеҙ булған) үҙгәрмәй икәнен күҙәтеүҙәргә нигеҙләнеп, Лагранж [[1769 йыл]]да бөтөн һандарҙы [[квадратик форма]]лар менән күрһәтеү теорияһын эшләй, ә [[1770 йыл]]да теорияны [[Алгебраик форма|алгебраик формаларға]] тиклем дөйөмләштерә. [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]], формаларҙың эквивалентлыҡ мәсьәләләрен ҡарап, Лагранж теорияһын артабан үҫтерә һәм һыҙыҡлы алмаштырыуҙарға ҡағылышлы төшөнсәләр серияһын индерә, уларҙың иң мөһимдәренең береһе булып эйәртеүле (транспонирланған) алмаштырыу төшөнсәһе тора{{Sfn|Бурбаки|1963|с=76}}. Ошо ваҡыттан алып [[Квадратик форма|квадратик]] һәм улар менән бәйле [[Биһыҙыҡлы форма|биһыҙыҡлы]] формаларҙы арифметик һәм алгебраик тикшеренеүҙәр һыҙыҡлы алгебра предметының төп өлөшөн тәшкил итә {{Sfn|Бурбаки|1963|с=76—77, 134—137}}.

Һыҙыҡлы алгебра өсөн тағы ла бер ҡараш сығанағы булып [[проектив геометрия]] тора, уны төҙөү [[Дезарг, Жерар|Дезарг]] тарафынан XVII быуатта башлана һәм [[Монж, Гаспар|Монждың]] XVIII быуат аҙағындағы хеҙмәттәрендә һәм артабан [[Понселе, Жан-Виктор|Понселе]], [[Брианшон, Шарль Жюльен|Брианшон]] һәм [[Шаль, Мишель|Шалдың]] XIX быуат башы-урталарындағы хеҙмәттәрендә һиҙелерлек үҫеш ала. Ул ваҡыттарҙа проектив геометрияның төп өйрәнеү предметы булып, асылда квадратик формалар булып торған [[Конус киҫелеше|кониктар]] һәм [[Квадрика|квадриктар]] тора. Бынан тыш, Монж индергән проектив аруыҡтарҙың ҡаршылыҡлы булыу төшөнсәһе һыҙыҡлы арауыҡтарҙа ҡаршылыҡлы булыу ҡараштарының береһе булып тора (әммә был бәйләнеш тик XIX быуат аҙаҡтарында ғына [[Пинкерле, Сальваторе|Пинкерле]] тарафынан һиҙеп ҡалына){{Sfn|Бурбаки|1963|с=77—78}}.

Әммә һыҙыҡлы алгебраның базаһы булып ысынбарлыҡта бүлек булып инеп киткән, Гаусс тарафынан [[Комплекслы һан|комплекслы һандарҙы]] геометрик интерпретациялау буйынса хеҙмәттәрендә тасуирланған ([[1831 йыл|1831]]) һәм 1840-сы — 1850-се йылдарҙа [[Мёбиус, Август Фердинанд|Мёбиустың]], [[Грассман, Герман Гюнтер|Грассмандың]] һәм [[Гамильтон, Уильям Роуэн|Гамильтондың]] хеҙмәттәрендә тулы формаһын алған [[векторлы иҫәпләмә]] тора. Шулай, Гамильтон [[1843 йыл]]да комплекслы һандарҙы [[кватернион]]дарға тиклем дөйөмләштерә һәм уларға Гаусс кеүек геометрик интерпретация бирә (Гамильтон, шул иҫәптән, «вектор» терминын индерә), ә [[1844 йыл]]да Грассман һыҙыҡлы арауыҡтың аҫарауығын тасуирлаусы [[тышҡы алгебра]] төшөнсәһе төҙөй{{Sfn|Бурбаки|1963|с=80}}. XIX быуат аҙағында векторлы иҫәпләмәнең дөйөм танылыу алыуы векторҙарҙың шул замандың алдынғы физик-теоретиктары, беренсе нәүбәттә, [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелл]], [[Гиббс, Джозайя Уиллард|Гиббс]], [[Хевисайд, Оливер|Хевисайд]] тарафынан ҡулланылыуы менән бәйле, атап әйткәндә, физиктар тарафынан өс үлсәмле Евклид арауығында векторлы алгебра ентекләп эшләнә: векторҙарҙың [[Скаляр ҡабатландыҡ|скаляр]], [[Векторлы ҡабатландыҡ|векторлы]] һәм [[Аралаш ҡабатландыҡ|аралаш]] ҡабатландығы төшөнсәләре индерелә, [[Набла|набла-оператор]]{{Sfn|Даан-Дальмедико|1986|с=402}}, традицияға ингән символика формалаша, шулай уҡ ошо мәлдән башлап векторҙар мәктәп программаларына үтеп инә.

[[Матрица (математика)|Матрица]] төшөнсәһен — «тәүге сәбәп» [[Сильвестр, Джеймс Джозеф|Сильвестр]] [[1850 йыл]]да индерә<ref>От {{lang-la|matrix}} Күп сығанаҡтарҙа терминды Сильвестр 1848 йылда индерә тип иҫәпләнә, әммә ул йылда Сильвестр бер хеҙмәтен дә баҫтырып сығармаған, ҡарағыҙ. {{книга |автор= J. J. Sylvester |заглавие= The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester |ссылка= https://books.google.com/books?id=r-kZAQAAIAAJ&pg=PR6 |викитека= |ответственный= H. F. Baker |место= [[Кембридж (Англия)|Cambridge]] |издательство= Cambridge University Press |год= 1904 |allpages= |серия= |isbn= }}, тогда как в работе 1850 йылдағы хеҙмәтендә {{статья |автор= J. J. Sylvester |заглавие= Additions to the articles in the September number of this journal, “On a new class of theorems”, and on Pascal’s theorem|ссылка= https://books.google.ru/books?id=CBhDAQAAIAAJ&pg=PA369&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|язык= en|издание= The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science |том= XXXVII |страницы= 363—370}}: <cite>«…This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants…»</cite></ref>{{Sfn|Клейнер|2007|p=82|loc=… the term “matrix” was coined by Sylvester in 1850}}. [[Кэли, Артур|Кэли]] [[1858 йыл]]да "Матрицалар теорияһы тураһында мемуар"ын ({{lang-en|Memoir on the theory of matrices}}) баҫтырып сығарып, матрицалар иҫәпләмәһен ентекләп эшләй, Кэлиҙың матрицаларҙы һыҙыҡлы алмаштырмалар өсөн нотация итеп ҡарауы принципиаль {{Sfn|Бурбаки|1963|с=80}}. Атап әйткәндә, Кэли был хеҙмәтендә матрицаларҙы [[Матрицаларҙы ҡушыу|ҡушыу]] һәм [[Матрицаларҙы ҡабатлау|ҡабатлау]], [[Кире матрица|матрицаларҙы әйләндереү]] төшөнсәләрен индерә, [[Матрицаның характерлы күпбыуыны|мМатрицаларҙың характерлы күпбыуындарын]] ҡарай һәм 2×2 һәм 3×3 осраҡтары өсөн квадрат матрицаның характерлы күпбыуыны нулгә әйләнеү тураһында раҫлауҙы ([[Гамильтон — Кэли теоремаһы]] булараҡ билдәле булған, сөнки 4×4 осрағын Гамильтон кватерниондарҙы ҡулланып иҫбатлай) әйтеп бирә һәм иҫбатлай, дөйөм осраҡ өсөн [[Фробениус, Фердинанд Георг|Фробениус]] иҫбатлай ([[1898 йыл|1898]]). Һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системалары матрица-векторлы күренештә беренсе башлап [[Лагерр, Эдмон Никола|Лагерр]] хеҙмәттәрендә күренә ([[1867 йыл|1867]]).

{{Нп5|Инварианттар теорияһы||en|Invariant theory}} классик вариантта — [[Алгебраик форма|алгебраик формаларҙың]] һыҙыҡлы үҙгәртеүҙәрҙә һаҡланған үҙсәнлектәре тураһында фән, 1840-сы йылдарҙан башлап Кэли, [[Эрмит, Шарль|Эрмит]] һәм Сильвестр («инвариантлы өсәү» булараҡ билдәле булған {{lang-fr|la trinité invariantive}}) хеҙмәттәрендә формалашҡан, тап инварианттар теорияһы{{Sfn|Бурбаки|1963|с=82}} һыҙыҡлы тигеҙләмәләрҙең ирекле системаларын сығарыу ҡағиҙәләрен булдырыуға килтергән тип иҫәпләнә. Атап әйткәндә, Эрмит{{Уточнить}}<!-- в <xxx году>--> айырым осраҡта һыҙыҡлы Диофант тигеҙләмәләре системаһын сығарыу проблемаһын әйтеп биргән һәм сығарған, дөйөм осраҡ өсөн сығарыу юлы {{не переведено 2|Смит, Генри Джон Стивен|Смит|en|Henry John Stephen Smith}} тарафынан табыла, һөҙөмтәһе, 1878 йылда [[Фробениус, Фердинанд Георг|Фробениус]] тарафынан асылғанға тиклем, иғтибарһыҙ ҡала{{Sfn|Бурбаки|1963|с=82}}. Ирекле һанлы коэффициентлы һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системалары тураһында һөҙөмтәләр һуңғы күренешен [[Кронекер, Леопольд|Кронекер]] ойошторған хеҙмәттәрҙә ала, унда [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрасс]], Фробениус һәм немец ғалимдары төркөмө ҡатнаша, төп иғтибар әйтелештәрҙең (формулировкаларҙың) ҡәтғилегенә һәм аныҡлығына бүленә. Атап әйткәндә, Кронекер — Вейршртасс лекциялар курсында билдәләүсе <math>n</math>-үлсәмле аруыҡтың <math>n</math> векторынан полиһыҙыҡлы тамға үҙгәреүсәнле функция булараҡ индерелә, ул берәмек матрица өсөн 1 ҡиммәте ҡабул итерлек итеп нормалаштырыла; шуның менән бергә был билдәләмә [[Тышҡы алгебра|Грассман иҫәпләмәһенән]] килеп сыҡҡанға эквивалентлы{{Sfn|Бурбаки|1963|с=82}}{{Sfn|Клейнер|2007|p=81}}. Фробениус [[1877 йыл]]да [[матрица рангы]] төшөнсәһе индерә, яҡын йылдарҙа уға нигеҙләнеп бер юлы бер нисә ғалим һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаларының сиселеүсәнлеге уның төп һәм киңәйтелгән матрицаларының рангтары тап килеү менән эквивалентлы (тиң көслө) булыуы тураһында раҫлауҙы иҫбатлайҙар. Был раҫлау урыҫ һәм поляк сығанаҡтарында [[Кронекер — Капелли теоремаһы]], француз сығанаҡтарында — {{не переведено 2|Руше, Эжен|Руше|fr|Eugène Rouché}} — Фонтене ({{lang-fr|Georges Fontené}}) теоремаһы, немец һәм испан сығанаҡтарында — Руше — Фробениус теоремаһы, итальян һәм инглиз сығанаҡтарында — Руше — [[Капелли, Альфредо|Капелли]] теоремаһы булараҡ билдәле.

[[1888 йыл]]да [[Пеано, Джузеппе|Пеано]] Грассман иҫәпләмәһе базаһында беренсе тапҡыр асыҡтан-асыҡ һыҙыҡлы арауыҡ (ысын һандар яланы өҫтөндә векторлы арауыҡтарҙың, шул иҫәптән сикһеҙ үлсәмле арауыҡтарҙың) аксиомаларын әйтеп бирә һәм XX—XXI быуаттарҙа ҡулланыуҙа һаҡланған тамғалауҙарҙы ҡуллана{{Sfn|Бурбаки|1963|с=84}}. [[Тёплиц, Отто|Тёплиц]] 1910-сы йылдар башында, һыҙыҡлы арауыҡтарҙы аксиомалаштырыу ярҙамында, һыҙыҡлы алгебраның төп теоремаларын иҫбатлау өсөн билдәләүсе төшөнсәһенә таяныу кәрәкмәй икәнен күреп ҡала, был уларҙың һөҙөмтәләрен сикһеҙ һандағы үлсәм осрағына таратырға мөмкинлек бирә, икенсе төрлө әйткәндә, һыҙыҡлы алгебра теләһә ниндәй төп [[Ялан (математика)|ялан]] өсөн ҡулланыла ала{{Sfn|Бурбаки|1963|с=84}}. Векторлы һәм Евклид арауыҡтарының аксиоматик билдәләмәһе, [[квант механикаһы]] талабынан сығып, беренсе булып XX быуат башында бер үк ваҡытта тиерлек [[Вейль, Герман|Вейль]] һәм [[Нейман, Джон фон|фон Нейман]] тарафынан аныҡ итеп әйтеп бирелә<ref>{{книга
 |автор         = Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.
 |заглавие      = Линейная алгебра и геометрия
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = Москва
 |издательство  = Физматлит
 |год           = 2009
 |pages         = 511
 |columns       = 
 |allpages      = 
 |серия         = 
 |isbn          = 978-5-9221-1139-3
 |тираж         = 1000
}}
</ref>.

[[Риччи-Курбастро, Грегорио|Риччи]] һәм [[Леви-Чивита, Туллио|Леви-Чивита]] тарафынан 1890-се йылдарҙа эшләнгән [[тензорлы иҫәпләмә]], үҙенең алгебраик өлөшө менән, полиһыҙыҡлы алгебраның төп йөкмәткеһен тәшкил итә. Был аҫбүлеккә төп иғтибар, 1910-сы — 1930-сы йылдарҙа тензорҙарҙы [[Эйнштейн, Альберт|Эйнштейн]] һәм [[Гильберт, Давид|Гильберт]] [[Дөйөм сағыштырмалыҡ теорияһының математик формулировкаһы|дөйөм сағыштырмалыҡ теорияһының математик һүрәтләүендә]] киң ҡулланыуҙары арҡаһында, йәлеп ителә.

[[1922 йыл]]да [[Банах, Стефан|Банах]], уның хеҙмәттәренән һуң [[Банах арауығы]] булараҡ билдәле булған, [[Тулы метрик арауыҡ|тулы]] [[Нормалаштырылған арауыҡ|нормалаштырылған]] һыҙыҡлы арауыҡтарҙы өйрәнеп, сикле осраҡта уҡ үҙенең эйәртеүенә [[Изоморфизм (математика)|изоморфлы]] булмаған һыҙыҡлы арауыҡтар барлыҡҡа килә икәнен күрә{{Sfn|Бурбаки|1963|с=84}}, һәм ошоноң менән бәйле XX быуаттың беренсе яртыһында һыҙыҡлы алгебраның ысулдары һәм һөҙөмтәләре, уның төп предметын — [[Топологик векторлы арауыҡ|топологик һыҙыҡлы арауыҡтарҙы]] өйрәнеүҙе заманса әйтеп биреп, [[функциональ анализ]]ды байыта<ref>{{книга |автор=Данфорд Н., Шварц Дж.|заглавие=Линейные операторы|часть = Предисловие ([[Костюченко, Анатолий Гордеевич|Костюченко А. Г.]], научный редактор) |место= М. |издательство= [[Иностранная литература (издательство)|Иностранная литература]]|год= 1962 |страницы=5—6}} <cite>Однако в функциональном анализе есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит и теория линейных операторов, которую иногда называют становым хребтом функционального анализа.</cite></ref>. Шулай уҡ 1920-се — 1950-се йылдарҙа дөйөм алгебраны һыҙыҡландырыу буйынса йүнәлеш таралыу ала, шулай, [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекиндтың]] яландың теләһә ниндәй [[автоморфизм]]дарының һыҙыҡлы бәйләнешһеҙлеге тураһында нәтижәһен үҫтереп, [[Артин, Эмиль|Артин]] [[Галуа теорияһы]]н һыҙыҡландыра, ә 1950-се йылдарҙа, иң беренсе [[Джекобсон, Натан|Джекобсон]] хеҙмәттәрендә, был нәтижәләр [[Есем (алгебра)|есемдәрҙең]] ирекле киңәйтеүенә дөйөмләштерелә{{Sfn|Бурбаки|1963|с=85}}; шул арҡала яҡшы өйрәнелгән һыҙыҡлы алгебраның инструменттарын һәм ҡаҙаныштарын [[Дөйөм алгебра|дөйөм алгебраның]] үтә абстракт бүлектәрендә ҡулланырға мөмкин була.
[[Файл:LDU decomposition of Walsh 16.svg|thumb|LU-тарҡалыу алгоритмы схемаһы]]
XX быуаттың икенсе яртыһынан, [[компьютер]]ҙар барлыҡҡа килеү, [[иҫәпләү математикаһы]] һәм [[Символлы иҫәпләүҙәр|компьютер алгебраһы]] ысулдарының үҫешеүе менән, һыҙыҡлы алгебра сиктәрендә иҫәпләү йүнәлеше — һыҙыҡлы алгебра мәсьәләләрен, иҫәпләү техникаһын ҡулланып, эффектив сығарыуҙы тәьмин итеүсе ысулдарҙы һәм алгоритмдарҙы эҙләү йылдам үҫеш ала, үҙаллы бүлек {{не переведено 2|Һыҙыҡлы иҫәпләү алгебраһы|һыҙыҡлы иҫәпләү алгебраһы|en|numerical linear algebra}} барлыҡҡа килә, ә һыҙыҡлы алгебра мәсьәләләрен сисеү компьютерҙарҙы ҡулланыуҙың иң мөһим практик тармағы булып китә. Был йүнәлеште эшләүгә башланғыс биргән хеҙмәттәр иҫәбендә, [[Тьюринг, Алан|Тьюринг]] тарафынан квадрат матрицаның өҫкө һәм аҫҡы [[Өсмөйөшлө матрица|өсмөйөшлөләргә]] [[LU-тарҡалыу]]алгоритмын төҙөүе тора ([[1948 йыл|1948]])<ref>{{книга
 |автор         = Poole, D.
 |заглавие      = Linear Algebra: A Modern Introduction
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 2nd edition
 |место         = [[Белмонт (Калифорния)|Belmont]]
 |издательство  = Brooks/Cole
 |год           = 2006
 |pages         = 179
 |columns       = 1
 |allpages      = 714
 |серия         = 
 |isbn          = 0-534-99845-3
 |тираж         = 
}}
</ref>. Иҫәпләү системалары ҡатмарлы һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаларын LU-тарҡалыу ҡулланып сығарырға тейеш булған {{нп5|Тест Linpack|тест Linpack|en|LINPACK benchmarks}} нәтижәләре, күсеп йөрөүсе өтөр менән иҫәпләүҙәрҙе башҡарыу нәтижәлелегенең төп күрһәткесе тип иҫәпләнә, шул иҫәптән [[Кластер (компьютерҙар төркөмө)|кластер системалар]] өсөн дә. 1950-се — 1960-сы йылдарҙа һыҙыҡлы иҫәпләү алгебраһы өлкәһендә [[Фаддеев, Дмитрий Константинович|Фаддеев]] һәм [[Уилкинсон, Джеймс Харди|Уикинсон]] тарафынан ҙур тикшеренеүҙәр баҫтырылып сығарыла, 1970-се — 2000-се йылдарҙа [[Марчук, Гурий Иванович|Марчук]], [[Самарский, Александр Андреевич|Самарский]], [[Годунов, Сергей Константинович|Годунов]], {{не переведено 2|Голуб, Джин|Голуб|en|Gene H. Golub}}, [[Аксельсон, Ове|Аксельсон]] тарафынан ҙур һөҙөмтәләргә өлгәшелә<ref>{{cite web
 |url         = http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1178356&uri=page1.html
 |title       = Линейная алгебра: от Гаусса до суперкомпьютеров будущего
 |author      = [[Ильин, Валерий Павлович|Ильин В. П.]]
 |date        = 1999-06-01
 |work        = [[Природа (журнал)|Природа]], 1999, № 6
 |publisher   = 
 |accessdate  = 2013-05-02
 |lang        = en
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6GVpuiIrY?url=http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1178356
 |archivedate = 2013-05-10
 |deadlink    = no
}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160305031702/http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1178356&uri=page1.html |date=2016-03-05 }}</ref>.

== Төп конструкциялар ==

=== Матрицалар һәм билдәләүселәр ===
{{Main|Билдәләүсе|Матрица (математика)}}
''[[Матрица (математика)|Матрица]]'' — үлсәме <math>m \times n</math> булған тура мөйөшлө таблицаға яҙылған математик объект, уның ячейкаларында ирекле алдан һайланған (төп) [[Ялан (математика)|яландың]] (дөйөмөрәк осраҡта — ассоциатив [[Ҡулса (математика)|ҡулсаның]]{{Sfn|Мальцев|1970|с=12}}) элементтары урынлашҡан — улар, ҡушымталарға һәм мәсьәләләргә бәйле, [[Бөтөн һан|бөтөн]], [[Ысын һан|ысын]] йәки [[Комплекслы һан|комплекслы]] һандар [[Вектор (математика)|векторҙар]], [[рациональ функция]]лар булырға мөмкиндәр:
: <math>\begin{pmatrix} 
a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ 
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ 
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} 
\end{pmatrix}</math>
Матрицалар өсөн шулай уҡ ҡыҫҡартылған яҙыу ҡулланыла <math>(a_{ij})</math>, ләкин ғәҙәттә матрицалар менән берҙәм объекттар кеүек эш итәләр: матрицалар өҫтөндә [[Матрицаларҙы ҡушыу|ҡушыу]] һәм [[Матрицаларҙы ҡабатлау|ҡабатлау]] ғәмәлдәре билдәләнгән, шулай уҡ матрицаны төп ялан элементына — ''[[скаляр]]ға ҡабатларға'' мөмкин. Матрицалар был ғәмәлдәргә ҡарата төп ялан өҫтөндә [[векторлы арауыҡ]]{{Переход|#Векторные пространства}} (йәки, дөйөмөрәк осраҡта — [[ҡулса өҫтөндә модуль]]) төҙөйҙәр. Матрицалар өҫтөндә башҡа ғәмәлдәр — [[Матрицаны транспонирлау|транспонирлау]] (юлдарҙы бағаналарға алмаштырыу) һәм [[Псевдо кире матрица|псевдо әйләндереү]] ([[Кире матрица|квадрат матрицаларҙы әйләндереүҙе]] дөйөмләштереү). <math>1 \times n</math> һәм <math>m \times 1</math> үлсәмле матрицалар ярашлы рәүештә вектор-юл йәки вектор-бағана тип аталалар.

Юлдары һәм бағаналары һаны тигеҙ булған матрица [[Квадрат матрица|квадрат]] матрица тип атала. Йөкмәткеһенә бәйле рәүештә улар [[Диагональ матрица|диагональ]] (төп яландың диагоналдәгенән башҡа бөтә элементтары — нулдәр: <math>i \neq j \Rightarrow a_{ij} = 0</math>), [[Берәмек матрица|берәмек]] (төп яландың диагоналдәге бөтә элементтары бергә, ә ҡалғандары — нулгә тигеҙ), [[Симметрик матрица|симметрик]] (бөтә элементтары төп диагоналгә ҡарата симметрик: <math>a_{ij} = a_{ji}</math>), [[Ҡыя симметрик матрица|ҡыя симметрик]] (<math>a_{ij} = - a_{ji}</math>), [[Өсмөйөшлө матрица|өсмөйөшлө]] (төп диагоналдән өҫтәге һәм аҫтағы бөтә элементтары нулгә тигеҙ), [[Ортогональ матрица|ортогональ]] булырға мөмкин. Квадрат матрицалар араһында [[Оҡшаш матрицалар|оҡшашлыҡ]] бәйләнеше индерелә (<math>A \sim B \Leftrightarrow \exists P (A = P^{-1} \cdot B \cdot P</math>), бында <math>P^{-1}</math> — <math>P</math>-ға [[Кире матрица|кире]] матрица), матрицаларҙың [[Матрица рангы|ранг]] (һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ юлдар һәм бағаналарҙың максималь һаны) һәм [[Матрицаның характерлы күпбыуыны|характерлы күпбыуын]] кеүек характеристикалары оҡшашлыҡҡа ҡарата [[Инвариант (математика)|инвариантлы]]{{Sfn|Мальцев|1970|с=55—59}}. Шулай уҡ оҡшаш тура мөйөшлө матрицалар өсөн [[Матрицаның эҙе|эҙ]] (төп диагональ элементтарының суммаһын алыу) һәм билдәләүсе кеүек характеристикалар бер үк.

''[[Билдәләүсе]]'' — тура мөйөшлө матрицаның элементтарын айырым ысул менән комбинациялаған [[күпбыуын]], уның арҡаһында юл һәм бағаналарҙы транспонирлауға һәм һыҙыҡлы комбинацияларына бәйһеҙ рәүештә матрицаның миҡдары билдәләнә; атап әйткәндә, әгәр матрицала һыҙыҡлы-бәйле юлдар йәки бағаналар булһа — билдәләүсе нулгә тигеҙ. Билдәләүсеһе нулгә тигеҙ булған квадрат матрицалар ''[[Үҙгәртелгән матрица|үҙгәртелгән]]'' тип аталалар, улар өсөн әйләндереү билдәләнмәгән; әгәр билдәләүсе нулгә тигеҙ булмаһа — матрица ''[[Үҙгәртелмәгән матрица|үҙгәртелмәгән]]'' тип атала. Билдәләүсе һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаларын дөйөм күренештә сығарыуҙа төп роль уйнай, уның базаһында [[Матрица миноры|минор]], [[өҫтәлмә минор]], [[алгебраик өҫтәлмә]] төшөнсәләре индерелә{{Sfn|Прасолов|1996|с=9—29}}.

=== Векторҙар ===
{{Main|Векторное исчисление}}
''[[Вектор (математика)|Вектор]]'' төшөнсәһе («вектор» термины үҙе [[Гамильтон, Уильям Роуэн|У. Гамильтон]] тарафынан индерелә) беренсе башлап [[тиҙлек]], [[көс моменты]], [[электр ҡыры көсөргәнеше]], [[магнитланыусанлыҡ]] кеүек бер үк ваҡытта дәүмәл һәм йүнәлеш менән дә характерланыусы, бер үк ваҡытта дәүмәл һәм йүнәлеш менән өйрәнелеүсе объекттар өсөн геометрик абстракция булараҡ барлыҡҡа килә. XX быуат башында векторҙарҙың баштағы (элементар математикала әлегә тиклем ҡулланылыусы) «йүнәлешле киҫек» булараҡ интерпретацияһы ике ғәмәл менән [[векторлы арауыҡ]] аксиоматикаһына алмаштырылаː векторҙарҙы [[Вектор (математика)#Ҡушыу|ҡушыу]] һәм векторҙы һанға (дөйөмөрәк, [[Ялан (алгебра)|ялан]] элементтарына) ҡабатлау. Бынан тыш, йыш ҡына векторҙарҙы ҡабатлауҙың төрлө төрҙәре индерелә: [[Скаляр ҡабатландыҡ|скаляр]], [[Векторлы ҡабатландыҡ|векторлы]], [[Ҡатнаш ҡабатландыҡ|ҡатнаш]], [[Ялған скаляр ҡабатландыҡ|ялған скаляр]], [[икеләтә векторлы ҡабатландыҡ|икеләтә векторлы]] ҡабатлау.

Һыҙыҡлы алгебрала векторҙарҙың [[Һыҙыҡлы бәйһеҙлек|һыҙыҡлы бәйһеҙлеге]] төшөнсәһе төп ролде уйнай, ул векторлы арауыҡтың ''базисы'' һәм ''үлсәме'' билдәләмәләренең нигеҙендә ятаː әгәр векторлы арауыҡтың <math>n</math> һыҙыҡлы бәйһеҙ векторы булһа һәм был арауыҡтың теләһә ниндәй <math>k>n</math> векторы һыҙыҡлы бәйләнгән булһа, <math>n</math> һаны векторлы арауыҡтың үлсәме тип атала. Бындай векторлы арауыҡ <math>n</math>-үлсәмле тип атала, һәм уның теләһә ниндәй векторы <math>n</math> тәртипкә һалынған һандар (ниндәйҙер базисты һайлап алғанда бер төрлө генә билдәләнгән) эҙмә-эҙлелеге менән күрһәтелә. Шулай итеп, векторҙар <math>1 \times n</math> йәки <math>n \times 1</math> үлсәмендәге матрицалар — ярашлы рәүештә вектор-бағаналар һәм вектор-юлдар күренешендә яҙылырға мөмкин, ә векторлы алгебраның бөтә ғәмәлдәре матрицалар алгебраһына ҡайтарып ҡалдырылырға мөмкинː мәҫәлән, векторҙарҙы ҡушыу матрицаларҙы ҡушыу менән тап килә, ә векторҙарҙы векторлы ҡабатлау беренсе ҡабатлашыусынан һәм икенсе ҡабатлашыусы булған вектор-бағананан төҙөлгән [[Ҡыя симметрик матрица|ҡыя симметрик матрицаның]] ҡабатландығы рәүешендә [[Векторлы ҡабатландыҡ#Матрицалар формаһына үҙгәртеү|күрһәтелергә]] мөмкин.

=== Тензорҙар ===
{{Main|Тензорное исчисление}}
[[Тензор]]ҙар һыҙыҡлы алгебра объекттары тураһында күҙаллауҙарҙың тәбиғи үҫеше булараҡ барлыҡҡа киләләр: әгәр скаляр <math>n</math>-үлсәмдә нуль үлсәмле ([[Ялан (математика)|яландың]] тик бер генә элементынан торған) объект, вектор — бер үлсәмле массив (<math>1 \times n</math> үлсәмле матрица), һыҙыҡлы үҙгәртеү  — [[Һыҙыҡлы үҙгәртеү#Һыҙыҡлы оператор матрицаһы|ике үлсәмле матрица]] булһа, ул саҡта тензор <math>n \times n \times \cdots \times n</math> үлсәмле ялан элементтарының күп үлсәмле массивы булып күрһәтелергә мөмкин (массивтың үлсәмдәре һанын [[Тензорҙың валентлығы|тензорҙың валентлығы]] тип атайҙар), ә скалярҙар, векторҙар, һыҙыҡлы операторҙар тензорҙың айырым осраҡтары булып сығалар (ярашлы рәүештә 0, 1 һәм 2 валентлы). Тензор төшөнсәһен ҡулланыуҙа артабанғы дөйөмләштереү [[Һыҙыҡлы функционал|һыҙыҡлы функционалды]] [[ковектор]] итеп күрһәтеү мөмкинлегенән һәм арауыҡ һәм уның [[Эйәртеүле арауыҡ|эйәртеүе]] — уның һыҙыҡлы функционалдары арауығы араһында ҡапма-ҡаршылыҡ идеяһынан алынған; был мөмкинлекте файҙаланып, <math>r</math> валентлы тензор <math>l</math> тапҡыр [[Контравариантлыҡ|контравариантлы]], йәғни, «ғәҙәттәге» базиста ярашлы  компоненттары менән ҡаралыусы, һәм <math>k</math> тапҡыр [[ковариантлыҡ|ковариантлы]], йәғни, эйәртеүле арауыҡта компоненттары менән (<math>r=k+l</math>, «ранг тензоры <math>(l, k)</math>») итеп ҡарала.

[[Тензорлы алгебра (һыҙыҡлы алгебра бүлеге)|Тензорлы алгебрала]] тензорҙар өҫтөндә скалярға ҡабатлау, ҡушыу, [[Тензорҙы төрөү|төрөү]] кеүек һыҙыҡлы операциялар индерелә һәм өйрәнелә. [[Тензорлы ҡабатлау]] операцияһы (<math>\otimes</math>) айырым ҙур роль уйнай, уны һыҙыҡлы арауыҡтарға дөйөмләштереү тензор билдәләмәһен дөйөмләштерергә мөмкинлек бирә: <math>V</math> һыҙыҡлы арауығында <math>(l, k)</math> ранглы тензорҙы <math>V</math>-ның <math>k</math> экземплярының һәм уға [[Эйәртеүле арауыҡ|эйәртеүле]] <math>V^*</math> арауығының <math>l</math> экземплярының тензорлы ҡабатландығы элементы итеп ҡарала:
: <math> \begin{matrix} \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V} & \otimes  & \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^*} \\ k & & l \end{matrix}</math>.

=== Квадрат һәм биһыҙыҡлы формалар ===
{{main|Квадратик форма|Билинейная форма}}
Алгебраик формалар (Векторлы арауыҡтарҙа вектор координаталарынан тиң күпбыуындар менән бирелгән [[Тиң күпбыуын|тиң күпбыуындар]]) [[Полиһыҙыҡлы алгебра|полиһыҙыҡлы алгебраға]] ҡарайҙар, ләкин квадратик, биһыҙыҡлы формалар, һәм формаларҙың ҡайһы бер махсус төрҙәре ([[бер ярым һыҙыҡлы форма|бер ярым һыҙыҡлы]], [[Эрмитов формаһы|эрмитов]]) шулай уҡ һыҙыҡлы алгебрала мөһим. Биһыҙыҡлы һәм квадратик формаларҙың әһәмиәте шунда, улар һыҙыҡлы операторҙар кеүек үк матрицалар аша күрһәтеләләр.
Симметрик <math>(B(x,y)=B(y,x))</math> һәм ҡыя симметрик <math>(B(x,y)= - B(y,x))</math> биһыҙыҡлы формаларҙың үҙсәнлектәре нығыраҡ ентекле өйрәнелгән.

=== Векторлы арауыҡтар ===
{{Main|Векторное пространство}}
Һыҙыҡлы алгебрала өйрәнелгән бөтә математик структуралар — векторҙар, тензорҙар, матрицалар, алгебраик формалар, шулай уҡ улар өҫтөндә операциялар, векторлы (һыҙыҡлы) арауыҡтың [[Дөйөм алгебра|дөйөм алгебраик]] төшөнсәһендә универсаллаштырылған. [[Векторлы арауыҡ]] <math>\langle V, \mathfrak F, +, \cdot \rangle</math> ''векторҙар'' тип аталған ирекле элементтар күмәклеге <math>V</math>, һәм элементтары ''скалярҙар'' тип аталған ирекле [[Ялан (алгебра)|ялан]] <math>\mathfrak F</math> өҫтөндә [[Алгебра (универсаль алгебра)|алгебра]] булараҡ билдәләнә, шуның менән бергә векторҙар векторҙарҙы ҡушыу ғәмәле менән бергә <math>\langle V, + \rangle</math> [[Абель төркөмө]] барлыҡҡа килтерә, һәм векторҙарҙы скалярға ҡабатлау ғәмәле индерелә: <math>\cdot : \mathfrak F \times V \to V</math> шундай, бында ошо үҙсәнлектәр үтәлә (<math>1, \alpha, \beta \in \mathfrak F, \, \mathbf v, \mathbf u \in V</math>):
: <math>1 \cdot \mathbf v = \mathbf v</math>,
: <math>\alpha \cdot (\mathbf v + \mathbf u) = \alpha \cdot \mathbf v + \alpha \cdot \mathbf u</math>,
: <math>(\alpha + \beta) \cdot \mathbf v = \alpha \cdot \mathbf v + \beta \cdot \mathbf v</math>,
: <math>(\alpha \beta) \cdot \mathbf v = \alpha \cdot (\beta \cdot \mathbf v)</math>.

Ялан сифатында ҡайһы берҙә махсус рәүештә ғәҙәттәге ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәре менән ысын һандар яланы (ул саҡта ысын векторлы арауыҡ тураһында һөйләйҙәр) йәки [[Комплекслы һан|комплекслы һандар]] яланы (комплекслы векторлы арауыҡ) ҡарала, атап әйткәндә, [[Ҡабарынҡы күмәклек|ҡабарынҡы күмәклек]] теорияһында күп нәтижәләр тап ысын йәки комплекслы векторлы арауыҡтар өсөн әйтеләләр<ref name="МЭ-В">{{Из|МЭ|заглавие=Векторное пространство|автор=Кадец М. И.|ссылка = http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/692/ВЕКТОРНОЕ}}</ref>. Әммә раҫлауҙарҙың күп өлөшө һәм конструкцияларҙың күпселеге ирекле яландар өсөн дөрөҫ, улай ғына түгел, һыҙыҡлы алгебраның векторлы арауыҡтар өсөн алынған күп нәтижәләре, XX быуатта коммутатив булмаған [[Есем (алгебра)|есемдәр]] өҫтөндә [[Унитар модуль|унитар модулдәргә]] һәм хатта ирекле [[Ҡулса өҫтөндә модуль|ҡулса өҫтөндә модулдәргә]] йәки билдәле бер сикләүҙәр менән модулдәргә тиклем дөйөмләштерелә.

Векторҙарҙың һыҙыҡлы комбинациялары — <math>\alpha_1 \mathbf v_1 + \dots + \alpha_n \mathbf v_n</math> күренешендәге сикле суммалар, векторҙар йыйылмаһы өсөн һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ индерелә (әгәр тривиаль булмаған һыҙыҡлы комбинация булһа, арауыҡтың Абель төркөмөнөң нуленә әйләнгән), [[Базис (математика)|базис]] төшөнсәһе максималь һыҙыҡлы-бәйләнешһеҙ йыйылма итеп индерелә, базистың ҡеүәте ([[Векторлы арауыҡ үлсәнеше|векторлы арауыҡтың үлсәнеше]] тип аталған) уны һайлап алыуға бәйле түгел икәне иҫбат ителә.

Векторлы арауыҡтарҙы, уларҙы [[ярымнорма]]лар, [[Норма (математика)|нормалар]], [[Метрика (математика)|метрикалар]], [[Топология (күмәклектәр ғаиләһе)|топологиялар]] менән тәьмин итеү кеүек, артабанғы дөйөмләштереүҙәр [[Функциональ анализ|функциональ анализда]] өйрәнелә.

===  Һыҙыҡлы сағылыштар ===
{{Main|Линейное отображение}}
Башҡа алгебраик структуралар теорияларына оҡшаш рәүештә, һыҙыҡлы алгебра векторлы арауыҡтар араһында, векторлы арауыҡтың структураһын һаҡлаусы, сағылыштарҙы өйрәнә. Бер ялан өҫтөндә ирекле векторлы арауыҡтарҙың һыҙыҡлы сағылышы (һыҙыҡлы үҙгәртеү, һыҙыҡлы операторы) <math>L: V \to U</math> — һыҙыҡлы булыуҙы һаҡлаусы сағылыш:
: <math>L (\mathbf v_1 + \mathbf v_2) = L (\mathbf v_1) + L (\mathbf v_2)</math>,
: <math>L (\alpha \cdot \mathbf v) = \alpha \cdot L (\mathbf v)</math>.

Ике векторлы арауыҡ араһында һыҙыҡлы булған үҙ-ара-берҙән бер сағылыш булһа, ул саҡта бындай арауыҡтар [[Изоморфизм|изоморфлы]] тип аталалар; векторлы арауыҡтарҙың күп үҙсәнлектәре изоморфлы үҙгәртеүҙәрҙә һаҡланалар (изоморфизға ҡарата [[Инвариант (математика)|инвариантлы]]).

Бирелгән векторлы арауыҡтарҙың бөтә һыҙыҡлы сағылыштары класы өҫтөндә векторлы арауыҡ структураһын билдәләргә мөмкин. Сикле үлсәмле векторлы арауыҡтарҙың һыҙыҡлы сағылыштары матрицалы формала яҙылырға мөмкиндәр һәм уларҙың үҙсәнлектәре матрицалар ысулдары менән өйрәнелә{{Переход|#Матрицы и определители}}.

=== Үҙ векторҙар һәм үҙ һандар ===
[[Файл:Eigenvectors.gif|thumb|Һыҙыҡлы үҙгәртеүҙәрҙә йүнәлештәрен һаҡлаусы күк һәм күксин төҫөндәге векторҙар — үҙ векторҙар, ҡыҙылдары — түгел]]
{{main|Собственный вектор}}
Дөйөм осраҡта һыҙыҡлы сағылыш тәьҫире шаҡтай ҡатмарлы булырға мөмкин. Мөһим һәм киң таралған бурыс булып, <math>V</math> векторлы арауыҡтың, бирелгән һыҙыҡлы сағылыштың матрицаһы <math>L : V \rightarrow V</math> иң ябай күренештә булырлыҡ шундай базисын табыу тора. Был мәсьәләне хәл иткәндә төп ролде <math>L</math> һыҙыҡлы сағылыштың [[инвариантлы аҫарауыҡ|инвариантлы аҫарауыҡтары]] — [[Образ (математика)|образдары]] <math>L</math> сағылышында үҙҙәренә ингән аҫарауыҡтар уйнай. Әгәр нуль булмаған үлсәнешле, [[Тура сумма#Сикле һандағы аҫарауыҡтарҙың тура суммаһы|тура суммаһы]] бөтә <math>V</math> арауыҡты тәшкил иткән <math>W_1, \ldots, W_k</math> инвариантлы аҫарауыҡтар табылһа (йәғни, <math>L(W_i) \subset W_i</math> үтәлһә), ул саҡта <math>L</math> сағылыш матрицаһы <math>n_1, \ldots, n_k</math> тәртибендәге блоктар менән блок-диагональ күренештә була, әгәр базисты <math>k</math> векторҙар төркөмөнән торорлоҡ итеп һайлағанда, бында <math>i</math>-сы төркөм <math>W_i</math> аҫарауығында базис булып тора, төп диагоналендә <math>n_i = \dim W_i</math>.

Инвариантлы аҫарауыҡтың иң ябай осрағы булып бер үлсәмле <math>W</math> инвариантлы аҫарауығы тора, уны бер (теләһә ниндәй) нуль булмаған <math>x \in W</math> векторы ярҙамында бирергә мөмкин. Был осраҡта аҫарауыҡтың образының үҙенә һалынған булыу шарты ниндәйҙер <math>\lambda</math> һаны менән <math>L(x) {=} \lambda x</math> күренешен ала; бындай конструкция үҙ векторҙы һәм үҙ һанды билдәләүгә килтерә: әгәр ниндәйҙер <math>x \neq 0</math> векторы һәм <math>\lambda</math> һаны өсөн <math>L(x) {=} \lambda x</math> тигеҙлеге үтәлһә, ул саҡта <math>\lambda</math> <math>L</math> сағылышының ''үҙ һаны'', ә <math>x</math> векторы уның ''үҙ векторы'' тип атала. Һыҙыҡлы сағылыштың үҙ һандары берҙән бер, ә үҙ векторҙары — пропорционаллеккә тиклем, йәғни ирекле нулдән айырмалы һанға ҡабатлауға тиклем аныҡлыҡ менән билдәләнә.

Сағылыштың <math>n</math> һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ үҙ векторҙар йыйылмаһы булған осраҡта, бында <math>n</math> һаны <math>V</math> арауығының үлсәнешенә тигеҙ, уларҙан базис (бирелгән сағылыштың ''үҙ базисы'' тип аталған) төҙөргә була, унда сағылыш матрицаһы диагоналле, шуның менән бергә төп диагоналдә үҙ һандар тора. Бындай һыҙыҡлы сағылыштар ''диагоналләнеүсе'' тип аталалар. Диагоналләнеүсәнлектең етерлек (ләкин кәрәкле түгел) шарты булып <math>n</math> төрлө үҙ һанының булыуы тора.

=== Нормаль Жорданов формаһы ===
{{Main|Жорданов матрицаһы}}
{{В планах|дата=31 октября 2016}}

== Ҡулланыу ==

=== Һыҙыҡлы алгебраик тигеҙләмәләр системаларын сығарыу  ===
{{main|Система линейных алгебраических уравнений}}
[[Файл:Secretsharing-3-point.png|thumb|right|200px|Өс үҙгәреүсәнле һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһы [[Яҫылыҡ (геометрия)|яҫылыҡтар]] йыйылмаһын билдәләй. Киҫешеү нөктәһе сығарылышы була.]]
n үҙгәреүсәнле m һыҙыҡлы алгебраик тигеҙләмәләр системаһы — ул түбәндәге күренештәге тигеҙләмәләр системаһы
: <math>
\begin{cases}
    a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\
    a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\
    \dots\\
    a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\
\end{cases}
</math>

Ул [[Матрица (математика)|матрицалы формала]] ошолай күрһәтелергә мөмкин:
: <math>
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix} 
</math>
или:
: <math>Ax = b</math>.
{{Раздел не завершён}}

=== Күрһәтмәләр теорияһы ===
{{Main|Теория представлений}}
{{В планах|дата=31 октября 2016}}

=== Һыҙыҡлы программалау ===
{{Main|Линейное программирование}}
{{В планах|дата=31 октября 2016}}

=== Эконометрика ===
{{В планах|дата=31 октября 2016}}

=== Квант механикаһы ===
{{В планах|дата=31 октября 2016}}

<!--== Ҡушымта ==
Евклидовы пространства, аффинные пространства, а также многие другие пространства, изучаемые в геометрии, определяются на основе векторного пространства. Автоморфизмы векторного пространства над полем образуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц, что связывает линейную алгебру с теорией групп, в частности с теорией линейных представлений групп<ref name="МЭ"/>.

Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейным пространствам нашёл своё отражение в некоторых разделах функционального анализа<ref name="БСЭ"/>.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Собственные векторы, значения и пространства]]
* [[Матрица перехода]]
* [[Симплекс-метод]]
* [[Линейная регрессия]]
* [[Аналитическая геометрия]]
-->

== Иҫкәрмәләр ==
{{иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==
* {{книга
 |автор         = [[Николя Бурбаки|Бурбаки]].
 |часть         = Линейная и полилинейная алгебра
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Очерки по истории математики
 |оригинал      = 
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = [[Башмакова, Изабелла Григорьевна|И. Г. Башмакова]] (перевод с французского) 
 |издание       = 
 |место         = М
 |издательство  = Издательство иностранной литературы
 |год           = 1963
 |страницы      = 73—86
 |страниц       = 292
 |серия         = Элементы математики
 |тираж         = 
 |ref           = Бурбаки
}}
*{{книга
|автор=[[Гантмахер, Феликс Рувимович|Гантмахер Ф. Р.]]
|заглавие=Теория матриц 
|издательство=М.: Наука
|год=1966
|ref = Гантмахер
}}
* {{книга
 |автор         = [[Гельфанд, Израиль Моисеевич|Гельфанд И. М.]] 
 |заглавие      = Лекции по линейной алгебре
 |ссылка        =https://www.mccme.ru/free-books/linalg/gelfand.pdf 
 |викитека      = 
 |ответственный=|издание       = 5-е, исправленное
 |место         = [[Москва|М.]]
 |издательство  = Добросвет, [[МЦНМО]]
 |год           = 1998 
 |страницы=|страниц       = 320 
 |isbn          = 5-7913-0015-8
 |isbn2=|тираж         =5000 экз. 
 |ref           = Гельфанд 
}}
* {{книга
 |автор         = Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж.
 |часть         = Линейные структуры
 |заглавие      = Пути и лабиринты. Очерки по истории математики
 |оригинал      = Routes et dédales
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = Перевод с французского А. А. Брядинской под редакцией И. Г. Башмаковой
 |место         = М. 
 |издательство  = Мир
 |год           = 1986
 |страницы      = 394—402
 |страниц       = 432
 |серия         = Современная математика. Популярная серия
 |тираж         = 50 000
 |ref           = Даан-Дальмедико
}}
* {{книга
 |автор         = Israel Kleiner
 |часть         = History of Linear Algebra
 |ссылка часть  = https://link.springer.com/book/10.1007/978-0-8176-4685-1/page/1#page-1
 |заглавие      = A History of Abstract Algebra
 |ссылка        = 
 |место         = [[Бостон|Boston]]
 |издательство  = Birkhäuser
 |год           = 2007
 |pages         = 79—89
 |allpages      = 168
 |isbn          = 978-0-8176-4684-4
 |doi           = 10.1007/978-0-8176-4685-1_5
 |тираж         = 
 |ref           = Клейнер
}}
* {{книга
 |автор         = [[Кострикин, Алексей Иванович|Кострикин А. И.]], [[Манин, Юрий Иванович|Манин Ю. И.]] 
 |заглавие      = Линейная алгебра и геометрия
 |издание       = 
 |место         = М. 
 |издательство  = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год           = 1986
 |страниц       = 304
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 
 |ref           = Кострикин, Манин
}}
* {{книга
 |автор         = [[Мальцев, Анатолий Иванович|Мальцев А. И.]] 
 |заглавие      = Основы линейной алгебры
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |издание       = 3-е
 |место         = М.
 |издательство  = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год           = 1970
 |страниц       = 400
 |тираж         = 
 |isbn          = 
 |ref           = Мальцев
}}
* {{книга
 |автор         = [[Постников, Михаил Михайлович|Постников М. М.]] 
 |заглавие      = Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II)
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |издание       = 2-е
 |место         = М.
 |издательство  = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год           = 1986
 |страниц       = 400
 |тираж         = 
 |isbn          = 
 |ref           = Постников
}}
* {{книга
 |автор         = [[Прасолов, Виктор Васильевич|Прасолов В. В.]]
 |заглавие      = Задачи и теоремы линейной алгебры
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = М.
 |издательство  = Наука
 |год           = 1996
 |страниц       = 304
 |серия         = Физматлит
 |isbn          = 5-02-014727-3
 |тираж         = 
 |ref           = Прасолов
}}
* {{книга
 |автор         = Стренг Г.
 |заглавие      = Линейная алгебра и её применения
 |оригинал      = Linear Algebra and Its Applications
 |издание       = 
 |место         = М.
 |издательство  = [[Мир (издательство)|Мир]]
 |год           = 1980
 |страниц       = 454
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 
 |ref           = Стренг
}}
* {{книга
 |автор         = [[Фаддеев, Дмитрий Константинович|Фаддеев Д. К.]] 
 |заглавие      = Лекции по алгебре
 |издание       = 5-е
 |место         = СПб.
 |издательство  = [[Лань (издательство)|Лань]]
 |год           = 2007
 |страниц       = 416
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 
 |ref           = Фаддеев 
}}
* {{книга
 |автор         = [[Халмош, Пол Ричард|Халмош П.]]
 |заглавие      = Конечномерные векторные пространства
 |оригинал      = Finite-Dimensional Vector Spaces
 |издание       = 
 |место         = М.
 |издательство  = [[Физматгиз]]
 |год           = 1963
 |страниц       = 263
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 
 |ref           = Халмош
}}
* {{книга
 |автор         = [[Шафаревич, Игорь Ростиславович|Шафаревич И. Р.]], Ремизов А. О. 
 |заглавие      = Линейная алгебра и геометрия 
 |издание       = 
 |место         = М. 
 |издательство  = [[Физматлит]] 
 |год           = 2009 
 |страниц       = 511 
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 
 |ref           = Шафаревич, Ремизов
}}

{{Разделы математики}}



== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Һыҙыҡлы алгебраик тигеҙләмәләр системаһы]]

[[Категория:Математика]]
[[Категория:Һыҙыҡлы алгебра]]