Интеграл табыу

Интеграл табыу — математика анализда дифференцил табыу менән нигеҙ операцияһы.

Ингтеграл табыу ҡағиҙәләре

$\int cf(x)dx=c\int f(x)dx$

$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

$\int [f(x)-g(x)]dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$

$\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx-\int (d[f(x)]\int g(x)dx)dx$

$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$

Элементар фунциялар интегралдары

Рациональ функциялар

$\int 0dx=C$

$\int adx=ax+C$

$\int x^{n}dx=\{\begin{array}{cc}\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,& n\ne -1\\ \ln \left|x\right|+C,& n=-1\end{array}$

$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+C=-\frac{1}{a}\mathrm{arcctg}\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$

Логарифмдар

$\int \ln xdx=x\ln x-x+C$

$\int \frac{dx}{x\ln x}=\ln |\ln x|+C$

$\int {\log }_{b}xdx=x{\log }_{b}x-x{\log }_{b}e+C=x\frac{\ln x-1}{\ln b}+C$

Экспоненттар

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

Иррациональ функциялар

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{-dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arccos \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{a}\mathrm{arcsec}\frac{|x|}{a}+C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C$

Тригонометрия функциялар

$\int \sin xdx=-\cos x+C$

$\int \cos xdx=\sin x+C$

$\int \mathrm{tg}xdx=-\ln |\cos x|+C$

$\int \mathrm{ctg}xdx=\ln |\sin x|+C$

$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\mathrm{tg}x|+C$

$\int \csc xdx=-\ln |\csc x+\mathrm{ctg}x|+C$

$\int {\sec }^{2}xdx=\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\mathrm{tg}x+C$

$\int {\csc }^{2}xdx=\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\mathrm{ctg}x+C$

$\int \sec x\mathrm{tg}xdx=\sec x+C$

$\int \csc x\mathrm{ctg}xdx=-\csc x+C$

$\int {\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int {\cos }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int {\sin }^{n}xdx=-\frac{{\sin }^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\sin }^{n-2}xdx,n\in \mathbb{N},n⩾2$

$\int {\cos }^{n}xdx=\frac{{\cos }^{n-1}x\sin x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}xdx,n\in \mathbb{N},n⩾2$

$\int \mathrm{arctg}xdx=x\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

Гиперболоид функциялар

$\int \mathrm{sh}xdx=\mathrm{ch}x+C$

$\int \mathrm{ch}xdx=\mathrm{sh}x+C$

$\int \frac{dx}{{\mathrm{ch}}^{2}x}=\mathrm{th}x+C$

$\int \frac{dx}{{\mathrm{sh}}^{2}x}=-\mathrm{cth}x+C$

$\int \mathrm{th}xdx=\ln |\mathrm{ch}x|+C$

$\int \mathrm{csch}xdx=\ln |\mathrm{th}\frac{x}{2}|+C$

$\int \mathrm{sech}xdx=\mathrm{arctg}(\mathrm{sh}x)+C$

также $\int \mathrm{sech}xdx=2\mathrm{arctg}(e^x)+C$

также $\int \mathrm{sech}xdx=2\mathrm{arctg}(\mathrm{th}\frac{x}{2})+C$

$\int \mathrm{cth}xdx=\ln |\mathrm{sh}x|+C$