Математик индукция

Математик индукция — математик иҫбатлау ысулы. Ул ниндәйҙер раҫлауҙың бөтә натураль һандар өсөн дөрөҫлөгөн иҫбат итеү өсөн ҡулланыла. Бының өсөн тәүҙә $1$ номерлы раҫлауҙың дөрөҫлөгө — индукцияның базаһы (базис) тикшерелә, ә артабан, әгәр $n$ номерлы раҫлау дөрөҫ булһа, артабанғы $n+1$ номерлы раҫлау ҙа дөрөҫ икәнлеге иҫбатлана — индукция аҙымы, йәки индукцион күсеү.

Индукция буйынса иҫбатлау домино принцибы тип аталған күренештә асыҡ күрһәтелергә мөмкин. Теләһә ниндәй һандағы домино һөйәге бер рәткә, һәр һөйәк ҡолағанда һис шикһеҙ үҙенән һуң килгән һөйәкте ҡолатырлыҡ итеп теҙелгән булһын, ти (индукцион күсеү ошонан ғибәрәт тә инде). Ул саҡта, әгәр беҙ беренсе һөйәкте этһәк (был индукцияның базаһы), бөтә һөйәктәр ҙә ҡолай.

Формулировкаһы

 Натураль һандар менән нумерланған раҫлауҙарҙың сикһеҙ эҙмә-эҙлелегенең: $P_1,P_2,\dots ,P_n,P_{n+1},\dots$ дөрөҫлөгөн тикшерергә кәрәк булһын, ти.

1. $P_1$ раҫлауы дөрөҫ булыуы асыҡланһын, ти. (Был раҫлау индукцияның базаһы тип атала.)
2. Теләһә ниндәй n өсөн, әгәр $P_n$ раҫлауы дөрөҫ булһа, $P_{n+1}$ раҫлауы ла дөрөҫ икәне иҫбат ителһен, ти. (Был раҫлау индукцион күсеү тип атала.)

Ул саҡта эҙмә-эҙлелектең бөтә раҫлауҙары ла дөрөҫ була. Ҡалып:Конец рамки

Иҫбатлауҙың был ысулы өсөн индукция аксиомаһы тип аталған, натураль һандарҙы билдәләүсе Пеано аксиомаларының бишенсеһе логик нигеҙләү булып хеҙмәт итә. Индукция ысулының дөрөҫлөгө, натураль һандарҙың теләһә ниндәй буш булмаған аҫкүмәклегендә иң бәләкәй элемент бар, тигән раҫлауға эквивалентлы.

Тулы математик индукция принцибы

Тулы математик индукция принцибы тип аталған вариант бар. Бына уның ҡәтғи формулировкаһы: Ҡалып:Рамка $P_1$, $P_2$, $P_3$, $\dots$ раҫлауҙар эҙмә-эҙлелеге булһын, ти. Әгәр теләһә ниндәй $n$ натураль һаны өсөн, бөтә $P_1$, $P_2$, $P_3$, $\dots$, $P_{n-1}$ раҫлауҙары дөрөҫ булыуынан, $P_n$ раҫлауының да дөрөҫлөгө килеп сыҡһын, ул саҡта был эҙмә-эҙлелектең бөтә раҫлауҙары ла дөрөҫ, йәғни $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})((\mathrm{\forall }i\in \{1;\dots ;n-1\})P_i⟶P_n)⟶(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})P_n$. Ҡалып:Конец рамки Был вариантта индукция базаһы артыҡ булып сыға, сөнки индукцион күсеүҙең айырым осрағы булып тора. Ысынлап та, $n=1$ булғанда $(\mathrm{\forall }i\in \{1;\dots ;n-1\})P_i⟶P_n$ импликацияһы $P_1$-гә эквивалентлы. Ләкин йыш ҡына $P_1$ өсөн индукцион күсеүҙе барыбер айырым иҫбатларға тура килә, шуға күрә был өлөштө база сифатында айырыу дөрөҫ була. Тулы математик индукция принцибы Пеано аксиомаларынан индукция аксиомаһына эквивалентлы.

Ул шулай уҡ көслөрәк трансфинитлы индукцияның тура ҡулланылышы булып тора.

Тарихы

Блез Паскаль һәм Герсонид математик индукцияның айырым мөһим ысул икәнен аңлайҙар. Шулай ҙа боронғо замандарҙа уҡ Прокл Диадох һәм Евклид тарафынан был ысулды ҡулланыуҙың айырым осраҡтары булған. Ысулдың хәҙерге атамаһын де Морган Огастес 1838 йылда индерә.

Миҫалдар

Мәсьәлә. Теләһә ниндәй n натураль һаны һәм q ≠ 1 ысын һаны өсөн: $1+q+q^2+\cdots +q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ тигеҙлеге үтәлеүен иҫбат итергә.

Иҫбатлау. n буйынса индукция.

База, n = 1:

$1+q=\frac{(1-q)(1+q)}{1-q}=\frac{1-q^{1+1}}{1-q}.$

Күсеү:

$1+q+\cdots +q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ тип уйлайыҡ,

Ул саҡта

$1+q+\cdots +q^n+q^{n+1}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}=$

$=\frac{1-q^{n+1}+(1-q)q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{(n+1)+1}}{1-q}=\frac{1-q^{(n+1)+1}}{1-q}$,

Шуны иҫбат итергә һоралғайны ла инде.

Комментарий: был иҫбатлауҙа $P_n$ раҫлауының дөрөҫлөгө — шул уҡ,

$1+q+\cdots +q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ тигеҙлегенең дөрөҫлөгө кеүек үк.

Төрлөлөктәре һәм дөйөмләштереүҙәр

• Кире индукция
• Структур индукция
• Трансфинитлы индукция

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Доказательство по индукции
  • Доказательство одноцветности всех лошадей

Әҙәбиәт

• Ҡалып:Книга
• Ҡалып:Книга
• Ҡалып:Книга
• Ҡалып:Книга
• Ҡалып:Книга

Һылтанмалар

• Видео по методу математической индукции