Эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
…
10	0.998334
…
100	0.999983

n-дың ҡиммәте үҫеү менән n sin(1/n) функцияһының ҡиммәте 1-гә яҡыная. «n sin(1/n) эҙмә-эҙлелегенең сикләмәһе 1-гә тигеҙ» тип әйтәләр.

Ҡалып:Значения Математикала метрик арауыҡтың йәки топологик арауыҡтың элементтары эҙмә-эҙлелегенең сикләнмәһе (Ҡалып:Lang-ru) тип шул уҡ арауыҡтың, бирелгән эҙмә-эҙлелектең элементтарын «тартыу» үҙсәнлегенә эйә булған, элементы атала.

Топологик арауыҡтың элементтары эҙмә-эҙлелегенең сикләнмәһе шундай нөктә була, уның һәр тирә-яғы эҙмә-эҙлелектең, ниндәйҙер номерҙан башлап, бөтә элементтарын үҙ эсенә ала. Метрик арауыҡта нөктәнең тирә-яғы алыҫлыҡ функцияһы аша билдәләнә, шуға күрә сикләнмә төшөнсәһе алыҫлыҡ телендә әйтелә.

Тарихи математик анализда барлыҡҡа килгән һанлы эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе төшөнсәһе беренсе төшөнсә була, унда ул яҡынайыуҙар системаһы өсөн нигеҙ булып хеҙмәт итә һәм дифференциаль һәм интеграль иҫәпләмәләр төҙөүҙә киң ҡулланыла.

Тамғалау: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$

икс энынсы эҙмә-эҙлелегенең эн сикһеҙлеккә ынтылғанда сикләнмәһе a-ға тигеҙ тип уҡыла)

Эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе булыу үҙсәнлеген йыйылыусанлыҡ тип атайҙар: әгәр эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе булһа, был эҙмә-эҙлелек йыйыла тип әйтәләр; кире осраҡта (әгәр эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе булмаһа), был эҙмә-эҙлелек тарала тип әйтәләр.

Хаусдорф арауығында һәм, атап әйткәндә, метрик арауыҡта, йыйылыусан эҙмә-эҙлелектең һәр аҫ эҙмә-эҙлелеге йыйыла, һәм уның сикләнмәһе баштағы эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе менән тап килә.

Икенсе төрлө әйткәндә, Хаусдорф арауығының элементтары эҙмә-эҙлелегенең төрлө ике сикләнмәһе була алмай. Әммә эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе булмаҫҡа, шул уҡ ваҡытта сикләнмәһе булған аҫ эҙмә-эҙлелеге (бирелгән эҙмә-эҙлелектең) булыуы ла ихтимал.

Әгәр арауыҡ нөктәләренең теләһә ниндәй эҙмә-эҙлелегенән йыйылыусан аҫ эҙмә-эҙлелеген айырып алырға мөмкин булһа, арауыҡ секвенциаль компактлылыҡ (йәки тик компактлылыҡ, әгәр компактлылыҡ эҙмә-эҙлелек терминдарында ғына билдәләнһә) үҙенсәлегенә эйә тип әйтәләр .

Йоплоҡтың беренсе аксиомаһын ҡәнәғәтләндергән топологик арауыҡтарҙа, эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе төшөнсәһе сикке нөктә (күмәклектең) төшөнсәһе менән туранан-тура бәйле: әгәр күмәклектең сикке нөктәһе булһа, был күмәклек элементтарының бирелгән нөктәгә йыйылған эҙмә-эҙлелеге була.

Ирекле топологик арауыҡтар өсөн бындай эҙмә-эҙлелек булмауы ла ихтимал. Шулай итеп, эҙмә-эҙлелектең бер нисә сикке нөктәһе булырға мөмкин, ләкин, әгәр эҙмә-эҙлелек йыйылһа, сикке нөктәләренең барыһы ла бер-береһенә тап килә һәм эҙмә-эҙлелектең үҙенең сикләнмәһе менән тап киләләр.

Билдәләмә

$T$ топологик арауығы һәм $\{x_n\}$ эҙмә-эҙлелеге бирелһен, ти. Ул саҡта, әгәр

$\mathrm{\forall }U(x)\mathrm{\exists }N:\mathrm{\forall }n,n>N\Rightarrow x_n\in U(x)$ үтәлерлек шундай $x\in T$ элементы булһа, бында $U(x)$ — $x$ ингән асыҡ күмәклек, ул саҡта $x$ $x_n$ эҙмә-эҙлелегенең сикләнмәһе тип атала. Әгәр арауыҡ метрик булһа, сикләнмәне метрика ярҙамында асыҡлап була: әгәр шундай $x\in T$ элементы булһа,

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N:\mathrm{\forall }n,n>N\Rightarrow d(x_n,x)<\epsilon$,

бында $d(x,y)$ — метрика, ул саҡта $x$ $x_n$ эҙмә-эҙлелегенең сикләнмәһе тип атала.

Миҫалдар

• Әгәр арауыҡ дискретҡа ҡаршы топология менән тәьмин ителһә, теләһә ниндәй эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе арауыҡтың теләһә ниндәй элементы буласаҡ.

Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр

• Ирекле эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе эҙмә-эҙлелектең өлөшләтә сикләнмәһе тип атала.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Сикләнмә (математика)
• Һанлы эҙмә-эҙлелек сикләнмәһе
• Эпсилон-тирә-яҡ
• Коши эҙмә-эҙлелеге